苏教版九年级数学上册 期末试卷测试卷附答案

苏教版九年级数学上册 期末试卷测试卷附答案
一、选择题
1．若点()10,A y ，()21,B y 在抛物线()2
13y x =-++上，则下列结论正确的是（ ）
A ．213y y <<
B ．123y y <<
C ．213y y <<
D ．213y y << 2．二次函数y ＝3(x －2)2－1的图像顶点坐标是（ ）
A ．（－2，1）
B ．（－2，－1）
C ．（2，1）
D ．（2，－1）
3．若关于x 的方程 ()2
m 110x mx -+-= 是一元二次方程，则m 的取值范围是（ ） A ．m 1≠.
B ．m 1=.
C ．m 1≥
D ． m 0≠.
4．如图，在△ABC 中，点D 、E 分别在AB 、AC 边上，DE ∥BC ，若AD =1，BD =2，则DE
BC
的值为（ ）
A ．
12
B ．
13
C ．
14
D ．
19
5．在九年级体育中考中，某班参加仰卧起坐测试的一组女生（每组8人）测试成绩如下（单位：次/分）：46,44,45,42,48,46,47,46.则这组数据的中位数为（ ） A ．42
B ．45
C ．46
D ．48
6．下列说法中，不正确的是（ ） A ．圆既是轴对称图形又是中心对称图形 B ．圆有无数条对称轴 C ．圆的每一条直径都是它的对称轴
D ．圆的对称中心是它的圆心 7．二次函数2
(1)3y x =-+图象的顶点坐标是（ ） A ．(1,3)
B ．(1,3)-
C ．(1,3)-
D ．(1,3)--
8．如图示，二次函数2
y x mx =-+的图像与x 轴交于坐标原点和()4,0，若关于x 的方程
20x mx t -+=（t 为实数）在15x <<的范围内有解，则t 的取值范围是（ ）
A ．53t -<<
B ．5t >-
C ．34t <≤
D ．54t -<≤
9．如图，P 、Q 是⊙O 的直径AB 上的两点，P 在OA 上，Q 在OB 上，PC ⊥AB 交⊙O 于
C，QD⊥AB交⊙O于D，弦CD交AB于点E，若AB=20，PC=OQ=6，则OE的长为（）
A．1 B．1.5 C．2 D．2.5
10．学校“校园之声”广播站要选拔一名英语主持人，小莹参加选拔的各项成绩如下：
姓名读听写
小莹928090
若把读、听、写的成绩按5：3：2的比例计入个人的总分，则小莹的个人总分为（）A．86 B．87 C．88 D．89
11．如图，AC是⊙O的内接正四边形的一边，点B在弧AC上，且BC是⊙O的内接正六边形的一边．若AB是⊙O的内接正n边形的一边，则n的值为（）
A．6 B．8 C．10 D．12
12．“一般的，如果二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴有两个公共点，那么一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根．——苏科版《数学》九年级（下册）P21”参考上述教材
中的话，判断方程x2﹣2x=1
x
﹣2实数根的情况是（）
A．有三个实数根B．有两个实数根C．有一个实数根D．无实数根二、填空题
13．已知tan（α+15°）3
α的度数为______°．
14．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，点D是AB边上一点（不与A、B重合），若过点D的直线截得的三角形与△ABC相似，并且平分△ABC的周长，则AD的长为____．
15．抛物线y ＝3（x+2）2+5的顶点坐标是_____．
16．把边长分别为1和2的两个正方形按如图所示的方式放置，则图中阴影部分的面积是_____．
17．在△ABC 中，∠C=90°，若AC=6，BC=8，则△ABC 外接圆半径为________；
18．从地面垂直向上抛出一小球，小球的高度h （米）与小球运动时间t （秒）之间的函数关系式是h=12t ﹣6t 2，则小球运动到的最大高度为________米；
19．如图是二次函数2
y ax bx c =++的部分图象，由图象可知不等式20ax bx c ++>的解集是_______.
20．一个不透明的口袋中装有若干只除了颜色外其它都完全相同的小球，若袋中有红球6只，且摸出红球的概率为3
5
，则袋中共有小球_____只． 21．如图，抛物线2143115y x x =
--与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点，⊙B 的圆心为B ，半径是1，点P 是直线AC 上的动点，过点P 作⊙B 的切线，切点是Q ，则切线长PQ 的最小值是__．
22．如图，ABO 三个顶点的坐标分别为(24),(60),(00)A B ，
，，，以原点O 为位似中心，把这个三角形缩小为原来的
1
2
，可以得到A B O ''△，已知点B '的坐标是30（，），则点A '
的坐标是______.
23．已知 x 1、x 2 是关于 x 的方程 x 2+4x -5＝0的两个根，则x 1 + x 2＝_____．
24．如图，在四边形ABCD 中，∠BAD ＝∠BCD ＝90°，AB +AD ＝8cm ．当BD 取得最小值时，AC 的最大值为_____cm ．
三、解答题
25．（1）解方程：234x x -=；（2）计算：2tan 60sin 452cos30︒+︒-︒
26．如图，已知矩形ABCD 的边6AB =，4BC =，点P 、Q 分别是AB 、BC 边上的动点.
（1）连接AQ 、PQ ，以PQ 为直径的
O 交AQ 于点E .
①若点E 恰好是AQ 的中点，则QPB ∠与AQP ∠的数量关系是______； ②若3BE BQ ==，求BP 的长； （2）已知3AP =，1BQ =，
O 是以PQ 为弦的圆.
①若圆心O 恰好在CB 边的延长线上，求O 的半径：
②若
O 与矩形ABCD 的一边相切，求O 的半径.
27．如图，AB BC =，以BC 为直径作O ，AC 交O 于点E ，过点E 作EG AB ⊥于
点F ，交CB 的延长线于点G .
（1）求证：EG 是O 的切线；
（2）若23GF =，4GB =，求O 的半径.
28．在平面直角坐标系中，二次函数 y ＝ax 2＋bx ＋2 的图象与 x 轴交于 A （﹣3，0），B
（1，0）两点，与 y 轴交于点C ．
（1）求这个二次函数的关系解析式 ，x 满足什么值时 y ﹤0 ?
（2）点 p 是直线 AC 上方的抛物线上一动点，是否存在点 P ，使△ACP 面积最大？若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，说明理由
（3）点 M 为抛物线上一动点，在 x 轴上是否存在点 Q ，使以 A 、C 、M 、Q 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点 Q 的坐标；若不存在，说明理由．
29．某校为了解本校九年级男生“引体向上”项目的训练情况，随机抽取该年级部分男生进
行了一次测试（满分15分，成绩均记为整数分），并按测试成绩（单位：分）分成四类：A 类（12≤m ≤15），B 类（9≤m ≤11），C 类（6≤m ≤8），D 类（m ≤5）绘制出以下两幅不完整的统计图，请根据图中信息解答下列问题：
（1）本次抽取样本容量为 ，扇形统计图中A 类所对的圆心角是 度； （2）请补全统计图；
（3）若该校九年级男生有300名，请估计该校九年级男生“引体向上”项目成绩为C 类的有多少名？
30．（1）（学习心得）于彤同学在学习完“圆”这一章内容后，感觉到一些几何问题如果添加辅助圆，运用圆的知识解决，可以使问题变得非常容易.例如：如图1，在ABC 中，
,90AB AC BAC ∠==,D 是ABC 外一点，且AD AC =,求BDC ∠的度数.若以点A
为圆心，AB 为半径作辅助
A ，则C 、D 必在
A 上，BAC ∠是A 的圆心角，而
BDC ∠是圆周角，从而可容易得到BDC ∠=________.
（2）（问题解决）如图2，在四边形ABCD 中，90BAD BCD ∠=∠=,25BDC ∠=,求BAC ∠的度数.
（3）（问题拓展）如图3，,E F 是正方形ABCD 的边AD 上两个动点，满足AE DF =.连接交于点，连接CF 交BD 于点G ,连接BE 交于点H ,若正方形的边长为2，则线段DH 长度的最小值是_______.
31．某篮球队对队员进行定点投篮测试，每人每天投篮10次，现对甲、乙两名队员在五天中进球数（单位：个）进行统计，结果如下： 甲 10 6 10 6 8 乙
7
9
7
8
9
经过计算，甲进球的平均数为8，方差为3.2. （1）求乙进球的平均数和方差；
（2）如果综合考虑平均成绩和成绩稳定性两方面的因素，从甲、乙两名队员中选出一人去参加定点投篮比赛，应选谁？为什么？
32．如图，二次函数2
2y ax ax c =-+ (a < 0) 与 x 轴交于 A 、C 两点，与 y 轴交于点 B ，P 为 抛物线的顶点，连接 AB ，已知 OA ：OC=1:3. （1）求 A 、C 两点坐标；
（2）过点 B 作 BD ∥x 轴交抛物线于 D ，过点 P 作 PE ∥AB 交 x 轴于 E ，连接 DE ， ①求 E 坐标； ②若 tan ∠BPM=
2
5
，求抛物线的解析式．
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一、选择题
1．A 解析：A 【解析】 【分析】
将x=0和x=1代入表达式分别求y 1,y 2,根据计算结果作比较. 【详解】
当x=0时，y 1= -1+3=2, 当x=1时，y 2= -4+3= -1, ∴213y y <<. 故选：A. 【点睛】
本题考查二次函数图象性质，对图象的理解是解答此题的关键.
2．D
解析：D 【解析】 【分析】
由二次函数的顶点式，即可得出顶点坐标． 【详解】
解：∵二次函数为y=a （x-h ）2+k 顶点坐标是（h ，k ）， ∴二次函数y=3（x-2）2-1的图象的顶点坐标是（2，-1）． 故选：D ． 【点睛】
此题考查了二次函数的性质，二次函数为y=a （x-h ）2+k 顶点坐标是（h ，k ）．
3．A
解析：A 【解析】 【分析】
根据一元二次方程的定义可得m ﹣1≠0，再解即可． 【详解】
由题意得：m ﹣1≠0， 解得：m≠1， 故选A ． 【点睛】
此题主要考查了一元二次方程的定义，关键是掌握只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．
4．B
解析：B 【解析】
试题分析：∵DE ∥BC ，∴
AD DE AB BC =，∵
1
3AD AB =，∴3
1DE BC =．故选B ． 考点：平行线分线段成比例．
5．C
解析：C 【解析】 【分析】
根据中位数的定义，把8个数据从小到大的顺序依次排列后，求第4，第5位两数的平均数即为本组数据的中位数. 【详解】
解：把数据由小到大排列为：42,44,45,46,46,46,47,48
∴中位数为
4646
462
+=. 故答案为：46. 【点睛】
找中位数的时候一定要先排好大小顺序，再根据奇数个数和偶数个数来确定中位数.如果是奇数个，则正中间的数字即为中位数；如果是偶数个，则找中间两个数的平均数为中位数.先将数据按从小到大顺序排列是求中位数的关键.
6．C
解析：C 【解析】 【分析】
圆有无数条对称轴，但圆的对称轴是直线，故C 圆的每一条直线都是它的对称轴的说法是错误的 【详解】
本题不正确的选C ，理由：圆有无数条对称轴，其对称轴都是直线，故任何一条直径都是它的对称轴的说法是错误的，正确的说法应该是圆有无数条对称轴，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴 故选C 【点睛】
此题主要考察对称轴图形和中心对称图形，难度不大
7．A
解析：A 【解析】 【分析】
根据二次函数顶点式即可得出顶点坐标. 【详解】
∵2
(1)3y x =-+，
∴二次函数图像顶点坐标为：(1,3). 故答案为A. 【点睛】
本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在y=a （x-h ）2+k 中，对称轴为x=h ，顶点坐标为（h ，k ）．
8．D
解析：D 【解析】 【分析】
首先将()4,0代入二次函数，求出m ，然后利用根的判别式和求根公式即可判定t 的取值范围. 【详解】
将()4,0代入二次函数，得
2440m -+=
∴4m =
∴方程为240x x t -+=
∴x =
∵15x << ∴54t -<≤ 故答案为D . 【点睛】
此题主要考查二次函数与一元二次方程的综合应用，熟练掌握，即可解题.
9．C
解析：C 【解析】 【分析】
因为OCP 和ODQ 为直角三角形，根据勾股定理可得OP 、DQ 、PQ 的长度，又因为CP //DQ ，两直线平行内错角相等，∠PCE=∠EDQ ，且∠CPE=∠DQE=90°，可证CPE ∽DQE ，可得CP DQ =PE EQ
，设PE=x ，则EQ=14-x ，解得x 的取值，OE= OP-PE ，则OE 的长度可得． 【详解】
解：∵在⊙O 中，直径AB=20，即半径OC=OD=10，其中CP ⊥AB ，QD ⊥AB ， ∴OCP 和ODQ 为直角三角形，
根据勾股定理：，，且OQ=6，
∴PQ=OP+OQ=14，
又∵CP ⊥AB ，QD ⊥AB ，垂直于用一直线的两直线相互平行，
∴CP //DQ ，且C 、D 连线交AB 于点E ，
∴∠PCE=∠EDQ ，（两直线平行，内错角相等）且∠CPE=∠DQE=90°， ∴CPE ∽DQE ，故CP DQ =PE EQ
， 设PE=x ，则EQ=14-x ， ∴
68=x 14-x
，解得x=6， ∴OE=OP-PE=8-6=2，
故选：C ．
【点睛】 本题考察了勾股定理、相似三角形的应用、两直线平行的性质、圆的半径，解题的关键在于证明CPE 与DQE 相似，并得出线段的比例关系．
10．C
解析：C
【解析】
【分析】
利用加权平均数按照比例进一步计算出个人总分即可.
【详解】
根据题意得：
92580390288532
⨯+⨯+⨯=++（分）， ∴小莹的个人总分为88分；
故选：C ．
【点睛】
本题主要考查了加权平均数的求取，熟练掌握相关公式是解题关键.
11．D
解析：D
【解析】
【分析】
连接AO 、BO 、CO ，根据中心角度数＝360°÷边数n ，分别计算出∠AOC 、∠BOC 的度数，根据角的和差则有∠AOB ＝30°，根据边数n ＝360°÷中心角度数即可求解．
【详解】
连接AO 、BO 、CO ，
∵AC 是⊙O 内接正四边形的一边，
∴∠AOC ＝360°÷4＝90°，
∵BC 是⊙O 内接正六边形的一边，
∴∠BOC ＝360°÷6＝60°，
∴∠AOB＝∠AOC﹣∠BOC＝90°﹣60°＝30°，
∴n＝360°÷30°＝12；
故选：D．
【点睛】
本题考查正多边形和圆，解题的关键是根据正方形的性质、正六边形的性质求出中心角的度数．
12．C
解析：C
【解析】
试题分析：由得，，即是判断函数与函数的图象的交点情况.
因为函数与函数的图象只有一个交点
所以方程只有一个实数根
故选C.
考点：函数的图象
点评：函数的图象问题是初中数学的重点和难点，是中考常见题，在压轴题中比较常见，要特别注意.
二、填空题
13．15
【解析】
【分析】
直接利用特殊角的三角函数值求出答案．
【详解】
解：tan（α+15°）=
∴α+15°=30°,
∴α=15°
故答案是15
【点睛】
此题主要考查了特殊角的三角函数值，
解析：15
【解析】
【分析】
直接利用特殊角的三角函数值求出答案．
【详解】
解：tan（α+15°）=
3
∴α+15°=30°,
∴α=15°
故答案是15
【点睛】
此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关特殊角的三角函数值是解题关键．14．、、
【解析】
【分析】
根据直线平分三角形周长得出线段的和差关系，再通过四种情形下的相似三角形的性质计算线段的长.
【详解】
解：设过点D的直线与△ABC的另一个交点为E，
∵AC＝4，BC＝
解析：8
3
、
10
3
、
5
4
【解析】
【分析】
根据直线平分三角形周长得出线段的和差关系，再通过四种情形下的相似三角形的性质计算线段的长.
【详解】
解：设过点D的直线与△ABC的另一个交点为E，
∵AC＝4，BC＝3，∴
设AD=x，BD=5-x，
∵DE平分△ABC周长，∴周长的一半为（3+4+5）÷2=6，分四种情况讨论：
①△BED∽△BCA，如图1，BE=1+x
∴BE BD
BC AB
=，即：
51
53
x x
-+
=，
解得x=5
4
，
②△BDE∽△BCA，如图2，BE=1+x
∴BD BE
BC AB
=，即：
51
35
x x
-+
=，
解得：x=11 4
，
BE=15
4
>BC，不符合题意.
③△ADE∽△ABC，如图3，AE=6-x
∴AD AE
AB AC
=，即
6
54
x x
-
=，
解得：x=10
3
，
④△BDE∽△BCA，如图4，AE=6-x
∴AD AE
AC AB
=，即：
6
45
x x
-
=，
解得：x=8
3
，
综上：AD的长为8
3
、
10
3
、
5
4
.
【点睛】
本题考查的相似三角形的判定和性质，根据不同的相似模型分情况讨论，根据不同的线段比例关系求解.
15．（﹣2，5）
【解析】
【分析】
已知抛物线的顶点式，可直接写出顶点坐标．
【详解】
解：由y＝3（x+2）2+5，根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为（﹣2，5）．
故答案为：（﹣2，5）．
【点
解析：（﹣2，5）
【解析】
【分析】
已知抛物线的顶点式，可直接写出顶点坐标．
【详解】
解：由y＝3（x+2）2+5，根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为（﹣2，5）．
故答案为：（﹣2，5）．
【点睛】
本题考查二次函数的性质，熟知二次函数的顶点式是解题的关键，即在y=a（x-h）2+k中，顶点坐标为（h，k），对称轴为x=h．
16．【解析】
【分析】
由正方形的性质易证△ABC∽△FEC，可设BC=x，只需求出BC即可求出图中阴影部分的面积．
【详解】
如图所示：设BC＝x，则CE＝1﹣x，
∵AB∥EF，
∴△ABC∽△
解析：1 6
【解析】
【分析】
由正方形的性质易证△ABC∽△FEC，可设BC=x，只需求出BC即可求出图中阴影部分的面积．
【详解】
如图所示：设BC＝x，则CE＝1﹣x，
∵AB∥EF，
∴△ABC∽△FEC
∴AB
EF
＝
BC
CE
，
∴1
2
＝
x
1x
解得x＝1
3
，
∴阴影部分面积为：S△ABC＝1
2
×
1
3
×1＝
1
6
，
故答案为：1
6
．
【点睛】
本题主要考查正方形的性质及三角形的相似，本题要充分利用正方形的特殊性质．利用比例的性质，直角三角形的性质等知识点的理解即可解答.
17．5
【解析】
【分析】
先确定外接圆的半径是AB ，圆心在AB 的中点，再计算AB 的长，由此求出外接圆的半径为5.
【详解】
∵在△ABC 中，∠C=90°，
∴△ABC 外接圆直径为斜边AB 、圆心是AB 的
解析：5
【解析】
【分析】
先确定外接圆的半径是AB ，圆心在AB 的中点，再计算AB 的长，由此求出外接圆的半径为5.
【详解】
∵在△ABC 中，∠C=90°，
∴△ABC 外接圆直径为斜边AB 、圆心是AB 的中点，
∵∠C=90°，AC=6，BC=8， ∴22226810AB AC BC ，
∴△ABC 外接圆半径为5.
故答案为：5.
【点睛】
此题考查勾股定理的运用、三角形外接圆的确定.根据圆周角定理，直角三角形的直角所对的边为直径，即可确定圆的位置及大小.
18．6
【解析】
【分析】
现将函数解析式配方得，即可得到答案.
【详解】
，
∴当t=1时，h 有最大值6.
故答案为：6.
【点睛】
此题考查最值问题，确定最值时需现将函数解析式配方为顶点式，再根据开 解析：6
【解析】
【分析】
现将函数解析式配方得2
21266(1)6h t
t t =--=+﹣，即可得到答案. 【详解】 221266(1)6h t t t =--=+﹣，
∴当t=1时，h 有最大值6.
故答案为：6.
【点睛】
此题考查最值问题，确定最值时需现将函数解析式配方为顶点式，再根据开口方向确定最值.
19．【解析】
【分析】
求方程的解即是求函数图象与x 轴的交点坐标，因为图像具有对称性，知道一个坐标，就可求出另一个,分析x 轴上方的图象可得结果.
【详解】
由图像可知，二次函数的对称轴x=2，图像与x
解析：15x -<<
【解析】
【分析】
求方程的解即是求函数图象与x 轴的交点坐标，因为图像具有对称性，知道一个坐标，就可求出另一个,分析x 轴上方的图象可得结果.
【详解】
由图像可知，二次函数的对称轴x=2，图像与x 轴的一个交点为5，所以，另一交点为2-3=-1. ∴x 1=-1,x 2=5. ∴不等式20ax bx c ++>的解集是15x -<<.
故答案为15x -<<
【点睛】
要了解二次函数性质与图像，由于图像的开口向下，所以，有两个交点，知一易求另一个，本题属于基础题.
20．【解析】
【分析】
直接利用概率公式计算．
【详解】
解：设袋中共有小球只，
根据题意得，解得x ＝10，
经检验，x=10是原方程的解，
所以袋中共有小球10只．
故答案为10．
【点睛】
此题主
解析：【解析】
【分析】
直接利用概率公式计算．
【详解】
解：设袋中共有小球只， 根据题意得
635
x =，解得x ＝10， 经检验，x=10是原方程的解，
所以袋中共有小球10只．
故答案为10．
【点睛】 此题主要考查概率公式，解题的关键是熟知概率公式的运用.
21．【解析】
【分析】
先根据解析式求出点A 、B 、C 的坐标，求出直线AC
的解析式，设点P 的坐标，根据过点P 作⊙B 的切线，切点是Q 得到PQ 的函数关系式，求出最小值即可.
【详解】
令中y=0，得x1=
【解析】
【分析】
先根据解析式求出点A 、B 、C 的坐标，求出直线AC 的解析式，设点P 的坐标，根据过点P 作⊙B 的切线，切点是Q 得到PQ 的函数关系式，求出最小值即可.
【详解】
令2111515
y x x =--中y=0，得x 1x 2
∴直线AC 的解析式为1y =-， 设P （x ，31x ）， ∵过点P 作⊙B 的切线，切点是Q ，BQ=1
∴PQ 2=PB 2-BQ 2，
2+（31x ）2-1， =24283753x x ， ∵43
a =0<，
∴PQ2有最小值
2
4283
475()
3326
4
4
3
，
∴PQ的最小值是26，
故答案为：26，
【点睛】
此题考查二次函数最小值的实际应用，求动线段的最小值，需构建关于此线段的函数解析式，利用二次函数顶点坐标公式求最值，此题找到线段PQ、BQ、PB之间的关系式是解题的关键.
22．（1，2）
【解析】
解：∵点A的坐标为（2，4），以原点O为位似中心，把这个三角形缩小为原来的，∴点A′的坐标是（2×，4×），即（1，2）．故答案为（1，2）．
解析：（1，2）
【解析】
解：∵点A的坐标为（2，4），以原点O为位似中心，把这个三角形缩小为原来的1
2
，∴
点A′的坐标是（2×1
2
，4×1
2
），即（1，2）．故答案为（1，2）．
23．-4
【解析】
【分析】
根据根与系数的关系即可求解．
【详解】
∵x1、x2 是关于 x 的方程 x2+4x5＝0的两个根，∴x1 x2＝-=-4，
故答案为：-4．
【点睛】
此题主要考
解析：-4
【解析】
【分析】
根据根与系数的关系即可求解．
【详解】
∵x1、x2是关于 x 的方程 x2+4x-5＝0的两个根，
∴x1+ x2＝-4
1
=-4，
故答案为：-4．【点睛】
此题主要考查根与系数的关系，解题的关键是熟知x1 x2＝-b
a
．
24．【解析】
【分析】
设AB＝x，则AD＝8﹣x，由勾股定理可得BD2＝x2+(8﹣x)2，由二次函数的性质可求出AB＝AD＝4时，BD的值最小，根据条件可知A，B，C，D四点在以BD 为直径的圆上．
解析：42
【解析】
【分析】
设AB＝x，则AD＝8﹣x，由勾股定理可得BD2＝x2+(8﹣x)2，由二次函数的性质可求出AB＝AD＝4时，BD的值最小，根据条件可知A，B，C，D四点在以BD为直径的圆上．则AC为直径时最长，则最大值为42．
【详解】
解：设AB＝x，则AD＝8﹣x，
∵∠BAD＝∠BCD＝90°，
∴BD2＝x2+(8﹣x)2＝2(x﹣4)2+32．
∴当x＝4时，BD取得最小值为42．
∵A，B，C，D四点在以BD为直径的圆上．如图，
∴AC为直径时取得最大值．
AC的最大值为2．
故答案为：2．
【点睛】
本题考查了四边形的对角线问题，掌握勾股定理和圆内接四边形的性质是解题的关键．三、解答题
25．（1）x1=-1，x2=4；（2）原式=1 2
【解析】【分析】
（1）按十字相乘的一般步骤，求方程的解即可；
（2）把函数值直接代入，求出结果
【详解】
解：（1）234x x -=
(x+1)(x-4)=0
∴x 1=-1，x 2=4；
（2）原式2(
)2=12
【点睛】
本题考查了因式分解法解一元二次过程、特殊角的三角函数值及实数的运算，解决（1）的关键是掌握十字相乘的一般步骤；解决（2）的关键是记住特殊角的三角函数值．
26．（1）①2QPB AQP ∠=∠；②1.5；（2）①5；②
53、255，35630、5. 【解析】
【分析】
（1）①根据直径所对的圆周角是直角判断△APQ 为等腰三角形，结合等腰三角形的两底角相等和圆周角定理证明；②证明△PBQ ∽△QBA ，由对应边成比例求解； （2）①画出图形，由勾股定理列方程求解；②分
O 与矩形ABCD 的四边分别相切，画
出图形，利用切线性质，由勾股定理列方程求解.
【详解】
解：（1）①如图，PQ 是直径，E 在圆上，
∴∠PEQ=90°，
∴PE ⊥AQ,
∵AE=EQ,
∴PA=PQ,
∴∠PAQ=∠PQA,
∴∠QPB=∠PAQ+∠PQA=2∠AQP ,
∵∠QPB=2∠AQP .
\
②解：如图，∵BE=BQ=3，
∴∠BEQ=∠BQE,
∵∠BEQ=∠BPQ,
∵∠PBQ=∠QBA,
∴△PBQ∽△QBA,
∴BP BQ BQ BA
,
∴
3 36 BP
,
∴BP=1.5;
（2）①如图， BP=3，BQ=1，设半径OP=r,
在Rt△OPB中，根据勾股定理得，PB2+OB2=OP2∴32+(r-1)2=r2，
∴r=5,
∴O的半径是5.
②如图，O与矩形ABCD的一边相切有
4种情况，
如图1，当O与矩形ABCD边BC相切于点Q，过O作OK⊥AB于K,则四边形OKBQ为矩形，
设OP=OQ=r,则PK=3x,
由勾股定理得，r2=12+(3-r)2,
解得，r=5 3 ,
∴O半径为5 3 .
如图2，当O与矩形ABCD边AD相切于点N，延长NO交BC于L,则OL⊥BC,过P作PS⊥NL于S，
设OS=x，则ON=OP=OQ=3+x，设PS=BL=y,
由勾股定理得，
222
222
3
331
x x y
x x y
，
解得
1
25 2
x（舍去），
2
25 2
x，
∴ON=
25 5,
∴O半径为
25 5.
如图3，当O与矩形ABCD边CD相切于点M，延长MO交AB于R,则OR⊥AB,过O作
OH ⊥BC 于H ，
设OH=BR=x ，设HQ=y, 则OM=OP=OQ=4-1-y=3-y ，
由勾股定理得，
2222223331y x y y x y ， 解得163032x （舍去），263032x ，
∴OM=35630,
∴O 半径为35630. 如图4，当
O 与矩形ABCD 边AB 相切于点P ，过O 作OG ⊥BC 于G,则四边形AFCG 为矩形，
设OF=CG=x ，，则OP=OQ=x+4,
由勾股定理得(x+4)2=32+(x+3)2,
解得，x=1,
∴OP=5,
∴O 半径为5.
综上所述，若
O 与矩形ABCD 的一边相切，为O 的半径53，2553，35630，5.
【点睛】
本题考查圆的相关性质，涉及圆周角定理，垂径定理，切线的性质等，综合性较强，利用分类思想画出对应图形，化繁为简是解答此题的关键.
27．（1）见解析；（2）
O 的半径为4. 【解析】
【分析】
(1) 连接OE ，利用AB=BC 得出A C ∠=∠，根据OE=OC 得出，OEC C ∠=∠，从而求出OE AB ，再结合EG AB ⊥即可证明结论；
(2)先利用勾股定理求出BF 的长，再利用相似三角形的性质对应线段比例相等求解即可.
【详解】
解：(1)证明：连接OE .
∵AB BC =∴A C ∠=∠
∵OE OC =∴OEC C ∠=∠
∴A OEC ∠=∠∴OE
AB ∵BA GE ⊥，∴OE EG ⊥，且OE 为半径 ∴EG 是O 的切线
(2)∵BF GE ⊥∴90BFG ∠=︒ ∵23GF =4GB =∴222BF BG GF =
-=
∵BF OE ∥∴BGF OGE ∆∆∽ ∴
BF BG OE OG =∴244OE OE
=+ ∴4OE =即O 的半径为4. 【点睛】
本题考查的知识点是切线的判定与相似三角形的性质，根据题目作出辅助线，数形结合是解题的关键.
28．（1）24233y x x =--+，13x <- 或21>x ；（2）P 35,22⎛⎫- ⎪⎝⎭
；（3）1234(5,0),(1,0),(27,0),(27,0)--Q Q Q Q
【解析】
【分析】
（1）将点A （﹣3，0），B （1，0）带入y ＝ax 2＋bx ＋2得到二元一次方程组，解得即可得出函数解析式；又从图像可以看出x 满足什么值时 y ﹤0；
（2）设出P 点坐标224233m m m ⎛
⎫--+ ⎪⎝⎭
，，利用割补法将△ACP 面积转化为PAC PAO PCO ACO S S S S =+-，带入各个三角形面积算法可得出PAC S 与m 之间的函数
关系，分析即可得出面积的最大值；
（3）分两种情况讨论，一种是CM 平行于x 轴，另一种是CM 不平行于x 轴，画出点Q 大概位置，利用平行四边形性质即可得出关于点Q 坐标的方程，解出即可得到Q 点坐标.
【详解】
解：（1）将A （﹣3，0），B （1，0）两点带入y ＝ax 2＋bx ＋2可得：
093202a b a b =-+⎧⎨=++⎩ 解得：2343a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩
∴二次函数解析式为24233y x x =--+. 由图像可知，当x 3<-或x 1>时y ﹤0； 综上：二次函数解析式为24233
y x x =--+，当x 3<-或x 1>时y ﹤0； （2）设点P 坐标为224233m m m ⎛⎫--+ ⎪⎝⎭，
，如图连接PO ，作PM ⊥x 轴于M ，PN ⊥y 轴于N.
PM=224233
m m --+，PN=m -，AO=3. 当x 0=时，24y 002233
=-⨯-⨯+=，所以OC=2 111222PAC PAO PCO ACO S
S S S AO PM CO PN AO CO =+-=+- ()221241132232323322
m m m m m ⎛⎫=⨯--++⨯--⨯⨯=-- ⎪⎝⎭， ∵a 10=-<
∴函数23PAC S
m m =--有最大值， 当()33m 212-=-=-⨯-时，PAC S 有最大值，
此时35P ,22⎛⎫- ⎪⎝⎭
； 所以存在点35P ,22⎛⎫-
⎪⎝⎭，使△ACP 面积最大. （3）存在，1234(5,0),(1,0),(27,0),(27,0)--Q Q Q Q
假设存在点Q 使以 A 、C 、M 、Q 为顶点的四边形是平行四边形
①若CM 平行于x 轴，如下图，有符合要求的两个点12Q Q 、，此时1Q A =2.Q A CM =
∵CM ∥x 轴，
∴点M 、点C （0,2）关于对称轴x 1=-对称，
∴M （﹣2,2），
∴CM=2.
由1Q A =22Q A CM ==，得到12(5,0),(1,0)--Q Q ；
②若CM 不平行于x 轴，如下图，过点M 作MG ⊥x 轴于点G ，
易证△MGQ ≌△COA ，得QG=OA=3，MG=OC=2，即2M y =-.
设M （x ，﹣2），则有242=233
--+-x x ，解得：x 17=- 又QG=3,∴327Q G x x =+= ∴34(27,0),(27,0)Q Q
综上所述，存在点P 使以 A 、C 、M 、Q 为顶点的四边形是平行四边形，
Q 点坐标为：
1234(5,0),(1,0),(27,0),(27,0)--Q Q Q Q .
【点睛】
本题考查二次函数与几何综合题目，涉及到用待定系数法求二次函数解析式，通过函数图像得出关于二次函数不等式的解集，平面直角坐标系中三角形面积的计算通常利用割补法，并且将所要求得点的坐标设出来，得出相关方程；在解答（3）的时候注意先画出大概图像再利用平行四边形性质进行计算和分析.
29．（1）50，72；（2）作图见解析；（3）90．
【解析】
【分析】
（1）用A 类学生的人数除以A 类学生的人数所占的百分比即可得到抽查的学生数，从而
可以求得样本容量，由扇形统计图可以求得扇形圆心角的度数；
（2）根据统计图可以求得C类学生数和C类与D类所占的百分比，从而可以将统计图补充完整；
（3）用该校九年级男生的人数乘以该校九年级男生“引体向上”项目成绩为C类的的学生所占得百分比即可得答案．
【详解】
（1）由题意可得，
抽取的学生数为：10÷20%=50，
扇形统计图中A类所对的圆心角是：360°×20%=72°，
（2）C类学生数为：50﹣10﹣22﹣3=15，
C类占抽取样本的百分比为：15÷50×100%=30%，
D类占抽取样本的百分比为：3÷50×100%=6%，
补全的统计图如所示，
（3）300×30%=90（名）
即该校九年级男生“引体向上”项目成绩为C类的有90名．
【点睛】
本题考查的是条形统计图的综合运用．读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据．
30．（1）45；（2）25°；（351
【解析】
【分析】
（1）利用同弦所对的圆周角是所对圆心角的一半求解．
（2）由A、B、C、D共圆，得出∠BDC＝∠BAC，
（3）根据正方形的性质可得AB＝AD＝CD，∠BAD＝∠CDA，∠ADG＝∠CDG，然后利用“边角边”证明△ABE和△DCF全等，根据全等三角形对应角相等可得∠1＝∠2，利用“SAS”证明△ADG和△CDG全等，根据全等三角形对应角相等可得∠2＝∠3，从而得到∠1＝∠3，然后求出∠AHB＝90°，取AB的中点O，连接OH、OD，根据直角三角形斜边
上的中线等于斜边的一半可得OH＝1
2
AB＝1，利用勾股定理列式求出OD，然后根据三角
形的三边关系可知当O、D、H三点共线时，DH的长度最小．【详解】
（1）如图1，∵AB＝AC，AD＝AC，
∴以点A为圆心，点B、C、D必在⊙A上，
∵∠BAC是⊙A的圆心角，而∠BDC是圆周角，
∴∠BDC＝
1
2
∠BAC＝45°，
故答案是：45；
（2）如图2，取BD的中点O，连接AO、CO．
∵∠BAD＝∠BCD＝90°，
∴点A、B、C、D共圆，
∴∠BDC＝∠BAC，
∵∠BDC＝25°，
∴∠BAC＝25°；
（3）在正方形ABCD中，AB＝AD＝CD，∠BAD＝∠CDA，∠ADG＝∠CDG，在△ABE和△DCF中，
AB CD
BAD CDA
AE DF
⎧
⎪
∠∠
⎨
⎪
⎩
＝
＝
＝
，
∴△ABE≌△DCF（SAS），
∴∠1＝∠2，
在△ADG和△CDG中，
AD CD
ADG CDG
DG DG
⎧
⎪
∠∠
⎨
⎪
⎩
＝
＝
＝
，
∴△ADG≌△CDG（SAS），
∴∠2＝∠3，
∴∠1＝∠3，
∵∠BAH＋∠3＝∠BAD＝90°，∴∠1＋∠BAH＝90°，
∴∠AHB＝180°−90°＝90°，取AB的中点O，连接OH、OD，
则OH＝AO＝1
2
AB＝1，
在Rt△AOD中，OD2222
125
AO AD
++=
根据三角形的三边关系，OH＋DH＞OD，
∴当O、D、H三点共线时，DH的长度最小，
最小值＝OD−OH5．
【点睛】
本题主要考查了圆的综合题，需要掌握垂径定理、圆周角定理、等腰直角三角形的性质以及勾股定理等知识，难度偏大，解题时，注意辅助线的作法．
31．（1）乙平均数为8，方差为0.8；（2）乙．
【解析】
【分析】
（1）根据平均数、方差的计算公式计算即可；
（2）根据平均数相同时，方差越大，波动越大，成绩越不稳定；方差越小，波动越小，成绩越稳定进行解答．
【详解】
（1）乙进球的平均数为：（7+9+7+8+9）÷5=8，乙进球的方差为：1
5
[（7﹣8）2+（9﹣
8）2+（7﹣8）2+（8﹣8）2+（9﹣8）2]=0.8；
（2）∵二人的平均数相同，而S甲2=3.2，S乙2=0.8，∴S甲2＞S乙2，∴乙的波动较小，成绩更稳定，∴应选乙去参加定点投篮比赛．
【点睛】
本题考查了方差的定义：一般地设n个数据，x1，x2，…x n的平均数为x，则方差
S2
1
n
=[（x1x-）2+（x2x-）2+…+（x n x-）2]，它反映了一组数据的波动大小，方差越
大，波动性越大，反之也成立．也考查了平均数．
32．（1）A （-1，0），C （3，0）；（2）① E （-13
，0）；②原函数解析式为：2515522
y x x =-++． 【解析】
【分析】
(1)由二次函数的解析式可求出对称轴为x=1，过点P 作PE ⊥x 轴于点E,所以设A （-m ，0），C （3m ，0），结合对称轴即可求出结果；
(2) ①过点P 作PM ⊥x 轴于点M ，连接PE ，DE ，先证明△ABO △EPM 得到AO EM OB PM =，找出OE=a c
-，再根据A （-1，0）代入解析式得：3a+c=0，c=-3a ，即可求出OE 的长，则坐标即可找到；
②设PM 交BD 于点N ；根据点P （1，c-a ），BN ‖AC ，PM ⊥x 轴表示出PN=-a ，再由tan ∠BPM=
25
PN BN =求出a ，结合（1）知道c ，即可知道函数解析式． 【详解】
（1）∵二次函数为：22y ax ax c =-+(a<0)， ∴对称轴为2122b a x a a
-=-=-=， 过点P 作PM ⊥x 轴于点M ，
则M （1，0），M 为AC 中点，
又OA ：OC=1：3，
设A （-m ，0），C （3m ，0），
∴
2
31m m -+=， 解得：m=1， ∴A （-1，0），C （3，0），
（2）①做图如下：。