平顶高斯超高斯高阶高斯

平顶⾼斯超⾼斯⾼阶⾼斯
平顶⾼斯、超⾼斯、⾼阶⾼斯函数的基础知识
⾼斯函数是⾼等教育中⼀个⽐较重要的函数，在概率统计、光学等众多学科中都有它的
⾝影。

它的函数形式为2
2()*exp()x
w f x a =-，在不同学科中具体表⽰会略有不同，⽐如描述光束的振幅时函数与上式相同，描述光强时2
2
2()*exp()r
w I r a =-。

本⽂将介绍⾼斯函数的基本概念以及常见的⾼阶⾼斯、超⾼斯和平顶⾼斯的具体定义等。

这些函数在激光理论和强激光理论中有着重要的作⽤，⾼斯函数是谐振腔的本质模式，基模和⾼阶模可以分别有⾼斯和⾼阶⾼斯函数描述；在强激光的应⽤中常要求光斑要均匀，可以⽤超⾼斯或平顶⾼斯函数描述。

1 ⾼斯函数及其扩展函数
1.1 ⾼斯函数
（1）⼀般形式：将最⼤幅度定为1,即a=1，则2
2()exp()x
w f x =-。

其图像如下
（2）⼀个具有⾼斯型空间分布的脉冲，强度分布为2
2
2()exp()r
w I r =-图像为
（3）⼀个时间上具有⾼斯分布的脉冲，函数形式2
22()exp()t I t w
=-，图像为
1.2⾼阶⾼斯函数
⾼阶⾼斯函数有很多种分类，常见的就有⾼阶贝塞尔⾼斯函数、⾼阶拉盖尔⾼斯函数、⾼阶厄⽶⾼斯函数、⾼阶椭圆⾼斯函数（包括⾼阶椭圆厄⽶⾼斯函数、⾼阶椭圆拉盖尔⾼斯函数）等等，现就这⼏类分别说明。

（1）⾼阶贝塞尔⾼斯函数形式：
2
2
()()exp m x f x J x w ??=-
其中()m J x 是第⼀类⾼阶贝塞尔函数，m 为阶数，w 为光束束腰宽度。

m=0,1,2,3时的贝塞尔函数曲线为：
m=0,1,2,3时的⾼阶贝塞尔⾼斯函数曲线为：
具有这种形式的空间分布的光束横截⾯图像为：
（2）⾼阶厄⽶⾼斯光束：是⽅形镜共焦腔的本征函数厄⽶多项式()p H x ，p 为阶数。

011112()2()2()0
n n n H H x
H x xH x nH x +-==-+=递推公式为：
p=0,1,2,3,4,5的厄⽶多项式的图像为：
所以⾼阶厄⽶⾼斯光束xy 两个⽅向同时考虑的函数形式为：
222
(,)(/)(/)exp m n x y E x y H x w H y w w ??
+=-
，其中m H n H 分别为m ，n 阶厄⽶函数，w 为束腰宽度。

则⼏个低阶横模的光强分布图像为：
（3）⾼阶拉盖尔⾼斯函数：圆形镜共焦腔的本征函数拉盖尔多项式()n L x ，其中n 为阶数01223
2
34324543251142918616729624
25200600600120
L L x L x x L x x x L x x x x L x x x x x ==-+=-+=-+-+=-+-+=-+-+-+
拉盖尔多项式也可以写成：
()()n x
n x
n n
d L x
e x e dx
-= 前⼏阶拉盖尔多项式的图像为：
缔合拉盖尔函数()m n L x ，其中n 为阶数
01221
1
[2(2)(1)(2)]/2
m m
m L L x m L x m x m m ==-++=-++++
缔合拉盖尔多项式的递推公式为：
12()[(21)()(1)()]/m m m
n n n L x n m x L x n m L x n --=+---+-
⾼阶缔合拉盖尔⾼斯光束xy 两个⽅向同时考虑的函数形式为：
22
2222
(,)()exp exp()m m n x y x y E x y L im w w ++=--
，其中m L n L 分别为m ，n 阶拉盖尔函数，w 为束腰宽度，arctan(/)y x ?=为相位⾓。

则⼏个低阶横模的光场分布图像为：（这⾥取得是光场E 的实部）
（2）⾼阶椭圆⾼斯光束：⼀般的椭圆⾼斯光束复振幅可形式为：
10()exp 2T ik E r E r Q r -??
=-
其中k 为波⽮，(,)T
r x y =，E0为常数。

11111xx xy xy yy q q Q q q -----?? ?= ?
为复曲率张量，120/ij ij q i w λπ-=-。

⽽三维不可分离变量的p 阶椭圆⾼斯光束为：
1()exp 2T p p ik E r H r Q r -??
=-
，p=0,1,2,…
其中p H 为p 阶厄⽶多项式。

p=0时约化为⼀般的椭圆⾼斯函数。

p=0,1,2,3,4,5阶时的平⾯图像为：
总结：从横截⾯图中的可以看出椭圆型的⾼斯光束，其光斑不在是圆形⽽是椭圆形，并且在传输过程中光强分布会发⽣旋转。

只要将圆形的⾼斯光束复振幅中的2
2r w
换成12T ik r Q r -，
即21
22
T r ik r Q r w -=，就可以变成椭圆型的这种⾼斯光束。

⽐如⾼阶椭圆贝塞尔⾼斯光束、⾼阶椭圆厄⽶⾼斯光束、⾼阶椭圆拉盖尔⾼斯光束。

所以本⼩节其实是以⾼阶椭圆厄⽶⾼斯光束为例进⾏介绍⾼阶椭圆⾼斯光束的。

1.3超⾼斯函数
在直⾓坐标系中，超⾼斯函数的形式：()exp ,2N x f x N w ??
=-≥ ? ? ?
，N 为阶数，当
N=2时约化为⾼斯函数。

N=2,4,6,8时的函数图像为：
具有超⾼斯形式分布的光束横截⾯图就可想⽽知了。

1.4平顶⾼斯函数
（1）平顶⾼斯光束的原始形式：222201()exp ,0,1,2...!k
N k x x f x N w k w =
=-= ? ?????
∑ N 称为阶
数。

当N=2时22222221()exp 12x x x f x w w w
=-++
，图像为：
⼀个具有平顶⾼斯空间分布（x,y对称分布，阶数相同）的脉冲其空域图像如下：
通过其横截⾯图可以看出，平顶⾼斯光束的光斑中⼼的强度近似⽐较均匀。

（2）平顶⾼斯函数改进形式：
22
22
(1)1(1)
()exp,0,1,2...
!
k
N
k
N x N x
f x N
w k w
=
++
=-=
∑
当N=2时
2
222
222
3313
()exp1
2
x x x
f x
w w w
=-++
，图像为
函数图像与原始型类似，具有该种函数分布的空间或时间脉冲的图像与原始型也类似（3）平顶⾼斯函数原始型与改进型的区别下图将给出N=0,4,16时原始型与改进型的图像
从图中可以看出，改进型的平顶⾼斯函数的束宽随N 的变化不⼤，且N=0时退化为⾼斯函数，所以应⽤较多。

（4）平顶⾼斯光束的束宽x W ⽤⼆阶矩定义2
x σ定义：
2x x W σ=，
222
2
|(,)||(,)|x x E x z dx E x z dx
σ∞
-∞
∞
-∞
=
这种定义使平顶⾼斯光束的传输满⾜ABCD 定律
1.5平顶多⾼斯函数
在直⾓坐标系中，平顶多⾼斯光束的函数形式：
2
2
exp ()exp()
m N
m N m N
m N
x m w f x m ==-==---?? ???=-∑∑，
其中w为基模⾼斯光束的束腰宽度，N为平顶多⾼斯光束的阶数（N=0,1,2,3…）。

N=0时约化为⾼斯函数。

当N=0，2，4，8时的函数图象如下：。