河北省衡水市马台中学2021年高三数学文月考试题含解析

河北省衡水市马台中学2020-2021学年高三数学文月考试题含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 已知某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则该几何体的体积是（）
A．108cm3 B．100cm3 C．92cm3 D．84cm3
参考答案：
B
【考点】由三视图求面积、体积．
【专题】立体几何．
【分析】由三视图可知：该几何体是一个棱长分别为6，6，3，砍去一个三条侧棱长分别为4，4，3的一个三棱锥（长方体的一个角）．据此即可得出体积．
【解答】解：由三视图可知：该几何体是一个棱长分别为6，6，3，砍去一个三条侧棱长分别为4，4，3的一个三棱锥（长方体的一个角）．
∴该几何体的体积V=6×6×3﹣=100．
故选B．【点评】由三视图正确恢复原几何体是解题的关键．
2. 的递增区间是（）
A. B.(2,+∞) C.（-∞,） D.（,+∞）
参考答案：
A
略
3. 设集合A=｛4，5，7，9｝，B=｛3，4，7，8，9｝，全集=A B，则集合C u（A B）中的元素共有
(A) 3个（B） 4个（C）5个（D）6个
参考答案：
A
4. 已知向量与的夹角为，||=，则在方向上的投影为( )
A．B．C．D．
参考答案：
C
考点：平面向量数量积的运算．
专题：平面向量及应用．
分析：根据向量的数量积定义解答．
解答：解：因为向量与的夹角为，||=，则在方向上的投影为，||cos=﹣×=
﹣；
故选C．
点评：本题考查了向量的数量积定义的运用求向量的模．
5. 设集合A= {x|x>－l}，B={x|－2<x<2}，则A B等于
A．{x|x>－2} B．{x|x>－1}
C．{x|－2<x<－l} D．{x|－1<x<2}
参考答案：
D
略
6. 已知集合则下列结论正确的是( )
A．B．
C．D．
参考答案：
D
略
7. 已知某个几何体的三视图如图所示，根据图中标出的尺寸（单位：cm），可得几何体的体积是（）cm3。

A．4B．3C．6 D．5A
8. 圆和圆的位置关系为
A.相交
B.相切
C.相离
D.以上都有可能
参考答案：
A
9. 设集合, ,则( )
A. B. C. D.
参考答案：
C
10. 的展开式的常数项是（）
A．3 B．-2 C．2 D．-3
参考答案：
A
【知识点】二项式定理与性质
【试题解析】的展开式的通项公式为：
故的展开式的常数项是：
故答案为：A
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 如图，线段，点，分别在轴和轴的非负半轴上运动，以为一边，在第一象限内作矩形，．设为原点，则的取值范围是__________．
参考答案：
令
，则
，
，
，
，
∴
，
∵， ∴
的取值范围是
．
12. 设满足约束条件，若目标函数的最大值为6，则
的最小值为
．
参考答案：
略
13. 如图,为△
外接圆的切线,
的延长线交直线于点
,分别为弦
与弦
上的点
,
且,
四点共圆.若,则过
四点的圆的面
积与△
外接圆面积的比值为
.
14. 设函数
，函数的零点个数为 个．
参考答案：
2个 略
15. 如图4，正方形和正方形的边长分别为，原点为的中点，抛物线
经过两点，则.
参考答案：
16. 底面边长为2m ，高为1m 的正三棱锥的全面积为 m 2
参考答案：
17. 若函数f（x）=sin（x+φ）cosx（0＜φ＜π）是偶函数，则φ的值等于．
参考答案：
【考点】正弦函数的奇偶性；两角和与差的正弦函数；由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．
【专题】转化思想；综合法；三角函数的求值．
【分析】由条件利用三角函数的奇偶性可得φ=kπ+，k∈Z，再结合0＜φ＜π，可得φ的值．【解答】解：函数f（x）=sin（x+φ）cosx 是偶函数，则φ=kπ+，k∈Z．
再根据0＜φ＜π，可得φ=，
故答案为：．
【点评】本题主要三角函数的奇偶性，属于基础题．
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 已知等比数列满足且是的等差中项
（1）求数列的通项公式
（2）若求使成立的正整数的最小值
参考答案：
解（1）设等比数列的公比为
由得………2分
由①得解得或………4分
当时，不合题意舍去
当时，代入②得则………6分（2）因为………7分
所以
……………10分
因为所以
即，解得或.
又故使成立的正整数的最小值为10.……………12分.
略
19. 已知函数f（x）=a x+x2﹣xlna（a＞0，a≠1）．
（1）求函数f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；
（2）求函数f（x）单调增区间；
（3）若存在x1，x2∈[﹣1，1]，使得|f（x1）﹣f（x2）|≥e﹣1（e是自然对数的底数），求实数a 的取值范围．
参考答案：
【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．
【专题】导数的综合应用．
【分析】（1）先求函数的导函数f′（x），再求所求切线的斜率即f′（0），由于切点为（0，0），故由点斜式即可得所求切线的方程；
（2）先求原函数的导数得：f'（x）=a x lna+2x﹣lna=2x+（a x﹣1）lna，再对a进行讨论，得到f'（x）＞0，从而函数f（x）在（0，+∞）上单调递增．
（3）f（x）的最大值减去f（x）的最小值大于或等于e﹣1，由单调性知，f（x）的最大值是f（1）或f（﹣1），最小值f（0）=1，由f（1）﹣f（﹣1）的单调性，判断f（1）与f（﹣1）的大小关系，再由f（x）的最大值减去最小值f（0）大于或等于e﹣1求出a的取值范围．
【解答】解：（1）∵f（x）=a x+x2﹣xlna，
∴f′（x）=a x lna+2x﹣lna，
∴f′（0）=0，f（0）=1
即函数f（x）图象在点（0，1）处的切线斜率为0，
∴图象在点（0，f（0））处的切线方程为y=1；
（2）由于f'（x）=a x lna+2x﹣lna=2x+（a x﹣1）lna＞0
①当a＞1，y=2x单调递增，lna＞0，所以y=（a x﹣1）lna单调递增，故y=2x+（a x﹣1）lna单调递增，
∴2x+（a x﹣1）lna＞2×0+（a0﹣1）lna=0，即f'（x）＞f'（0），所以x＞0
故函数f（x）在（0，+∞）上单调递增；
②当0＜a＜1，y=2x单调递增，lna＜0，所以y=（a x﹣1）lna单调递增，故y=2x+（a x﹣1）lna单调递增，
∴2x+（a x﹣1）lna＞2×0+（a0﹣1）lna=0，即f'（x）＞f'（0），所以x＞0
故函数f（x）在（0，+∞）上单调递增；
综上，函数f（x）单调增区间（0，+∞）；
（3）因为存在x1，x2∈[﹣1，1]，使得|f（x1）﹣f（x2）|≥e﹣1，
所以当x∈[﹣1，1]时，|（f（x））max﹣（f（x））min|
=（f（x））max﹣（f（x））min≥e﹣1，
由（2）知，f（x）在[﹣1，0]上递减，在[0，1]上递增，
所以当x∈[﹣1，1]时，（f（x））min=f（0）=1，（f（x））max=max{f（﹣1），f（1）}，
而f（1）﹣f（﹣1）=（a+1﹣lna）﹣（+1+lna）=a﹣﹣2lna，
记g（t）=t﹣﹣2lnt（t＞0），
因为g′（t）=1+﹣=（﹣1）2≥0（当t=1时取等号），
所以g（t）=t﹣﹣2lnt在t∈（0，+∞）上单调递增，而g（1）=0，
所以当t＞1时，g（t）＞0；当0＜t＜1时，g（t）＜0，
也就是当a＞1时，f（1）＞f（﹣1）；
当0＜a＜1时，f（1）＜f（﹣1）
①当a＞1时，由f（1）﹣f（0）≥e﹣1?a﹣lna≥e﹣1?a≥e，
②当0＜a＜1时，由f（﹣1）﹣f（0）≥e﹣1?+lna≥e﹣1?0＜a≤，
综上知，所求a的取值范围为a∈（0，]∪[e，+∞）．
【点评】本题考查了基本函数导数公式，导数的几何意义，利用导数研究函数的单调性及利用导数求闭区间上函数的最值．属于中档题．
20. (本小题满分13分)
已知向量，，函数．
（1）求函数的最小正周期；
（2）若时，求的值域.
参考答案：
:(1).
的最小正周期为.
(2). , 则
故函数的值域为
21. (本小题满分12分)
在平面四边形ABCD中，AD=BD=BC=，AB=CD,tan∠BCD=3. （1）求∠BAD；
（2）求四边形ABCD的面积.
参考答案：
（1）∵
∴
设，在中，由余弦定理可得
∵，
∴
∴，则
∴为等腰直角三角形，故
（2）由（1）知
∵∴
∴
∴
22. 如图，三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC,
PB=BC=CA=4，∠BCA=90°,E为PC中点.
(1)求证：BE⊥平面PAC；
（2）求二面角E-AB-C的正弦值.
参考答案：
证明 (1):
(2)方法一:过E作EF⊥BC,F为垂足.由已知得EF⊥面ABC,过F 作FM⊥AB,M为垂足,连接EM,
故二面角
的余弦值为
略。