四川省成都七中高二数学下学期开学考试试题 理 新人教A版

成都七中高2015届高二下期入学考试
数学试题(理)
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 若集合
{|2,}x
M y y x R ==∈，集合，{|lg(1)}S x y x ==-则下列各式中正确的是( ) A.M
S M = B.M S S = C.M S = D.M S =∅
2. 对四组数据进行统计，获得以下散点图，关于其相关系数比较，正确的是( )
相关系数为1r
相关系数为2r
相关系数为3r
相关系数为4
r
A.24310r r r r <<<<
B.42130r r r r <<<<
C.42310r r r r <<<<
D.2413
0r r r r <<<<
3. 已知m ，n 为异面直线，m ⊥平面α，n ⊥平面β，直线l 满足l ⊥m ，l ⊥n ，l ⊄α，l ⊄
β，则( )
A ．α∥β且l ∥α
B ．α⊥β且l ⊥β
C ．α与β相交，且交线垂直于l
D ．α与β相交，且交线平行于l 4. 阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的s 值等于( ) A.3- B.21- C.3 D.21
5. 球面上有三点A 、B 、
C 组成这个球的一个截面的内接三角形三个顶点，其中18=AB ，24=BC 、30=AC ，球心到这个截面的距离为球半径的一半，则球的表面积为( ) A.1200π B.1400π C.1600π D.1800π 6. 下列判断正确的是( )
A. 若命题p 为真命题，命题q 为假命题，则命题“p q ∧”为真命题
B.命题“若0xy =，则0x =”的否命题为“若0xy =，则0x ≠”
C. “1
sin 2
α=
”是” 6πα=”的充分不必要条件
D. .命题“,20x
x ∀∈>R ”的否定是“ 00,20x
x ∃∈≤R ”
7. 将函数y ＝3cos x ＋sin x(x ∈R)的图像向左平移m(m>0)个单位长度后，所得到的图
像关于y 轴对称，则m 的最小值是( )
A.π12
B.π6
C.π3
D.5π6 8. 设0x 是方程ln 4x x +=的解，则0x 属于区间( )
A.（0，1）
B.（1，2）
C.（2，3）
D.（3，4）
9. 已知x,y 满足2
420x x y x y c ≥⎧⎪
+≤⎨⎪-++≥⎩
且目标函数z=3x+y 的最小值是5，则z 的最大值是( )
A.10
B.12
C.14
D.16 10. 直线032=--y x 与圆()()2
2
239x y -++=交于E.F 两点，则∆EOF （O 是原点）
的面积为( ) A.
23 B.43 C.52 D.5
56 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共20分.
11. 已知向量a →,b →不共线，若向量a →+λb →与b →+λa →
的方向相反,则实数λ的值为 . 12. 在ABC ∆中,角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c,且满足sin cos a B b A =,
则
cos B C -的最大值是 .
13. 如果直线()21400,0ax by a b -+=>>和函数()()1
10,1x f x m
m m +=+>≠的图
象恒过同一个定点，且该定点始终落在圆()()2
2
1225x a y b -+++-=的内部或圆上，那么
b
a
的取值范围是______. 14. 如果不等式x a x x )1(42->-的解集为A ，且}20|{<<⊆x x A ，那么实数a 的取值范围是 . 15. 给出下列四个命题：
① 已知,,a b m 都是正数，且
a m a
b m b
+>+，则a b <； ② 若函数)1lg()(+=ax x f 的定义域是}1|{<x x ，则1-<a ；
③ 已知x ∈（0，π），则2
sin sin y x x
=+
的最小值为
④ 已知a 、b 、c 成等比数列，a 、x 、b 成等差数列，b 、y 、c 也成等差数列，则
y
c
x a +的值等于2;
⑤ 已知函数2
()1,()43x
f x e
g x x x =-=-+-,若有()()f a g b =,则b
的取值范围为
(2+.
其中正确命题的序号是________.
三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16. (本小题满分12分)
在参加市里主办的科技知识竞赛的学生中随机选取了40名学生的成绩作为样本，这40名学生的成绩全部在40分至100分之间，现将成绩按如下方式分成6组：第一组，成绩大于等于40分且小于50分；第二组，成绩大于等于50分且小于60分；……第六组，成绩大于等于90分且小于等于100分，据此绘制了如图所示的频率分布直方图.在选取的40名学生中， （1）求成绩在区间[80,90)内的学生人数；
（2）从成绩大于等于80分的学生中随机选2名学生，求至少有1名学生成绩在区间[90,100]内的概率.
17. (本小题满分12分)
设数列{a n }是公差大于零的等差数列，已知12a =，2
3210a a =-.
（1）求{a n }的通项公式；
（2）设数列{b n }是以函数f(x)=4sin 2
πx 的最小正周期为首项，以3为公比的等比数列，求
数列{a n ⋅b n }的前n 项和n S .
18. (本小题满分12分)
(1)设函数f(x)=(sin ωx+cos ωx)2
+2cos 2
ωx(ω>0)的最小正周期为23
π
,将y=f(x)的图像向右平移
2
π
个单位长度得到函数y=g(x)的图像,求y=g(x)的单调增区间． (2)设∆ABC 的内角A 、B 、C 的对边长分别为a 、b 、c ，3cos()cos 2
A C
B -+=，b 2
=ac ，求角B 的大小.
19. (本小题满分12分)
如图，建立平面直角坐标系xoy ，x 轴在地平面上，y 轴垂直于地平面，单位长度为1
千米.某炮位于坐标原点.已知炮弹发射后的轨迹在方程221
(1)(0)20
y kx k x k =-
+>表示的曲线上，其中k 与发射方向有关.炮的射程是指炮弹落地点的横坐标. （1）求炮的最大射程；
（2）设在第一象限有一飞行物（忽略其大小），其飞行高度为3.2千米，试问它的横坐标a 不
超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由.
20.
(本小题满分13分)
已知几何体A BCED -的三视图如图所示，其中俯视图和侧视图都是腰长为4的等腰直角三角形，正视图为直角梯形．
（1）求异面直线DE 与AB 所成角的余弦值； （2）求二面角A ED B --的正弦值.
21. (本小题满分14分)
已知圆C ：x 2＋y 2
－2x ＋4y －4＝0．问在圆C 上是否存在两点A 、B 关于直线y ＝kx －1对称，且以AB 为直径的圆经过原点？若存在，写出直线AB 的方程；若不存在，说明理由．
成都七中高2015届高二下期入学考试
数学试题(理答案)
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.若集合，集合，
则下列各式中正确的是( )
A. B.
C. D.
解析：A 由题意得，，所以根据选项
可得，所以选A.
2.对四组数据进行统计，获得以下散点图，关于其相关系数比较，正确的是( )
相关系数为相关系数为
相关系数为相关系数为
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】由相关系数的定义以及散点图所表达的含义可知.
3.已知m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β，直线l满足l⊥m，l⊥n，lα，l
β，则( )
A．α∥β且l∥α B．α⊥β且l⊥β
C．α与β相交，且交线垂直于l D．α与β相交，且交线平行于l
【答案】D [解析] 若α∥β，则m∥n与m，n为异面直线矛盾，故A错．若α⊥β且l⊥β，则由n⊥平面β知l ∥n 与l ⊥n矛盾，故B错．若α与β相交，设垂直于交线的平面为γ，则l ⊥γ，又l ⊥m，l ⊥n，m⊥平面α，n⊥平面β，故交线平行于l.故选
D.
4.阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的值等于( )
A. B. C. D.
解析：A 程序执行循环六次，依次执行的是
，
，故输出值等
于
.
5. 球面上有三点
、
、组成这个球的一个截面的内接三角形三个顶点，其中
，
、
，球心到这个截面的距离为球半径的一半，则球的表
面积为( ) A.
B.
C. D.
解析：A ∵
，
，
，∴
，
是以
为
斜边的直角三角形．∴的外接圆的半径为，即截面圆的半径
，又球心到截
面的距离为，
∴，得．∴球的表面积为．
6. 下列判断正确的是( )
A. 若命题为真命题，命题为假命题，则命题“
”为真命题 B.命题“若
，则
”的否命题为“若
，则
”
C. “”是” ”的充分不必要条件
D. .命题“”的否定是“
”
【答案】D
【解析】A 项中，因为真假，所以为假命题.故A 项错误；B 项中，“若，
则”的否命题为“若，则”， 故B 项错误；C 项中，是
的必要不充分条件，故C 项错误；D 选项正确.
7. 将函数y ＝cos x ＋sin x(x ∈R)的图像向左平移m(m>0)个单位长度后，所得到的图像
关于y 轴对称，则m 的最小值是( )
A.12π
B.6π
C.3π
D.65π
【答案】B
[解析] 结合选项，将函数y ＝cos x ＋sin x ＝2sin 3π
的图像向左平移6π个单位得到y ＝2sin 2π
＝2cos x ，它的图像关于y 轴对称，选B. 8. 设
是方程
的解，则
属于区间（ ）
A.（0，1）
B.（1，2）
C.（2，3）
D.（3，4） 【答案】C 【解析】设
,因为
，
，所以
.所以
.
9. 已知x,y 满足且目标函数z=3x+y 的最小值是5，则z 的最大值是( ) A.
B.
C.
D.
解析：由
，则
，因为
的最小值为，所以，
作出不等式对应的可行域，由图象可知当直线经过点
时，直线的截距最小，
所以直线的直线方程为，由，解得，代入直线
得
即直线方程为
，平移直线
，当直线
经过点时，直线的截距最大，此时有最大值，由，得
，即
,代入直线
得。

10. 直线
与圆
交于E.F 两点，则
EOF （O 是原点）
的面积为( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】因为圆心到直线的距离为，则
，又原点
到直线
的距离为
，所以.
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共20分.
11. 已知向量→a ,→b 不共线，若向量→a +→b 与→b +→a
的方向相反,则实数
的值
为 .
解析：
由
与
的方向相反得，
，
，则
,
，即
，
，此时
与
的方向相反.
12. 在
中,角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c,且满足
,则
的最大值是 .
【答案】1
【解析】由，得，又由正弦定理，得，所以
.又，所以.又，所以.故
.则.所以
.故当
时，
取得最大值1.
13. 如果直线
和函数
的图
象恒过同一个定点，且该定点始终落在圆
的内部或圆
上，那么的取值范围是______.
【答案】
【解析】根据指数函数的性质，可知函数
恒过定点.将点代
入，可得. 由于点始终落在所
给圆的内部或圆上，所以. 由解得
或，这说明点在以和为端点的线段上运动，所以的取值范围是.
14.如果不等式的解集为，且，那么实数a的
取值范围是 .
【答案】
【解析】函数y=的图象是一个半圆，如图，可知需满足，解得a>2.
15.给出下列四个命题：
①已知都是正数，且，则；
②若函数的定义域是，则；
③已知x∈（0，π），则的最小值为；
④已知a、b、c成等比数列，a、x、b成等差数列，b、y、c也成等差数列，则的
值等于2;
⑤已知函数,若有,则的取值范围为
.
其中正确命题的序号是________.
【答案】①④⑤
【解析】对于①，由，得，又都是正数，所以，即.故①正确；对于②，令，此时函数的定义域是
，不是，故②错误；对于③，设，则，因为在区间上单调递减，所以的最小值是，即
的最小值为3，故③错误；对于④，由题
意，，所以
.故④正确;对于⑤，由题意，
,若有,则，解得
.故⑤正确.
三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
16.(本小题满分12分)在参加市里主办的科技知识竞赛的学生中随机选取了40名学生的
成绩作为样本，这40名学生的成绩全部在40分至100分之间，现将成绩按如下方式分成6组：第一组，成绩大于等于40分且小于50分；第二组，成绩大于等于50分且小于60分；……第六组，成绩大于等于90分且小于等于100分，据此绘制了如图所示的频率分布直方图.在选取的40名学生中，
（1）求成绩在区间内的学生人数；
（2）从成绩大于等于80分的学生中随机选2名学生，求至少有1名学生成绩在区间
内的概率.
解析：（1）因为各组的频率之和为，所以成绩在区间的频率为
，（3分）
所以，名学生中成绩在区间的学生人数为（人）.（5分）
（2）设表示事件“在成绩大于等于分的学生中随机选两名学生，至少有一名学生成绩在区间内”，由已知和（1）的结果可知成绩在区间内的学生有4人，记这四个人分别为，成绩在区间内的学生有人，（7分）
记这两个人分别为，则选取学生的所有可能结果为：
，
基本事件数为15，（9分）
事件“至少一人成绩在区间之间”的可能结果为：
，基本事件数为9，（11分）所以. （12分）
17.(本小题满分12分)设数列{a n}是公差大于零的等差数列，已知，. （1）求{a n}的通项公式；
（2）设数列{b n}是以函数f(x)=4sin2x的最小正周期为首项，以为公比的等比数列，求数列{a n b n}的前n项和.
解析：（1）设的公差为，则，解得或（舍）.（5分）
所以.（6分）
（2）因为，
其最小正周期为，故首项为.（7分）
因为公比为，从而，所以，（8分）
故.（12分）
18.(本小题满分12分)(1)设函数f(x)=(sin x+cos x)2+2cos2x(>0)的最小正周期为
,将y=f(x)的图像向右平移个单位长度得到函数y=g(x)的图像,求y=g(x)的单调增区间．
(2)设ABC的内角A、B、C的对边长分别为a、b、c，，b2=ac，求
角B的大小.
解析：（1）
依题意得，故=,
由，解得
故的单调增区间为: .
(2)由及得，
，所以.
又由，利用正弦定理进行边角互化，得，故.
所以或（舍去）.于是或，又由知或
，所以.
19.(本小题满分12分)如图，建立平面直角坐标系，轴在地平面上，轴垂直于地平
面，单位长度为1千米.某炮位于坐标原点.已知炮弹发射后的轨迹在方程
表示的曲线上，其中与发射方向有关.炮的射程是指炮弹
落地点的横坐标.
（1）求炮的最大射程；
（2）设在第一象限有一飞行物（忽
略其大小），其飞行高度为3.2千米，
试问它的横坐标不超过多少时，
炮弹可以击中它？请说明理由.
【解】（1）令y ＝0，得kx －201(1＋k 2)x 2
＝0，
由实际意义和题设条件知x>0，k>0，故x ＝1＋k220k ＝k 1≤220
＝10，当且仅当k ＝1时取等号. 所以炮的最大射程为10 km.
（2）因为a>0，所以炮弹可击中目标⇔存在k>0，使3.2＝ka －201(1＋k 2)a 2
成立 ⇔关于k 的方程a 2k 2
－20ak ＋a 2
＋64＝0有正根
⇔判别式Δ＝(－20a)2－4a 2(a 2
＋64)≥0 ⇔a ≤6.
所以当a 不超过6 km 时，可击中目
标.
20. (本小题满分13分)已知几何体
的三视图如图所
示，其中俯视图和侧视图都是腰长为4的等腰直角三角形，正视图为直角梯形． （1）求异面直线与
所成角
的余弦值； （2）求二面角的正弦值. 解析：解法一 （1）取的中点是
，连接，则
，
∴
或其补角即为异面直线与
所成的角．（2分）
在中，，．∴．（4分）
∴异面直线与所成的角的余弦值为
．（6分） （2）因为平面
，过
作
交
于
，连接
．
可得平面
，从而
，
∴
为二面角的平面角． （8分）
在中，，，，
∴．∴．∴二面角的的正弦值为．（13
分） 解法二（1）以为原点，以所在直线为轴建立空间直角坐标系．
则
，（2分）
，，∴，（5分）
∴异面直线与所成的角的余弦值为．（6分） （2）平面的一个法向量为
，设平面
的一个法向量为
，
所以
，
，（8分）
则
， ∴，从而，，（10
分）
令，则，，∴二面角的的正弦值为． （13
分）
21. (本小题满分14分)已知圆C ：x 2＋y 2
－2x ＋4y －4＝0．问在圆C 上是否存在两点A 、B
关于直线y ＝kx －1对称，且以AB 为直径的圆经过原点？若存在，写出直线AB 的方程；若不存在，说明理由．
解析:圆C 的方程可化为(x －1)2＋(y ＋2)2
＝9，圆心为C(1，－2)．假设在圆C 上存在两点A 、B 满足条件，则圆心C(1，－2)在直线y ＝kx －1上，即k ＝－1． [3分]
于是可知，k AB =1．
设l AB ：y=x+b ，代入圆C 的方程，整理得2x 2+2(b+1)x+b 2
+4b-4=0，
则Δ=4(b+1)2-8(b 2+4b-4)>0，即b 2
+6b-9<0．
解得-3-3<b<-3+3． [8分] 设点A 、B 的坐标分别为A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，
则x 1＋x 2＝－b －1，x 1x 2＝21b 2
＋2b －2．
由题意知OA ⊥OB ，则有x 1x 2＋y 1y 2＝0， 也就是x 1x 2＋(x 1＋b)(x 2＋b)＝0．
∴2x 1x 2＋b(x 1＋x 2)＋b 2
＝0． [12分]
∴b 2＋4b －4－b 2－b ＋b 2＝0，化简得b 2
＋3b －4＝0． 解得b ＝－4或b ＝1，均满足Δ>0，
即直线AB 的方程为x －y －4＝0，或x －y ＋1＝0． [14分]。