2024届新高考一轮复习北师大版 第五章第五节 数系的扩充与复数的引入 作业

第五节 数系的扩充与复数的引入
基 础 题
1. 若复数z ＝(x 2－1)＋(x －1)i 为纯虚数，则实数x 的值为( ) A. －1 B. 0 C. 1 D. －1或1
2. (2022·盐城中学模拟)设复数z 的模长为1，在复平面内对应的点位于第一象限，且满足|z ＋z |＝1，则z 等于( )
A. 12＋3
2i B. 22＋22i C. 12－3
2i D.
22－
22i
3. (2022·长沙长郡中学模拟)设复数ω＝12＋3
2i ，则下列结论中正确的是( )
A. ω2＝ω
B. ω3＝1
C. ω2＋ω＋1＝0
D. ω2＝－ω
4. (2022·岳阳三模)已知复数z 在复平面内对应的点的坐标为(－2，1)，则下列结论中正确的是( )
A. 复数z 的共轭复数是2－i
B. z ·i 3＝－1＋2i
C. |z |＝5
D. z 2的虚部是－4
5. (多选)(2022·南通高三开学考试)下列关于复数的命题中(i 为虚数单位)，说法正确的是( )
A. 若关于x 的方程(1＋i)x 2＋ax ＋1－4i ＝0(a ∈R )有实根，则a ＝±
52 B. 若复数z 满足(1＋i)z ＝i 2 020，则z 在复平面内对应的点位于第二象限 C. 若1＋2i 是关于x 的方程x 2＋px ＋q ＝0的一个根，其中p ，q 为实数，则q ＝5
D. 已知z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i ，且z 1＝z 2，则a ＝c ，b ＝d
6. (多选)(2022·济宁一模)已知复数 z 1＝－2＋i(i 为虚数单位)，复数z 2满
足|z2－1＋2i|＝2，z2在复平面内对应的点为M(x，y)，则下列结论中正确的是()
A. 复数z1在复平面内对应的点位于第二象限
B. 1
z1＝－
2
5－
1
5i
C. (x＋1)2＋(y－2)2＝4
D. |z2－z1|的最大值为32＋2
7. (2022·扬中第二高级中学模拟)若i为虚数单位，复数z满足1≤|z＋1＋i|≤2，则|z－1－i|的最大值为________．
8. 已知i是虚数单位，复数1＋a i
2－i
的实部与虚部互为相反数，则实数a的值
为________．
9. 计算：(1) (－1＋i)(2＋i)
i3；
(2) (1＋2i)2＋3(1－i)
2＋i
；
(3)
1－i
(1＋i)2
＋
1＋i
(1－i)2
.
10. 若z＝
2
1＋i
，求z100＋z50＋1的值．
提高题
1. (多选)(2022·滨州二模)欧拉公式e i x＝cos x＋isin x(e为自然对数的底数，i 为虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉创立，该公式建立了三角函数与指数函数的关系，在复变函数论中占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，依据欧拉公式，下列结论中正确的是()π
A. 复数2i e π
为纯虚数
B. 复数e i2在复平面内对应的点位于第二象限
C. 复数3i e π
的共轭复数为
3
2－
1
2i
D. 复数e iθ(θ∈R)在复平面内对应的点的轨迹是圆
2. (多选)(2022·黄冈中学三模)设z为复数，则下列命题中正确的是()
A. |z|2＝z z
B. z2＝|z|2
C. 若|z|＝1，则|z＋i|的最大值为2
D. 若|z－1|＝1，则0≤|z|≤2
3. 已知复数z1＝cos 15°＋sin 15°i和复数z2＝cos 45°＋sin 45°i，则z1·z2＝________．
4. 已知复数z满足z2＝－4，若z的虚部大于0，则z＝________．
5. (2022·南通高三开学考试)设复数z1＝1－i，z2＝cos θ＋isin θ，其中θ∈[0，π]，若复数z＝z1·z2为实数，则θ＝________，|z1＋z2|的范围为________．
6. 若虚数z同时满足：①z＋5
z是实数；②z＋3的实部与虚部互为相反数．这
样的虚数是否存在？若存在，求出z；若不存在，请说明理由．
7. 已知复数z 1＝sin 2x ＋t i ，z 2＝m ＋(m －3cos 2x )i(i 为虚数单位，t ，m ，x ∈R )，且z 1＝z 2.
(1) 若t ＝0且0<x <π，求实数x 的值；
(2) 设t ＝f (x )，已知当x ＝α时，t ＝12，求cos ⎝ ⎛
⎭⎪⎫4α＋π3的值．
第五节 数系的扩充与复数的引入
基 础 题
1. A 解析：因为z 为纯虚数，所以⎩
⎪⎨⎪⎧
x 2－1＝0，
x －1≠0，解得x ＝－1.
2. C 解析：设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R ).因为z 在复平面内对应的点位于第一象限，所以a >0，b >0.由|z ＋z |＝|2a |＝1，得a ＝1
2.因为复数z 的模长为1，所以a 2＋b 2＝
14
＋b 2
＝1，解得b ＝
32，所以z ＝12＋32i ，z ＝12－32
i. 3. D 解析：因为ω2＝⎝⎛⎭
⎫12＋32i 2
＝－12＋32i ＝－ω，所以ω2＋ω＋1＝3i ＋1≠0，ω3＝⎝⎛⎭⎫－12＋32i ⎝⎛⎭
⎫12＋3
2i ＝－1.故A ，B ，C 错误，D 正确． 4. D 解析：因为复数z 在复平面内对应的点的坐标为(－2，1)，所以z ＝－2＋i ，所以z ＝－2－i ，故A 不正确；因为z ·i 3＝(－2＋i)(－i)＝2i ＋1，故B 不正确；因为|z |＝(－2)2＋12＝5，故C 不正确；因为z 2＝(－2＋i)2＝4－4i －1＝3－4i ，所以z 2的虚部是－4，故D 正确．
5. AC 解析：对于A ，关于x 的方程(1＋i)x 2＋ax ＋1－4i ＝0(a ∈R )有实根，即(x 2－4)i
＋x 2＋ax ＋1＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧
x 2－4＝0，x 2＋ax ＋1＝0，
解得x ＝±2，代入解得a ＝±5
2，故A 正确；对于B ，
复数z 满足(1＋i)z ＝i 2 020＝i 4
×505
＝1，所以z ＝1
1＋i ＝1－i (1＋i)(1－i)
＝1－i 2，故z 在复平面内对
应的点位于第四象限，故B 错误；对于C ，若1＋2i 是关于x 的方程x 2＋px ＋q ＝0的一个根，
其中p ，q 为实数，则1－2i 也是方程的根，所以⎩⎪⎨⎪⎧ (1＋2i)＋(1－2i)＝－p ，(1＋2i)·(1－2i)＝q ，所以⎩⎪⎨⎪⎧
p ＝－2，
q ＝5，
故C 正确；对于D ，若z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i 且a ，b ，c ，d ∈R ，由z 1＝z 2，可得⎩
⎪⎨⎪⎧
a ＝c ，
b ＝d ，故
D 错误．故选AC.
6. ABD 解析：对于A ，复数z 1在复平面内对应的点的坐标为(－2，1)，该点位于第二象限，故A 正确；对于B ，1z 1＝1－2＋i ＝－2－i (－2＋i)(－2－i)＝－25－1
5i ，故B 正确；对于C ，由
题意可得z 2－1＋2i ＝(x －1)＋(y ＋2)i.因为|z 2－1＋2i|＝2，则(x －1)2＋(y ＋2)2＝4，故C 错误；对于D ，z 1－1＋2i ＝－3＋3i ，则|z 1－1＋2i|＝(－3)2＋32＝32，所以|z 2－z 1|＝|(z 2－1＋2i)
－(z 1－1＋2i)|≤|z 2－1＋2i|＋|z 1－1＋2i|＝2＋32，故D 正确．故选ABD.
7. 32 解析：复数z 满足1≤|z ＋1＋i|≤2，即1≤|z －(－1－i)|≤2，即复数z 对应的点Z 到点C (－1，－1)的距离d 满足1≤d ≤ 2.设点P (1，1)，则|z －1－i|表示复数z 对应的点Z 到点P (1，1)的距离，数形结合可知|z －1－i|的最大值为AP ＝CP ＋2＝22＋22＋2＝3 2.
8. －3 解析：因为1＋a i 2－i ＝(1＋a i)(2＋i)(2－i)(2＋i)＝2－a 5＋2a ＋1
5i 的实部与虚部互为相反数，所
以2－a 5＋2a ＋1
5
＝0，解得a ＝－3.
9. (1)
(－1＋i)(2＋i)i 3＝－3＋i
－i
＝－1－3i.
(2) (1＋2i)2＋3(1－i)2＋i ＝－3＋4i ＋3－3i 2＋i ＝i
2＋i ＝i(2－i)5＝15＋25i.
(3)
1－i (1＋i)2＋1＋i (1－i)2＝1－i 2i ＋1＋i －2i
＝1－i －1－i
2i ＝－1.
10. 因为z ＝21＋i ，所以z 2＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫
21＋i 2
＝－i.
因为i 2＝－1，i 3＝－i ，i 4＝1，
所以z 100＋z 50＋1＝i 50－i 25＋1＝－i.
提 高 题
1. ABD 解析：对于A ，因为复数
e i
π
2＝cos
π2＋isin π
2
＝i 为纯虚数，故A 正确；对于B ，复数e i2＝cos 2＋isin 2，因为cos 2<0，sin 2>0，所以复数e i2在复平面内对应的点(cos 2，sin
2)位于第二象限，故B 正确；对于C ，复数e i π3＝cos π3＋isin π3＝12＋32i 的共轭复数为12－
3
2
i ，故C 错误；对于D ，复数e i θ＝cos θ＋isin θ(θ∈R )在复平面内对应的点为(cos θ，sin θ)，
因为cos 2θ＋sin 2θ＝1，所以复数e i θ(θ∈R )在复平面内对应的点的轨迹是圆，故D 正确．故选ABD.
2. ACD 解析：设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，则z ＝x －y i.对于A ，|z |2＝x 2＋y 2＝(x ＋y i)(x －y i)＝z z ，故A 正确；对于B ，z 2＝(x ＋y i)2＝x 2－y 2＋2xy i ≠x 2＋y 2＝|z |2，故B 错误；对于C ，若|z |＝1，则该复数对应点为以原点为圆心，1为半径的圆上的点，而|z ＋i|表示复数z 对应点到点(0，－1)的距离，故当且仅当z 对应点为(0，1)时，取得最大值2，故C 正确；对于D ，若|z －1|＝1，其表示复数z 对应的点是以(1，0)为圆心，1为半径的圆上的点，又|z |表示复数z 对应点到原点的距离，显然|z |∈[0，2]，故D 正确．故选ACD.
3. 12＋3
2i 解析：z 1·z 2＝(cos 15°＋sin 15°i)·(cos 45°＋sin 45°i)＝(cos 15°cos 45°－sin 15°sin 45°)＋(sin 15°cos 45°＋cos 15°sin 45°)i ＝cos 60°＋sin 60°i ＝12＋3
2
i.
4. 2i 解析：设复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R ，b >0，i 是虚数单位).因为z 2＝－4，所以(a ＋b i)2
＝－4，即a 2－b 2
＋2ab i ＝－4，所以⎩⎪⎨⎪
⎧
a 2－
b 2＝－4，2ab ＝0，
b >0，
解得a ＝0，b ＝2，所以复数z ＝2i.
5.
3π
4
[2－1，5] 解析：因为z 1＝1－i ，所以z 1＝1＋i ，所以z ＝z 1·z 2＝(1＋i)(cos θ＋isin θ)＝(cos θ－sin θ)＋i(cos θ＋sin θ).因为复数z 为实数，所以cos θ＋sin θ＝0，即2sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝0，所以θ＋π4＝k π (k ∈Z ).因为θ∈[0，π]，所以θ＝3π4.因为z 1＋z 2＝(1＋cos θ)＋i(sin θ－1)，所以|z 1＋z 2|＝(1＋cos θ)2＋(sin θ－1)2＝3＋2cos θ－2sin θ＝
3－22sin ⎝⎛⎭
⎫θ－π
4.因为θ∈[0，π]，θ－π4∈⎣⎡⎦⎤－π4，3π4，所以sin ⎝⎛⎭⎫θ－π4∈⎣⎡⎦
⎤－22，1，所以|z 1＋z 2|∈[2－1，5]. 6. 假设这样的虚数存在，设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R 且b ≠0)，
则z ＋5z ＝a ＋b i ＋5
a ＋
b i ＝a ＋b i ＋5(a －b i)a 2＋b 2＝⎝⎛⎭⎫a ＋5a a 2＋b 2＋⎝⎛⎭⎫b －5b a 2＋b 2i.
因为z ＋5z 是实数，所以b －5b
a 2＋b
2＝0.
又因为b ≠0，所以a 2＋b 2＝5.①
因为z ＋3＝(a ＋3)＋b i 的实部与虚部互为相反数， 所以a ＋3＋b ＝0.②
联立①②，得⎩⎪⎨⎪⎧
a ＋
b ＋3＝0，
a 2＋
b 2＝5， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－1，b ＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧
a ＝－2，
b ＝－1，
故存在虚数z ＝－1－2i 或z ＝－2－i 满足条件．
7. (1) 因为z 1＝z 2，所以⎩⎨⎧
sin 2x ＝m ，
t ＝m －3cos 2x ，
所以t ＝sin 2x －3cos 2x .
若t ＝0，则sin 2x －3cos 2x ＝0， 即tan 2x ＝ 3.
因为0<x <π，所以0<2x <2π，所以2x ＝π3或2x ＝4π3，解得x ＝π6或x ＝2π
3.
(2) 由(1)，得t ＝f (x )＝sin 2x －3cos 2x ＝2sin (2x －π
3).
因为当x ＝α时，t ＝1
2，
所以2sin ⎝⎛⎭⎫2α－π3＝12， 即sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π6－π2＝14， 所以cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π6＝－14
， 所以cos ⎝⎛⎭⎫4α＋π3＝cos ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫2α＋π6＝2cos 2(2α＋π6)－1＝2×(－14)2－1＝－78
.。