人大附分班考试班 第三讲 数论 学生版

生活就像海洋，只有意志坚强的人，才能到达彼岸。

——马克思
小学阶段的数论知识包括数的整除、奇偶性、质数合数、约数倍数、同余问题、完全平方数等，这些知识也是初中数论的重点，分班考试的命题则在于考查这些知识的基本性质及其应用。

1.
两个整数相加时，和是一个两位数，且两个数字相同；相乘时，积是一个三位数，且三个数字相同。

请写出所有满足上述条件的两个整数。

2. 一个五位数是54的倍数，并且它的各位数字都不为0。

删去它的一位数字后所得的四位数仍是
54的倍数.再删去该四位数的一位数字后所得的三位数还是54的倍数，再删去该三位数的一位数字后所得的两位数还是54的倍数，试求原五位数。

3.
已知
2006120062111222N =⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 个个，试将N 表示为4个大于1的自然数之积。

4.
一队少年儿童不超过50人，围成一圈作游戏．每个儿童的左右相邻都恰是一个男孩子和一个女孩子。

问：这队少年儿童最多有多少人?为什么?
真题模考
第三讲
数论
生活就像海洋，只有意志坚强的人，才能到达彼岸。

——马克思
5.
将12345678910111213…依次写到第1997个数字，组成一个1997位数，此数除以9的余数是几？
6. 求同时满足下列三个条件的自然数a 、b ：
①a b >；②169ab a b
=+；③a b +是平方数。

7. 在11张卡片上各写有一个不超过5的数字，将这些卡片排成一行，得到一个11位数；再将它
们按另一种顺序排成一行，又得到一个11位数.请证明这两个11位数的和的十进制表达式中至少有一位数字是偶数。

【例1】 已知p 、q 均为质数，且满足25359p p +=，则以3p +，1p q -+，24p q +-
为边长的三角形
是（ ）。

A . 锐角三角形
B . 直角三角形
C . 钝角三角形
D . 等腰三角形
考点拓展
生活就像海洋，只有意志坚强的人，才能到达彼岸。

——马克思
【例2】 π的前24位数值为3.14159265358979323846264 在这24个数字中，任意逐个抽取1个数字，
并依次记作1a ，2a ，3a ，…24a ，则12342324()()()a a a a a a --- 为（ ）。

A . 奇数
B . 偶数
C .奇数或偶数
D . 质数
【例3】 已知正整数a 、b 之差为120，它们的最小公倍数是其最大公约数的105倍，那么a 、b 中较大
的数是几？
【例4】 一个两位数有6个约数，且这个数最小的3个约数和为10，那么此数为几？
甲乙两个哲人将正整数5至11分别写在7张卡片上.他们将卡片背面朝上，任意混合后，甲取走3张，乙取走2张，剩下的2张卡片他们谁也没看。

甲看了手里的3张卡片后对乙说“你的2张卡片上的数之和是偶数”。

试问：甲手里的是哪三个数？答案是否唯一？
下面的问号处应该填什么数字？ 24630323436404244465052545660626466，，，，，，，，，，，，，，，，，，，？
生活就像海洋，只有意志坚强的人，才能到达彼岸。

——马克思
【例5】求最大正整数n，使得3100
n+被10
n+整除。

【例6】从1到999这999个自然数中有（）个数的各位数字之和能被4整除．
【例7】每一本书都有一个国际书号：ABCDEFGHIJ，其中前9个是9个数字的排列，J是检查号码。

令1098765432
=++++++++，r是S除以11所得的余数。

S A B C D E F G H I
①若r不等于0或1，则规定11
=-；
J r
②若0
J=；
r=，则规定0
③若1
r=，则规定J用X表示；
现有一本书的书号是962707015
y，那么y是多少？
【例8】有1、A、B、C四个整数，满足2001
A B C。

这四个整数两两求和
++=，而且1A B C
得到六个和，把这六个数按从大到小排列起来，恰好构成一个等差数列。

请问：A、B、C分别是多少？
生活就像海洋，只有意志坚强的人，才能到达彼岸。

——马克思
【例9】 能够找到这样的四个正整数，使得它们中任两个数的积与2002的和，都是完全平方数吗？若能
够，请举出一例；若不能够，请说明理由。

【例10】 在一个国家里，国王要建N 个城市，在城市之间建1N -条道路，使得从每个城市都能到达另一
个城市(每条道路连接两个城市，道路不相交，不穿过其它城市)且一个城市到另一个城市最短
路线分别为1,2,3,…，(1)2
N N -。

若(1)6N =；(2)2006N =； 国王的要求能否办到
?
1. 一种玩具，有一个红色的按钮、一个黄色按钮和100个能站能坐的小木偶，按一下红色的按钮
就会有一个站着的小木偶坐下去，按一下黄色按钮，就可以使站着的小木偶增加一倍．现在只有三个小木偶站着，要想使站着的小木偶增加到21个，而且尽量少按按钮，需要按几次按钮就行了?每一次按哪个按钮?
2. 沿着河岸长着8丛植物，相邻两丛植物上所结的浆果数目相差1个．问：8丛植物
课后练习
一位老师告诉A 、B 、C 、D 、E 五位学生一个三位数N 之后，有以下的对话出现：学生A ：这个数可以被27整除；学生B ：这个数可以被12整除；学生C ：这个三位数的所有数字和为15；学生D ：这个数是一个完全平方数；学生E ：这个数可以整除648 000．上述五个句子中，只有三句是真的。

试求N 。

生活就像海洋，只有意志坚强的人，才能到达彼岸。

——马克思上能否一共结有225个浆果?说明理由。

3.实验室里有一只特别的钟，一圈共有20个格．每过7分钟，指针跳一次，每跳一次就要跳过9
个格，今天早晨8点整的时候，指针恰好从0跳到9，问：昨天晚上8点整的时候指针指着几?
4.已知九位数2005是2008的倍数，这样的九位数共有几个？。