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四年级上册数学知识点归纳

四年级上册数学知识点归纳必备四年级上册数学知识点归纳知识的积累越多，掌握越熟练，期末考试成绩自然越高。

以下是必备四年级上册数学知识点归纳，希望能帮助到同学们!四年级上册数学知识点归纳篇1第一单元【大数的认识】1. 10个一万是十万，10个十万是一百万，10个一百万是一千万，10个一千万是一亿。

相邻两个计数单位之间的进率是“十”，这种计数方法叫做十进制计数法。

特别注意：计数单位与数位的区别。

计数单位数字表示2、多位数的读法：①、从高位数读起，一级一级往下读。

②、万级的数要按照个级的数的读法来读，再在后面加一个万字。

③、每级末尾不管有几个零都不读，其他数位有一个“零”或连续几个“零”，都只读一个“零”。

3、多位数的写法小结：①、从高级写起，一级一级往下写。

②、当哪一位上一个计数单位也没有，就在哪一位上写0。

特别注意：多位数的读写都先划上分级线。

4、多位数的大小比较：小结：①、位数多的时候，这个数就比较大。

②、当这两个数位数相同的时候，就从最高位开始比，哪个数位上的数大，这个数就大。

5、“万”“亿”作单位的数：有时候，为了读写方便，我们把整万(亿)的数改写成有“万”(亿)做单位的数。

方法概括：分级、去0，写万(写亿)6、求近似数：这种求近似数的方法叫“四舍五入法”，是“舍”还是“入”，要看省略的尾数部分的最高位是小于5还是等于或大于5。

方法概括：分级、去尾、四舍五入约近似数的取值范围：近似数+4999(最大)近似数—5000(最小)7、表示物体个数的数：0、1、2、3、4、5、6 …….叫自然数一个物体也没有：用0来表示。

0也是自然数。

最小的自然数是0，没有最大的自然数，自然数的个数是无限的。

8、计算工具的认识：算盘，计算器9、测量得到的数都是近似数，数出来的数都是准确数第二单元【角的度量】1、直线、射线、角没有端点，可以向两端无限延伸，这种线叫直线。

只有一个端点，向一端无限延伸，这种线叫射线。

直线、射线与线段有什么联系和区别?①、直线和射线都可以无限延伸，因此无法量出长短。

能被2、3、4、5、6、7、8、9等数整除的数的特征讲解学习

能被2、3、4、5、6、7、8、9等数整除的数的特征能被2、3、4、5、6、7、8、9等数整除的数的特征性质1：如果数a、b都能被c整除，那么它们的和（a+b）或差(a－b)也能被c 整除。

性质2：几个数相乘，如果其中有一个因数能被某一个数整除，那么它们的积也能被这个数整除。

能被2整除的数，个位上的数是0、2、4、6、8、的数能被2整除（偶数都能被2整除），那么这个数能被2整除能被3整除的数，各个数位上的数字和能被3整除，那么这个数能被3整除能被4整除的数，个位和十位所组成的两位数能被4整除，那么这个数能被4整除如果一个数的末两位数能被4或25整除，那么，这个数就一定能被4或25整除．例如：4675＝46×100＋75由于100能被25整除，100的倍数也一定能被25整除，4600与75均能被25整除，它们的和也必然能被25整除．因此，一个数只要末两位数能被25整除，这个数就一定能被25整除．又如： 832＝8×100＋32由于100能被4整除，100的倍数也一定能被4整除，800与32均能被4整除，它们的和也必然能被4整除．因此，因此，一个数只要末两位数字能被4整除，这个数就一定能被4整除．能被5整除的数，个位上的数都能被5整除（即个位为0或5）那么这个数能被5整除能被6整除的数，个数位上的数字和能被3整除的偶数，如果一个数既能被2整除又能被3整除，那么这个数能被6整除能被7整除的数，若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数的2倍，如果差是7的倍数，则原数能被7整除。

如果差太大或心算不易看出是否7的倍数，就需要继续上述「截尾、倍大、相减、验差」的过程，直到能清楚判断为止。

例如，判断133是否7的倍数的过程如下：13－3×2＝7，所以133是7的倍数；又例如判断6139是否7的倍数的过程如下：613－9×2＝595 ， 59－5×2＝49，所以6139是7的倍数，余类推。

能被2、3、4、5、6、7、8、9等数整除的数的特征

能被2、3、4、5、7、9、11、13、27、99等数整除的数的特征性质1：如果数a、b都能被c整除,那么它们的和（a+b）或差（a－b）也能被c 整除。

性质2：几个数相乘，如果其中有一个因数能被某一个数整除，那么它们的积也能被这个数整除。

1、看末尾。

能被2整除的数，个位上的数能被2整除(偶数都能被2整除），那么这个数能被2整除能被5整除的数，个位上的数都能被5整除（即个位为0或5）那么这个数能被5整除能被4、25整除的数，末二位所组成的两位数能被4整除，那么这个数能被4整除能被8、125整除的数，末三位数能被8整除，那么这个数能被8整除2、看数字和能被3整除的数,各个数位上的数字和能被3整除，那么这个数能被3整除能被9整除的数，各个数位上的数字和能被9整除,那么这个数能被9整除能被11整除的数，奇数位（从左往右数）上的数字和与偶数位上的数字和之差（大数减小数）能被11整除,则该数就能被11整除。

3、截尾法能被7整除的数，若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数的2倍，如果差是7的倍数，则原数能被7整除。

如果差太大或心算不易看出是否7的倍数，就需要继续上述「截尾、倍大、相减、验差」的过程，直到能清楚判断为止。

例如,判断133是否7的倍数的过程如下:13－3×2＝7,所以133是7的倍数；又例如判断6139是否7的倍数的过程如下：613－9×2＝595,59－5×2＝49，所以6139是7的倍数，余类推。

能被11整除的数， 11的倍数检验法也可用上述检查7的「割尾法」处理！过程唯一不同的是：倍数不是2而是1.如:242是不是11的倍数，24—2=22，所以242是11的倍数。

1232，123-2=121， 12—1=11，1232是11的倍数.能被13整除的数，若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，加上个位数的4倍，如果差是13的倍数，则原数能被13整除。

小学初中高中数学公式大全整理

小学必背定义、定理公式一、公式及应用：1.长方形的周长=（长+宽）X 2 公式：C=（a+b ） X 2（长方形的长二周长十2—宽长方形的宽二周长2—长）2.长方形的面积 *X 宽公式S= a X b （长=面积十宽宽=面积十长）3..正方形的周长=边长X 4 （边长=周长* 4 ）4. 正方形的面积二边长X 边长5. 三角形的周长 =三条边之和6. 三角形的面积=底乂高* 2 （三角形的高=面积*底X 2。

7. 平行四边形的面积=底乂底边上的高（平行四边的高 =面积*高对应的底 8. 梯形的面积=（上底+下底）X 高* 2（梯形的高=面积*上下底之和X 2 梯形的下底=面积*高X 2—上底）9. 圆的周长=直径Xn =2X 半径Xn 三角形的底=面积*咼X 2）公式 S= a X h平行四边的底 =面积*底边上的高）公式 S=（a+b ）h * 2梯形的上底= 面积*高X 2—下底公式：C =n d = 2 n r（直径=圆的周长* n 半径=圆的周长* 2*n ）10. 圆的面积=nX 半径X 半径公式：S=n r 2 11.半圆周长 =整圆周长* 2+直径或=12. 半圆弧长 =整圆周长* 213. 圆环的面积= nX （大圆半径的平方一小圆半径的平方） 14. 圆环的周长 =大圆周长+小圆周长 15. 长方体的底面积*X 宽16. 长方体的棱长总和=（长+宽+高）X 4 =长X 4+宽X 4+高X 4 （长方体的长=（棱长总和一宽X 4—高X 4）* 4）公式： C= a X 4公式 S= a 2公式 S= a X h * 217. 长方体的表面积=（长X宽+长X高+宽X高）X 2公式：S= （a X b+a X c+b X c）X 218.长方体的体积=长^宽*高公式：V = abh长方体的长=体积*宽*咼长方体的宽=体积*长*咼（长方体的咼=体积*长*宽 19.正方体的棱长总和二棱长X 12 （棱长=棱长总和* 12） 20.正方体的表面积二棱长X 棱长X 公式：S=6a2 21.正方体的体积=棱长X 棱长X 棱长公式：V = a 322.长方体（或正方体）的体积 =底面积X 高公式：V = abh23. 圆柱体的侧面积=底面周长X 高公式：S=ch=n dh = 2 n rh （圆柱体的高二侧面积十底面周长底面周长=侧面积十高）24.圆柱体的表面积=侧面积+两个底面面积公式：S=ch+2s=ch+2冗 r225.圆柱体的体积=底面积X 高公式：V=Sh26.圆锥的体积=1/3底面积X 积高。

数学四年级上册第五单元知识点

数学四年级上册第五单元知识点苏教版数学四年级上册第五单元知识点漫长的学习生涯中，很多人都经常追着老师们要知识点吧，知识点也可以理解为考试时会涉及到的知识，也就是大纲的分支。

想要一份整理好的知识点吗？下面是店铺收集整理的苏教版数学四年级上册第五单元知识点，希望对大家有所帮助。

数学四年级上册第五单元知识点11、除法计算法则：除数是两位数的除法，先用除数试除被除数的前两位，如果前两位不够除，就试除被除数的前三位，除到哪一位，商就上到哪一位的上面，每次除得的余数一定要比除数小。

2、除数是两位数的除法，一般把除数看作和它接近的整十数来试商;试商大了要调小，试商小了要调大。

直到所得的余数比除数小为止。

3、三位数除以两位数，商可能是一位数，也可能是两位数4、商不变性质：①在除法里，被除数和除数同时乘(或除以)几(0除外)，商不变。

②在除法里，除数不变，被除数乘(或除以)几(0除外)，商也要乘(或除以)几。

③在除法里，被除数不变，除数乘(或除以)几，则商就除以(或乘)几。

7、有余除法关系式：被除数÷除数=商……余数被除数=商×除数+余数数学有余数的除法知识点一、有余数的除法1、有余数的除法的意义：在平均分一些物体时，有时会有剩余。

2、余数与除数的关系：在有余数的除法中，余数必须比除数小。

最大的余数小于除数1，最小的余数是1。

3、笔算除法的计算方法：(1)先写除号“厂”(2)被除数写在除号里，除数写在除号的左侧。

(3)试商，商写在被除数上面，并要对着被除数的个位。

(4)把商与除数的乘积写在被除数的下面，相同数位要对齐。

(5)用被除数减去商与除数的乘积，如果没有剩余，就表示能除尽。

4、有余数的除法的计算方法可以分四步进行：一商，二乘，三减，四比。

(1)商：即试商，想除数和几相乘最接近被除数且小于被除数，那么商就是几，写在被除数的个位的上面。

(2)乘：把除数和商相乘，将得数写在被除数下面。

(3)减：用被除数减去商与除数的乘积，所得的差写在横线的下面。

(完整版)上海中考数学考试大纲

上海市初中数学学科教学基本要求第一单元数与运算一、数的整除1．内容要目数的整除性、奇数和偶数、因数和倍数、素数和合数，公因数和最大公因数、公倍数和最小公倍数、分解素因数；能被2和5整除的正整数的特征。

2．基本要求(1）知道数的整除性、奇数和偶数、素数和合数、因数和倍数、公倍数和公因素等的意义；知道能被2、5整除的正整数的特征。

(2）会用短除法分解素因数；会求两个正整数的最大公因素和最小公倍数。

3．重点和难点重点是会正确地分解素因数,并会求两个正整数的最大公因数和最小公倍数.难点是求两个正整数的最小公倍数。

4．知识结构二、实数1．内容要目实数的概念,实数的运算。

近似计算以及科学记数法.2．基本要求（1）理解开方及方根的意义,知道无理数的概念,知道实数与数轴上的点具有一一对应的关系。

（2)理解实数概念,掌握实数的加、减、乘、除、乘方、开方等运算的法制，会正确进行实数的运算。

(3）会用计算器进行实数的运算，初步掌握估算、近似计算的基本方法和科学记数法。

3．重点和难点重点是理解实数概念，会正确进行实数的运算.难点是认识实数与数轴上的点的一一对应关系。

4．知识结构第二单元方程与代数一、整式与分式 1．内容要目代数式，整式的加减法，同底数幂的乘法和除法,幂的乘方，积的乘方。

单项式的乘法和除法,单项式与多项式的乘法，多项式除以单项式，多项式的乘法。

乘法公式：22222()();()2a b a b a b a b a ab b +-=-±=±+因式分解：提取公因式法，公式法，十字相乘法,分组分解法。

分式,分式的基本性质，约分，最简分式，通分，分式的乘除法，分式的加减法,整数的指数幂，整数指数幂的运算。

2．基本要求（1）理解用字母表示数的意义；理解代数式的有关概念。

（2）通过列代数式，掌握文字语言与数学式子的表述之间的转换，领悟字母“代”数的数学思想；会求代数式的值。

(3）掌握整式的加、减、乘、除及乘方的运算法则，掌握平方差公式、两数和（差）的平方公式.（4）理解因式分解的意义，掌握提取公因式法、公式法、二次项系数为1时的十字相乘法、分组分解法等因式分解的基本方法.(5）理解分式的有关概念及其基本性质,掌握分式的加、减、乘、除运算。

(完整版)2、3、5的倍数特征

2、5、3的倍数的特征一、倍数的特征：2的倍数的特征：个位数字是0，2，4，6，8； 5的倍数的特征：个位数字是0或5；同时是2、5倍数的特征：个位数字是0；3的倍数的特征：各个数位的数字之和是3的倍数；9的倍数的特征：各个数位的数字之和是9的倍数。

同时是2、3和5倍数的特征：个位数字是0，并且各个数位的数字之和是3的倍数二、偶数与奇数：是2的倍数的数叫偶数，个位数字是0，2，4，6，8的数都是偶数。

不是2的倍数的数叫奇数，个位数字是1，3，5，7，9的数都是奇数。

最小的偶数是2，（因为小学阶段在除0外的自然数范围内研究倍数和因数）最小的奇数是1。

偶数+偶数=偶数，奇数+奇数=偶数，偶数+奇数=奇数。

偶数-偶数=偶数，奇数-奇数=偶数，偶数－奇数=奇数。

100以内所有的质数有2，3，5，7，11，13，17，19，23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97例题讲解例1 能同时被２、３和５整除的最小三位数是_ _，最大两位数是_ _，最小两位数是_ __，最大三位数是_ _。

例2 3个人分一组，现在有22人，至少还要来多少人？分多少组？例3 100以内同时是3和5的倍数的最小偶数是（），最大奇数是（）。

例4、判断是否是3的倍数。

2、3、5的倍数的特征过关练习一、填空。

（共50分，每空1分）1、自然数中，是2的倍数的数叫做（），0也是（），不是2的倍数的数叫做（）。

2、个位上是（）的数是2的倍数；个位上是（）或（）的数是5的倍数；个位上是（）的数同时是2和5的倍数。

3、一个数（）上的数的（）是3的倍数，这个数就是3的（）。

4、把列数归类。

92 11 6 28 15 30 33 70 58 125 50 110 810 108 632的倍数：（），5的倍数：（）即是2的倍数，又是5的倍数的数有：（）3的倍数：（），9的倍数：（）既是3的倍数也是9的倍数：（），2、3和5的倍数：（）5、想一想（1）29---39之间所有的偶数是（）（2）自然数1----100内，偶数有（）个，奇数有（）个。

能被2,5整除的数数学教案

能被2，5整除的数数学教案标题：能被2，5整除的数的数学教案一、教学目标：1. 理解并掌握能被2和5整除的数的特征。

2. 学会判断一个数能否被2或5整除。

3. 培养学生的观察力、分析能力和逻辑思维能力。

二、教学重点与难点：重点：理解和掌握能被2和5整除的数的特征。

难点：运用所学知识进行实际问题的解决。

三、教学过程：（一）引入新课教师可以通过提问的方式引出今天的主题：“同学们，你们知道哪些数可以被2整除？哪些数可以被5整除？”引导学生思考并回答。

（二）新课讲解1. 能被2整除的数的特征：个位是0，2，4，6，8的数都能被2整除。

解释：因为任何数都是由若干个2相乘得到的，所以这个数的各位数字之和必须是2的倍数。

而2的倍数只有偶数，所以个位只能是0，2，4，6，8。

2. 能被5整除的数的特征：个位是0或5的数都能被5整除。

解释：因为任何数都是由若干个5相乘得到的，所以这个数的末尾数字之和必须是5的倍数。

而5的倍数只有5和0，所以个位只能是0或5。

（三）课堂练习设计一些题目让学生进行练习，如判断以下哪些数可以被2或5整除：15, 32, 45, 50, 62等。

（四）归纳总结让学生总结今天学到的知识，并提出他们在学习过程中遇到的问题，教师给予解答。

（五）作业布置布置一些相关的习题，让学生在课后进行巩固和复习。

四、教学反思：通过本节课的学习，学生能够理解和掌握能被2和5整除的数的特征，并能熟练地判断一个数是否可以被2或5整除。

在教学过程中，应注意引导学生主动思考，培养他们的独立思考和解决问题的能力。

《因数与倍数》教案设计

《因数与倍数》教案设计《因数与倍数》教案设计（通用8篇）作为一名教职工，时常会需要准备好教案，教案是教学蓝图，可以有效提高教学效率。

如何把教案做到重点突出呢？以下是店铺精心整理的《因数与倍数》教案设计，仅供参考，大家一起来看看吧。

《因数与倍数》教案设计篇1教学内容教材第17页、18页内容。

教学目标知识目标1．使学生初步掌握2、5的倍数的特征。

2．使学生知道奇数、偶数的概念。

能力目标1．会判断一个数是否能被2、5整除。

2．会判断奇数、偶数。

3．培养类推能力及主动获取知识的能力。

情感目标激发学生的学习兴趣。

教学重点掌握2、5的倍数的特征及奇数、偶数的概念。

教学难点灵活运用2、5的倍数的特征及奇数、偶数的概念进行综合判断。

教学过程一、激趣引入走进课堂1．前面我们学习了自然数、整数、因数，后来又学习了倍数，我们都说自己学的很棒，今天我就考考大家出示：1～100的自然数。

2．导入：这是1～100的自然数。

你能很快找出2的所有倍数吗，并用蓝笔圈出来。

试一试！3．同桌结组，比试结果。

二、探究新知1．2的倍数的特征。

你们圈出的这些数和2有什么联系为什么它们都是2的倍数这些数是分别用2Ｘ12Ｘ22Ｘ32Ｘ42Ｘ5……得来的请大家观察这些数，你发现这些数有什么特征？这些数个位上是0、2、4、6、8中的一个。

这个规律正确吗？请同学们任写一些大一点的数验证一下。

（学生写数验证，小组内讨论）学生汇报，师生共同总结：看来判断一个数是不是2的倍数，只要看这个数的个数是不是0、2、4、6、8就可以了。

三、练习出示课本第20页第一题自学奇数、偶数1、关于一个数是不是2的倍数，还有很多知识，你想知道吗？请你打开课本第17页自学。

你们从书上还知道了些什么？自然数中，是2的倍数的数叫做偶数，不是2的倍数的数叫做奇数。

0也是偶数。

（因为0也是2的倍数，所以也是偶数）双数指的就是偶数，那么单数指什么呢？学生说：奇数2、巩固练习出示课本第17页做一做学生口答根据上面的学习，你们还能想到哪些数学知识呢？自然数根据是不是2的倍数，可分为奇数和偶数。

数的整除的特征归类

数的整除的特征归类--蒋睿宇学习资料在小学阶段，数的整除的特征无非就是以下几种形式：第一类：看被整除的这个数的末一位。

（也就是这个数的个位）。

这主要是，判断能否被2和5 整除的数的特征。

其特征是：（1）能被2整除的数，个位上的数字一定是0、2、4、6、8。

例如：12、24、36、28、50（2）能被5整除的数，个位上的数字一定是0和5。

例如：20、45第二类：看被整除的这个数的末两位。

（也就是这个数的个位和十位）这是判断能否被4和25整除的数的特征。

其特征是：末两位数能被4和25整除的数，一定能被4和25整除。

例如：1320÷4=440 （20÷4=5） 750÷25=30（50÷25=2）第三类：看被整除的这个数的末三位。

（也就是这个数的个位和十位以及百位）这是判断能否被8和125整除的数的特征。

例如：789160÷8=98645（160÷8=20）456375÷125=3651（375÷125=3）第四类：看被整除的数的末三位数字，组成的数与末三位数前面的数字组成的数之间的差，（大数减小数）能否被7、11、13整除，它们之间的差能被7、11、13整除，则这个数就能被7、11、13整除。

例如：789803（803-789=14,14÷7=2）584628（628-584=44,44÷11=4）26299（299-26=273,273÷13=21）第五类：看被整除的这个数的各个数位上的数字相加的和能否被3和9整除，如果它们相加的和能被3和9整除，则这个数就能被3和9整除。

这是判断能否被3和9整除的数的特征。

例如：12345678（1+2+3+4+5+6+7+8=36,36÷3=12,36÷9=4）。

数论入门

这份资料的来源，是中学奥数里面的数论模块，主要讲一些基本的知识和分析方法，没有具体的算法和程序，但是，对于学习ACM 的数论模块依然是很有帮助的整数的性质及其应用（1）基础知识整数的性质有很多，这里我们着重讨论整数的整除性、整数的奇偶性，质数与合数、完全平方数及整数的尾数等几个方面的应用。

1．整除的概念及其性质在高中数学竞赛中如果不加特殊说明，我们所涉及的数都是整数，所采用的字母也表示整数。

定义：设b a ,是给定的数，0≠b ，若存在整数c ，使得bc a =则称b 整除a ，记作a b |，并称b 是a 的一个约数(因子)，称a 是b 的一个倍数，如果不存在上述c ，则称b 不能整除a 记作b a 。

由整除的定义，容易推出以下性质：(1)若c b |且a c |，则a b |(传递性质)；(2)若a b |且c b |，则)(|c a b ±即为某一整数倍数的整数之集关于加、减运算封闭。

若反复运用这一性质，易知a b |及c b |，则对于任意的整数v u ,有)(|cv au b ±。

更一般，若n a a a ,,,21 都是b 的倍数，则)(|21n a a a b +++ 。

或着i b a |，则∑=n i i i bc a 1|其中n i Z c i ,,2,1, =∈；(3)若a b |，则或者0=a ，或者||||b a ≥，因此若a b |且b a |，则b a ±=；(4)b a ,互质，若c b c a |,|，则c ab |；(5)p 是质数，若n a a a p 21|，则p 能整除n a a a ,,,21 中的某一个；特别地，若p 是质数，若n a p |，则a p |；(6)(带余除法)设b a ,为整数，0>b ，则存在整数q 和r ，使得r bq a +=，其中b r <≤0，并且q 和r 由上述条件唯一确定；整数q 被称为a 被b 除得的(不完全)商，数r 称为a 被b 除得的余数。

能被某数整除的数的特征

能被某数整除的数的特征1.能被2（4、8）或5（25、125）整除的数的特征:未位上的数字所表示的数能被2或5整除，这个数的末位数能被2或5整除。

（未位数是0、2、4、6、8的数能被2整除；未位数是0、5的数能被5整除）未两位数字所表示的数能被4或25整除，这个数能被4或25整除；未两位数能被25整除是00、25、50、75。

未三位数字所表示的数能被8或125整除，这个数能被8或125整除；2.能被3或9整除的数的特征：这个数的各个数位上的数字之和能被3或9整除，这个数能被3或9整除。

3.能被7、11、13整除的数的特征：这个数的末三位上的数字所组成的数与末三位以前的数字所组成的数的差（大减小）能被7、11、13整除，这个数能被7、11、13整除。

例如：701239末三位：239 末三位之前的数为701701-239=462 462÷7=66 701239能被7整除462÷11=42 701239能被11整除462÷13=35……7 701239不能被13整除例如：642213末三位：213 末三位之前的数为642642-213=429 429÷7=61……2 701239不能被7整除429÷11=39 701239能被11整除429÷13=33 701239能被13整除例如：642213末三位：213 末三位之前的数为642642-213=429 429÷7=61……2 701239不能被7整除429÷11=39 701239能被11整除429÷13=33 701239能被13整除例如：694378906末三位：906 末三位之前的数为694378694378-906=693472太大了，不能直接看出被7、11、13整除，继续运用此方法检查：末三位：472 末三位之前的数为693693-472=221 221÷7=31……4 694378906不能被13整除221÷11=20……1 694378906不能被11整除221÷13=33 694378906能被13整除个位数字以前的数字按顺序组成的数字与个位数字的2倍之差（大减小）能被7整除，则这个数能被7整除。

北师大版五年级上册数学精品讲义第3讲倍数与因数(思维导图+知识梳理+例题精讲+易错专练)(答案)

第3讲倍数与因数（思维导图+知识梳理+例题精讲+易错专练）一、思维导图二、知识点梳理知识点一：倍数与因数1、倍数与因数的意义如果a×b=c(A.B.c都是不为0的自然数)，那么a和b就是c的因数，c就是a和b的倍数，倍数与因数是乘法算式中积和乘数的关系，是相互依存的，没有倍数就不存在因数，没有因数也不存在倍数，不能单独说一个数是倍数或因数。

2、求一个数的倍数的方法:用这个数分别乘1，2，3，4，…所得的积都是这个数的倍数。

3、判断两个数成倍数关系的方法:(1)列乘法算式，用积判断。

(2)列除法算式，如果商是整数且没有余数就是倍数关系，反之不是。

知识点二：2、5的倍数的特征1、2的倍数的特征位上是0，2，4，6，8的数都是2的倍数。

2、5的倍数的特征个位上是0或5的数，都是5的倍数。

3、偶数和奇数像2，4，6，8，…这样的数，是2的倍数，叫作偶数。

像1，3，5，7，…这样的数，不是2的倍数，叫作奇数。

4、同时是2，5的倍数的特征个位上是0的数。

知识点三：3的倍数的特征1、一个数各个数位上的数字之和是3的倍数，这个数就是3的倍数。

2、同时是2，3的倍数的特征:个位上的数必须是0，2，4，6，8且各个数位上数字之和是3的倍数。

3、同时是3和5的倍数的特征:个位上必须是0或5，且各个数位上数字之和是3的倍数。

4、同时是2、3、5的倍数的特征:各个数位上数字之和是3的倍数，且个位上是0。

知识点四：找因数1、找某数的因数很容易，借助乘法算式依次找；2、最小因数都是1；3、最大因数是自己。

知识点五：找质数1、质数一个数只有1和它本身两个因数，这个数叫作质数。

最小的质数是2。

2、一个数除了1和它本身以外还有别的因数，这个数叫作合数。

最小的合数是4。

3、判断一个数是质数还是合数的方法:看这个数的因数的个数，只有2个因数的数是质数，有3个或3个以上因数的数是合数。

4、100以内的质数:2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，31，37，41，43，47，53，59，61，67，71，73，79，83，89，97，共25个。

自然数分类

自然数分类自然数是人类认知世界中最基本的数学概念之一，其定义是正整数，包括1、2、3、4、5、6、7、8、9、10等等。

在数学中，自然数是所有数学概念的起点，是数学研究的基础。

因此，对自然数的分类和研究具有重要的理论和实际意义。

一、自然数的基本性质自然数具有许多基本的性质，这些性质是自然数分类的基础。

1. 自然数是无限的。

自然数是无限的，这意味着在自然数序列中，每一个数都可以通过加1的操作得到下一个数。

因此，自然数没有最大的数，也没有最小的数。

2. 自然数是可比较的。

自然数之间可以进行大小比较，例如，1小于2，2小于3，以此类推。

这是因为自然数之间具有大小关系，即一个数是另一个数的前一个数。

3. 自然数是可加的。

自然数之间可以进行加法运算，例如，1+2=3，2+3=5，以此类推。

这是因为自然数之间具有加法关系，即一个数加上另一个数等于它们的和。

4. 自然数是可乘的。

自然数之间可以进行乘法运算，例如，2×3=6，3×4=12，以此类推。

这是因为自然数之间具有乘法关系，即一个数乘以另一个数等于它们的积。

二、自然数的分类自然数可以按照不同的属性进行分类，下面介绍几种常见的分类方式。

1. 奇偶性分类自然数可以按照其奇偶性进行分类，奇数是不能被2整除的自然数，例如，1、3、5、7、9等等；偶数是可以被2整除的自然数，例如，2、4、6、8、10等等。

2. 素数和合数分类自然数可以按照其是否为素数进行分类，素数是只能被1和自身整除的自然数，例如，2、3、5、7、11等等；合数是除了1和自身之外还能被其他自然数整除的自然数，例如，4、6、8、9、10等等。

3. 完全数和亏数分类自然数可以按照其因数和是否等于自身进行分类，完全数是其所有因数（不包括自身）之和等于自身的自然数，例如，6、28、496等等；亏数是其所有因数（不包括自身）之和小于自身的自然数，例如，4、8、9等等。

4. 平方数和立方数分类自然数可以按照其是否为平方数或立方数进行分类，平方数是某个自然数的平方，例如，1、4、9、16、25等等；立方数是某个自然数的立方，例如，1、8、27、64、125等等。

100的所有因数

100的所有因数100的所有因数有1、2、4、5、10、20、25、50、100。

1. 因数1：100的因数中最小的是1。

1是一个特殊的因数，它与任何整数的乘积都等于这个整数本身。

在数学中，1被称为单位元素，因为它在数乘运算中起到了类似于1的作用。

2. 因数2：2是100的因数之一。

2是一个偶数，也是素数的最小因数。

在数学中，偶数是能够被2整除的整数，而素数是只有1和自身两个因数的整数。

3. 因数4：4也是100的因数之一。

4是一个平方数，它可以表示为2的平方。

平方数是一个整数，它可以表示为另一个整数的平方。

例如，4 = 2 * 2，即4是2的平方。

4. 因数5：5是100的因数之一。

5是一个素数，它只有1和5两个因数。

素数在数学中具有重要的地位，因为它们是构成其他整数的基本元素。

5. 因数10：10也是100的因数之一。

10是一个偶数，它可以被2整除。

除了能被2整除外，10还能被5整除，因此它有两个因数2和5。

6. 因数20：20是100的因数之一。

20是一个偶数，它可以被2整除。

除了能被2整除外，20还能被5整除，因此它有两个因数2和5。

7. 因数25：25是100的因数之一。

25是一个平方数，它可以表示为5的平方。

平方数在数学中具有特殊的性质，它们可以表示为一个整数乘以自身的结果。

8. 因数50：50也是100的因数之一。

50是一个偶数，它可以被2整除。

除了能被2整除外，50还能被5整除，因此它有两个因数2和5。

9. 因数100：100是100的因数中最大的一个。

100是一个平方数，它可以表示为10的平方。

平方数在数学中经常出现，它们具有一些特殊的性质，比如它们的平方根是一个整数。

100的所有因数为1、2、4、5、10、20、25、50、100。

这些因数在数学中具有不同的性质和特点，它们可以帮助我们更好地理解和研究数字之间的关系。

通过研究因数，我们可以发现数字的因式分解、公约数、最大公约数等重要概念和方法。

奇数的定义是什么

奇数的定义是什么整数0，1，2，3，4，5，6，7，……可以被分为两类，一类是1，3，5，7，9，…叫奇数;另一类是0，2，4，6，8，10…叫偶数。

奇数的定义是什么你知道吗?以下是店铺分享给大家的关于奇数的定义，一起来看看吧!奇数的定义奇数(英文：odd)数学术语，整数中，能被2整除的数是偶数，不能被2整除的数是奇数，偶数可用2n表示，奇数可用2n+1表示，这里n是整数。

1,3,5,7,9,11,13,15,等等。

奇数的主要分类1、在整数中，不能被2整除的数叫做奇数。

日常生活中，人们通常把奇数叫做单数，它跟偶数是相对的。

2、奇数可以分为：正奇数：1、3、5、7、9、11、13、15、17、19、21、23、25、27、29、31、33.........负奇数：-1、-3、-5、-7、-9、-11、-13、-15、-17、-19、-21、-23.-25、-27、-29、-31、-33.........奇数的性质关于奇数和偶数，有下面的性质：(1)两个连续整数中必有一个奇数和一个偶数。

(2)奇数跟奇数的和是偶数;偶数跟奇数的和是奇数;任意多个偶数的和是偶数。

奇偶性相同的两数之和为偶数;奇偶性不同的两数之和为奇数。

(3)两个奇(偶)数的差是偶数;一个偶数与一个奇数的差是奇数。

(4)若a、b为整数，则a+b与a-b有相同的奇偶性，即a+b与a-b同为奇数或同为偶数。

(5)n个奇数的乘积是奇数，n个偶数的乘积是偶数;顺式中有一个是偶数，则乘积是偶数，即：A*B*C*…*偶数*X*Y=偶数，式中A、B、C、…X、Y皆为整数，公式可简化为：奇数*偶数=偶数。

(6)奇数的个位是1、3、5、7、9;偶数的个位是0、2、4、6、8.[1](0是个特殊的偶数。

2002年国际数学协会规定,零为偶数.我国2004年也规定零为偶数。

小学规定0为最小的偶数，但是在初中学习了负数,出现了负偶数时,0就不是最小的偶数了.)(7)奇数的平方除以2、4、8余1(8)任意两个奇数的平方差是2、4、8的倍数(9)每个奇数与二的商都余一(10)著名数学家毕达哥拉斯发现有趣奇数现象：将奇数连续相加，每次的得数正好是平方数。

小学数学——整除

小学数学——整除整除是指整数a除以自然数b除得的商正好是整数而余数是零．我们就说a能被b整除（或说b能整除a），记作b|a，读作“b整除a”或“a能被b整除”．它与除尽既有区别又有联系．除尽是指数a除以数b（b≠0）所得的商是整数或有限小数而余数是零时，我们就说a能被b除尽（或说b能除尽a）．因此整除与除尽的区别是，整除只有当被除数、除数以及商都是整数，而余数是零．除尽并不局限于整数范围内，被除数、除数以及商可以是整数，也可以是有限小数，只要余数是零就可以了．它们之间的联系就是整除是除尽的特殊情况．整除的一些性质为：（1）如果a与b都能被c整除，那么a+b与a-b也能被c整除．（2）如果a能被b整除，c是任意整数，那么积ac也能被b整除．（3）如果a同时被b与c整除，并且b与c互质，那么a一定能被积bc整除．反过来也成立．下面我们讨论能被2，5，3，9，4，25，8，125，11，7，13等数整除的数的特征．1．能被2或5整除的数的特征是：如果这个数的个位数能被2或5整除，那么这个数就能被2或5整除．也就是说：一个数的个位数字是0、2、4、6、8时，这个数一定能被2整除．一个数的个位数字是0、5时，这个数一定能被5整除．例如要判断18762，9685，8760这三个数能否被2或5整除，根据这三个数的个位数字的特点，很快可以判断出，2|18762，2不能整除9685，2|8760；5不能整除18762，5|9685，5|8760．2．能被3或9整除的数的特征是：如果这个数的各个数位上的数字和能被3或9整除，这个数就能被3或9整除．例如要判断47322能否被9整除，由于47322=40000+7000+300+20+2=4×（9999＋1）+7×（999+1）+3×（99＋1）+2×（9+1）＋2=4×9999+7×999+3×99+2×9+4+7+3+2+2=9×（4×1111+7×111+3×11+2×1）+（4+7+3+2+2）9一定能整除9×（4×1111+7×111+2×11+2×1），所以要判断9能否整除47322，只要看9能否整除4+7+3+2+2=18，因为9|18，所以9|47322．可以看到4+7+3+2+2恰好是这个数的各个数位上的数字和．类似的方法我们还可以判断出3|47322．3．能被4或25整除的数的特征是：如果这个数的末两位数能被4或25整除，这个数就能被4或25整除．例如要判断63950能否被4或25整除，由于63950=639×100+50，100=4×25，所以100能被4或25整除，根据整除的性质，639×100能被4或25整除，要判断63950能否被4或25整除，只要看50能否被4或25整除，因为4不能整除50，25|50，所以4不能整除63950，25|63950．可以看出50恰好是63950的末两位数．4．能被8或125整除的数的数的特征是：如果这个数的末三位数能被8或125整除，这个数就能被8或125整除．例如要判断4986576能否被8整除，由于4986576=4986×1000＋576，1000=8×125，所以8|1000，根据整除的性质，8|4986000，要判断8能否整除4986576，只要看8能否整除576，因为8|576，所以8|4986576．可以看出576恰好是4986576的末三位数．同理可以判断这个数不能被125整除．5．能被11整除的数的特征是：如果这个数的奇数位上的数字和与偶数位上的数字和的差（大减小）能被11整除，这个数就能被11整除．奇数位是指从个位起的第1、3、5…位，其余数位是偶数位．例如要判断64251能否被11整除，由于64251=6×104＋4×103+2×102+5×10+1=6×（9999+1）+4×（1000+1-1）+2×（99+1）+5×（10+1-1）+1=6×（11×909+1）+4×（11×91-1）+2×（11×9+1）+5×（11-1）+1=[11×（6×909+4×91+2×9+5）]+[（6+2+1）-（4＋5）]上式第一个中括号内的数能被11整除，要判断64251能否被11整除，只要（6＋2＋1）-（4＋5）=0能被11整除，因为11|0，所以11|64251，而（6＋2+1）-（4+5）恰好是64251的奇数位上的三个数减去偶数位上的两个数字．6．能被7、11、13整除的数的特征是：如果这个数的末三位数所组成的数与末三位以前的数所组成的数的差（大减小）能被7、11、13整除，这个数就能被7、11、13整除．例如要判断1096823能否被7、11、13整除，由于7×11×13=1001，所以7|1001，11|1001，13|10011096823=1096×1000+823=1096×（1001-1）+823=1096×1001-（1096-823）因为1096×1001能被7、11、13整除，要判断1096823能否被7、11、13整除，只要判断1096-823=273能否被7、11、13整除，由于7|273，13|273，11不能整除273，所以7|1096823，13|1096823，11不能整除1096823，而1096-823恰好是1096823的末三位以前的数所组成的四位数减去1096823的末三位数所组成的数．下面举例说明整除的性质及数的整除特征的应用．例1在□内填上适当的数字，使（1）34□□能同时被2、3、4、5、9整除；（2）7□36□能被24整除；（3）□1996□□能同时被8、9、25整除．分析：（1）题目要求34□□能同时被2、3、4、5、9整除，因为能被4整除的数一定能被2整除，能被9整除的数一定能被3整除，所以34□□只要能被4、9、5整除，就一定能被2、3、4、5、9整除．先考虑能被5整除的条件．个位是0或5，再考虑能被4整除的条件，由于4不能整除34□5，所以个位必须是0，最后考虑能被9整除的条件，34□0的各个数位上的数字和是9的倍数，3+4+□+0=7+□，这时十位数字只能是2，问题得以解决．（2）题目要求7□36□能被24整除，24=3×8，而3与8互质，根据整除的性质，考虑被24整除，只要分别考虑被3、8整除就行了．先考虑被8整除的条件，7□36□的末三位数所组成的数36□能被8整除，所以个位数字只能是0或8，当个位数字为0时，由于要求7□360能被3整除，所以7+□+3+6+0=16+□能被3整除，这样千位数字只能是2或5或8；当个位数字为8时，由于要求7□368能被3整除，所以7+□+3+6+8=24+□能被3整除，这样千位数字只能是0或3或6或9．（3）题目要求□1996□□能同时被8、9、25整除，首先考虑能被25整除的条件，□1996□□的末两位数能被25整除，末两位数只能是00，25，50，75．其次考虑能被8整除的条件，□1996□□的末三位数字组成的数能被8整除，但600，625，650，675这四个数中，只有600这个数能被8整除．最后□199600这个数能被9整除，其各个数位上的数字和□+1+9+9+9+6+0=25+□能被9整除，所以第七位数字是2．解：（1）因为34□□能同时被2、3、4、5、9整除，因此只要34□□能同时被4、5、9整除．由于34□□能被5整除，所以个位数字只能是0或5，又因为4不能整除34□5，所以个位必须是0，又34□0能被9整除，3+4+□+0=7+□能被9整除，所以十位数字只能是2．3420能同时被2、3、4、5、9整除．（2）因为24=3×8，3与8互质，7□36□被8整除的条件是，7□36□的末三位数所组成的数36□能被8整除，所以个位数字只能是0或8；当个位数字是0时，7□360能被3整除，7+□+3+6+0=16+□能被3整除，所以千位数字只能是2或5或8；当个位数字是8时，7□368能被3整除，7+□+3+6+8=24+□能被3整除，所以千位数字只能是0或3或6或9．所以所求的数为72360，75360，78360，70368，73368，76368，79368．（3）因为□1996□□能被25整除，□1996□□的末两位数能被25整除，这样末两位数只能是00，25，50，75；又因为□1996□□能被8整除，但□1996□□的末三位数600，625，650，675这四个数中，只有600能被8整除；而□199600又能被9整除，□+1+9+9+6+0+0=25+□能被9整除，所在第七位数字只能是2．所以2199600能同时被8、9、25整除．例2把915连续写多少次，所组成的数就能被9整除，并且这个数最小．分析：要求这个数能被9整除，而9+1+5=15显然不能被9整除，但3×15能被9整除，因此只要把915连续写3次，所组成的数就能被9整除，并且这个数最小．解：因为9+1+5=15，15不能被9整除，而3×15能被9整除，所以只要把915连续写3次，即915915915必能被9整除，且这个数最小．例3希希买了九支铅笔，两支圆珠笔，三个练习本和五块橡皮．她看到圆珠笔每支3角9分，橡皮每块6分，其余她没注意．售货员要她付3元8角，希希马上说：“阿姨你算错了．”请问售货员的帐算错了没有？为什么？分析：根据圆珠笔与橡皮的单价，可以算出圆珠笔、橡皮共需39×2+6×5=108（分），而3元8角即380分减去108分等于272分，这272分是买九支铅笔、三个练习本的价格，这9与3正好是3的倍数，也就是说九支铅笔与三个练习本的总价钱应是3的倍数（无论它们各自的单价是多少），而272不是3的倍数，显然是售货员把账算错了．解：两支圆珠笔和五块橡皮的总钱数39×2+6×5=108（分）3元8角即380分，380-108=272（分）应是九支铅笔与三个练习本付的总价钱，因为九支铅笔与三个练习本的总价钱必是3的倍数，而272不是3的倍数，所以售货员把账给算错了．例4三个数分别是346，734，983，请再写一个比996大的三位数，使这四个数的平均数是一个整数．分析：要使这四个数的平均数是一个整数，说明这四个数的和必是4的倍数．因为346+734+983=2063，被4除余3，比996大的三位数只有997被4除余1，这时2063+997=3060必能被4整除．解：因为346+734+983=2063，被4除余3，比996大的三位数只有997被4除余1，且2063+997必能被4整除，所以第四个数为997．例5一个三位数的百位、十位、个位数字分别是8、a、除．这样问题比较容易解决了．数是819．。

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能被2整除的数有：30、44、62、70、110 能被5整除的数有：15、30、70、85、110
能同时被2、5整除的数有：30、70、110
总
结
•通过这一课的学习，请同学们谈谈自己有什么收获？
能被2、5整除的数的特征
设计人：潘斐
例题
2×5=10 2×6=12 2×7=14 2×8=16 2×9=18
观察上面各算式的积看是谁的倍数，这些数能被2整除吗？这些数有什么特征？
能被2整除的数的特征
个位上是：0、2、4、6、8
练习
下面的数那些能被2整除？
20、22、25、34、40、58、
65、79、90 能被2整除的数有：20、22、 34、40、58、90
奇数和偶数
• • • • • • • • 能被2整除的数叫做偶数。例如：0、2、4、6、8、10…… 特征：个位上是0、2、4、6、8 最小的偶数是：0 不能被2整除的数叫做奇数。例如：1、3、5、7、9、11…… 特征：个位上是1、3、5、7、9 最小的奇数是：1
能被5整除的数的特征
个位上是：0或5
练
习
下面的数那些能被5整除？ 20、22、25、34、40、58、 65、79、90
能被5整除的数有：20、25、 40、90
例题

下面的数那些能被2整除？下面的数那些能被 5整除？下面的数那些能同时被2和5整除？ 10、11、12、13、14、15、16、17、18、 19、20 能被2整除的数有：10、12、14、16、18、 20 能被5整除的数有：10、15、20 同时被2和5整除的数有：10、20 观察能被2和5整除的数有什么特征？
能同时被2、5整除的数的特征
•个位上是：0
练习
下面的数那些能同时被2和5
整除20、22、25、34、40、58、 65、79、90 能同时被2、5整除的数有： 20、40、90
练习
下面那些数能被2整除，那些数能被5整除，
那些数能同时被2和5பைடு நூலகம்除？ 15、23、30、44、57、62、70、85、110
自然数
自然数包括奇数和偶数
练习
下面的数那些是奇数、那些是偶数？ 20、22、25、34、43、58、 65、79、90 奇数有：25、43、65、79 偶数有：20、22、34、58、90
例题
5×2=10 5×3=15 5×4=20 5×5=25 5×6=30
观察上面各算式的积看是谁的倍数，这些数能被5整除吗？这些数有什么特征？