#《创新设计》2014届高考数学人教A版(理)一轮复习【配套word版文档】：第九篇第6讲抛物线

阶梯训练能力提升
第6讲抛物线
04浴 限时规范训练
A 级 基础演练（时间：30分钟 满分：55分）
、选择题（每小题5分，共20分）
1. （2011辽宁）已知F 是抛物线y 2 = x 的焦点，A , B 是该抛物线上的两点，AF|
+ |BF|= 3,则线段AB 的中点到y 轴的距离为
（ ）.
阶梯训练能力提升
A.4
D.4
解析 设A(x i , y i ), B(x 2, y 2)，由抛物线的定义，知 AF|+|BF|= x i + 2+X 2 +
P- 2
C •• 1 • 5 —3，・p = p ，' xi + X2 — 2， •••线段AB 的中点的横坐标为 x i + X 2 5
2 = 4. 答案 C
2. （2013东北三校联考）若抛物线y 2= 2px （p>0）上一点P 到焦点和抛物线的对称轴 的距离分别为10和6,则p 的值为 （
）.
x o + 2= 10,
解析设 P (X 0，y 0)，则 |y 0| = 6，
y 0= 2px 0，
••36= 2p 10—号，即 p 2-20p + 36 = 0,解得 p = 2 或 18. 答案 C
3. （2011全国）已知抛物线C : y 2= 4x 的焦点为F ，直线y = 2x — 4与C 交于A , B 两点，贝U cos / AFB = 4
3 A. B-
5
5
C .
解析由卜4X
得 x 2-5x + 4-0," 1 或 x = 4.不妨设 A(4,4), B(1,
尸 2x -4,
则|F A|= 5, |FB| = 2, F A FB = (3,4) (0, — 2)= — 8, .CosZAFB =［号=
|FA||FB|
W=- 4.故选 D.
答案 D
2 2
4. （2012 山东）已知双曲线C i : a 2
—生=1（a>0, b>0）的离心率为2.若抛物线C 2： x 2= 2py （p>0）的焦点到双曲线C 1的渐近线的距离为2,则抛物线C 2的方程为
2 16 3
x
=F
b 2=1 的渐近线方程为
y = ±^,即y = ± §x.由题意,
p
2 ?
得 ---- :―2 = 2,.°p = 8.故 C 2: x = 16y ,选 D. [1+ ・、3 答案 D
二、填空题（每小题5分，共10分）
5. （2013郑州模拟）设斜率为1的直线I 过抛物线y 2= ax （a>0）的焦点F ,且和y 轴
交于点人，若厶OAF （O 为坐标原点）的面积为8,则a 的值为 _________ . 解析 依题意，有F * 0 ,直线I 为y = x — 4所以A0,—号,△OAF 的面 1 a a
积为2x 4乂4= 8.解得a = ±16,依题意，只能取a = 16. 答案 16
-2), C . x 2 = 8y
x 2
=16y
解析
2 2 2 c
2
a +
b
:
2~ a a
=4, b — 2
書=.3.x = 2py
、 2 2 的焦点坐标为 0, p ，餌b
6. （2012陕西）如图是抛物线形拱桥，当水面在I时，拱顶离水面2米，水面宽4
米.水位下降1米后，水面宽 _________ 米.
4 m
答案2 6
三、解答题（共25分）
7. （12 分）已知抛物线C: y2= 2px（p>0）过点A（1，- 2）.
（1）求抛物线C的方程，并求其准线方程；
（2）是否存在平行于OA（O为坐标原点）的直线I,使得直线I与抛物线C有公共点，且直线OA与I的距离等于f?若存在，求出直线I的方程；若不存在，说明理由.
解⑴将（1，- 2）代入y2= 2px，得（-2）2= 2p 1，
所以p= 2.
故所求的抛物线C的方程为卜4x,其准线方程为x=- 1.
（2）假设存在符合题意的直线I，其方程为y= —2x+1，
y= —2x+1，2
由 2 得y + 2y—2t = 0.
y = 4x
因为直线I与抛物线C有公共点,
1
所以△= 4+ 8t >0,解得 t > — i 另一方面，由直线OA 与I 的距离d = # 可得浩=$5,解得t =±.
一 1 \ " 1
因为—1? — 2，+「； 1€|[—2，+^ 丿,
所以符合题意的直线I 存在，其方程为2x + y — 1 = 0. 2 2 8. (13分)(2012温州十校联考)已知椭圆
X 2+
*= 1(a>b>0)的离心率为 a b 为圆心、椭圆短半轴长为半径的圆与直线 y = x + 2相切. (1) 求a 与b ；
(2) 设该椭圆的左、右焦点分别为 F 1，F 2，直线I 1过F 2且与x 轴垂直，动直线 |2与y 轴垂直，12交I 1于点P.求线段PF 1的垂直平分线与I 2的交点M 的轨迹方 程，并指明曲线类型.
⑴由e = a = J-；2 =母得b = ¥
又由原点到直线y =x + 2的距离等于椭圆短半轴的长，得 b = .2,则a = 3.
(2)法一 由 c = a 2 — b 2= 1,得 F 1( — 1,0)，F 2(1,0). 设 M(x ，y)，则 P(1, y).
由|MF 1|= |MP|,得(x + 1)2+ y 2= (x — 1)2，即y 2= — 4x ,所以所求的M 的轨迹方 程为y 2= — 4x ,该曲线为抛物线.
法二 因为点M 在线段PF 1的垂直平分线上，所以|MF 1|= |MP|，即M 到F 1 的距离等于M 到I 1的距离.此轨迹是以F 1(— 1,0)为焦点，I 仁x = 1为准线的 抛物线，轨迹方程为y 2= — 4x.
B 级 能力突破(时间：30分钟 满分：45分)
、选择题(每小题5分，共10分)
1.设F 为抛物线y 2= 4x 的焦点，A , B , C 为该抛物线上三点，若FA + FB + FC = 0,则 |FA|+ |FB|+ |FC|=
(
)•
彳，
以原点
A. 9 B . 6 C. 4 D . 3
2
解析设A(x i, y i), B(x2, y2), C(X3, y3),因为抛物线y= 4x的焦点F的坐标为(1,0),由FA+ FB + FC = 0,可得x i + X2 + X3 = 3,又由抛物线的定义可得|駁|
+ |FB|+ |FC| = x i + X2 + X3 + 3 = 6.
答案B
2. (2013洛阳统考)已知P是抛物线y2= 4X上一动点，则点P到直线1: 2X-y+ 3
=0和y轴的距离之和的最小值是().
A. 3
B. 5
C. 2 D/.5- 1
解析由题意知，抛物线的焦点为F(1,0).设点P到直线I的距离为d,由抛
物线的定义可知，点P到y轴的距离为|PF|-1,所以点P到直线I的距离与到
y轴的距离之和为d+ |PF|—1•易知d+ |PF|的最小值为点F到直线I的距离，故
|2+ 3| 厂厂d+ |PF|的最小值为；2 2=. 5,所以d+ |PF|—1的最小值为，5—1.
斗2 +(-1 )
答案D
二、填空题(每小题5分，共10分)
3. (2012北京)在直角坐标系xOy中，直线I过抛物线y2= 4x的焦点F,且与该抛
物线相交于A, B两点，其中点A在x轴上方.若直线l的倾斜角为60°则
△ OAF的面积为_______ .
解析直线l的方程为y= . 3(x—1)，即x=~3%+ 1,代入抛物线方程得y2—号
心+ 左+16
3十冷3十16厂1 y—4= 0,解得y A = 2 = 2,3(y B<0,舍去)，故△OAF的面积为2
X 1 X 2p3= ■. 3.
答案3
4. (2012重庆)过抛物线y2= 2x的焦点F作直线交抛物线于A, B两点，若AB|
(n二2x，解析设过抛物线焦点的直线为y= k x-2，联立得，1整理
v 2l y二<x-2」，
2 2
22 2 1 2 k + 2 1 k + 2
得，k x —(k + 2)x+ 4k = 0，x i + X2 = ~k^，x i X2= 4_.|AB| = x i + X2 + 1 = ~+
25 2 222 1 2 2
1 = 12,得，k2= 24,代入k2x2—(k2+ 2)x+4k2= 0得，12x2—13x+ 3= 0,解之
1 3 1 5
得X1 = 3，x2 = 4，又|AF|V|BF|，故|AF| = X1 + 2=
5 答案5
三、解答题(共25分)
5. (12分)已知抛物线C: y2= 4x，过点A( —1,0)的
I^^ -- I免费聆听名师
细讲箱题鈕丿直线交抛物线C于P、Q两点，设AP= :AQ.
(1) 若点P关于x轴的对称点为M，求证：直线MQ经过抛物线C的焦点F;
"1 们
(2) 若疋占，，，求|PQ|的最大值.
思维启迪：(1)可利用向量共线证明直线MQ过F; (2)建立|PQ|和入的关系，然后求最值.
(1)证明设P(X1, y1)，Q(x2, y2)，M(X1，—y1).
T AP= X1 + 1 = ?(x2+ 1), y1= Xy,
2 2 2 2 2 2
• y1 = X y2, y1 = 4x1, y2= 4x2, X1 = X x2,
X x2 + 1 = X X2 + 1) , X x( X—1)= —1 ,
1
T X 1，- X2= X，X1 =入又F(1,0),
IMF = (1 —X1, y1)= (1 — X, Xy)
=X X—1，y2= X^Q ,
•••直线MQ 经过抛物线C 的焦点F. 1
(2)由(1)知 X 2 = ) X 1=人
2 2
得 X 1X 2= 1， y 1 y 2= 16x 1x 2= 16,
t y 1y 2>0,.°. y 1y 2= 4,
则 |PQ|2 =(X 1 — x ?)2 + (y 1 — y 2)2
2 2 2 2 —
=X 1 + X 2+ y 1 + y 2 — 2(X 1X 2+ y 1y 2)
=+ ¥+4 +1—12
1 2
=+I + 2 — 16,
当入 +芬詈，即a 1时，『QI 2有最大值 乎，PQI 的最大值为4^7. 探究提高 圆锥曲线中的最值问题解决方法一般分两种：
一是几何法，特别是
用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来求最值；二是代数法，常将圆锥曲 线的最值问题转化为二次函数或三角函数的最值问题，然后利用基本不等式、 函数的单调性或三角函数的有界性等求最值.
6. (13分)(2012新课标全国)设抛物线C : x 2 = 2py(p >0)的焦点为F ，准线为I , A 为C 上一点，已知以F 为圆心，FA 为半径的圆F 交I 于B ，D 两点. (1) 若/ BFD = 90° △ ABD 的面积为4灵，求p 的值及圆F 的方程；
(2) 若 A ，B ，F 三点在同一直线m 上，直线n 与m 平行，且n 与C 只有一个公 共点，求坐标原点到m ，n 距离的比值.
解(1)由已知可得△ BFD 为等腰直角三角形，|BD 匸2p ，圆F 的半径|FA 匸2 p. 由抛物线定义可知A 到I 的距离d = |FA 匸.2p. 因为△ ABD 的面积为4 一2,所以2|BD| d = 4 .2， 即 1；2p ^ 2p = 4 2,解得 p = — 2(舍去)或 p = 2. 所以F(0,1),圆F 的方程为x 2+ (y — 1)2 = 8.
⑵因为A ，B ，F 三点在同一直线 m 上，所以AB 为圆F 的直径，/ ADB = 90°
1 由抛物线定义知 AD|=|FA|= 2|AB|.
x
1 3-
1- 2
5-2-
所以/ ABD= 30° m的斜率为誓或一^.
当m的斜率为彳时，由已知可设n：y^33x+ b，代入x2= 2py得x2—2 3 3px
—2pb= 0.
4 2 因为n与C只有一个公共点，故△= 3P + 8pb= 0，
解得b= —
因为m的纵截距b i = p J厂3,
所以坐标原点到m, n距离的比值为3.
当m的斜率为一百时，由图形对称性可知，坐标原点到m, n距离的比值为
3.
综上，坐标原点到m，n距离的比值为3.。