高中数学第一章集合与函数概念122函数的表示法第2课时分段函数与映射课件新人教A版必修1

3.思一思：分段函数是由几个函数构成的吗？ 【解析】不是，分段函数的定义域只有一个，只不过在 定义域的不同区间上对应关系不同而已，是一个函数.
分段函数求值
【例 1】已知函数 f(x)＝xx＋2＋12，x，x≤－－2＜2，x＜2， 2x－1，x≥2.
(1)求 f(－5)，f(－ 3)，ff－52的值； (2)若 f(a)＝3，求实数 a 的值. 【解题探究】(1)根据分段函数的解析式，将数据分别代入 对应的函数求值；(2)分别令对应的函数等于 3，求出 a 的值.
4a，所以a＝2.
5．某单位为鼓励职工节约用水，作出了如下规定：每 位职工每月用水不超过10立方米的，按每立方米m元收费；用 水超过10立方米的，超过部分按每立方米2m元收费．某职工 某月缴水费16m元，求该职工这个月实际用水量．
【解析】该单位职工每月应缴水费y与实际用水量x满足的 关系式为y＝m2mx，x－0≤ 10xm≤，1x0>，10.
)
A．－13
B．13
C．－23
D．23
【答案】B 【解析】可求得
f(x)＝xx＋ －11， ，－ 0<1x<<x1<，0，
∴f13＝13－1＝
－23.∴ff13＝f－23＝－23＋1＝13.
3. 设 函 数
f(x)
＝
x2＋1，x≤1， x2＋x－2，x＞1，
则 f[f( － 1)] 的 值 为
________.
重点难点
重点：分段函数的应用及 映射的判断. 难点：分段函数的应用.
1.分段函数 在函数的定义域内，对于自变量x的不同取值区间，有 着不同的对_应__关__系____，这样的函数通常叫做分段函数. 2.映射的概念 设A，B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应 关系f ， 使对于集合 A中的任_意__一__个___ 元素x，在集合 B中都有 唯__一__确__定__的元素y与之对应，那么就称对应_f_：__A_→__B_为从集合A 到集合B的一个映射.
【答案】4 【解析】∵f(－1)＝(－1)2＋1＝2，∴f[f(－1)]＝f(2)＝22＋2 －2＝4.
4.已知函数 f(x)＝3x2x＋＋a2x，，xx<≥1，1， 若 f[f(0)]＝4a，则实数 a
＝______. 【答案】2 【解析】因为f(0)＝3×0＋2＝2，f[f(0)]＝f(2)＝4＋2a＝
【解析】(1)利用描点法，作出 f(x)的图象，如图所示.
(2)由条件知，函数 f(x)的定义域为 R. 由图象知，当－1≤x≤1 时，f(x)＝x2 的值域为[0,1]， 当 x＞1 或 x＜－1 时，f(x)＝1， 所以函数 f(x)的值域为[判断下列对应是不是从集合A到集合B的映射. (1)A＝N*，B＝N*，对应关系f：x→|x－3|； (2)A＝{平面内的圆}，B＝{平面内的矩形}，对应关系 f：“作圆的内接矩形”. 【解题探究】解答本题可由映射定义出发，观察A中任 何一个元素在B中是否都有唯一元素与之对应.
【正解】当x≥0时，由x2－1＝3，得x＝2或x＝－2(舍 去)；当x<0时，由2x＋1＝3，得x＝1(舍去)，故x＝2.
【警示】1.分段函数是一个函数而不是几个函数，处理 分段函数体现了数学的分类讨论思想，“分段求解”是解决分 段函数问题的基本原则.
2.“对号入座”，根据自变量取值的范围，准确确定相 应的对应关系，转化为一般函数在指定区间上的问题.不能准 确理解分段函数的概念是导致出错的主要原因.
1.已知集合A＝{a，b}，B＝{0,1}，则下列对应不是从A 到B的映射的是( )
【答案】C 【解析】A，B，D均满足映射定义，C不满足集合A中 任一元素在集合B中有唯一元素与之对应，且集合A中元素b在 集合B中无元素与之对应.
2.已知函数 f(x)的图象是两条线段(如图)，不含端点，则
ff13＝(
由y＝16m，可知x>10． 令2mx－10m＝16m，解得x＝13(立方米)． 所以该职工这个月实际用水量为13立方米．
结束
语 同学们，你们要相信梦想是价值的源泉，相信成
功的信念比成功本身更重要，相信人生有挫折没 有失败，相信生命的质量来自决不妥协的信念，
考试加油。
3．设集合A＝{x|1≤x≤2}，B＝{y|1≤y≤4}，则下述对
应关系f中，不能构成从A到B的映射的是( )
A．f：x→y＝x2
B．f：x→y＝3x－2
C．f：x→y＝－x＋4 D．f：x→y＝4－x2
【答案】D
【解析】对于D，当x＝2时，由对应关系y＝4－x2得y＝
0，在集合B中没有元素与之对应，所以D选项不能构成从A到B
【方法规律】1.分段函数求值，一定要注意所给自变量 的值所在的范围，代入相应的解析式求值.
2.已知分段函数的函数值求相对应的自变量的值，可分 段利用函数解析式求得自变量的值，但应注意检验分段解析式 的适用范围；也可先判断每一段上的函数值的范围，确定解析 式再求解.
1.已知函数 f(n)＝12， ，nn＝ ＝12， ， fn－2＋fn－1
(n∈N*，n≥3).
求 f(3)，f(4)，f[f(4)]的值. 【解析】由题意可知 f(1)＝1，f(2)＝2，则
f(3)＝f(2)＋f(1)＝2＋1＝3，
f(4)＝f(3)＋f(2)＝3＋2＝5，
f[f(4)]＝f(5)＝f(4)＋f(3)＝5＋3＝8.
分段函数的图象及应用 【例 2】已知函数 f(x)＝1＋|x|－2 x(－2<x≤2). (1)用分段函数的形式表示该函数； (2)画出该函数的图象； (3)写出该函数的值域. 【 解 题 探 究 】 讨论x的取值范围 → 化简fx的解析式
【解析】(1)由－5∈(－∞，－2]，－ 3∈(－2,2)， －52∈(－∞，－2]，知 f(－5)＝－5＋1＝－4， f(－ 3)＝(－ 3)2＋2×(－ 3)＝3－2 3. ∵f－52＝－52＋1＝－32，而－2<－32<2， ∴ff－52＝f－32＝－322＋2×－32＝94－3＝－34.
(2)当 a≤－2 时，a＋1＝3， 即 a＝2＞－2，不合题意，舍去. 当－2＜a＜2 时，a2＋2a＝3，即 a2＋2a－3＝0， ∴(a－1)(a＋3)＝0，解得 a＝1 或 a＝－3. ∵1∈(－2,2)，－3∉(－2,2)，∴a＝1 符合题意. 当 a≥2 时，2a－1＝3，即 a＝2 符合题意. 综上，当 f(a)＝3 时，a＝1 或 a＝2.
【解析】(1)由于A中元素3在对应关系f作用下其与3的 差的绝对值为0，而0∉B，故不是映射.
(2)因为一个圆有无数个内接矩形，即集合A中任何一个 元素在集合B中有无数个元素与之对应，故不是映射.
【方法规律】映射是一种特殊的对应，它具有：(1)方 向性：映射是有次序的，一般地从A到B的映射与从B到A的映 射是不同的；(2)唯一性：集合A中的任意一个元素在集合B中 都有唯一元素关系，可以是：一对一，多对一，但不能一对 多.
【方法规律】1.分段函数的解析式因其特点可以分成两 个或两个以上的不同解析式，所以它的图象也由几部分构成， 有的可以是光滑的曲线段，有的也可以是一些孤立的点或几段 线段或射线，而分段函数的定义域与值域的最好求法也是“图 象法”.
2.对含有绝对值的函数，要作出其图象，首先根据绝对 值的意义去掉绝对值符号，将函数转化为分段函数来画图象.
2.映射 (1)映射f：A→B是由非空集合A，B以及A到B的对应关 系f所确定的. (2) 映 射 定 义 中 的 两 个 集 合 A ， B 是 非 空 的 ， 可 以 是 数 集，也可以是点集或其他集合，A，B是有先后次序的，A到B 的映射与B到A的映射一般是截然不同的，即f具有方向性. (3)在映射中，集合A的“任一元素”，在集合B中都有 “唯一”的对应元素，不会出现一对多的情况.只能是“多对 一”或“一对一”形式.
复习课件
高中数学第一章集合与函数概念1.2.2函数的表示法第2课时分段函数与映射 课件新人教A版必修1
2021/4/17
高中数学第一章集合与函数概念122函数的表示法第2课时 分段函数与映射课件新人教A版必修1
1.2 函数及其表示
1.2.2 函数的表示法
第2课时 分段函数与映射
目标定位
1.掌握简单的分段函数， 并能简单应用. 2.了解映射概念及它与函 数的联系.
的映射．
分段函数自变量的范围的误区
【示例】已知函数 f(x)＝x22x－＋11xx≥<00，， 若 f(x)＝3，求 x 的值.
【错解】由 x2－1＝3，得 x＝±2； 由 2x＋1＝3，得 x＝1，故 x 的值为 2，－2 或 1.
【错因】本题是一个分段函数问题，在解决此类问题 时，要紧扣“分段”的特征，即函数在定义域的不同部分，有 不同的对应关系，它不是几个函数，而是一个函数，求值时不 能忽视x的取值范围.
1.判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)分段函数的图象一定不是连续的.( ) (2)函数都是映射.( ) (3)映射都是函数.( ) 【答案】(1)× (2)√ (3)×
2.做一做(请把正确的答案写在横线上)
(1)已知 f(x)＝－－xx＋2＋13，，xx≤>11，， 则 f(f(2))＝__________.
→ 把fx表示为分段函数形式 → 画出fx的图象
→ 求fx的值域
【解析】(1)当 0≤x≤2 时，f(x)＝1＋x－2 x＝1； 当－2<x<0 时，f(x)＝1＋－x2－x＝1－x. ∴f(x)＝11，－0x，≤－x≤2<2，x<0. (2)函数 f(x)的图象如图所示. (3)由(2)知，f(x)在(－2,2]上的值域为[1,3).
3. 画 分 段 函 数 图 象 时 还 要 注 意 端 点 是 “ 实 心 点 ” 还 是 “空心点”.
休息时间到啦
同学们，下课休息十分钟。现在是休息时间，你们休 睛，
看看远处，要保护好眼睛哦~站起来动一动，久坐对 哦~
2.已知函数 f(x)＝x12x－＞11≤或xx≤＜1－，1， (1)画出 f(x)的图象； (2)求 f(x)的定义域和值域.
1.分段函数 (1)分段是针对定义域而言的，将定义域分成几段，各 段的对应关系不一样. (2)一般而言，分段函数的定义域部分是各不相交的， 这是由函数定义中的唯一性决定的. (3)研究分段函数时，应根据“先分后合”的原则，尤 其是作分段函数的图象时，可先将各段的图象分别画出来，从 而得到整个函数的图象.
2x2，0≤x<1， (2)函数 f(x)＝2，1≤x<2，
3，x≥2
的定义域为________.
(3)已知集合 A＝{1,2,3，…，9}，B＝R，从集合 A 到集合 B 的映射 f：x→2x＋x 1，
①与 A 中元素 1 相对应的 B 中的元素是________. ②与 B 中元素49相对应的 A 中的元素是________. 【答案】(1)2 (2)[0，＋∞) (3)①13 ②4