【苏科版九年级数学下册教案】7.1正切(第1课时)

7.1正切（第1课时）
1．认识锐角的正切的概念；
2．经历操作、观察、思考、求解等过程，感受数形结合的数学思教学目标想方法，培养学生理性思维的习惯，提高学生运用数学知识解决实
际问题的能力；
3．激发学生学习的积极性和主动性，引导学生自主探索、合作交
流，培养学生的创新意识．
教学重点计算一个锐角的正切值的方法．
教学难点计算一个锐角的正切值的方法．
教学过程（教师）学生活动
新课引入——情景导入
问题 1：人们在行走大多数学生会根据自的过程中，自行车、汽车己的生活经验来判断第二在行驶的过程中免不了个台阶更陡一些，学生的回爬坡．如图1，哪个台阶答大多是建立在倾斜的程更陡？度（实际上就是倾斜的角
图 1
度）．
问题 2：如图 2，哪学生继续思考，寻找特
设计思路
较好地发挥了“情景导入”的作用，让学生初步体会倾斜的程度可以靠倾斜的角度来判断和辨别，初步感受倾斜的角度越大，台阶就越陡．
个台阶最陡？你是如何点：
判断的？1．①、②两个水平宽
度相同（都为 8），高度不同，
②中的高度（为6 6）高于
①
4①中的高度（为 4），所以②比
②
8
①陡．
8
2．②、③两个高度相
由角度逐步转化为
边之间的比较，来实现
向新知识的自然过渡．
同（都为 6），水平宽度不同，
6
③
②中的水平宽度（为8）小
12于③中的水平宽度（为 12），
图 2
所以②比③陡．
合 1， 2 可得，②最
陡．
3：如3，在学生极思考，找突
2 中的①、③两个台，破：
你哪个台更陡？可以引学生从相同
你有什么？的水平度或者相同的高始台的
4
度来比它的斜程度．斜程度展开，
比如：如3，在③中相扣，把新知的特①
8
从左向右截取水平度与点不知不、一步一步
6
③
地呈出来，正所
①相同（ 8），利用三角形
8相似就可以求出此所“生其自然、成其必12
图 3的高度，高度（ 6）然”．
与①中所的高度（ 6）
相等．所以它的斜程度
一，即它一陡．
践探索察、思考，并、前三个4：如4，一小：的探究，学生似乎体会般地，如果角 A 的大小可以得到 Rt△ AB1C1∽到斜坡斜的程度与
确定，我可以作出Rt
Rt △22∽
角之的关系，学AB C
△ AB1
C 1、
Rt
△33⋯⋯
生所感悟的知碎
AB C
Rt △ AB2C2、 Rt △根据相似三角形的性片行整理，并合
AB3C3⋯⋯，得形行准确地符号表那么，你有什么B1C1B2C2B3 C3达．通数形合的思
呢？B3AC1AC 2AC3
来探索数学
B2⋯⋯
律，学数学概念，有B1
也就是，如果直角三利于提高教学的有效A角形的一个角的大小确性．
C1 C2C3
图 4
定，那么这个锐角的对边与
邻边的比值也确定．
总结提升类比、归纳：
如图 5，在 Rt△ABC B
中，∠ C＝90°， a、b 分
邻边 a
别是∠A的对边和邻
边．我们将∠ A 的对边 a
A对边 b C
与邻边 b 的比叫做∠ A 的
B
图 6类似地，让学生类
比出∠ B 的正切的表示正切（ tangent），记作 tanA，如图 6，在 Rt△ ABC 中，
方法．趁热打铁，让学
∠C＝90°，b、a 分别是∠
A的对边对边 a
即 tanA ＝＝
生表示出∠ B 的正切，A的邻边 B 的对边和邻边 .
A邻边 b C
有利于学生深入认识BC ＝ a ．图 5那么，tanB ＝
ACb
B 的对边
＝ AC b ．
正切的定义，初步实现
教学目标．
B的邻边BC a
你能用同样的方法
写出∠ B 的正切吗？
例题发表意见，表达观点，例 1如图 7，在 Rt相互补充．
△ ABC 中，∠ C＝ 90°，参考答案：
＝，＝，求B
AC 4 AB 5tanA、
tanB．5
＝522
，
4 3
tanA ＝BC 3
， tanB ＝
A4C AC 4
图 7AC 4 ．
BC3
从而发现tanA 与 tanB
互为倒数，即
师生互动，锻炼学
生的口头表达能力，培
养学生勇于发表自己
看法的能力，会进行简
单的说理．在拓展环节，尽量让学生表达，或是
在互相交流的基础上
发表自己的看法，
拓展：
通过计算 tanA、tanB 的值，你有什么新的发现吗？tanA·tanB＝1．而且，根据
定义，我们发现 tanA·tanB
＝
a
·
b
＝ 1，所以，我
们b a
这样有利于学生对知
识的进一步理解．
例题
例 2 如图 8，在等边三角形 ABC 中，AB＝2，C 求 tanA．
A
D
2
图 8
拓展：
通过计算 tanA 的值，你对 60o的正切值有什么认识？ 30o呢？你还能得到其他的吗？
发表意见，表达观点，
例 2 主要是针对角相互补充．
不在直角三角形中如参考答案：
何处理，要让学生明白解：过点 C 作 CD⊥AB，
寻找对边或邻边时要
垂足为 D ，则AD ＝在该角所在的直角三B
角形中实现，从而引导1
1 ．在Rt△ACD中，
AB
2学生去创造直角三角CD ＝2212 3 ， tanA形培养学生分析问题＝ CD 3 ．的能力．
AD
适时的问题拓展，从而发现 tan60o 3 ，
开放性的问题设计，既
而∠ ACD＝30o，
综合整理、当堂复习了
tan∠ ACD ＝AD3，即新课知识要点，又留给
CD3
了学生自由发挥的空能得到互余两个角的正切
值互为倒数．
tan30o
3 间．
．
3
利用等腰直角三角形
的特点，还能求出 tan45o ＝
1．
练习
运用本节课所学数学
1．如图 9，求下列图 知识解决问题．
中各直角三角形中锐角
参考答案：
A C
的正切值．
B
②
1A ．解：①在 Rt △ABC
7
B
5
15
① 17
中，
③
A
C tan A ＝
5 BC
5
，
12
AC 12
C
B
12 ．
图 9
tanB ＝
AC
BC
5
②在 Rt △ABC 中， AC
2．如图 10，在 Rt △
＝ 17
2
15
2
8 ，
ABC 中，∠ C ＝90°， AB tanA ＝
BC 15
， tanB ＝
＝ 10，tanA 3 ，求 AC 、 B AC
AC 8
8 ．
4
BC 和 tanB ．
10
BC 15
③在 Rt △ABC 中， AC
A
C
7 2
2
2 6 ，
＝ 5
检测学生对本节课
知识的掌握程度，考查
了学生解 决问题 的综合能力．练习 1 让学生体会不同 位置摆 放的直角三角 形不会 影响锐角的正切值．其中的第三个图 形的设 计让
第三边 AC 的结果不
是整数（为 2
6 ）．
练习 2 是正切的逆用，进一步让学生体会正切的结果 是一个 比
tanA ＝
BC
5
5 6 值（ tanA
3
，不代表
图 10
，
4
AC 2 6
12
BC ＝ 3，AC ＝ 4）．练习
tanB ＝
AC
2
6 ．
2 的处理可以在学生充
BC
5
2．解：在 Rt △ ABC 中， 分讨论交流的基础上，
tanA ＝ 3
．
教师给出适 当的引 导
4
（比如：可以设 BC 为
设 BC 为 3m ，则 AC 为
4m ， 所 以
tanB
3m 等）．
＝
AC 4m 4
．又因为 AB
BC
3m
3
＝10，所以
(3m) 2( 4m) 2102，所以
m 2(舍去 - 2) ，
所以 BC＝ 3m＝ 6，则 AC＝
4m＝ 8．
小结
通过今天的学习，你
学会了什么？你会正确
运用吗？通过这节课的
学习，你有什么感受呢，说出来告诉大家．
课后作业
1．
2．思考题（选做）：
你能判断下面两个
楼梯哪一个更陡吗？
3
①
师生互动，总结学共同小结．
习成果，体验成功．
选做题解法较多，
但又不规定必须用几
种方法，学生可根据自课后完成必做题，并根
己的能力去自主选据自己的能力水平确定是
做．这样就能实现“课否选做思考题．
程标准”中所要求的
5
②“让不同层次的学生
得到不同的发展”．
57。