一道高中学业水平考试题的解法与推广
2023年6月福建高中学业水平合格性考试数学试卷真题(答案详解)
2023年6月福建高中学业水平合格性考试数学试卷真题（答案详解）一、选择题1.甲、乙两数的和是15，乙、丙两数的和是23，已知甲、丙两数的和是35，求甲、乙、丙三数的和。
题解：设甲、乙、丙三数分别为x、y、z，根据题意可得以下等式：x + y = 15 (1)y + z = 23 (2)x + z = 35 (3)将上述三个等式相加，得到：2x + 2y + 2z = 73x + y + z = 73 / 2 = 36.5所以甲、乙、丙三数的和为36.5。
2.若函数 f(x) = ax^2 + bx + c 的图象经过点 (1, 2)，并且在 x = 2 处的导数为 3，求 a、b、c 的值。
题解：由题意可得以下等式：a +b +c = 2 (1)4a + 2b + c = 3 (2)将等式 (1) 乘以 2，减去等式 (2) 的两倍，得到：2a - b = 1 (3)将等式 (1) 乘以 4，减去等式 (2) 的四倍，得到：4a - b = -1 (4)解方程组 (3) 和 (4) 可得 a = 1，b = -1，c = 2。
二、填空题1.若正方形 ABCD 的边长为 x，则其面积为 \\\_。
解：正方形的面积为边长的平方，所以面积为 x^2。
2.若对于任意实数 x，都有 f(x) = f(-x)，则函数 f(x) 的对称轴方程为 \\\_。
解：函数 f(x) 的对称轴方程为 x = 0。
三、解答题1.一辆卡车开出150km/h的速度行驶了2小时后，由于发现车上货物不牢靠，司机停车重新安装货物，停车时间为30分钟，然后以120km/h的速度继续行驶，此后到达目的地还需行驶1小时。
求该卡车从出发到达目的地一共行驶了多少公里。
解：卡车在前2小时行驶了2 * 150 = 300公里。
停车30分钟相当于0.5小时，所以在120km/h的速度下行驶了0.5 * 120 = 60公里。
最后1小时行驶了1 * 120 = 120公里。
2023年6月广东省普通高中学业水平考试数学试题(含解析)
2023年6月广东省普通高中学业水平考
试数学试题(含解析)
本文对广东省2023年6月普通高中学业水平考试数学试题进行了详细解析和讲解。
试题难度适中，题型多样，试卷总体难度适中。
试卷主要分为选择题、填空题和解答题三个部分。
其中选择题数量较多，所占比重也较大，考查了考生对数学知识的熟练程度和理解能力。
填空题主要考察考生的计算能力和文字叙述能力。
解答题部分难度较大，需要考生深入理解和掌握相关知识点。
试题涉及的知识点主要包括函数、集合、三角函数、导数和积分等。
需要考生熟练掌握这些知识点，并能够将其灵活应用于实际问题中。
本文附带了完整的试题和解析，对每一道题都进行了详细的讲解和分析，希望能够对广东省考生备战2023年普通高中学业水平考试数学科目有所帮助。
总之，广东省2023年6月普通高中学业水平考试数学试题难度适中，题型多样，主要考察考生对数学知识的熟练程度和理解能力，需要考生熟练掌握相关知识点并加强练习和应用。
希望考生们能够认真备考，取得好成绩！。
2023年福建省普通高中高二1月学业水平合格性考试数学试题+答案解析(附后)
一、单选题：本题共15小题，每小题3分，共45分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要2023年福建省普通高中高二1月学业水平合格性考试数学试题求的。
1.已知集合，则( )A.B.C.D.2.一个正方体的六个面上分别有字母A ，B ，C ，D ，E ，F ，如下图所示是此正方体的两种不同放置，则与D 面相对的面上的字母是( )A. BB. EC. B 或FD. E 或F3.直线的倾斜角是( )A. B.C. D.4.函数的定义域是( )A.B.C. D. R5.随机投掷一枚质地均匀的骰子，出现向上的点数为奇数的概率是( )A. B.C. D.6.等差数列中，若，公差，则( )A. 10B. 12C. 14D. 227.已知函数则( )A. 4B. 2C.D.8.已知，且为第一象限角，则( )A. B.C.D.9.函数的零点所在的区间是( )A. B.C.D.10.函数的最小正周期是( )A. B. C. D.11.如图，在长方体体中，分别是棱的中点，以下说法正确的是( )A.平面 B. 平面C. D.12.函数的图象大致为( )A. B.C. D.13.为了得到函数的图象，只需把函数的图象( )A. 向右平移个单位长度，再向上平移1个单位长度B. 向右平移个单位长度，再向下平移1个单位长度C. 向左平移个单位长度，再向上平移1个单位长度D. 向左平移个单位长度，再向下平移1个单位长度14.已知，则的大小关系是( )A. B. C. D.15.下列各组向量中，可以用来表示向量的是( )A. B.C. ，D.二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。
16.数列的前n项和为，且，则__________.17.的内角所对的边分别为，且，则__________.18.已知向量与满足，且，则与的夹角等于__________.19.一车间为了规定工时定额，需要确定加工某零件所需的时间，为此进行了多次试验，收集了加工零件个数x与所用时间分钟的相关数据，并利用最小二乘法求得回归方程据此可预测加工200个零件所用的时间约为__________分钟．20.某工厂要建造一个容积为的长方体形无盖水池．如果该水池池底的一边长为，池底的造价为每平方米200元，池壁的造价为每平方米100元，那么要使水池的总造价最低，水池的高应为__________三、解答题：本题共5小题，共50分。
高中学业水平考试经验交流
高中学业水平考试经验交流高中的学业水平考试，对于每一位同学来说都具有重要的意义。
它不仅是对我们阶段性学习成果的检验，还关系到我们能否顺利毕业，甚至在一定程度上影响着未来的升学。
在这里，我想和大家分享一下我在高中学业水平考试中的一些经验，希望能对大家有所帮助。
首先，要重视基础知识的学习和积累。
学业水平考试的内容大多是基础知识，因此，在日常的学习中，我们要认真对待每一个知识点，做到理解透彻、记忆准确。
比如，在学习数学的时候，要熟练掌握公式、定理的推导过程和应用方法；在学习语文时，要注重字词、语法、古诗文的背诵等。
不要觉得这些基础知识简单就掉以轻心，只有扎实的基础，才能在考试中应对自如。
制定合理的学习计划也是非常关键的。
我们可以根据考试的时间安排，提前制定好复习计划。
将各个学科的知识点进行合理分配，每天安排一定的时间进行复习。
比如，周一复习语文，周二复习数学，周三复习英语，以此类推。
同时，要注意留出一些机动时间，用于处理突发事件或者对薄弱环节进行加强复习。
制定好计划后，一定要严格按照计划执行，不能三天打鱼，两天晒网。
做好课堂笔记也能为我们的复习提供很大的帮助。
课堂上，老师会讲解很多重点和难点知识，及时做好笔记，可以让我们在课后复习时有据可依。
笔记要做得清晰、有条理，重点内容可以用不同颜色的笔进行标注。
复习的时候，结合笔记和教材，能够更好地理解和掌握知识点。
多做练习题是提高成绩的有效方法之一。
通过做练习题，我们可以熟悉考试的题型和出题规律，提高解题的速度和准确性。
在做题的过程中，要注意总结解题方法和技巧，对于做错的题目，要认真分析原因，及时进行纠正。
可以准备一个错题本，将做错的题目整理出来，经常进行回顾，避免在考试中犯同样的错误。
在复习的过程中，要学会合理安排时间，注重学科之间的平衡。
不能因为某一学科比较薄弱就花费大量的时间，而忽略了其他学科。
每个学科都有其特点和重要性，要根据自己的实际情况，合理分配时间和精力。
河北省高中数学学业水平考试试题+考点分析+答案解析
启用前为机密2018年12月河北省高中数学学业水平考试数学试卷（后附详细考点分析及答案解析）注意事项：1.本试卷共4页，包括两道大题，共33小题，总分100分，考试时间120分钟。
2.所有答案在答题卡上作答，在本试卷和草稿纸上作答无效，答题前请仔细阅读答题卡上的“注意事项”，按照“注意事项”的规定答题。
3.答选择题时，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，请用橡皮将原选涂答案擦干净，再选其他答案。
4.考试结束后，请将本试卷与答题卡一并交回。
参考公式：柱体的体积公式：Sh V =（其中S 为柱体的底面积，h 为高）椎体的体积公式：Sh V 31=（其中S 为柱体的底面积，h 为高）台体的体积公式：h S S S S V ⎪⎭⎫ ⎝⎛++=''31（其中'S 、S 分别为台体的上、下底面积，h 为高）球的体积公式：334R V π=（其中R 为球的半径）球的表面积公式：24R S π=（其中R 为球的半径）一、选择题（本大题共30道小题，1-10题，每小题2分；11-30题，每题3分，共80分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的）.1.若{}21<<-=x x A ，{}31<<=x x B ，则A B =.A {}11<<-x x .B {}21<<x x .C {}31<<x x .D φ2.=︒︒30cos 30sin .A 21.B 41.C 23.D 433.从某班级100名学生中，采用系统抽样的方法抽取5名学生进行学情调查，则分段间隔为.A 16.B 8.C 10.D 204.某正方体的棱长为32，其八个顶点在同一球面上，则该球的表面积为.A π4.B π16.C π36.D π645.样本数据1，2，3，4，5的方差是.A 1.B 2.C 2.D 16.在x 轴上截距为3且倾斜角为︒120的直线方程为.A 033=--y x .B 033=-+y x .C 0333=--y x .D 0333=-+y x 7.已知角α的终边过点()4,3-P ，则=αsin .A 53.B 53-.C 54.D 54-8.已知直线01:1=-+y ax l 与直线()031:2=+-+ay x a l 互相垂直，则实数=a .A -1.B 0.C 1.D 29.一个由半球和四棱锥组成的几何体,其三视图如下图所示.则该几何体的体积为3231.π+A 3231.π+B 6231.π+C 621.π+D 10.某人有3个不同的电子邮箱,他要发5封电子邮件,不同发送方法的种数为A.8B.15C.53 D.3511.四边形ABCD 中，若AB 与DC 共线，且22DC AB =，则四边形ABCD 是.A 矩形.B 菱形.C 正方形.D 平行四边形12.已知()⎩⎨⎧>-≤+=0,20,12x x x x x f 则()()=1f f .A 1.B 3.C 5.D 713.已知向量a 、b 的夹角为︒120，且1=a ，2=b ，则=+ba 2.A 1.B -1.C 2.D -214.如图，长方体1111D C B A ABCD -中，21==AB AA ，1=AD ，E、F、G 分别是1DD 、AB 、1CC 的中点，则异面直线E A 1与GF 所成角余弦值是.A 515.B 22.C 510.D 015.若在圆()()161222=++-y x 内任取一点P，则点P 落在单位圆122=+y x 内的概率为A．21B．31C．41D．16116.在公比为q 的等比数列{}n a 中，63=a ，前三项183=S ，则=q .A 1.B 21-.C 1或21-.D -1或21-17.若直线()011=+++y x m 与圆0222=-+x y x 相切,则m 的值为.A 1或-1.B 2或-2.C 1.D -118.设3.07=a ，73.0=b ，3.0log 7=c ,则a 、b 、c 的大小关系是.A cb a <<.B ab c <<.C ba c <<.D ac b <<19.函数()()R x x x x f ∈+=cos 3sin 的图象的一条对称轴是.A 6π=x .B 6π-=x .C 3π=x .D 3π-=x 20.正方体的表面积与其外接球的表面积的比为A.π:3B.π:2C.π2:1D.π3:121.若圆C 与圆()()11222=-++y x 关于原点对称，则圆C 的方程是.A ()()11222=++-y x .B ()()11222=-+-y x .C ()()12122=++-y x .D ()()12122=-++y x 22.函数()()ϕω+=x A x f sin （其中πϕω<<>>0,0,0A ）的图象如图所示，为得到()x x g 2sin =的图象，只需将()x f 图象上所有点.A 向左移3π个单位长度.B 向右移3π个单位长度.C 向左移6π个单位长度向右移6π个单位长度23.在ABC ∆中，若C B A 222sin sin sin <+，则ABC ∆的形状为.A 锐角三角形.B 直角三角形.C 钝角三角形.D 不能确定24.在等差数列{}n a 中，已知1684=+a a ，则该数列前11项和11S 为.A 58.B 88.C 143.D 17625.若x，y 满足约束条件0200x y x y y -≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩则34=-z x y 的最小值为..A -1.B 0.C 1.D226.已知某程序框图如图所示，则执行该程序后输出的结果是.A -1.B 1.C 2.D 1227.已知函数()x f 是定义在R 上的偶函数,当0<x 时,()x f y =是减函数,若21x x <,则.A ()()021<-x f x f .B ()()021>-x f x f .C ()()021<+x f x f .D ()()021>+x f x f 28.已知向量()2,1-=a ，()1,-=y x b ，()0,0>>y x 且b a //，则y x 12+的最小值为.A 7.B 8.C 9.D 1029.设函数()()0ln 31>-=x x x x f ，则()x f y =.A 在区间⎪⎭⎫⎝⎛1,1e ，()e ,1内均有零点.B 在区间⎪⎭⎫⎝⎛1,1e ，()e ,1内均无零点.C 在区间⎪⎭⎫⎝⎛1,1e 内有零点，在区间()e ,1内无零点.D 在区间⎪⎭⎫⎝⎛1,1e 内无零点，在区间()e ,1内有零点30.在数列{}n a 中，21=a ，⎪⎭⎫⎝⎛++=+n a a n n 11ln 1，则n a 等于.A nln 2+.B ()nn ln 12-+.C nn ln 2+.D nn ln 1++二、解答题（本题共3道小题，31题6分，32题7分，共20分，解答题应写出文字说明，演算步骤或证明过程）31.已知a 、b 、c 分别是ABC ∆的三个内角A 、B 、C 所对的边，（1）若ABC ∆的面积23=∆ABC S ，2c =，60o A =，求a 、b 的值；（2）若cos a c B =，且sin b c A =，试判断ABC ∆的形状.32.某家庭记录了未使用节水龙头50天的日用水量数据（单位：3m ）和使用了节水龙头50天的日用水量数据，得到频数分布表如下：未使用节水龙头50天的日用水量频数分布表日用水量[)00.1，[)0.10.2，[)0.20.3，[)0.30.4，[)0.40.5，[)0.50.6，[)0.60.7，频数13249265使用了节水龙头50天的日用水量频数分布表日用水量[)00.1，[)0.10.2，[)0.20.3，[)0.30.4，[)0.40.5，[)0.50.6，频数151310165（1）在答题卡上作出使用了节水龙头50天的日用水量数据的频率分布直方图：m的概率；（2）估计该家庭使用节水龙头后，日用水量小于0.353（3）估计该家庭使用节水龙头后，一年能节省多少水？（一年按365天计算，同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表．）2018年12月河北省高中数学学业水平考试题答案一、选择题1.考点：集合间基本运算.答案：B .解析：两集合的交集是指这两个集合的公共元素组成的集合，画数轴易知B 项正确.2.考点：正弦倍角公式：αααcos sin 22sin =解析：4360sin 2130cos 30sin 22130cos 30sin ==⨯=︒︒︒︒︒.答案：.D 3.考点：简单随机抽样的系统抽样.解析：系统抽样也叫“等距抽样”,其间隔205100===组数总n n d .答案：.D 4.考点：①正方体基本性质.②球体的表面积.解析：正方体外接球的直径等于这个正方体的体对角线长，等于正方体棱长的3倍.设一个正方体的棱长为a ，外接球半径为R ，则有a R 32=，∴a R 23=∴外接球表面积为()πππππ36323323442222=⨯==⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯==a a R S 球.答案：.C 5.考点：①方差的计算②平均数的计算.解析：n 个常数n a a a ,,,21 的平均数为()n a a a nx +++=211，方差为()()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-++-+-=2222121x x x x x x n s n ∴1，2，3，4，5的平均数为()35432151=++++=x ，方差为()()()()()[]2353433323151222222=-+-+-+-+-=s .答案：.B 6.考点：①斜率定义αtan =k （其中α为直线的倾斜角）.②直线方程的点斜式：()00x x k y y -=-.解析：由斜率定义可知直线的斜率为3120tan -==︒k ，由直线在x 轴上截距为3可知直线过点()0,3，∴由直线的点斜式方程可得)330:--=-x y l ，化简得0333:=-+y x l .答案：.D 7.考点：三角函数值定义式的推广式.解析：设角α的终边过点()y x P -,，22y x OP r +==，则r y =αsin ，r x =αcos ，xy =αtan ；∵()54322=-+=r ∴54sin -==r y α.答案：.D 8.考点：两直线垂直的充要条件.解析：直线0:1111=++C y B x A l 与直线0:2222=++C y B x A l ⇔02121=+B B A A ∴由直线01:1=-+y ax l 与直线()031:2=+-+ay x a l 互相垂直得()()011=-⨯++a a a ，解得0=a .答案：.B 9.考点：①三视图②球体、椎体体积解析：由三视图可知,上面是半径为22的半球,体积为6222342131ππ=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⨯=V ,下面是底面积为1,高为1的四棱锥,体积3111312=⨯⨯=V .∴该几何体体积为623121π+=+=V V V .答案：C.10.考点：计数原理.解析:每封电子邮件都有3种不同的发送方法,共有53种不同的发送方法.答案：C.11.考点：①向量共线定理.②22aa =.③平行四边形判定定理.解析：∵AB 与DC 共线，由向量共线定理可知，AB //DC ，∴四边形ABCD 中，CD AB //.又22DC AB =，∴CD AB =，∴CDAB =∴CD AB //，由平行四边形判定定理可知，四边形ABCD 为平行四边形.答案：.D 12.考点：①复合函数求值.②分段函数；口诀为“分段函数分段求，分段函数分段画”.解析:∵()2121-=⨯-=f ，∴()()()()512212=+-=-=f f f .答案:.C 13.考点：①向量的数量积θcos b ab a =⋅（其中θ为a 、b 的夹角）.②22aa=.解析：()2224422bb a ab a b a +⋅+=+=+242121414=+⎪⎭⎫⎝⎛-⨯⨯⨯+⨯=答案：.C 14.考点：①正方体性质②异面直线所成的角.解析：如图，分别连结G B 1，F B 1.∵E A G B 11//，∴GF B 1∠或其补角即为异面直线E A 1与GF 所成的角.在FG B 1∆中，易知3=FG ，21=G B ，51=F B ，∵21212F B G B FG =+由勾股定理可知︒=∠901GF B ∴090cos cos 1==∠︒GF B .答案:.D 15.考点：几何概型.解析：所求概率为224π1π⨯⨯＝161.答案：D .16.考点：等比数列前n 项和及等比数列通项公式.解析：∵⎩⎨⎧==61833a S ∴⎩⎨⎧==++6183321a a a a 即⎪⎩⎪⎨⎧==++)2(6)1(18212111q a q a q a a )2()1(得3122=++qq q 分式化为整式并化简得0122=--q q解得1=q 或21-=q .答案：.D 17.考点：①圆的标准方程()()222r b y a x =-+-的圆心坐标为()b a ,，半径为r .②点到直线距离公式：设点()00,y x P ，直线0:=++C By Ax l ，则()00,y x P 到直线l 的距离2200BA CBy Ax d +++=.解析:圆0222=-+x y x 可化为()1122=+-y x ，可知此圆圆心为(1,0),半径为1.因为直线与圆相切，所以圆心到直线距离等于半径，∴()1111012=+++++m m 即()1122++=+m m 。
2024年天津市高中数学学业水平合格考试卷试题(含答案)
2024年高中学业水平合格性考试模拟练习数学学科本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．共100分，考试时间90分钟．参考公式：柱体的体积公式V Sh =，其中S 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高．球的体积公式24π3V R =，其中R 表示球的半径．第Ⅰ卷一、选择题：（本大题共15个小题，每小题3分，共计45分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合{}0,1,2,3U =，集合{}0,1,2M =，{}0,2,3N =，则U M N = ð（）．A ．∅B ．{}1C ．{}2,3D ．{}0,1,22．命题“R x ∃∈，()12f x <≤”的否定形式是（）．A ．R x ∀∈，()12f x <≤B ．R x ∃∈，()12f x <≤C ．R x ∃∈，()1f x ≤或()2f x >D ．R x ∀∈，()1f x ≤或()2f x >3．复数1i1i+-等于（）．A ．1B ．1-C ．i D ．i-4．不等式()()120x x --≥的解集为（）．A ．{|}12x x ≤≤B ．}1{|2x x x ≤≥或C ．{}2|1x x <<D ．}1{|2x x x <>或5．坐标平面内点P 的坐标为()sin 5,cos5，则点P 位于第（）象限．A ．一B ．二C ．三D ．四6．某射手在一次射击中，射中10环，9环，8环的概率分别是0.2，0.3，0.1，则此射手在一次射击中不够8环的概率为（）．A ．0.9B ．0.6C ．0.4D ．0.37．为了得到函数πsin 23y x ⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象，可以将函数sin 2y x =的图象（）．A ．向右平移π6个单位B ．向右平移π3个单位C ．向左平移π6个单位D ．向左平移π3个单位8．在△ABC 中，π3A =，3BC =，AB =，则C =（）．A ．π6B ．π4或3π4C ．3π4D ．π49．若l ，m 是两条不同的直线，α是一个平面，l α⊥，则“l m ⊥”是“m α∥”的（）．A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件10．下列函数中，周期为π且为偶函数的是（）．A ．sin(22πy x =-B ．cos(2)2πy x =--3）C ．sin(2πy x =+D ．cos()2πy x =+11．三个数3log 2a =，21log 4b =，0.512c -⎛⎫= ⎪⎝⎭之间的大小关系为（）．A ．a c b <<B ．a b c <<C ．b a c<<D ．b c a<<12．一个圆柱的底面直径和高都等于球O 的直径，则球O 与该圆柱的体积之比为（）．A ．18B ．16C ．12D ．2313．如图，在平行四边形ABCD 中，AB a = ，AD b = ，点E 满足13EC AC = ，则DE =（）．A ．2133a b-B ．2133a b- C ．1233a b- D ．1233a b- 14．已知正四面体ABCD ，M 为AB 中点，则直线CM 与直线BD 所成角的余弦值为（）．A ．23B ．36C ．2121D ．4212115．函数()22log 43xf x a x a =+⋅+在区间1,12⎛⎫⎪⎝⎭上有零点，则实数a 的取值范围是（）．A ．12a <-B ．32a <-C ．3122a -<<-D ．34a <-第Ⅱ卷二、填空题：本大题共5个小题，每小题3分，共15分．请将答案填在题中横线上。
高中语文学考试卷讲评教案
一、教学目标1. 知识与技能：帮助学生梳理考试中涉及的知识点，强化对重点难点的理解。
2. 过程与方法：通过讲评，让学生学会分析试卷，提高答题技巧。
3. 情感态度与价值观：培养学生认真对待考试、积极进取的精神。
二、教学重点1. 分析考试中涉及的知识点，总结规律。
2. 提高答题技巧，提升解题能力。
3. 引导学生树立正确的考试观念。
三、教学难点1. 如何帮助学生梳理考试中的知识点。
2. 如何提高学生的答题技巧。
3. 如何引导学生树立正确的考试观念。
四、教学过程（一）导入1. 复习上一次考试的题型和题目，让学生谈谈自己的感受和收获。
2. 引导学生关注本次考试的试卷特点，提出讲评重点。
（二）讲评1. 分析试卷结构，总结考试题型和分值分布。
2. 针对每个题型，分析考试中涉及的知识点，重点讲解重点难点。
a. 古诗文阅读- 分析诗歌、文言文阅读的答题技巧，如理解诗句含义、翻译句子、概括内容等。
- 举例讲解常见题型，如选择题、简答题、翻译题等。
b. 现代文阅读- 分析文章结构、主旨、论点等，提高学生对文章的整体把握能力。
- 举例讲解常见题型，如选择题、简答题、分析题等。
c. 语言文字运用- 分析词语、成语、句子的运用，提高学生的语言表达能力。
- 举例讲解常见题型，如选择题、改错题、连贯题等。
d. 作文- 分析作文评分标准，引导学生关注立意、结构、语言等方面的要求。
- 举例讲解作文高分技巧，如选材、开头、结尾等。
3. 总结考试中常见错误，引导学生避免类似错误。
4. 针对学生的答题情况，提出改进建议。
（三）总结与反思1. 让学生回顾本次考试讲评内容，总结自己的收获。
2. 引导学生反思自己的学习方法和态度，提出改进措施。
3. 鼓励学生树立信心，为下一次考试做好准备。
五、教学评价1. 观察学生在课堂上的参与度，了解学生对讲评内容的掌握程度。
2. 通过课后作业、测试等方式，检验学生对讲评内容的理解和运用能力。
3. 关注学生的情绪变化，了解学生的心理需求，给予适当的心理辅导。
高中学业水平考试必备技巧与方法
汇报人：可编辑 2024-01-04
• 制定学习计划 • 高效学习方法 • 应试技巧 • 学科备考策略 • 备考心态调整
01
制定学习计划
确定学习目标
明确考试要求
了解考试大纲，明确考试范围和要求 ，确保学习目标与考试要求相匹配。
设定具体目标
将学习目标具体化，如提高数学成绩 、掌握历史事件等，有助于更有针对 性地学习。
通过深呼吸和冥想放松身心，缓解焦虑情绪，提高专注力。
积极应对压力
学会合理分配时间和任务，避免拖延和压力积累，及时解决问题 。
寻求支持
与同学、老师或家长交流，寻求支持和帮助，共同解决问题。
增强自信心
设定可实现的目标
01
设定具体、可实现的学习目标，逐步完成，提高自信心。
自我肯定和鼓励
02
学会自我肯定和鼓励，关注自己的进步和成就，增强自信心。
03
应试技巧
熟悉考试题型
选择题
掌握题目考查的知识点，学会排除法，逐一 排除错误选项。
填空题
仔细审题，明确题目要求，避免出现格式或 单位错误。
解答题
仔细阅读题目，明确答题步骤和要点，注意 解题的完整性和逻辑性。
掌握答题技巧
时间分配
合理分配时间，避免因为 时间不足而影响答题质量 。
难题处理
遇到难题不要慌张，先放 下，待完成其他题目后再 回来处理。
制定时间表
规划学习时间
根据学习目标和任务量，合理安排每日学习时间，确保按计划进行。
设定优先级
将学习任务按照重要性和紧急性进行排序，优先完成重要且务
将学习目标分解为具体的小任务，如每 天背诵10个单词、做5道数学题等。
福建省高一上学期学业水平测试数学试题(解析版)
一、单选题1．已知集合，，则（ ） {}2,1,0,1,2A =--{}|1B x x =≤≤A B = A ． B ．C ．D ．{}2,1,0,1--{}1,0,1-{}0,1{}2,1,0,1,2--【答案】B【分析】根据集合，按照交集的定义直接运算即可.,A B【详解】因为，，所以. {}2,1,0,1,2A =--{}|1B x x =≤≤{}1,0,1A B =- 故选：B.2．已知命题，则的否定是（ ） 2:0,0p x x ∀<>p A ． B ． 20,0x x ∀<<20,0x x ∀<≤C ． D ．20,0x x ∃<<20,0x x ∃<≤【答案】D【分析】根据含有量词的命题否定方法来求解.【详解】因为命题，所以的否定是. 2:0,0p x x ∀<>p 20,0x x ∃<≤故选：D.3．已知,则＝（ ） lg 2,lg 3a b ==2log 12A ．a +b B ．2a -bC ．D ．2a b a+2a b a+【答案】C【分析】根据换底公式将写为,再用对数运算法则展开,将代入即可. 2log 12lg12lg 2lg 2,lg 3a b ==【详解】解:因为,而. lg 2,lg 3a b ==2lg12lg 4lg 32lg 2lg 32log 12lg 2lg 2lg 2a ba+++====故选:C4．已知角顶点在坐标原点，始边与轴非负半轴重合，终边与单位圆交于点，则αx 34,55P ⎛⎫- ⎪⎝⎭＝（ ）πtan(π)cos 2αα⎛⎫--+ ⎪⎝⎭A ．B ．C ．D ． 32151115815-2915-【答案】A【分析】通过三角函数定义得出角的三角函数值，利用诱导公式化简表达式后求出数值.α【详解】角终边与单位圆交于点，则，，.α34,55P ⎛⎫- ⎪⎝⎭3cos 5α=-4sin 5α=4tan 3α=-.πtan(π)cos 2αα⎛⎫--+ ⎪⎝⎭4432tan sin 3515αα=-+=+=故选：A.5．已知函数为奇函数，则不等式的解集为（ ）2()21x f x a =-+3()5f x <A ． B ．C ．D ．(2,)-+∞(2,)+∞(,2)-∞-(,2)-∞【答案】D【分析】根据是奇函数求出参数的值，求解不等式.()f x a 【详解】函数定义域为，又为奇函数，所以，故，经检验符合题()f x R ()f x (0)10f a =-=1a =意； 不等式，即，，，，所以. 3()5f x <231215x-<+22215x >+215x +<24x <2x <故选：D.6．已知函数，，的零点分别为，，，则（ ） ()e x f x x =+()ln g x x x =+3()h x x x =+a b c A ． B ． C ． D ．a b c <<a c b <<c b a <<c a b <<【答案】B【分析】结合函数单调性，根据零点的定义列方程，确定各函数零点的正负情况，即可比较,,a b c 的大小.【详解】显然：函数，，在定义域内都是增函数， ()e x f x x =+()ln g x x x =+3()h x x x =+又， ()e 0e 00a a f a a a a =+=⇒=->⇒<而中的，()ln 0g b b b =+=0b >令，()32()100h c c c c c c =+=+=⇒=，，的大小顺序为：，a ∴bc a c b <<故选：B ．7．若不等式的解集为则（ ） 2221x mx m -+-<<(),2n m n -=A ．-2 B ．-1C ．0D ．1【答案】C【分析】由题可得对称轴在之间,最小值大于-2,且的两个根为22y x mx m =+-(),2n 221x mx m +-=,列出相应不等式,找到关于的范围,再根据韦达定理解出的值,计算即可. ,2n ,n m ,m n m n -【详解】解:因为不等式的解集为,2221x mx m -+-<<(),2n而开口向上,所以有, 22y x mx m =+-22mn ≤-≤且最小值大于-2,即,解得:,2254m ->-285m <且的两个根为,221x mx m +-=,2n 所以,解得:,, 2+221n m n m =-⎧⎨=--⎩35m n =⎧⎨=-⎩11m n =-⎧⎨=-⎩当时,不符合,故舍,35m n =⎧⎨=-⎩285m <所以,所以. 11m n =-⎧⎨=-⎩0-=m n 故选:C8．已知函数，则方程的实数解的个数至多是（ ）()2223,0log 2,0x x x f x x x ⎧+-≤=⎨->⎩()()f f x k ＝A ．5 B ．6C ．7D ．8【答案】B【分析】根据复合方程问题，换元，作函数图象分别看内外层分别讨论方程()t f x =()()f f x k ＝根的个数情况，即可得答案.【详解】设，则化为，()t f x =()()f f x k ＝()f t k ＝又，所以，，()2223,0log 2,0x x x f x x x ⎧+-≤=⎨->⎩()()10322f f f ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭()1144f f ⎛⎫-=-= ⎪⎝⎭如图为函数的大致图象：()f x由图可得，当时，有两个根，即或，此时方程3k >-()f t k ＝1212,2t t -()2t f x =<-()12t f x =>最多有5个根；()()f f x k ＝当时，有三个根，即或43k -<≤-()f t k ＝1231121,10,42t t t -<<--<<<<()21f x -<<-或，此时方程最多有6个根； ()10f x -<<()1142f x <<()()f f x k ＝当时，有两个根，即或，此时方程有4k =-()f t k ＝1211,4t t =-=()1f x =-()14f x =()()f f x k ＝4个根；当时，有一个根，即，此时方程有2个根； 4k <-()f t k ＝104t <<()104f x <<()()f f x k ＝综上，方程的实数解的个数至多是6个. ()()f f x k ＝故选：B.二、多选题9．已知集合,若是的充分条件,则a 可以是（ ） {}{}0,A x x B x x a =>=≥x A ∈x B ∈A ．-1 B ．0 C ．1 D ．2【答案】AB【分析】根据充分条件的概念,得出集合之间的包含关系,即可得出的范围,选出选项. a 【详解】解:因为是的充分条件, x A ∈x B ∈所以,所以有. A B ⊆0a ≤故选:AB10．若且，则（ ） 0a >0a b +<A ． B ． 1ab<-22a b <C ．D ．2b aa b+<-33b a b +<【答案】BCD【分析】由且，得出，结合作差比较法和基本不等式可得答案. 0a >0a b +<0b <【详解】对于A ，因为且，所以，所以，即，A 不正确； 0a >0a b +<0b <10a a bb b ++=>1a b>-对于B ，由选项A 可知，所以，即，B 正确；0a b ->()()220a b a b a b -=-+<22a b <对于C ，由于异号，所以，所以，由于等号只能在时取到，,a b 0,0a b b a <<2b a a b ⎛⎫⎛⎫-+-≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭a b =所以，即，C 正确；2b a a b ⎛⎫⎛⎫-+-> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2b a a b +<-对于D ，因为，所以，D 正确. b a b <+33b a b +<故选：BCD.11．已知，，则（ ） sin α7cos 225β=π,0,2αβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭A ．B ．C ．D ． αβ<2a b >π6β>π3αβ+<【答案】AC【分析】根据平方公式、二倍角公式、和差角公式，结合正弦函数与余弦函数的单调性，逐项判断即可.【详解】因为，所以，又，所以，27cos 212sin 25ββ=-=29sin 25β=π0,2β⎛⎫∈ ⎪⎝⎭3sin 5β=所以，即，又函数，在上单调递增，1sin sin 2αβ<<πsin sin sin 6αβ<<sin y x =π0,2⎛⎫⎪⎝⎭π,0,2αβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， 则，故A 正确，C 正确； π6αβ<<因为，所以， π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭7cos cos 225αβ==>=又函数，在上单调递减，所以，故B 不正确；cos y x =()0,π2a b <因为，，所以，π0,2β⎛⎫∈ ⎪⎝⎭3sin 5β=4cos 5β==所以，又，所()43π1cos cos cos sin sin cos 5532αβαβαβ+=-==<=()0,παβ+∈以，故D 不正确. π3αβ+>故选：AC.12．已知定义在R 上的函数不恒等于零，，且对任意的∈R ，有()f x ()0f π=,x y ，则（ ）(2)(2)()()f x f y f x y f x y +=+-A ．B ．是偶函数 (0)2f =()f xC ．的图象关于点中心对称D ．是的一个周期()f x (π,0)2π()f x 【答案】ABC【分析】分别给取适当值代入条件，通过代数表达式判断函数性质.,x y 【详解】对于A ，令得，又函数不恒等于零，所以，y x =(2)(2)(2)(0)f x f x f x f +=()f x (0)2f =选项A 正确；对于B ，令得，所以，故函数是偶y x =-(2)(2)(0)(2)2(2)f x f x f f x f x +-==(2)(2)f x f x -=()f x 函数，选项B 正确； 对于C,D ，令，得，即，π2t x +=π2t y -=(π)(π)()(π)0f t f t f t f ++-==(π)(π)f t f t +=--，所以函数是周期函数，且周期为，选项D 错误；又是偶()()()4π2πf t f t f t +=-+=()f x 4π()f x函数，即，所以，即，(π)(π)f t f t -=-(π)(π)(π)(π)0f t f t f t f t ++-=++-=(π)(π)f t f t +=--所以的图象关于点对称，选项C 正确. ()f x (π,0)故选：ABC.三、填空题13．已知，则______________. ()123f x x +=-()4f =【答案】3【分析】根据函数解析式凑项法得的解析式，从而可求的值.()f x ()4f 【详解】因为，所以，则. ()()123215f x x x +=-=+-()25f x x =-()42453f =⨯-=故答案为：.314．已知扇形的圆心角为,弧长为,则该扇形的面积为__________. π42π3【答案】## 8π98π9【分析】根据圆心角和弧长求得半径,根据弧长和半径利用扇形面积公式即可求得结果. 【详解】解:记扇形的半径为,因为圆心角,弧长, r π4α=2π3l =所以,即,解得,l r α=2ππ34r =83r =所以扇形的面积. 112π88π22339S lr ==⨯⨯=故答案为:8π915．若关于x 的方程有解，则k 的取值范围为 _____________. 141k x xx x+=+【答案】[)9,+∞【分析】根据方程，讨论，时，可将方程化为有解，结0x >0x <141kx xx x+=+22145k x x=++合基本不等式及函数特点，即可求得k 的取值范围. 【详解】方程转化为， 141kx xx x+=+114k x x x x ⎛⎫=++ ⎪ ⎪⎝⎭当时，方程为，当，0x >22111445k x x x x x x ⎛⎫⎛⎫=++=++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭0x <，22111445k x x x x x x ⎛⎫⎛⎫=----=++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭即方程有解，又，，22145k x x =++20x >2214559x x ++≥=当且仅当，即时，取到最小值，2214x x=212x =9所以函数，所以k 的取值范围为. [)221459,y x x ∞=++∈+[)9,+∞故答案为：.[)9,+∞16．声音是由物体的振动产生的能引起听觉的波，每一个音都是由纯音合成的，纯音的数学模型是函数.某技术人员获取了某种声波，其数学模型记为，部分图象如图所示，对sin πy A t ω=()y H t =该声波进行逆向分析，发现它是由两种不同的纯音合成的，满足，其中，则＝ _________.(参考数据：()()9sin 2πsin π0810H t t t ωω=+<<50.8663H ⎛⎫≈- ⎪⎝⎭ω)1.732≈【答案】3 【分析】将代入，结合题干数据可得，又，可得或，53t =()H t 05πsin 3ω⎛⎫⎪⎭=⎝()10H =3ω=6ω=又1不是的周期，从而可求出满足题意的的值.()H x ω【详解】由，且， ()()9sin 2πsin π0810H t t t ωω=+<<50.8663H ⎛⎫≈- ⎪⎝⎭得5595sin 2πsin π33103H ω⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭, 0.86610π95π95πsinsin sin 3103103ωω⎛⎫⎛⎫=+=≈- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以.1.732≈ 1.7320.8662≈=05πsin 3ω⎛⎫ ⎪⎭=⎝由图可知，()991sin 2πsin πsin π01010H ωω=+==故，即.ππ,k k ω=∈Z ,k k ω=∈Z因为，且，所以或.08ω<<05πsin 3ω⎛⎫⎪⎭=⎝3ω=6ω=由图可知，1不是的周期， ()H x 当时，， 6ω=()9sin 2πsin 6π10H t t t =+此时， ()()()()991sin 2π1sin 6π1sin 2πsin 6π1010H t t t t t H t +=+++=+=周期为1，不符合题意. 当时，，易知，满足题意. 3ω=()9sin 2πsin 3π10H t t t =+()()1H t H t +≠综上，. 3ω=故答案为:3.四、解答题17．已知函数. ()122xxf x =-(1)若，求的值； ()32f x =x (2)判断函数的奇偶性并证明. ()f x 【答案】(1)；1x =(2)为奇函数，证明见解析. ()f x【分析】（1）由可得，解指数方程即可求解；()32f x =13222xx -=（2）求出，结合奇函数的定义即可判断. ()f x -【详解】（1）由，可得,即，解得（舍）或()32f x =13222x x -=()2223220x x -⋅-=122=-x22x =，解得.1x =（2）的定义域为，且， ()f x R ()()112222xx x x f x f x ---=-=-=-故函数为奇函数. ()f x 18．已知函数 ()21xf x x =+(1)根据定义证明函数在单调递减；()f x ()1,+∞(2)若不等式对一切实数都成立，求的取值范围.()f x b <x b【答案】(1)证明见解析 (2) 1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【分析】（1）根据函数单调性步骤取值、作差、变形、定号、下结论证明即可； （2）判断函数的奇偶性，结合单调性求解函数的最值，即可得的取值范围. b 【详解】（1）证明：任取，121x x >>则， ()()()()()()()()22122112121212122222221212121111111x x x x x x x x x x x x f x f x x x x x x x --+---=-==++++++因为，所以，所以，121x x >>()()22121221110,10,0x x x x x x ++>->-<()()120f x f x -<即，故函数在单调递减； ()()12f x f x <()f x ()1,+∞（2）因为函数的定义域为，所以，故为奇函数， ()21xf x x =+R()()21x f x f x x --==-+()f x 由（1）知函数在单调递减， ()f x ()1,+∞任取，120x x ≤<则， ()()()()()()()()22122112121212122222221212121111111x x x x x x x x x x x x f x f x x x x x x x --+---=-==++++++因为，所以，所以，120x x ≤<()()22121221110,10,0x x x x x x ++>--()()120f x f x -<即，故函数在单调递增； ()()12f x f x <()f x [)0,1所以此时，又且是方程唯一的根， ()()max 112f x f ==()00f =0x =()0f x =所以时，，又为奇函数，所以[)0,x ∈+∞()10,2f x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦()f x ()11,22f x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦不等式对一切实数都成立，则()f x b <x ()max 12b f x >=即的取值范围是.b 1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭19．某同学用“五点法”画函数在某一个周期内的图像时，()()πsin ,0,0,2f x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭列表并填入了部分数据，如下表：x ωϕ+0π2π3π2 2πxπ37π12()f x 0 2 02-0(1)请将上表数据补充完整，并根据表格数据做出函数在一个周期内的图像；()y f x =(2)将的图形向右平移个单位长度，得到的图像，若的图像关于()y f x =()0θθ>()y g x =()y g x =y 轴对称，求的最小值. θ【答案】(1)答案见解析 (2) 2π3【分析】）（1）根据表格，分别求得，即可得到函数的解析式，从而得到其函数图像； ,,A ωϕ()f x （2）根据题意，由函数图像变换，列出方程即可求得的最小值. θ【详解】（1）x ωϕ+0π2π3π22πxπ12π37π12 5π613π12()f x 02 02-0由表中数据可得，，，所以，则，2A =7ππ4123T =-πT =2π2πω==当时，，则，所以π3x =π2x ωϕ+=π6ϕ=-()π2sin 26f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭（2）由题意可得，， ()()ππ2sin 22sin 2266g x x x θθ⎡⎤⎛⎫=--=-- ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭因为的图像关于y 轴对称，()y g x =则，， ππ2π62k θ--=+k ∈Z 解得， ππ3k θ=--k ∈Z 且，所以当时， 0θ>1k =-min 2π3θ=20．中国梦蕴含航天梦，航天梦助力中国梦.2022年11月29日23时08分，搭载神舟十五号载人飞船的长征二号遥十五运载火箭在酒泉卫星发射中心成功点火发射，实现了神舟十五号航天员乘F 组与神舟十四号航天员乘组太空在轨轮换.已知火箭起飞质量（单位：）是箭体质量（单x kg M 位：）和燃料质量（单位：）之和.在发射阶段，不考虑空气阻力的条件下，火箭的最大速kg m kg 度（单位：）和x 的函数关系是，其中为常数，且当燃料质量为0v km/s ln ln v a x b M =+,a b kg时，火箭的最大速度为0.已知某火箭的箭体质量为，当燃料质量为时，该火km/s kg M ()2e 1kg M -箭最大速度为4.km/s (1)求该火箭的最大速度与起飞质量之间的函数关系式；v x (2)当燃料质量至少是箭体质量的多少倍时，该火箭最大速度可达到8？km/s 【答案】(1)2ln 2ln v x M =-(2)燃料质量至少是箭体质量的倍时，该火箭最大速度可达到8 ()4e 1-km/s【分析】（1）有题意可得，求得的值，即可得该火箭的最大速度与起()20ln ln 4ln e ln a M b Ma Mb M =+⎧⎪⎨=+⎪⎩,a b v 飞质量之间的函数关系式；x （2）设且，根据（1）中关系式，代入即可解得的值，从而得答案.m kM =0k >k 【详解】（1）因为火箭的最大速度（单位：）和x 的函数关系是，v km/s ln ln v a x b M =+又时，，；时，，，0m =x m M M =+=0v =()2e 1m M =-2e x m M M =+=4v =所以，解得， ()20ln ln 4ln e ln a M b Ma Mb M =+⎧⎪⎨=+⎪⎩2,2a b ==-所以；2ln 2ln v x M =-（2）设且，则，又m kM =0k >()1x m M k M =+=+2ln 2ln v x M =-所以时可得，即，解得8v =()82ln 12ln k M M =+-()()14ln ln 1k Mk M +==+4e 1k =-故燃料质量至少是箭体质量的倍时，该火箭最大速度可达到8. ()4e 1-km/s21．已知函数在区间上的最大值为. ()2cos sin f x x x x m =-+π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦32(1)求函数的解析式；()f x (2)当时，对于给定的实数，若方程有解，则记该方程所有解的和为，求,22ππx ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦a ()f x a =a S 的所有可能取值. a S 【答案】(1) ()1sin 262πf x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭(2)的所有可能取值为. a S ππππ,,0,,3663--【分析】（1）根据三角恒等变换化简函数，利用正弦型函数的性质求得最大值，即可得的()f x m 值，从而得函数的解析式； ()f x （2）根据，确定函数的单调性及取值情况，作出函数的图象，根据方,22ππx ⎡⎤∈-⎢⎣⎦()f x ()y f x =程的根与函数对称性分类讨论得所有取值即可.a S【详解】（1）， ()211π1cos sin 2cos 2sin 22262f x x x x m x x m x m ⎛⎫=-+=++-=++- ⎪⎝⎭因为，所以， π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦ππ7π2,666x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦所以，则， ()max 13122f x m =+-=1m =则； ()1sin 262πf x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭（2）当，则，所以当时函数单调递减，,22ππx ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦π5π7π2,666x ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦ππ,23x ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦ππ,36x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时函数单调递增，当时函数单调递减， ππ,62x ⎡⎤∈⎢⎣⎦又，π5π1π7π1ππ1sin 0,sin 0,sin 0262262662f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+==+=-=-+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭, ππ11ππ13sin ,sin 32226222f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=-=+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭则可得函数的图象如下：()y f x =对于给定的实数，若方程有解，a ()f x a =则当时，方程的根为，此时； 32a =π6x =π6a S =当时，方程的两根关于直线对称，此时； 13,22a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭π6x =π3a S =当时，方程的根有三个，关于直线对称，此时； 12a =1π3x =-23,x x π6x =ππ033a S =-+=当，方程有四个根，关于直线对称，关于直线对称，此时10,2a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭12,x x π3x =-34,x x π6x =； 2πππ333a S =-+=-当时，方程的根有三个，此时； 0a =123πππ,,262x x x =-=-=ππππ2626a S =--+=-综上，的所有可能取值为. a S ππππ,,0,,3663--22．已知函数，.()ln(2)ln f x x x a =+++()e ln(2)x g x a x =-+(1)当时，解不等式；1a =()1f x x <+(2)证明：当时，函数有唯一的零点x 0，且恒成立.1a ≥()f x 0()0g x >【答案】(1)； (2,e 2)--(2)证明见解析.【分析】（1）由对数型函数的单调性直接求解即可；（2）由在上单调递增，利用零点存在性定理可知存在唯一的， ()f x (2,)-+∞01(2,0)x a∈-由化简后可得，利用均值不等式及等号成立条件即可得00ln ln(2)x a x +=-+0001()ln 2g x x a x =+++证.【详解】（1）当时，，由可得， 1a =()ln(2)f x x x =++()1f x x <+ln(2)1x +<解得，即，02e x <+<2e 2x -<<-故不等式的解为.(2,e 2)--（2）因为与均为增函数，y x =ln(2)y x =+所以在上单调递增，()f x (2,)-+∞当时，，1a ≥(0)ln 2ln 0f a =+>， 1111(2)2ln ln 21210f a a a a a-=-++=-≤-=-<所以存在唯一的，使得， 01(2,0)x a∈-0()0f x =即函数有唯一零点，()f x 0x 所以，即，00ln(2)ln 0x x a +++=00ln ln(2)x a x +=-+所以，即， 00ln ln(2)e e x a x +-+=001e 2x a x =+所以， 000000011()e ln(2)ln 22ln 22x g x x x a x a x x α=-+=++=++-+++因为，所以， 012x a >-0120x a+>>所以，当且仅当与时等号成立. 0()2ln ln 0g x a a ≥=-+≥01x =-1a =当时，由知，即，所以等号不成立， 01x =-00ln ln(2)x a x +=-+ln 1a =e a =所以.0()0g x >。
(必修1)：试题解法探究与推广.docx
解法探究与推广湖北省孝感高级中学蒋志方王国涛题th 设A 是单位圆x 2 + r =1上的任意一点，/是过点A 与X 轴垂直的直线，Q 是直线/与X 轴的交点, 点M 在直线/上,且满^\DM\ = m\DA\(m>O,m 1),当点A 在圆上运动时，记点M 的轨迹为曲线C.(I)求曲线C 的方程，判断曲线C 为何种圜锥曲线，并求其焦点朋标；(I I)过原点且斜率为R 的直线交曲线C 于P,0两点，其中P 在第一象限，它在y 轴上的射影为点N,直线QN 交曲线C 于另一点是否 存在加，使得对任意的k>0,都有P0丄PH?若存在，求加的值；若不存在，请说明理由。
此题取材于课本，经过加工改造后又高于课本，充分体现了高考命题依纲靠本，源于教材乂高于教材 的指导思想。
本题以探索性问题设问，考杏椭圆中恒乖直问题，这是高考考杏的热点之一。
主要考•杳椭圆 中的基木量，求轨迹方程的方法，直线与椭圆的位置关系，向量数量积运算，方程恒成立等知识。
渗透分 类讨论，函数与方程，数形结合，化归与转化等数学思想。
本题也一改总是考查韦达定理中两根和，积的 传统模式，有利于纠正“教学题型化”，“解题套路化”的片而做法，实现了新课改背景下考查解析儿何问 题的创新与突破。
因此木题达到了考查学生创新意识的目标，是一道能有效考查数学基础知识，基木思想 和思维能力的优秀试题，值得探究耳推广。
1解法探究2解(I)解法 1(转移法)设 M^y\A{x.y^^\DM\ = m\DA 得 IyI =加 II ，丁 / +=1,X 2 +^y = l,叶①若0 v 血v 1,则曲线C 为焦点在x 的椭圆，其焦点为椭恻，其焦点为解法2 (参数法)设M (x,y),A ( 〒+差=1,下同解法1。
nr(II)解法1 (直接求交点法)不妨设存在加合题意，山=2人••• QN 直线方程为y — km\Jm 2-\-k~ y = kx得(m 2+k 2)x 2=v 7=将其代入椭圆/772%2 + )2 = ,772消去y 得由 | = m DA 得 x = cos &, (±Vl-m 2,0);②若加〉1则曲线C 为焦点在y 的• • NQN••• EQ 关丁。
2023年广东省普通高中学业水平第一次合格性考试物理真题试卷含详解
2023年第一次广东省普通高中学业水平合格性考试物理本试卷共8页，50小题，满分100分。
考试用时60分钟。
注意事项：1.答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。
用2B铅笔将试卷类型（A）填涂在答题卡相应位置上。
将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。
2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。
答案不能答在试卷上。
3.考生必须保持答题卡的整洁。
考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
一、单选题I：本大题共10小题，每小题1分，共10分。
在每小题列出的三个选项中，只有一项符合题目要求。
1.下列单位中，属于力的单位的是（）A.JB.NC.W2.小明和小红坐在同一行驶的列车上，小明认为小红处于静止状态，小明选择的参考系是（）A.地面B.所乘列车C.路边树木3.地面上的观察者测得真空中的光速为v1，在匀速直线运动的列车内，观察者测得真空中的光速为v2，根据狭义相对论，下列判断正确的是（）A.v1>v2B.v1<v2C.v1=v24.下列情景中，能将研究对象视为质点的是（）A.研究地球的自转B.研究列车通过长江大桥需要的时间C.研究飞机从广州到北京的飞行轨迹5.航天员刘洋在太空授课，信号从中国空间站发至地面接收站，利用的是（）A.无线电波B.红外线C.X射线6.关于点电荷，下列说法正确的是（）A.点电荷是一种理想模型B.质量小的带电体就是点电荷C.电量少的带电体就是点电荷7.如图所示，平直公路上相隔一定距离有两个电子抓拍点，用来测量车辆经过该路程的所需时间，该路程与所需时间的比值是（）A.车辆瞬时速度的大小B.车辆平均速度的大小C.车辆平均加速度的大小8.关于磁场和磁感线，下列说法正确的是（）A.磁场和磁感线都是真实存在的B.磁感线越密的地方，磁场越强C.沿磁感线方向，磁场一定逐渐减弱9.在地面上空的同一位置，将树叶与石块由静止释放，通常树叶比石块下落慢，原因是（）A.石块下落时不受空气阻力B.质量小的物体重力加速度小C.树叶下落时受空气阻力影响较大10.某小组用图所示电路研究电磁感应现象。
学业考察：高中生习题解析与讲解
学业考察：高中生习题解析与讲解引言在高中阶段，学生们面临课业负担加重、学习压力增大的情况。
为了更好地应对学业考察，掌握知识点和解题技巧是非常重要的。
本文将就高中生习题解析与讲解展开讨论，从解题的步骤、常用解题方法和注意事项等方面进行详细说明，帮助学生们更好地应对学业考察。
正文1. 解题步骤高中生习题解析与讲解的第一步是理清思路和步骤。
解题过程中，可以按照以下步骤进行：H1 理解题意在解答习题之前，首先要仔细阅读题目，理解题意和要求。
通读题目，明确问题的具体要求，将问题完整地搬到纸上，以便更好地进行解答。
H1 梳理条件在理解题意的基础上，梳理所给的条件和已知信息。
根据题目内容，将已知的条件和信息进行整理和归纳，有助于更好地找出解决问题的方法。
H1 确定解题思路在梳理条件的基础上，根据题目的性质和要求，确定解题思路和方法。
可以采用分析、归纳、类比等方法，找出解决问题的关键点和方法。
H1 进行计算和推导在确定解题思路之后，按照找到的方法进行计算和推导。
根据已知条件和问题要求，运用相关的知识和技巧进行计算、推导、分析等过程，得出最后的答案和结论。
H1 检查和复核答案在完成解题之后，要进行答案的检查和复核。
将已知条件和所得结果进行对照，检查解题过程中可能出现的错误和疏漏。
确保所得结果的准确性和可靠性。
2. 常用解题方法高中生习题的解答往往需要运用到各种不同的解题方法和技巧。
下面介绍几种常用解题方法：H1 条件分析法条件分析法是一种常用的解题方法，它通过分析题目中所给的条件，找出问题的关键点和条件限制。
在解题过程中，将已知条件与问题要求进行比较和对照，找到解题的思路和方法。
H1 类比法类比法是一种通过类比和比较类似问题的解决方法。
当遇到一个较为复杂的问题时，可以尝试寻找与该问题相似或有类似解法的问题，从中借鉴经验和解题思路，来解决当前问题。
H1 空间变化法空间变化法是一种通过将问题的条件和要求抽象到空间中，进行变换和观察，来寻找问题的解答。
高中数学学考例题讲解教案
高中数学学考例题讲解教案
一、教学目标
1. 熟练掌握高中数学学考相关知识点；
2. 能够运用所学知识解决实际问题；
3. 提高解题速度和准确性。
二、教学重点和难点
重点：概率、不等式、函数等知识点的应用；
难点：题目解题过程中的思维逻辑和推理能力。
三、教学准备
1. 整理相关知识点的教学资料；
2. 准备数学学考例题；
3. 准备白板、彩色笔、计算器等教学用具。
四、教学过程
1. 引入：通过一个生活案例引入概率的概念，让学生了解概率的基本概念和计算方法；
2. 梳理：回顾不等式、函数等知识点的重点概念和相关性质；
3. 练习：让学生自主完成一定数量的数学学考例题，并在教师的指导下查漏补缺；
4. 分析：讲解一到两道较为典型的例题，重点突出解题思路和方法；
5. 拓展：针对学生可能出现的疑惑或难点，进行相关知识点的拓展讲解；
6. 练习：布置一定数量的作业题目，让学生在课后巩固所学知识；
7. 总结：帮助学生总结当天学习内容，强化记忆和理解。
五、课后作业
1. 完成教师布置的作业题目；
2. 复习所学知识点，提出自己的疑问和问题；
3. 阅读相关数学学考资料，获取更多解题技巧和方法。
六、教学反思
通过本节课的教学，学生是否能够熟练掌握高中数学学考相关知识点？是否能够灵活运用所学知识解决实际问题？是否能够提高解题速度和准确性？根据学生的学习情况和反馈意见，及时调整教学方法，做出相应的改进。
高中数学学业水平讲解教案
高中数学学业水平讲解教案教学目标：1. 确保学生掌握高中数学基础知识，并能够灵活运用于解决实际问题；2. 帮助学生提高数学学业水平，达到或超过预定目标水平；3. 在学生中建立较强的数学学习兴趣，激发他们对数学的学习热情。
教学内容：1. 高中数学基础知识的系统复习和讲解；2. 针对性解决学生在学习过程中出现的问题，重点讲解难点知识；3. 通过案例分析、实例演练等方式，帮助学生加深对数学知识的理解。
教学方式：1. 讲授：老师以讲解的方式介绍知识点，引导学生理解；2. 练习：通过练习巩固和加深学生对知识点的理解；3. 分组讨论：组织学生分组进行讨论和交流，促进学生之间的合作和互助；4. 案例分析：通过案例分析激发学生的思维能力和解决问题的能力；5. 实例演练：通过实例演练帮助学生掌握和应用数学知识。
教学步骤：1. 复习：对上节课内容进行复习，引导学生回顾和巩固知识；2. 讲解：老师讲解本节课的重点知识点，解释难点概念；3. 练习：学生进行相关练习，巩固和加深对知识点的理解；4. 分组讨论：学生进行分组讨论，互相交流解题思路和方法；5. 案例分析：分析相关案例，引导学生思考问题解决的途径；6. 实例演练：进行实例演练，检验学生对知识点的掌握程度；7. 总结：对本节课的学习内容进行总结，并提出下节课的预习内容。
教学评价：1. 课堂表现：观察学生在课堂上的积极性和专注度；2. 作业情况：检查学生作业完成情况和正确率；3. 知识掌握情况：通过小测验等方式检测学生对知识点的掌握情况；4. 学习态度：评价学生的学习态度和参与度。
教学反馈与调整：根据学生的学习情况和反馈意见，及时调整教学计划，矫正教学方法，为学生成长提供有效帮助。
2023-2024学年四川省普通高中高三上学期学业水平考试数学试题+答案解析
2023-2024学年四川省普通高中高三上学期学业水平考试数学试题一、单选题：本题共10小题，每小题4分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )A.B.C.D.2.已知i 是虚数单位，则( )A. B. C.D.3.已知向量，，则( )A.B. 14C.D.4.已知直线l 的方程为，则直线l 的斜率为( )A.B. C.D. 25.某高中一、二、三年级学生参加社团活动的人数分别为500，300，200，现用分层抽样的方法从中抽取100人参加艺术节表演，则抽出的高一年级学生人数为( )A. 20 B. 30 C. 40D. 506.已知，则的值为( )A.B.C.D.7.某同学计划在四大名著《三国演义》《水浒传》《西游记》《红楼梦》中随机选一本作为课外读本，则《红楼梦》恰好被选中的概率为( )A. B. C.D.8.函数的图象是( )A. B.C. D.9.若球的表面积为，则顶点均在该球球面上的正方体体积为( )A. 256B. 64C. 27D. 810.若函数在R上是增函数，则实数a的取值范围为( )A. B. C. D.二、填空题：本题共4小题，每小题4分，共16分。
11.若，求圆心坐标为__________.12.已知，则的最小值为__________.13.函数的最小正周期是__________.14.如图，在正方体中，直线与平面ABCD所成角的正切值为__________.三、解答题：本题共5小题，共64分。
解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分已知数列为等差数列，且，求数列的通项公式；求数列的前n项和16.本小题分已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且求角A的大小；若，，求17.本小题分如图，在三棱锥中，底面ABC是边长为4的正三角形，且，求证：平面ABC；求点A到平面PBC的距离.18.本小题分已知点，在椭圆上.求椭圆C的离心率；过点P的直线l与椭圆的另一个交点为R，当为坐标原点的面积最大时，求直线l的方程.19.本小题分已知函数，当时，求函数的单调区间；若不等式恒成立，求实数a的取值范围.答案和解析1.【答案】C【解析】【分析】本题考查集合的交集运算，属于基础题.直接求交集即可.【解答】解：集合，，则 .故选：2.【答案】B【解析】【分析】本题考查复数的乘法运算，属于基础题.根据复数乘法运算求解即可.【解答】解：，故选：3.【答案】A【解析】【分析】本题考查向量数量积的坐标运算，属于基础题.根据数量积的坐标表示求解.【解答】解：因为向量，，所以 .故选：A4.【答案】A【解析】【分析】本题主要考查斜截式方程，属于基础题.根据直线方程直接求解.【解答】解：由直线l的方程为可知，斜率 .故选：5.【答案】D【解析】【分析】本题主要考查分层随机抽样，属于基础题.直接根据比例关系计算得到答案.【解答】解：抽出的高一年级学生人数为： .故选：6.【答案】C【解析】【分析】本题考查由一个三角函数值求其他三角函数值，属于基础题.根据同角三角函数的基本关系求解.【解答】解：因为，所以，故选：7.【答案】D【解析】【分析】本题考查古典概型及其计算，属于基础题.直接计算概率即可.【解答】解：《红楼梦》恰好被选中的概率为 .故选：8.【答案】A【解析】【分析】本题主要考查对数函数的图像，考查对数型函数的定义域和值域，属于中档题.根据函数定义域及函数值的正负判断即可.【解答】解：因为的定义域为，故BD错误；又，故C错误；故A正确.故选：9.【答案】B【解析】【分析】本题主要考查外接球问题，属于中档题.根据正方体体对角线为外接球直径计算即可.【解答】解：因为球的表面积为，所以，解得，设正方体的棱长为a，因为正方体外接球的直径为正方体的体对角线，所以，即，所以 .故选：10.【答案】D【解析】【分析】本题主要考查利用导数由函数的单调性求参，属于中档题.求出函数的导数，问题转化为在R恒成立，利用判别式即可求出a的范围．【解答】解：函数，，若在R上是增函数，则在R上恒成立，可得，解得，故选：D11.【答案】【解析】【分析】本题考查了圆的一般方程和标准方程，考查了转化思想，属于基础题．将一般方程化为标准方程，然后确定其圆心坐标即可．【解答】解：由，可得圆的标准方程为，所以圆心坐标为故答案为：12.【答案】6【解析】【分析】本题考查利用基本不等式求最值，属于基础题．【解答】解：，，当且仅当时，取“=”，所以的最小值为故答案为：13.【答案】【解析】【分析】本题考查正弦函数的周期性，属于基础题.首先根据题意得到，再求最小正周期即可.【解答】解：函数，最小正周期是 .故答案为：14.【答案】【解析】【分析】本题考查直线与平面所成角，属于中档题.根据正方体性质及线面角定义求解.【解答】解：设正方体的棱长为1，在正方体中，平面ABCD，故在平面ABCD上的射影为BD，所以为直线与平面ABCD所成角，故 .故答案为：15.【答案】解：设等差数列的公差为d，则，即，所以，所以 .由知，【解析】本题主要考查等差数列的通项公式，以及前n项和公式，属于基础题.根据等差数列的通项公式列方程求出公差即可得解；根据等差数列求和公式得解.16.【答案】解：由正弦定理可得：，由知，可得，即，由知， .由余弦定理可得：，解得 .【解析】本题考查正弦定理与余弦定理解三角形，属于中档题.由正弦定理及同角三角函数的基本关系得解；由余弦定理直接求解.17.【答案】解：，，，，，，，又平面 ABC ，平面 ABC .设点A 到平面 PBC 的距离为 h ， 中 BC 边上的高为 .在中， BC 边上的高，所以 ，又 ，所以 ，即 ，所以，解得.即点A 到平面 PBC 的距离为.【解析】本题考查线面垂直的判定，点面距离的求解，属于中档题.根据边长的关系可得线线垂直，再由线面垂直的判定定理证明；利用等体积法求点到面的距离.18.【答案】解：因为点 ，在椭圆上，所以 ，，所以，即，所以椭圆离心率.设，如图，则 ，由R在椭圆上可知，所以，所以当时，有最大值，此时或，所以直线l的方程为或，即直线l为或 .【解析】本题主要考查椭圆的离心率，考查椭圆中三角形面积问题，属于中档题.根据椭圆所过顶点求出即可得解；设，表示出三角形的面积，再由的范围求最值，确定出R点坐标，得出直线方程即可.19.【答案】解：当时，，定义域为，，当时，，当时，，所以的单调递增区间为，单调递减区间为 .因为恒成立，所以恒成立，即 .令，则，令可得，由为减函数知，当时，，当时，，所以函数在上单调递增，在上单调递减，故当时，，所以 .【解析】本题考查利用导数求函数的单调区间，利用导数研究函数恒成立问题，属于较难题.求出函数的导数，利用导数求函数的单调区间；第11页，共11页不等式恒成立可转化为 ，利用导数求出函数 的最大值即可.。
2020年高考复习：类比推广题的解法
高考试卷中类比推广题的解法（215200）江苏省吴江市高级中学 韩保席著名数学教育家G •波利亚说过：“类比似乎在一切发现中有作用，而且在某些发现中有它最大的作用。
”波利亚的思想近年来在处于高考改革前沿的上海高考卷中得到了广泛的体现，试卷中出现了不少利用类比或推广来解决问题的创新试题。
这类问题涉及知识面广、开放度高、灵活性强，本文略举几例，加以分析，希望能窥一斑而见全豹。
1 等差数列与等比数列类比例1.在等差数列}{n a 中，若010=a ，则有等式=+++n a a a Λ21 ),19(1921是正整数n n a a a n <+++-Λ成立，类比上述性质，相应地：在等比数列}{n b 中，若19=b ，则有等式： 。
（2000上海高考题）分析：不妨设等差数列的公差为d ，则Λ,3,2,789d a d a d a -=-=-=而Λ,3,2,131211d a d a d a ===故191a a 到恰好关于10a 成负对称，所以有：21a a +=++n a Λ),19(1921是正整数n n a a a n <+++-Λ。
在等比数列}{n b 中，相似地，19=b Θ，设公比为q ，则有Λ362781,1,1qb q b q b ===，且,,21110q b q b == Λ312q b =，易见108b b 与，117b b 与，126b b 与171b b 与Λ互为倒数，这样不难得到： ),17(172121是正整数n n b b b b b b n n <=-ΛΛ。
等差数列和等比数列是两类特殊的数列，在很多地方有相同或相似的性质，如：若=++=+q p n a a a t s q p t s q p 则有成等差数列若且是正整数,}{,,,,, t s a a +；t s q p n a a a a b =则有成等比数列若,}{，在学习时把两类的定义和性质加以类比分析，就不难解决此类问题。
高中学业水平考试数学教案
高中学业水平考试数学教案
教学内容：解决一元二次方程
目标：学生能够熟练解决一元二次方程的题目，掌握方程的解法和应用。
教学步骤：
一、导入新知识（5分钟）
1.复习一元二次方程的定义和基本形式。
2.通过实例引入今天的学习内容，激发学生的学习兴趣。
二、讲解解题思路（15分钟）
1.讲解一元二次方程的解法：配方法、因式分解、直接公式。
2.讲解如何根据方程的形式选择合适的解法。
三、练习与讨论（20分钟）
1.让学生进行练习，包括简单的方程和复杂的方程。
2.组织学生进行小组讨论，分享解题经验和方法。
四、巩固与拓展（10分钟）
1.当堂巩固练习，检测学生掌握情况。
2.开展拓展性练习，挑战学生解决更复杂的方程。
五、作业布置（5分钟）
1.布置合适的作业，巩固学生的学习成果。
2.鼓励学生多加练习，提高解题能力。
六、课堂总结（5分钟）
1.总结今天的学习内容，强调解决一元二次方程的重要性。
2.鼓励学生在课外多加练习，提高数学水平。
教学反思：本节课主要针对一元二次方程的解法进行讲解和练习，通过实例引入、讲解思路、练习讨论、巩固拓展等环节，能够使学生掌握解决一元二次方程的方法和技巧，提高数学水平。
同时，要注重引导学生培养解题思维和方法，加强实际应用的训练，才能真正提高学生的数学能力。
福建省高二学业水平合格性考试数学试题(解析版)
2023年1月福建省普通高中学业水平合格性考试数学试题（考试时间：90分钟；满分：100分）本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分．第I 卷1至4页，第II 卷5至6页． 注意事项：1．答题前，考生将自己的考生号、姓名填写在试题卷、答题卡上．考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“考生号、姓名”与考生本人考生号、姓名是否一致．2．第I 卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号．第II 卷用黑色字迹签字笔在答题卡上作答．在试题卷上作答，答案无效．3．考试结束，监考员将试题卷和答题卡一并收回． 参考公式：样本数据，，，的标准差1x 2x L n xs =柱体体积公式，其中为底面面积，为高V Sh =S h 台体体积公式，()13V S S h '=++其中，分别为上、下底面面积，为高S 'S h 锥体体积公式， 13V Sh=其中为底面面积，为高S h 球的表面积公式，24S R π=球的体积公式， 343V R π=其中为球的半径R 第I 卷（选择题57分）一、单项选择题：本题共15小题，每小题3分，共45分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 若集合，，则（ ）{}1,2,3A ={}2,3,4B =A B = A. B.C.D.{}1,2,3{}1,2,3,4{}2,3,4{}2,3【答案】D 【解析】【分析】根据给定的条件，利用交集的定义求解作答. 【详解】集合，，则. {}1,2,3A ={}2,3,4B ={}2,3A B ⋂=故选：D2. 已知角的顶点与直角坐标系的原点重合，始边与轴的非负半轴重合，那么，下列各角与角终边x 380︒相同的是（ ） A. B.C.D.20︒30︒40︒50︒【答案】A 【解析】【分析】利用终边相同的角的集合逐一对各个选项分析判断即可求出结果.【详解】因为与角终边相同的角的集合为，当时，得到380︒{}|380360,Z k k ββ=︒+⋅︒∈1k =-，又，所以易知BCD 均不符合题意.20β=︒Z k ∈故选：A .3. 函数的定义域是（ ） ()()ln 2f x x =-A. B.C. D.()0,2()2,+∞[2,)+∞(,2)-∞【答案】B 【解析】【分析】解，即可得出函数的定义域. 20x ->【详解】解，可得，20x ->2x >所以，函数的定义域是. ()()ln 2f x x =-()2,+∞故选：B.4. 函数的零点所在的区间是 ()27xf x x =+-()A .B. C. D.()0,1()1,2()2,3()3,4【答案】C 【解析】【分析】由函数可得f （2）•f （3）＜0，再利用函数的零点的判定定理可得函数f （x ）＝2x +x ﹣7的零点所在的区间．【详解】∵函数f （x ）＝2x +x ﹣7，∴f （2）＝﹣1＜0，f （3）＝4＞0，f （2）•f （3）＜0，根据函数的零点的判定定理可得，函数f （x ）＝2x +x ﹣7的零点所在的区间是 （2，3）， 故选C ．【点睛】本题主要考查函数的零点的判定定理的应用，属于基础题． 5. 计算（ ） 1ln 3ln 3+=A. B. 0C. 2D. 31-【答案】B 【解析】【分析】利用对数的运算法则即可求出结果. 【详解】因为， 11ln 3ln ln 3ln 3ln 3ln 303-+=+=-=故选：B.6. 已知，则的最小值为（ ） 0x >4x x+A. 2 B. 3 C. 4 D. 5【答案】C 【解析】【分析】根据题意，利用基本不等式，即可求解.【详解】因为，所以，当且仅当时，即时，等号成立， 0x >44x x +≥=4x x =2x =所以的最小值为. 4x x+2故选：C.7. 下列向量组中，可以用来表示该平面内的任意一个向量的是（ ）A. ，B. ，()1,2a =r()0,0b = ()1,2a =r()1,2b =-- C. ，D. ，()1,2a =r()5,10b = ()1,2a =r()1,2b =- 【答案】D 【解析】【分析】根据平面向量基本定理可知，表示平面内的任意向量的两个向量不能共线，结合选项，即可判断.【详解】表示平面内的任意一个向量的两个向量不能共线，A.向量是零向量，所以不能表示平面内的任意向量，故A 错误；bB.，两个向量共线，所以不能表示平面内的任意向量，故B 错误； a b =-C.，两个向量共线，所以不能表示平面内的任意向量，故C 错误；5b a = D.不存在实数，使，所以向量不共线，所以可以表示平面内的任意向量，故D 正确. λb a λ=,a b 故选：D8. 的内角、、所对的边分别为、、，且，，则边的值为ABC A B C a b c a =60A = 45C = c （） A.B.C.D.12【答案】B 【解析】【分析】利用正弦定理可求得边的长. c 【详解】因为，，由正弦定理，可得a =60A = 45C = sin sin c aC A=.sin sin a Cc A===故选：B.9. 甲、乙两人进行投篮比赛，他们每次投中的概率分别为，，且他们是否投中互不影响．若甲、0.50.6乙各投篮一次，则两人都投中的概率为（ ） A. B.C.D.0.20.30.4 1.1【答案】B 【解析】【分析】根据独立事件同时发生的概率公式，即可求解.【详解】设甲投中为事件，乙投中为事件，两事件相互独立， A B 所以. ()()()0.50.60.3P AB P A P B ==⨯=故选：B10. 为了得到y = sin(x+),的图象，只需把曲线y=sinx 上所有的点 13x R ∈A. 向左平行移动个单位长度 B. 向左平行移动个单位长度 3π13C. 向右平行移动个单位长度D. 向右平行移动个单位长度 3π13【答案】B 【解析】【详解】需把曲线y=sinx 上所有的点向左平行移动个单位长度,得到y = sin(x+),的图象. 1313x R ∈故选B.11. 不等式的解集为（ ） ()20x x ->A. 或.B. 或.{2x x <-0}x >{0x x <2}x >C. D.{}|02x x <<{}|20x x -<<【答案】B 【解析】【分析】根据一元二次不等式的解法，即可求解.【详解】不等式，解得：或， ()20x x ->2x >0x <所以不等式的解集为或. {0x x <2}x >故选：B12. 设，，，则，，的大小关系是（ ）134a =132b =13log 2c =a b c A. B. a b c >>a c b >>C. D.c b a >>b c a >>【答案】A 【解析】【分析】根据指数幂以及对数的运算性质，可得，，进而根据指数函数以及对数函数232a =3log 2c =-的性质，即可得出答案. 【详解】因为，，1213334220a b ==>=>133log 2log 20c ==-<所以，. a b c >>故选：A.13. 函数的图象大致是（ ）||2x y =A. B.C. D.【答案】D 【解析】【分析】设，根据解析式得出函数的奇偶性以及单调性，即可得出答案.()||2x f x =【详解】设，则，所以为偶函数，所以A 、B 项错误.()||2x f x =()()||2x f x f x --==()f x 又当时，为增函数，所以C 项错误，故D 项正确.0x ≥()2xf x =故选：D.14. “”是“”的（ ） a c b c >a b >A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件【答案】A 【解析】【分析】根据条件，利用充分条件和必要条件的判断方法即可得出结果.【详解】若，则，又因为，所以，即， a c b c >()0a c b c a b c -=->0c ≥0a b ->a b >若，因为，当时，不成立， a b >0c ≥0c =a c b c >所以“”是“”的充分不必要条件. a c b c >a b >故选：A.15. 某学校新建的天文观测台可看作一个球体，其半径为．现要在观测台的表面涂一层防水漆，若每3m 平方米需用涂料，则共需要涂料（单位：）（ ） 0.5kg kg A. B.C.D.1.5π 4.5π6π18π【答案】D 【解析】【分析】先利用球的表面积公式求出表面积，再根据条件即可求出结果.【详解】因为，所以球的表面积为，又每平方米需用涂料，所以共需3r =24π36πS R ==0.5kg 涂料.36π0.518π⨯=kg 故选：D二、多项选择题：本题共4小题，每小题3分，共12分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得3分，部分选对的得2分，有选错的得0分．16. 下列函数中，是偶函数的有（ ） A. B.C.D.21y x =+2log y x =2x y =cos y x =【答案】AD 【解析】【分析】先求出函数的定义域，然后将代入，结合偶函数的性质，即可得出答案.x -【详解】对于A 项，设，函数定义域为R ，且，()21f x x =+()f x ()()21f x x f x -=+=所以函数为偶函数，故A 正确；21y x =+对于B 项，因为函数的定义域为，不关于原点对称， 2log y x =()0,∞+所以函数为非奇非偶函数，故B 错误；2log y x =对于C 项，设，函数定义域为R ，但，()2xg x =()g x ()22xx g x --=≠所以函数不是偶函数，故C 错误；2xy =对于D 项，设，函数定义域为R ，()cos h x x =()h x 且，所以函数为偶函数，故D 正确. ()()()cos cos h x x x h x -=-==cos y x =故选：AD.17. 袋中有大小和质地均相同的5个球，其中2个红球，3个黑球．现从中随机摸取2个球，下列结论正确的有（ ）A. “恰有一个红球”和“都是红球”是对立事件B. “恰有一个黑球”和“都是黑球”是互斥事件C. “至少有一个黑球”和“都是红球”是对立事件D. “至少有一个红球”和“都是红球”是互斥事件 【答案】BC 【解析】【分析】以黑球的个数为切入点，试验的样本空间为.将事件用集合表示出来，即可得出答{}0,1,2Ω=案.【详解】以黑球的个数为切入点，试验的样本空间为. {}0,1,2Ω=对于A 项，“恰有一个红球”可用来表示，“都是红球”可用事件来表示. {}1A ={}0B =所以，事件互斥，但不是对立事件，故A 项错误； ,A B ,A B 对于B 项，“恰有一个黑球” 可用来表示，“都是黑球”可用事件来表示. {}1A ={}2C =所以事件互斥，故B 项正确； ,A C 对于C 项，“至少有一个黑球”可用事件来表示，“都是红球”可用事件来表示. {}1,2D ={}0B =所以，事件为互斥事件，也是对立事件，故C 项正确； ,B D 对于D 项，“至少有一个红球” 可用事件来表示，“都是红球”可用事件来表示. {}0,1E ={}0B =所以，事件，即交事件为“都是红球”，故D 项错误. {}0B E = 故选：BC .18. 如图，在长方体中，，下列命题正确的有（ ）1111ABCD A B C D -AB BC =A. 11A B CC ⊥B.11//A B B C C. 平面平面 1A BD ⊥11AAC C D. 平面平面 1//A BD 11CB D 【答案】CD 【解析】【分析】根据长方体的性质推得，即可判断A 项；根据长方体的性质推得四边形是11//AA CC 11DCB A 平行四边形，得出，即可判断B 项；根据长方体的性质以及线面垂直的判定定理，可得出11//A D B C 平面，即可得出C 项；根据长方体的性质以及线面平行的判定定理，可得出平面BD ⊥11AAC C 1//A D ，平面，然后即可判定面面平行，得出D 项.11CB D //BD 11CB D 【详解】对于A 项，由长方体的性质可知. 11//AA CC 又不垂直，所以不垂直，故A 错误； 11,AA A B 11,A B CC 对于B 项，由长方体的性质可知，， 11//A B CD 11A B CD =所以，四边形是平行四边形， 11DCB A 所以，.11//A D B C 因为不平行，所以不平行，故B 错误；11,A B A D 11,A B B C 对于C 项，因为，根据长方体的性质可知是正方形， AB BC =ABCD 所以，.BD AC ⊥根据长方体的性质可知，平面，平面， 1CC ⊥ABCD BD ⊂ABCD 所以，.1CC BD ⊥因为平面，平面，， AC ⊂11AAC C 1CC ⊂11AAC C 1AC CC C = 所以，平面.BD ⊥11AAC C 因为平面，所以平面平面，故C 项正确； BD ⊂1A BD 1A BD ⊥11AAC C 对于D 项，由B 知，.11//A D B C因为平面，平面，所以平面. 1B C ⊂11CB D 1A D ⊄11CB D 1//A D 11CB D 根据长方体的性质可知，，且， 11//BB DD 11BB DD =所以，四边形为平行四边形，所以.11DBB D 11//B D BD 因为平面，平面，所以平面. 11B D ⊂11CB D BD ⊄11CB D //BD 11CB D 因为平面，平面，， 1A D ⊂1A BD BD ⊂1A BD 1A D BD D ⋂=所以平面平面，故D 项正确. 1//A BD 11CB D 故选：CD.19. 某简谐运动在一个周期内的图象如图所示，下列判断正确的有（ ）A. 该简谐运动的振幅是 3cmB. 该简谐运动的初相是2π5C. 该简谐运动往复运动一次需要 2sD. 该简谐运动往复运动25次 100s 【答案】ABD 【解析】【分析】结合简谐运动在一个周期内的图象可判断A ；设该函数解析式为，由简谐运动在一个周期内的图象可得，把点代入解()()()sin 0,0f x A x A ωϕω=+>>ω()2.2,3-析式可得，可判断BCD.π33sin 2.22ϕ⎛⎫-=⨯+ ⎪⎝⎭【详解】对于A ，由简谐运动在一个周期内的图象可得该简谐运动的振幅是，故A 正确； 3cm 对于B ，设该函数解析式为， ()()()sin 0,0f x A x A ωϕω=+>>由简谐运动在一个周期内的图象可得，可得，所以12π3.2 1.22ω=-=T 112π3.2 1.222ω=-=⨯T ，所以， π4,2ω==T ()π3sin 2ϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭f x x 因为把点代入解析式可得， ()2.2,3-π33sin 2.22ϕ⎛⎫-=⨯+ ⎪⎝⎭所以，所以， ()π1.1π2π2ϕ+=-+∈k k Z ()1.6π2πϕ=-+∈k k Z若，则，故B 正确； 2π1.6π2π5ϕ=-+=k 1k =对于C ，由B 可知，故C 错误；4s T =对于D ，该简谐运动往复运动次，故D 正确. 100s 100425÷=故选：ABD .第II 卷（非选择题43分）（请考生在答题卡上作答）三、填空题：本题共4小题，每小题4分，共16分．20. 已知为虚数单位，计算________． i ()i 1i -=【答案】## 1i +i+1【解析】【分析】根据复数的乘法运算，计算即可得出答案. 【详解】因为.()2i 1i i i 1i -=-=+故答案为：.1i +21. 已知函数，则________．221,0()log ,0x x f x x x ⎧+≤=⎨>⎩((1))f f -=【答案】1 【解析】【分析】根据分段函数的表达式由内向外计算即可. 【详解】，，()1112f -=+=()22log 21f ==.()()11∴-=f f 故答案为：1.22. 已知向量，，且与的夹角为，则________．()1,0a =b =a b θcos θ=【答案】## 120.5【解析】【分析】先求向量与的数量积及和的模，再利用向量夹角公式即得．a b a b【详解】向量，，()1,0a =(b = 所以，，，1101⋅=⨯+= a b 1a = 2b == 则，1cos 1221θ⋅===⨯⋅a b b a故答案为：． 1223. 已知定义在上的函数同时满足下列两个条件：R ()f x ①，，；②，，． 1x ∀2R x ∈()()()1212f x x f x f x +=1x ∀2R x ∈()()12120f x f x x x -<-试给出函数的一个解析式：________．()f x ()f x =【答案】（答案不唯一）0.5x 【解析】【分析】根据已知结合指数函数的性质，即可得出答案.【详解】根据指数函数的性质，可知指数函数满足①；1212x x x x a a a +=由②可知，函数为单调递减函数.所以可取，即可满足.()x f x a=()01a <<故答案为：. 0.5x 四、解答题：本题共3小题，共27分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 24. 已知为第一象限角，且． α3cos 5α=（1）求的值；sin α（2）求的值．)t n(a π2α-【答案】（1）45（2） 247【解析】【分析】（1）根据条件，利用平方关系即可求出结果；（2）先利用（1）中结论求出，再利用诱导公式和正切的二倍角公式即可求出结果. 4tan 3α=【小问1详解】因为为第一象限角，且，所以. α3cos 5α=4sin 5α==【小问2详解】 由（1）知，又. 4tan 3α=282tan 243tan(π2)tan2161tan 719αααα-=-=-=-=--25. 如图，三棱锥中，，分别是，的中点．A BCD -E F AC BC（1）求证：平面；//EF ABD（2）若，，，，，，求三棱锥的AD BD ⊥3AD =4BD =5AC =BC=30CBD ∠=︒A BCD -体积．【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）分别取的中点为，连结.可证明四边形为平行四边形，,AD BD ,G H ,,GE GH HF GHFE ，然后即可根据线面平行的判定定理得出证明；//EF GH （2）在中，根据余弦定理求得.进而在中，根据勾股定理得出.结合BCD △4CD =ADC △AD CD ⊥已知条件，根据线面垂直的判定定理即可得出平面.根据面积公式求出的面积，即AD ⊥BCD BCD △可根据棱锥的体积公式得出答案.【小问1详解】如图，分别取的中点为，连结.,AD BD ,G H ,,GE GH HF 因为分别为的中点，,,,E F G H ,,,AC BC AD BD 所以，，且，，， //GE CD 12GE CD =//HF CD 12HF CD =所以，且.//GE HF GE HF =所以，四边形为平行四边形，GHFE 所以，.//EF GH 因为平面，平面，GH ÌABD EF ⊄ABD 所以，平面.//EF ABD 【小问2详解】由已知可得，在中，有，，，BCD △4BD =BC =30CBD ∠=︒根据余弦定理可知，2222cos CD BD BC BD BD CBD =+-⨯∠(2242416=+-⨯⨯=，所以，.4CD =在中，有，ADC △22291625AD CD AC +=+==所以，，.90ADC ∠=︒AD CD ⊥因为，平面，平面，，AD BD ⊥CD ⊂BCD BD ⊂BCD CD BD D =I 所以，平面.AD ⊥BCD又， 1sin 2BCD S BD BC BCD =⨯⨯⨯∠ 11422=⨯⨯=所以，. 11333A BCD BCD V S AD -=⨯⨯=⨯= 26. 某地有农村居民320户，城镇居民180户．为了获得该地居民的户月均用水量的信息，采用分层抽样的方法抽取得样本，并观测的指标值（单位：），计算得农村居民户样本的均值为，方差为A A t 8.3，城镇居民户样本的均值为，方差为．10.8614.134.62（1）根据以上信息，能否求出的均值和方差？说明你的依据；A （2）如果中农村居民户、城镇居民户的样本量都是25，求的均值和方差；A A （3）能否用（2）的结论估计该地居民的户月均用水量的均值和方差？若能，请说明理由；若不能，请给出一个可以用来估计该地居民的户月均用水量的均值和方差的样本．【答案】（1）能，理由见解析（2）均值为，方差为11.231.15（3）不能，样本中农村户数为32，城镇居民户数为18【解析】【分析】（1）根据分层抽样求出从农村以及城镇居民抽取的户数，进而即可根据分层抽样的均值以及方差公式，求出结果；（2）根据分层抽样的均值以及方差公式，即可求出结果；（3）根据分层抽样，重新计算分配农村居民以及城镇居民的户数，即可.【小问1详解】能，理由如下： 设农村居民均值为，方差为，城镇居民均值为，方差为. 8.3x =210.86x s =14.1y =234.62y s =因为，则可知样本的户数为， 320161809=A *25,,120k k N k ∈≤≤其中农村居民的户数为，城镇居民为.16k 9k所以，样本的均值为， A 16910.38825k x k y z k +==方差()(){}22222116925x y s k s x z k s y z k ⎡⎤⎡⎤=+-++-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦. ()(){}2211610.868.310.388934.6214.110.38825k k k ⎡⎤⎡⎤=+-++-⎣⎦⎣⎦27.16425627.16=≈【小问2详解】样本的均值为， A 1252511.250x y z +==样本方差()(){}222221111252550x y s s x z s y z ⎡⎤⎡⎤=+-++-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦. ()(){}2212510.868.311.22534.6214.111.231.1550⎡⎤⎡⎤=+-++-=⎣⎦⎣⎦【小问3详解】不能，因为没有按分层抽样抽取样本，样本数据不能客观反映总体. 根据分层抽样抽取人数为，所以，2550k =2k =所以，应从农村居民中抽取户数为，从城镇居民中抽取户数为. 1632k =918k =。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
另外，也可由①和②得
④
根据基本不等式有
即的最大值为4，此时，，两直线与轴的夹角均为45度.
解法二：几何方法一
如图2，设圆心为，连接、、、，作交于点E，交于点，则点、分别是、的中点.由于，则四边形是矩形.
故，
则.
由基本不等式有.
解法三：几何方法二
如图2，根据圆的切割线定理，有
即⑤
因为OEPF为矩形，故
一道高中学业水平考试题的解法与推广
作者：唐钰淇
来源：《教育界·下旬》2017年第08期
【摘要】数形结合是一种重要的数学思想，数形结合问题在高考中经常出现。文章以一道高中数学学业水平考试试题为例，提出此问题的几种常用解法，并将该问题推广到一般情形，得到几个基本结角函数法
，，
，，
，
，
我们不难得到
且必须满足.
根据基本不等式，的最大值为.
同时还得出如下结论：
结论1：、两线段中点连线的长度为定值，等于原点到圆心的距离.
证明：、两线段的中点分别为、.则
.
结论2：、两线段中点连线的中点，与原点和圆心连线的中点重合.
证明：设原点和圆心连线的中点为，的中点为，则
，
因此的中点坐标与点的坐标相同.
即⑥
由⑤⑥可得，则
从而可得.
解法四：三角函數法
如图2，设，
则，
则
⑦
当时，式⑦右边取得最大值1，即最大值为1，故的最大值为4.
二、一般情形推广
将此问题推广到一般情形如下：
问题：过原点作两条相互垂直的直线分别与圆相交于点、和、，求的最大值.
解：如图2，设直线与直线的方程分别为和，与圆的四个交点分别为、、、.参照解法一，可得
根据结论2可以得出：
推论：、两线段的中点均在以为圆心，半径为的圆上.
结论3：等于连线所围区域面积的2倍.
证明：（1）当，即原点在圆之外，如图2，连线所围区域即阴影部分.
则.
（2）当，即原点位于圆内，如图3，所围区域为圆内接四边形.
（3）当，即原点位于圆上，、与原点重合，所围区域为直角三角形，因此.
三、结束语
2017年湖南省高中学业水平考试数学试卷最后一题为：如图1，过原点作两条相互垂直的直线分别与圆相交于点、、、，求的最大值。
一、几种解法
解法一：代数法
设直线的方程为，与圆的交点为、，满足，即，由韦达定理有
，，
则，，
①
直线与直线垂直，设其方程为，与圆的交点为、.类似可推得
②
由①和②有
③
当时，上式右边取得最大值，即最大值为.