高考数学一轮复习 第3章 三角函数、解三角形 第5讲 简单的三角恒等变换课件

－α＝
22(cosα＋sinα)＝35⇒cosα＋sinα＝
35 2⇒1＋sin2α＝1285，∴sin2α＝－275.故选 D.
12/11/2021
(2)[2017·全国卷Ⅰ]已知 α∈0，π2，tanα＝2，则 cosα－π4
3 10 ＝___1_0____.
解析 cosα－π4＝cosαcosπ4＋sinαsinπ4
＝2sin80°－sin40°＝2sin100°－sin40°
cos40°
cos40°
＝2sin60°＋40°－sin40° cos40°
2× ＝
23cos40°＋2×12sin40°－sin40°
cos40°
＝ 3.
12/11/2021
触类旁通 三角函数式化简的常用方法
(1)异角化同角：善于发现角之间的差别与联系，合理 对角拆分，恰当选择三角公式，能求值的求出值，减少角的 个数．
12/11/2021
(2)已知 α，β∈(0，π)，且 tan(α－β)＝12，tanβ＝－17，求
2α－β 的值．
解
∵
tanα
＝
tan[(α
－
β)
＋
β]
＝
tanα－β＋tanβ 1－tanα－βtanβ
＝
1＋12－12×71 71＝13>0，∴0<α<π2.
又∵tan2α＝1－2tatannα2α＝12－×31132＝34>0，
0<β<α<π2，求
β.
解 ∵0<β<α<π2，∴0<α－β<π2. 又∵cos(α－β)＝1134， ∴sin(α－β)＝ 1－cos2α－β＝3143.
12/11/2021
∵cosα＝17，0<α<π2，∴sinα＝47 3， ∴cosβ＝cos[α－(α－β)]＝cosαcos(α－β)＋sinαsin(α－β) ＝17×1143＋47 3×3143＝12. ∵0<β<π2，∴β＝π3.
核心规律 重视三角函数的“三变”：“三变”是指“变角、变名、 变式”；变角：对角的拆分要尽可能化成同名、同角、特殊 角；变名：尽可能减少函数名称；变式：对式子变形一般要 尽可能有理化、整式化、降低次数等．在解决求值、化简、 证明问题时，一般是观察角度、函数名、所求(或所证明)问 题的整体形式中的差异，再选择适当的三角公式恒等变形．
12/11/2021
4．[2018·山西四校联考]已知 sinπ2＋α＝12，－π2＜α＜0，
则 cosα－π3的值是(
)
A.12 B.23 C．－12 D．1
解析 由已知得 cosα＝12，sinα＝－ 23，cosα－π3＝12 cosα＋ 23sinα＝－12.
12/11/2021
5．[2017·江苏高考]若
12/11/2021
满分策略 1.运用公式时要注意审查公式成立的条件，要注意和、 差、倍角的相对性，要注意升次、降次的灵活运用，要注意 “1”的各种变通． 2.三角变换的应用主要是将三角变换与三角函数的性 质相结合，通过变换把函数化为最简形式 y＝Asin(ωx＋φ) 再研究性质，解题时注意观察角、名、结构等特征，注意利 用整体思想解决相关问题.
(2)异名化同名：统一三角函数名称，利用诱导公式切 弦互化、二倍角公式等实现名称的统一．
(3)异次化同次：统一三角函数的次数，一般利用降幂 公式化高次为低次．
12/11/2021
【变式训练 1】 (1)[2018·九江模拟]化简cosisn1203°5c°o－s8120°
等于( )
A．－2 B．－12 C．－1 D．1
12/11/2021
(4)二倍角的正弦、余弦、正切公式的适用范围是任意 角．( × )
(5)存在角 α，使得 sin2α＝2sinα 成立．( √ )
12/11/2021
2．[2018·江西九江模拟]计算 sin1π2－ 3cos1π2的值为 ()
A．0 B．－ 2 C．2 D. 2
解析
sin
π 12
12/11/2021
①利用三角恒等变换及辅助角公式把三角函数关系式 化成 y＝Asin(ωx＋φ)＋t 或 y＝Acos(ωx＋φ)＋t 的形式；
②利用公式 T＝2ωπ(ω>0)求周期； ③根据自变量的范围确定 ωx＋φ 的范围，根据相应的 正弦曲线或余弦曲线求值域或最值； ④根据正、余弦函数的单调区间列不等式求函数 y＝ Asin(ωx＋φ)＋t 或 y＝Acos(ωx＋φ)＋t 的单调区间．
＝sin20°＋2sin40°＝sin30°－10°＋2sin30°＋10°
cos20°
cos20°
＝32cos10°＋
3
2
sin10° ＝
3
23cos10°＋12sin10°
cos20°
cos20°
＝ 3cosco3s02°0－°10°＝ 3.
12/11/2021
考向 三角函数的条件求值
命题角度 1 给值求值问题
3．公式变形：tanα±tanβ＝tan(α±β)(1∓tanα·tanβ)．
4．辅助角公式：asinx＋bcosx＝ a2＋b2sin(x＋φ)，
其中 sinφ＝
a2b＋b2，cosφ＝
a a2＋b2 .
12/11/2021
[考点自测] 1．判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打 “×”) (1)两角和与差的正弦、余弦公式中的角 α，β 是任意 的．( √ ) (2)存在实数 α，β，使等式 sin(α＋β)＝sinα＋sinβ 成 立．( √ ) (3)在锐角△ABC 中，sinAsinB 和 cosAcosB 大小不确 定．( × )
12/11/2021
【变式训练 2】 ∈R.
已知函数 f(x)＝cos2x＋cos2x－π6，x
(1)求 f(x)的最小正周期；
(2)求 f(x)在－π3，π4上的最大值和最小值．
12/11/2021
解 (1)f(x)＝cos2x＋cos2x－π6
＝1＋cos2x＋1＋cos2x－π3
2
2
＝ 43sin2x＋34cos2x＋1
考向 三角恒等变换的综合应用 例 4 [2017·浙江高考]已知函数 f(x)＝sin2x－cos2x－
2 3sinxcosx(x∈R)． (1)求 f23π的值； (2)求 f(x)的最小正周期及单调递增区间． 解 (1)由 sin23π＝ 23，cos23π＝－12， 得 f23π＝ 232－－212－2 3× 23×－12， 所以 f23π＝2.
12/11/2021
触类旁通 三角恒等变换在三角函数图象和性质中的应用
(1)图象变换问题 先根据两角和差公式、倍角公式把函数表达式变换为正 弦型函数 y＝Asin(ωx＋φ)＋t 或余弦型函数 y＝Acos(ωx＋φ) ＋t 的形式，再进行图象变换． (2)函数性质问题 求函数周期、最值、单调区间的方法步骤：
12/11/2021
∴0<2α<π2， ∴tan(2α－β)＝1t＋ an2taαn－2αtatannββ＝1－34＋34×71 71＝1. ∵tanβ＝－17<0，∴π2<β<π，－π<2α－β<0， ∴2α－β＝－34π.
12/11/2021
触类旁通 三角函数的条件求值技巧
(1)给值求值问题一般是正用公式将所求 “复角 ”展 开，看需要求相关角的哪些三角函数值，然后根据角的范围 求出相应角的三角函数值，代入展开式即可．
tanα－π4＝16，则
7 tanα＝____5____.
解析
解法一：∵tanα－π4＝1ta＋nαta－nαtatannπ4π4
＝t1a＋nαt－an1α＝16，
∴6tanα－6＝1＋tanα(tanα≠－1)，∴tanα＝75.
12/11/2021
解法二：tanα＝tanα－π4＋4π ＝1ta－ntαa－nαπ4－＋π4ttaannπ4π4＝1－16＋16×1 1＝75.
＝ 3ssiinn1100°°c－osc1o0s°10°＝2sin110°－30°＝－12sin20°＝－4.
2sin20°
2sin20°
12/11/2021
(2)4cos50°－tan40°＝( )
A. 2
2＋ 3 B. 2
C. 3
D．2 2－1
12/11/2021
解析 4cos50°－tan40°＝4sin40°ccooss4400°°－sin40°
12/11/2021
板块二 典例探究·考向突破
12/11/2021
考向 三角函数的化简求值
例 1 (1)[2018·衡 水 中 学 二 调 ] cos130°－ sin1170°＝ ()
A．4 B．2 C．－2 D．－4
解析
3－ 1 ＝ 3－ 1
cos10° sin170° cos10° sin10°
＝ 23sin2x＋π3＋1， 则函数 f(x)的最小正周期 T＝22π＝π.
12/11/2021
(2)函数 f(x)在－π3，1π2上单调递增，在1π2，π4上单调递 减．
∵f－π3＝14，f1π2＝ 23＋1，fπ4＝1＋ 43， ∴f(x)min＝14，f(x)max＝ 23＋1.
12/11/2021
二倍角的余弦 cos2α＝
cos2α－sin2α＝
1－2sin2α＝2cos2α－1
二倍角的正切 tan2α＝
2tanα 1－tan2α
12/11/2021
[必会结论]
1．降幂公式：cos2α＝1＋c2os2α，sin2α＝1－c2os2α.
2．升幂公式：1＋cos2α＝2cos2α，1－cos2α＝2sin2α.
例 2 (1)[2016·全国卷Ⅱ]若 cosπ4－α＝35，则 sin2α＝
()
7 A.25
1 B.5
C．－15
D．－275
解 析 解 法 一 ： sin2α ＝ cos π2－2α ＝ cos 2π4－α ＝
2cos2π4－α－1＝2×352－1＝－275.故选 D.
12/11/2021
解法二：cosπ4
12/11/2021
(2)由 cos2x＝cos2x－sin2x 与 sin2x＝2sinxcosx 得 f(x)＝－cos2x－ 3sin2x＝－2sin2x＋π6， 所以 f(x)的最小正周期是 π. 由正弦函数的性质得π2＋2kπ≤2x＋π6≤32π＋2kπ，k∈Z， 解得π6＋kπ≤x≤23π＋kπ，k∈Z， 所以 f(x)的单调递增区间是π6＋kπ，23π＋kπ(k∈Z)．
第3章 三角函数、解三角形
第5讲 简单的三角恒等变换
12/11/2021
12/11/2021
板块一 知识梳理·自主学习
12/11/2021
[必备知识] 考点 1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式
12/11/2021
考点 2 二倍角的正弦、余弦、正切公式
公式名
公式
二倍角的正弦 sin2α＝ 2sinαcosα
－
3
cos
π 12
＝
2
12sin1π2－
23cos1π2
＝
2sin1π2－π3＝2sin－π4＝－ 2.故选 B.
12/11/2021
3．[2017·山东高考]已知 cosx＝34，则 cos2x＝(
)
A．－14
1 B.4
C．－18
1 D.8
解析 cos2x＝2cos2x－1＝2×342－1＝18.故选 D.
12/11/2021
(2)通过求所求角的某种三角函数值来求角，关键点在 选取函数，常遵照以下原则：①已知正切函数值，选正切 函数；②已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数；若角 的范围是0，π2，选正、余弦皆可；若角的范围是(0，π)， 选余弦较好；若角的范围为－π2，π2，选正弦较好．
12/11/2021
＝ 22(cosα＋sinα)．
又由
α∈0，π2，tanα＝2，知
sinα＝2 55，cosα＝
5， 5
∴cosα－π4＝
22×
55＋2
5
5＝3
10 10 .
12/11/2021
命题角度 2 给值求角问题
例 3 (1)[2018·江苏徐州质检]已知 cosα＝17，cos(α－β)
＝13，且 14
12/11/2021
6．[2017·全国卷Ⅱ]函数 f(x)＝2cosx＋sinx 的最大值为 ____5____．
解析
f(x)＝2cosx＋sinx＝
52
5
5cosx＋
55sinx，
设
sinin(x＋α)，
∴函数 f(x)＝2cosx＋sinx 的最大值为 5.
解析
cosisn1203°5c°o－s8120°＝1c－os1c2o0s°7si0n°1－0°12＝－112cos70°＝－1. 2sin20°
12/11/2021
(2)计算：tan20°＋4sin20°＝____3____.
解析 原式＝csoins2200°°＋4sin20°＝sin20°＋c4ossi2n02°0°cos20°