人教版九年级数学上册《构造辅助圆解决几何问题》PPT

E
D F
解：∵∠ABC =90°，
BE平分∠ABC，
B
C
∴∠ABE =45°.
∴∠ACE=∠ABE =45°.
三、利用“四点共圆”构造辅助圆
例3 如图，四边形ABCD为矩形,BE平分∠ABC, 交AD于点F,∠AEC =90°.
(1)A、B、C、E四点共圆吗？
(2)求∠ACE的度数；
(3)求证：BE⊥ED .
A
E
D F
证明：连接BD.
∵四边形ABCD是矩形，
∴A、B、C、D四点共圆，
B
C
并且BD是直径.
又∵A、B、C、E四点共圆，
∴A、B、C、D、E五点共圆.
∴∠BED为直角，即BE⊥ED.
三例、3 利如用图“，四四点边共形圆A”BC构D造为辅矩助形圆,BE平分∠ABC, 交AD于点F,∠AEC =90°.
纵观例题及其变式，其共同之处都存在着同一个结 构，如图所示，即共端点的三条等线段，它让我们联想到 “所有到定点的距离等于定长的点都在以定点为圆心、定 长为半径的同一个圆上”
建立模型：遇等线（共端点），作辅圆
拓展训练
1. 在平面直角坐标系xoy中，已知点A（-2,0），B(0,3)， 在坐标轴上找一点P，使得△ABP是等腰三角形，则这样的点共 有 ８ 个．
一、利用圆的定义来构造辅助圆
变式：（2019江西九江模拟） 如图，已知AB＝AC＝AD， ∠CBD＝2∠BDC68° B.88° C.90° D.112°
解题策略： 利用圆的定义构造圆 （圆可以看成是所有到定点的距离等于定长的点的集合）
一、利用圆的定义来构造辅助圆
通过构造辅助圆，巧妙地将线段的最值问
题转化为圆外一点与圆上的点的最大距离与最
小距离问题，实质是利用90°的圆周角所对弦
是直径，巧妙构造圆后求线段最值.
建立模型：由直角（三角形），作辅圆
三、利用“四点共圆”构造辅助圆
A
A
B
D
O
C
在⊙O中，四边形ABCD 是圆内接四边形，则 ∠A+∠C=180°， ∠ABC+∠ADC=180°
理由如下：
D F
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=90°.
B
C
又∵∠AEC=90°，
∴∠ABC+∠AEC=180°.
∴A、B、C、D四点共圆.
三、利用“四点共圆”构造辅助圆
例3 如图，四边形ABCD为矩形,BE平分∠ABC,
交AD于点F,∠AEC =90°.
(1)A、B、C、E四点共圆吗？
(2)求∠ACE的度数； A
（3）当四边形中出现对角互补时，利用四点共圆 构造辅助圆.
2.数学思想：
建模 转化
分类讨论
感悟小结
近几年来,中考数学试卷中出现一类隐藏圆背景的数 学问题, 从表面上看，似乎与圆无关，但如果我们能深入 挖掘题目中的隐含条件，善于联想所学定理，巧妙地构 造符合题意特征的辅助圆，再利用圆的有关性质来解决 问题，往往能起到化隐为显、化难为易的解题效果！ “隐圆模型”的题的关键突破口就在于能否看出这个 “隐藏的圆”.一旦“圆”形毕露，则答案手到擒来！ 那么构造辅助圆的方法还有哪些？
题 中 无圆 心 中 有 圆 “圆” 来 很 完 美
——构造辅助圆解决几何问题
四位同学正在做投圈游戏,他们呈“一”字型排开,这样 的队形对每个人公平吗?你认为他们应当排成什么样的队形?
理论依据：到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上
题中无圆心中有圆 “圆” 来 很 完 美
——构造辅助圆解决几何问题
(1)A、B、C、E四点共圆吗？
(2)求∠ACE的度数;
E
(3)求证：BE⊥ED . 解题策略：
A
D
F
对角互补的四边形
B
C
四点共圆
再借助圆进行求解
建立模型：由（四边形对角）互补，作辅圆
感悟小结
1．数学方法：构造辅助圆
（1）当遇有公共端点的等线段时，（或需找共端 点等线段时）通常以公共端点为圆心，等线段长 为半径，构造辅助圆. （2）当遇有直角三角形时，通常以斜边为直径， 利用90°的圆周角所对弦是直径构造辅助圆.
B(0,3)，在坐标轴上找一点P，使得△ABP是等腰三角形，则这
样的点7 共有
个．
拓展训练
变式2.在平面直角坐标系xoy中，已知点 A( 3, 0), B(0,3)
在坐标轴上找一点P，使得△ABP是等腰三角形，则这样的点共 有 6 个．
建立模型：找等线（共端点），作辅圆
二、利用90°的圆周角所对弦是直径构造辅助圆
解题策略：
当需确定等腰三角形的个数时， 即可以已知线段的一端点为圆心， 以线段长为半径构造辅圆。这正 是利用了我们的定义：到定点的 距离等于定长的点在同一个圆上。
在解决这类等腰三角形问题时，通常要分三种 情况讨论. 方法归纳：“两圆一线”
拓展训练
变式1.在平面直角坐标系xoy中，已知点A（-3,0），
一、利用圆的定义来构造辅助圆
D
O
C
O
C
A B
在⊙O中，OA=OB=OC=OD
理论依据：圆的定义，即：
A B
在四边形OABC中， 若OA=OB=OC，
则A、B、C三点在
以O为圆心OA为半径的圆上．
圆可以看成是所有到定点的距离等于定长的点的集合
一、利用圆的定义来构造辅助圆
例1：如图,在四边形ABCD中,AB=AC=AD,若∠BAC=25∘,∠CAD=75∘，则 ∠BDC=___度，∠DBC=___度。
定弦定角构造圆、圆幂定理构造圆等 ，待续……
C
A
B
O
C
A
B
O
在⊙O中，AB为直径，则AB 所对的圆周角∠C=90°．
若AB是固定线段，且总有 ∠ACB=90°，则点C在以 AB为直径的圆上．
理论依据：90°的圆周角所对弦是直径
例2：如图，矩形ABCG与矩形CDEF全等，点B、C、D在同一条直线上,AB=1,BC=3,
∠APE的顶点P在线段BD上移动,使∠APE为直角的点P的个数是(
B
D
O
C
若四边形ABCD中有 ∠A+∠C=180°， 则点A、B、C、D在 同一个圆上.
理论依据：对角互补的四边形的四个顶点在同一个圆上
三、利用“四点共圆”构造辅助圆
例3 如图，四边形ABCD为矩形,BE平分∠ABC,
交AD于点F,∠AEC =90°.
(1)A、B、C、E四点共圆吗？
E
解：A、B、C、E四点共圆. A
)
A．0
B .1
C．2
D．3
二、利用90°的圆周角所对弦是直径构造辅助圆
变试：（2016•安徽）如图，Rt△ABC中，AB⊥BC，AB=6，
BC=4，P是△ABC内部的一个动点，且满足∠PAB=∠PBC，
则线段CP长的最小值为（ B ）
3 A． 2
8 13 B．2 C． 13
解题策略
12 13 D． 13