湘教版九年级数学下册《二次函数与一元二次方程的联系》精品教案

《二次函数与一元二次方程的联系》精品教案
二、探究二：
观察二次函数y =x 2-6x +9，y =x 2-2x +2的图象，分别说出一元二次方程x 2-6x +9=0和x 2-2x +2=0的根的情况．
（1）抛物线y =x 2-6x +9的图象与x 轴有______交点，它们的横坐标是_____，此时函数值为0，所以而一元二次方程x 2-6x +9=0的根是_________．
（2）抛物线y =x 2-2x +2的图象与x 轴______交点，所以一元二次方程x 2-2x +2=0______实根．
在坐标系中画出二次函数y =x 2-2x -3的图象，说出一元二次方程x 2-2x -3=0的根的情况．
抛物线y =x 2-2x -3的图象与x 轴有______交点，它们的坐标分别是___________________，此时函数值为0，所以而一元二次方程x 2-2x -3=0的根是___________．
观察以上三个函数的图像，说一说一元二次方程的根与二次函数与x 轴交点有什么关系？
完成探究并归纳．
引导学生寻找二次函数与一元二次方程的联系．
一元二次方程的根与二次函数与x 轴交点的关系：
结论：一般地，二次函数y =ax 2+bx +c 的图象与x 轴的位置关系有三种：有两个不同的交点、有两个重合的交点、没有交点，对应着一元二次方程ax 2+bx +c =0的根的三种情况：有两个不相等的实根、有两个相等的实根和没在实数根．反过来，由一元二次方程的根的情况，也可以确定相应的二次函数图象与x 轴的位置关系．
求一元二次方程ax 2+bx +c =0的根就是求二次函数y =ax 2+bx +c 在y =0时，自变量x 的值，也就是二次函数与x 轴交点的横坐标．因而我们可以利用二次函数的图象来求一元二次方程的根．由于作图或观察的误差，由图象求得的根，一般是近似的．
例1求一元二次方程x 2-2x -1=0的根的近似值（精确到0.1）．
分析一元二次方程x 2-2x -1=0的根就是抛物线y =x 2-2x -1与x 轴的交点的横坐标．因此我们可以先画出这条抛物线，然的从图象上找出它与x 轴的交点的横坐标．这种解一元二次方程的方法叫作图象法．
解设二次函数y =x 2-2x -1．作出二次y =x 2-2x -1的图象，如图．
可以发现抛物线与x 轴的一个交点在-1和0之间，另一个交点在2和3之间．
通过观察或测量，可得抛物线与x 轴的交点的横坐标约为-0.4或2.4，即一元二次方程x 2-2x -1=0
完成例1．
使学生能够能结合二次函数图象，求一元二次方程实数根的近似值，为后续学习解一元高次方程作铺垫．
的实数根为x 1≈-0.4，x 2≈2.4．
借助计算器也可以来分析所求方程的实数根．其方法是将二次函数y =x 2-2x -1在-1至0范围内的部分x 值所对应的y 值列表如下：
观察表格可以发现，当x =-0.5时，y =0.25>0；当x =-0.4时，y =-0.04<0．结合图象可以看出，使y =0的x 的值一定在-0.5与-0.4之间，即-0.5<x <-0.4．
要求把方程的根精确到0.1，这时取x =-0.4或x =-0.5作为所求的根均满足要求．当x =-0.4时，y =-0.04，比当x =-0.5时，y =0.25更接近于0，因此选x =-0.4．
试借助计算器，确定一元二次方程的另一个实数根x =2.4．
归纳一元二次方程的图象解法
利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根的一般步骤：
1、用描点法作二次函数的图象；
2、通过观察、测量或借助计算器估计二次函数的图象与x 轴的交点的横坐标；
3、确定一元二次方程的解．
例2如图，丁丁在扔铅球时，铅球沿抛物线
268
10105
x y x =-++运行，其中x 是铅球离初始位
置的水平距离，y 是铅球离地面的高度．
（1）当铅球离地面的高度为2.1m 时，它离初始位置的水平距离是多少？
（2）铅球离地面的高度能否达到2.5m ，它离初始位置的水平距离是多少？
（3）铅球离地面的高度能否达到3m ？为什么？
归纳一利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根的一般步骤．
完成例2．
使学生能掌握利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根的方法．
从实际问题中让学生感受数学来源于生活．通过例题的解答，让学生理解二次函数与一元二次方程之间的密切联系．
由于球的飞行高度h 与飞行时间t 的关系是二
次函数268
10105
x y x =-++，所以可以将问题中h
的值代入函数解析式，得到关于t 的一元二次方程，
如果方程有合乎实际的解，则说明的飞行高度可以达到问题中h 的值；否则，说明球的飞行高度不能达到问题中h 的值．
例如：
上面问题（1）可以转化为已知二次函数
268
10105
x y x =-++的值为2.1，求自变量t 的值．
可以解一元二次方程268 2.110105
x x -++=，
即x 2-6x +5=0．
反过来，解方程x 2-6x +5=0又可以看作已知二
次函数268
10105
x y x =-++的值为0，求自变量x
的值．
归纳：
一元二次方程ax 2+bx +c =m 的根就是二次函数y =ax 2+bx +c 与直线y =m （m 是实数）图象交点的横坐标．
1、二次函数y =x 2-2x +1的图象与x 轴的交点情况是（）
A ．一个交点
B ．两个交点
C ．没有交点
D ．无法确定
学生先自主思
考，完成后小组交流确定结果，最后上台
通过练习加深对所学知识的理解．
2、抛物线y =-x 2-2x +3与坐标轴的交点个数是（）A ．0B ．1C ．2D ．3
3、二次函数y =ax 2+bx +c 的图象如图所示，则（）
A ．a ＞0，b 2-4ac ＜0
B ．a ＞0，b 2-4ac ＞0
C ．a ＜0，b 2-4ac ＜0
D ．a ＜0，b 2-4ac ＞
4、下表是一组二次函数y =x 2+3x -5的自变量x 与函数值y 的对应值：
那么方程x 2+3x -5=0的一个近似根是（）A ．1B ．1.1C ．1.2D ．1.35、已知二次函数y =ax 2+2ax -3的部分图象（如图），由图象可知关于x 的一元二次方程ax 2+2ax -3=0的两个根分别是x 1=1.3和x 2=（）
A ．-1.3
B ．-2.3
C ．-0.3
D ．-3.3
6、判断下列函数的图象与x 轴的公共点情况，并说明理由．
（1）y =2x 2-3x ；（2）y =-x 2-4x -1；（3）y =x 2+2x +5．
7、在高尔夫球比赛中，某运动员打出的球在空中飞行高度h （m ）与打出后飞行的时间t （s ）之间的关系是h =7t -t 2．
（1）经过多少秒钟，球飞出的高度为10m ；（2）经过多少秒钟，球又落到地面．
展示成果．
课堂小结
一般地，从二次函数y =ax 2+bx +c 的图象可知1、如果抛物线y =ax 2+bx +c 与x 轴有公共点，公共点的横坐标是x 0，那么当x =x 0时，函数的值是0，因此x =x 0就是方程ax 2+bx +c =0的一个根．
回顾本节课所学知识．
通过小结，再次让学生认识到二次函数与一元二次方程的联系，
2、一元二次方程ax 2+bx +c =m 的根就是二次函数y =ax 2+bx +c 与直线y =m （m 是实数）图象交点的横坐标．
强化了学生的学习成果．
板书
若抛物线y =ax 2+bx +c （a ≠0）与x 轴的两个不同交点，坐标分别是A (x 1，0），B （x 2，0），则一元二次方程ax 2+bx +c =0（a ≠0）有两个不相等的实数根分别是x =x 1、x =x 2．
例1例2。