北师大版八年级上册数学第一章勾股定理全章知识点及习题(经典)

c
b
a
D C
A
B
第一章 勾股定理
学问点一：勾股定理定义
画一个直角边为3和4的直角△，量的长；一个直角边为5和12的直角△，量的长 发觉32
+42
及52
的关系，52
+122
和132
的关系，对于随意的直角三角形也有这特性质吗？ 直角三角形两直角边a 、b 的平方和等于斜边c 的平方。

〔即：a 22
＝c 2
〕 1．如图，直角△的主要性质是：∠90°，〔用几何语言表示〕
⑴两锐角之间的关系： ； ⑵假设D 为斜边中点，那么斜边中线 ；
⑶假设∠30°，那么∠B 的对边和斜边： ；〔给出证明〕 ⑷三边之间的关系： 。

学问点二：验证勾股定理
学问点三：勾股定理证明〔等面积法〕
例1。

：在△中，∠90°，∠A 、∠B 、∠C 的对边为a 、b 、c 。

求证：a 2
＋b 22。

证明：
例2。

：在△中，∠90°，∠A 、∠B 、∠C 的对边为a 、b 、c 。

求证：a 2
＋b 22。

证明：
学问点四：勾股定理简洁应用 在△中，∠90°
(1) ：6, 8，求c (2) ：5，13，求a 学问点五：勾股定理逆定理
假如三角形的三边长为c b a ,,，满意2
22c b a =+，那么，这个三角形是直角三角形． 利用勾股定理的逆定理判别直角三角形的一般步骤： ①先找出最大边〔如c 〕
②计算2
c 及22
a b +，并验证是否相等。

假设2
c =22
a b +，那么△是直角三角形。

假设2c ≠22
a b +，那么△不是直角三角形。

1.以下各组数中，以a ，b ，c 为边的三角形不是△的是〔 〕 72425 72424 6810
345
ab c b a 2)(22+=+,那么这个三角形是( )
A. 等边三角形
B. 钝角三角形
C. 直角三角形
D. 锐角三角形
0)10(862=-+-+-z y x ,那么由此z y x ,,为三边的三角形是 三角形.
学问点六：勾股数
〔1〕满意2
2
2
c b a =+的三个正整数，称为勾股数．
b
b
b
b
c
c
c
c
a
a
a
a
b
b
b b
a a
c
c
a
a
A
C
B
D
5米
3米
〔2〕勾股数中各数的一样的整数倍，仍是勾股数，如3、4、5是勾股数，6、8、10也是勾股数． 〔3〕常见的勾股数有：①3、4、5②5、12、13；③8、15、17；④7、24、25； ⑤11、60、61；⑥9、40、41．
a 、
b 、
c 是直角三角形的三边,那么a 、b 、c 不行能的是〔 〕.
A.3,5,4
B. 5,12,13
C.2,3,4
D.8,17,15 1. 假设线段a ，b ，c 组成△，那么它们的比可以是〔 〕 ∶3∶∶4∶6 C.5∶12∶∶6∶7 学问点七：确定最短路途
1.一只长方体木箱如下图，长、宽、高分别为5、4、3, 有一只甲虫从A 动身，沿外表爬到C '，最近间隔 是多少？
2.如图,一圆柱高8,底面半径2,一只蚂蚁从点A 爬到点B 处吃食,学问点八：逆定理推断垂直
1．在△中，2
－2
＝2
，那么△的形态是( )
A ．锐角三角形；
B ．直角三角形；
C ．钝角三角形；
D 2．如图，正方形网格中的△，假设小方格边长为1，那么△是( )
A ．直角三角形
B ．锐角三角形
C ．钝角三角形
D 学问点九：勾股定理应用题
1.在我国古代数学著作?九章算术?中记载了一道好玩的问题，这个问题的意思是：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根新生的芦苇，它高出水面1尺，假如把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面，请问这个水池的深度和这根芦苇的长度各是多少？
2.如图为某楼梯,测得楼梯的长为5米,高3米,方案在楼梯外表铺地毯,地毯的长度至少须要米.
3.一根直立的桅杆原长25m ，折断后，桅杆的顶部落在离底部的5m 处，那么桅杆断后
两部分各是
多长？
4.某中学八年级学生想知道学校操场上旗杆的高度，他们发觉旗杆上的绳子垂到地面还多1米，当他们把绳子的下端拉开5米后，发觉下端刚好触地面，你能帮他们把旗杆的高度和绳子的长度计算出来吗？
综合练习一
一、选择题
1、下面几组数:①7,8,9;②12,9,15;③m 2
+ n 2
, m 2
– n 2
, 2(均为正整数>);④2a ,12+a ,22
+a .其中能组成直角三角形的三边长的是( )
A.①②;
B.①③;
C.②③;
D.③④ 2一个△的两边长分别为3和4，那么第三边长的平方是〔 〕
A.25
.14
ab c b a 2)(22+=+,那么这个三角形是( )
A. 等边三角形;
B. 钝角三角形;
C. 直角三角形;
D. 锐角三角形. 4.△的三边为a 、b 、c 且()()2
，那么( )
边的对角是直角 边的对角是直角
5.以以下各组中的三个数为边长的三角形是直角三角形的个数有〔 〕
①6、7、8，②8、15、17，③7、24、25，④12、35、37，⑤9、40、41 A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个
6.将直角三角形的三边扩大一样的倍数后，得到的三角形是 ( )
A
7.假设△的三边a 、b 、c 满意()(a 222)=0，那么△是 ( )
8.如图，∠C =∠B =90°，AB =5，BC =8，CD =11，那么AD 的长为 〔 〕
A 、10
B 、11
C 、12
D 、13
9.如图、山坡AB 的高BC =5m ，程度间隔 AC =12m m 栽一棵茶树,那么从上到下共 ( )
A 、19棵
B 、20棵
C 、21棵
D 、22棵
10△中，∠C =90°，∠A 、∠B 、∠C 所对的边分别是a 、b 、c ，假设c =2，那么2
a 2
b 2
c 的值是 〔 〕
A 、6
B 、8
C 、10
D 、4 11.以下各组数据中，不能构成直角三角形的一组数是〔 〕
Ａ、9，12，15 B 、
45，1，4
3
C 、0.2，0.3，0.4
D 、40，41，9 12.，一轮船以16海里/时的速度从港口A 动身向东北方向航行，另一轮船以12海里/时的速度同时从港口A 动身向东南方向航行，分开港口2小时后，那么两船相距〔 〕
二、填空题
△中，∠90°，①假设5，12，那么；②假设15，25，那么；③假设61，60，那么；④假设a ∶3∶4，10那么△
cm 、3cm 、4cm 、5cm 的木棒，从中任取三根，能组成直角三角形，那么其周长为 cm ．
3.勾股定理的作用是在直角三角形中，两边求 ；勾股定理的逆定理的作用是用来证明 ．
4.如图中字母所代表的正方形的面积：A = B = ． △中，∠C ＝90°，假设 a ＝5，b ＝12，那么 c ＝ ．
6.△中，17，16，那么高 ，S △ = 。

7.在△中，有一边是2，另一边是3，那么第三边的平方是 。

△中，17 ， 10 ，9 ，这是一个三角形〔按角分〕。

12，16，20，那么这个三角形的面积为 。

三、简答题
1.推断正误，并指出为什么？ 〔1〕△的两边为3和4，求第三边
解：由于三角形的两边为3和4，所以它的第三边c 为5。

〔2〕假设△为直角三角形，那么第三边为5 2.在△中，22，2，22(m ＞n)。

求证：△是直角三角形。

3.求斜边长17厘米，一条直角边长15厘米的直角三角形的面积．(画图求解)
/km h 的速度分开港口向东北方向航行，另一艘轮船同时分开港口，以12/km h 的速度向东南方向航行，它们分开港
口一个半小时相距多少千米？(画图求解)
5.如图，一根旗杆在离地面9米处断裂，旗杆顶部落在离旗杆底部12米处，旗杆折断之前有多高？
6.如图，在四边形中，∠ =︒90，∠ =︒90， = 3， = 4， = 12，求；
家庭作业： 一、根底达标:
1. 以下说法正确的选项是〔 〕
A.假设 a 、b 、c 是△的三边，那么a 2
＋b 2
＝c 2
； B.假设 a 、b 、c 是△的三边，那么a 2
＋b 2
＝c 2
；C.假设 a 、b 、c 是△的三边， 90=∠A ，那么a 2
＋b 2
＝c 2
；
D.假设 a 、b 、c 是△的三边， 90=∠C ，那么a 2
＋b 2
＝c 2
．
D
A
B C
400225
A B
81
22512米
9米
3m 4
m
20m
2. △的三条边长分别是a 、b 、c ，那么以下各式成立的是〔 〕
A ．c b a =+ B. c b a >+ C. c b a <+ D. 222c b a =+
3．直角三角形中始终角边的长为9，另两边为连续自然数，那么直角三角形的周长为〔 〕
A ．121
B ．120
C ．90
D ．不能确定
4．斜边的边长为cm 17，一条直角边长为cm 8的直角三角形的面积是 ．
5．假设有一个三角形是直角三角形，那么三边a 、b 、c 之间应满意 ，其中 边是直角所对的边；假如一个三角形的三边a 、b 、c 满意222b c a =+，那么这个三角形是 三角形，其中b 边是 边，b 边所对的角是 ．
6．一个三角形三边之比是6:8:10，那么按角分类它是 三角形．
7．如图，ABC ∆中，︒=∠90C ，15=BA ，12=AC ，以直角边BC 为直径作半圆，那么这个半圆的面积是 ．
8． 一长方形的一边长为cm 3，面积为2
12cm ，那么它的一条对角线长是 ．
二、综合开展:
1．如图，一个高4m 、宽3m 的大门，须要在对角线的顶点间加固一个木条，求木条的长．
cm 15，cm 20，cm 25，这个三角形最长边上的高是多少？
3．如图，小李打算建一个蔬菜大棚，棚宽4m ，高3m ，长20m ，棚的斜面用塑料薄膜遮盖，不计墙的厚度，请计算阳光透过的最大面积.
4．如图，有一只小鸟在一棵高13m 的大树树梢上捉虫子，它的伙伴在离该树12m ，高8m 的一棵小树树梢上发出友好的叫声，它立即以2m 的速度飞向小树树梢，那么这只小鸟至少几秒才可能到达小树和伙伴在一起？
勾股定理综合二
1．如图，一块直角三角形的纸片，两直角边6㎝，8㎝。

现将直角边沿直线折叠，使它落在斜边上，且及重合，那么等于 2．，如图长方形中，3cm ，9cm ，将此长方形折叠，使点B
及D 重合，折痕为，那么△
的面积为〔 〕2
3．：将正长方形纸片折叠两次，第一次折痕为，第二次折痕为，且点D 落在F 处.假设
长方形长为4，宽为3，求.
4．：如图，△中，∠C ＝90º，是角平分线，＝15，＝25．求的长．
分类探讨思想
1． 在△中，两边长为3、4，那么第三边的长为 2．在△中，两边长为5、12，那么第三边的长为
3．等腰三角形的两边长为10和12，那么周长为，底边上的高是，面积是。

4.一个直角三角形，有两边长分别为6和8，以下说法正确的选项是〔 〕
A. 第三边肯定为10
B. 三角形的周长为25
C. 三角形的面积为48
D. 第三边可能为10 确定三角形形态
1．a 、b 、c 是△的三边，且a 2c 2
－b 2c 2
＝a 4
－b 4
，试推断三角形的形态． 2. 在△中，1997，1998，2
=1997+1998，那么△是否为直角三角形？为什么？
△的三边a 、b 、c 满意a 222+33810a2426c ，那么△为 三角形〔填锐角、直角或钝角〕 4.三角形的三边分别是2，n ，2，当n 是多少时，三角形是一个直角三角形？ 最短间隔 问题
1.如图，A 、B 两个小集镇在河流的同侧，分别到河的间隔 为10千米，30千米，且30千米，如今要在河边建一自来水厂，向A 、B 两镇供水，铺设水管的费用为每千米3万，请你在河流上选择水厂的位置M ，使铺设水管的费用最节约，并求出总费用是多少？
2.如图，一个牧童在小河的南4的A 处牧马，而他正位于他的小屋B 的西8北7处，他想把他的马牵到小河边去饮水，
A
C
B
A
C D
B
E
1题
A
B
C
F
A B
E F
D 第2题
A
B
D C
B
A
然后回家.他要完成这件事情所走的最短路程是多少？
3.如图，在菱形中，对角线6，8，点E 、F 分别是边、的中点，点P 在上运动，在运动过程中，存在的最小值，那么这个最小值是
4.如图，在直角△中，4
，∠45°，∠的平分线交于点D ，M 、N 分别是和上的动点，那么的最小值是〔 〕
5.如图，在正方形的边上连接等腰直角三角形，然后在等腰直角三角形的直角边上连接正方形，无限重复上述过程，假如第一个正方形的边长为1，那么第n 个正方形的面积为 ．
综合练习三
一、选择题
1. 直角三角形始终角边长为12，另两条边长均为自然数，那么其周长为( ).〔A 〕30 〔B 〕28 〔C 〕56 〔D 〕不能确定
2. 直角三角形的斜边比始终角边长2 cm ，另始终角边长为6 cm ，那么它的斜边长
〔A 〕4 cm 〔B 〕8 cm 〔C 〕10 cm
〔D 〕12 cm
3. 一个△的两边长分别为3和4，那么第三边长的平方是〔 〕〔A 〕25
〔B 〕14 〔C 〕7 〔D 〕7或25
4. 等腰三角形的腰长为10,底长为12,那么其底边上的高为( ) 〔A 〕13 〔B 〕8 〔C 〕25 〔D 〕64
5. 五根小木棒，其长度分别为7，15，20，24，25，现将他们摆成两个直角三角形，其中正确
的选项是〔 〕
7
1524
25
207
15
2024
25
157
25
20
24
25
7
202415
(A)
(B)
(C)
(D)
6. 将直角三角形的三条边长同时扩大同一倍数, 得到的三角形是( )
〔A 〕 钝角三角形 〔B 〕 锐角三角形 〔C 〕 直角三角形 〔D 〕 等腰三角形. 7. 如图小方格都是边长为1的正方形,那么四边形的面积是 ( )
8. 三角形的三边长为ab c b a 2)(2
2
+=+,那么这个三角形是( )
A B D
C
E
A
B
5米
3米
〔A 〕 等边三角形 〔B 〕 钝角三角形 〔C 〕 直角三角形 〔D 〕 锐角三角形.
9.△∠90°，30米，50米，假如要在这块空地上种植草皮，按每平方米草皮a 元计算，那么共须要资金〔 〕. 〔A 〕50a 元 〔B 〕600a 元 〔C 〕1200a 元 〔D 〕1500a 元 ，⊥于B ，△和△都是等腰直角三角形，假如17，5，那么的长为〔 〕. 〔A 〕12 〔B 〕7 〔C 〕5 〔D 〕13
〔第10题〕 〔第11题〕 〔第14题〕
二、填空题 11. 如图为某楼梯,测得楼梯的长为5米,高3米,方案在楼梯外表铺地毯,地毯的长度至少须要米. 12. 在直角三角形ABC 中，斜边AB =2，那么222AB AC BC ++. 13. 直角三角形的三边长为连续偶数，那么其周长为 .
14. 如图，在△中，∠90°，3，4.以斜边为直径作半圆，那么这个半圆的面积是.
〔第15题〕 〔第16题〕 〔第17题〕
15. 如图，校园内有两棵树，相距12米，一棵树高13米，另一棵树高8米，一只小鸟从一棵树的顶端飞到另一棵树
的顶端，小鸟至少要飞米.
16. 如图，△中，∠90°，垂直平分线交于D 假设8，5，那么等于.
17. 如图，四边形ABCD 是正方形，AE 垂直于BE ，且AE =3，BE =4，阴影部分的面积是. 18. 如图，全部的四边形都是正方形，全部的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边和长为7,那么正方形A ，B ，C ，D 的面积之和为2
. 三、解答题
19. 11世纪的一位阿拉伯数学家曾提出一个“鸟儿捉鱼〞的问题：
“小溪边长着两棵棕榈树，恰好隔岸相望.一棵树高是30肘尺〔肘尺是古代的长度
单位〕，另外一棵高20肘尺；两棵棕榈树的树干间的间隔 是50肘尺.每棵树的树顶上都停着一只鸟.突然，两只鸟同时看见棕榈树间的水面上游出一条鱼，它们立即飞去抓鱼，并且同时到达目的.问这条鱼出现的地方分开比较高的棕榈树的树跟有多远？
20. 如图，一等腰三角形的周长是16，底边上的高是4.求这个三角形各边
的长.
21. 如图，A 、B 两个小集镇在河流的同侧，分别到河的间隔 为10千米，30千米，且30千米，如今要在河边建一自来水厂，向A 、B 两镇供水，铺设水管的费用为每千米3万，请你在河流上选择水厂的位置M ，使铺设水管的费用最节约，并求出总费用是多少？
22. 如下图的一块地，∠90°，12m ，9m ，39m ，36m ，求这块地的面积。

E
A
B
C
D
A
B
C
D
第18
题图
7cm
23. 如图，一架长的梯子，斜靠在一竖直的墙上，这时梯足B到墙底端C的间隔为，假如梯子的顶端沿墙下滑，那么梯足将向外移多少米？。