2021年黑龙江省哈尔滨市香坊区中考数学一模试卷

2021年黑龙江省哈尔滨市香坊区中考数学一模试卷
一.选择题（每小题3分，共计30分）
1．（3分）﹣3的相反数是（）
A．3B．﹣3C．D．﹣
2．（3分）下列运算正确的是（）
A．3a+2b＝5ab B．a2•a3＝a6
C．a•a4＝a4D．（a3b）2＝a6b2
3．（3分）在如图所示图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）
A．B．C．D．
4．（3分）如图所示的几何体是由七个相同的小正方体组合而成的，它的俯视图是（）
A．B．C．D．
5．（3分）已知反比例函数y＝的图象位于第一、第三象限，则k的取值范围是（）A．k＞2B．k≥2C．k≤2D．k＜2
6．（3分）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E．若AB＝8，AE＝1，则弦CD的长是（）
A．B．2C．6D．8
7．（3分）方程＝的解为（）
A．x＝B．x＝C．x＝D．x＝
8．（3分）从分别写有﹣3，﹣6，0，3，6的五张完全相同的卡片中一次性任意抽取2张，
那么抽到的两张卡片上的数之和为0的概率是（）
A．B．C．D．
9．（3分）如图，在△ABC中，点D在BC边上，连接AD，DE∥AC交AB于点E，过点E 作EF∥BC交AD于点F，下列式子一定正确的是（）
A．＝B．＝C．＝D．＝
10．（3分）如图，小明从家步行到学校需走的路程为1800米．折线OAB反映了小明从家步行到学校所走的路程s（米）与时间t（分钟）的函数关系，根据图象提供的信息，当小明从家出发去学校步行15分钟时，到学校还需步行（）米．
A．300B．350C．1450D．1500
二.填空题（每小题3分，共计30分）
11．（3分）把4500000用科学记数法表示为．
12．（3分）在函数y＝中，自变量x的取值范围是．13．（3分）把多项式a2b﹣4ab+4b分解因式的结果是．
14．（3分）计算﹣4的结果是．
15．（3分）不等式组的整数解为．
16．（3分）抛物线y＝﹣2（x+1）2+4的最大值为．
17．（3分）某商品原价200元，连续两次降价a%后售价为128元，则a＝．18．（3分）某扇形的圆心角是45°，面积为18π，该扇形的半径是．
19．（3分）菱形ABCD的边长为6，∠ABC＝60°，菱形的高AM交对角线BD于点N，则
线段DN的长为．
20．（3分）如图，矩形ABCD的对角线AC，BD交于点O，过点O作OE⊥AC，交AD于点E，过点E作EF⊥BD，垂足为F，BC＝8，OE+EF＝，则线段AB的长为．
三.解答题（其中21～22题各7分，23～24题各8分，25～27题各10分，共计60分）21．（7分）先化简，再求值：（+）÷，其中a＝2sin60°+tan45°．22．（7分）如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1，线段AB和线段EF的端点均在小正方形的顶点上．
（1）在图中画出以AB为边的正方形ABCD，点C和点D均在小正方形的顶点上；
（2）在图中画出以EF为边的等腰直角三角形EFG，点G在小正方形的顶点上，且△EFG 的面积为5，连接BG，请直接写出线段BC的长．
23．（8分）某中学围绕“哈尔滨市周边五大名山，即：香炉山、凤凰山、金龙山、帽儿山、二龙山，你最喜欢哪一座山（每名学生必选且只选一座山）”的问题在全校范围内随机抽取了部分学生进行问卷调查，根据调查结果绘制了如图所示的不完整的统计图，请你根据图中提供的信息回答下列问题：
（1）在这次调查中，一共抽取了多少名学生？
（2）请通过计算补全条形统计图；
（3）若该中学共有学生960人，请你估计该中学最喜欢凤凰山的学生有多少名．
24．（8分）如图，在平行四边形ABCD中，AE、CF分别平分∠BAD和∠BCD，AE交BC 于点E，CF交AD于点F．
（1）如图1，求证：BE＝DF；
（2）如图2，连接BD分别交AE、CF于点G、H，连接AH，CG，CF，EH，AH与GF 交于点M，EH与GC交于点N，请直接写出图中所有的平行四边形（平行四边形ABCD 除外）．
25．（10分）为推广各县市名优农产品，市政府组织创办了名优产品推荐会，并以A、B两种礼品盒的方式优惠售出，如果购买6盒A种礼品盒和4盒B种礼品盒，共需960元；
如果购买1盒A种礼品盒和3盒B种礼品盒共需300元．
（1）求购买每盒A种礼品盒和每盒B种礼品盒各多少元？
（2）某公司决定购买两种礼品盒共80个，总费用不超过7800元，那么该公司最少需要购买多少个B种礼品盒？
26．（10分）已知，△ABC为⊙O的内接三角形，D是上一点，连接AD、BD，∠ADB ＝∠ABC，
（1）如图1，求证：AB＝AC；
（2）如图2，若⊙O的半径为r，BC：r＝8：5，求∠ABC的正切值；
（3）如图3，在（2）的条件下，点F在AD上，连接CF，点H在AD的延长线上，连接BH，使BH∥CF，∠H+∠CAB＝90°，过点C作CE⊥AD于点E，连接OE，若CF
＝BC，BH＝6，求线段OE的长．
27．（10分）在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，A点坐标为（﹣4，0），C点坐标为（0，﹣4），抛物线y＝ax2﹣2ax+c经过A、C两点．
（1）如图1，求抛物线的解析式；
（2）如图2，点B是x轴上A点左侧一点，直线y＝x+b经过点B，且与y轴正半轴于点D，P是第一象限抛物线上一点，过点P作直线BD的垂线，交线段BD于点E，交x轴与点F，设P点横坐标为t，线段PF的长为d，求d与t之间的函数关系式；
（3）如图3，在（2）的条件下，H是OF上一点，连接DH，直线y＝x+m交x轴于点G，交DH于点R，且G是BH的中点，连接BR、GP，若∠DBR＝∠PGF，BR＝PG，求t的值．
2021年黑龙江省哈尔滨市香坊区中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一.选择题（每小题3分，共计30分）
1．（3分）﹣3的相反数是（）
A．3B．﹣3C．D．﹣
【解答】解：﹣3的相反数是3．
故选：A．
2．（3分）下列运算正确的是（）
A．3a+2b＝5ab B．a2•a3＝a6
C．a•a4＝a4D．（a3b）2＝a6b2
【解答】解：A、3a+2b，无法计算，故此选项不合题意；
B、a2•a3＝a5，故此选项不合题意；
C、a•a4＝a5，故此选项不合题意；
D、（a3b）2＝a6b2，故此选项符合题意．
故选：D．
3．（3分）在如图所示图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）
A．B．C．D．
【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意；
B、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不合题意；
C、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意；
D、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不合题意．
故选：C．
4．（3分）如图所示的几何体是由七个相同的小正方体组合而成的，它的俯视图是（）
A．B．C．D．
【解答】解：如图所示的几何体的俯视图是D．
故选：D．
5．（3分）已知反比例函数y＝的图象位于第一、第三象限，则k的取值范围是（）A．k＞2B．k≥2C．k≤2D．k＜2
【解答】解：∵y＝的图象位于第一、第三象限，
∴k﹣2＞0，
k＞2．
故选：A．
6．（3分）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E．若AB＝8，AE＝1，则弦CD的长是（）
A．B．2C．6D．8
【解答】解：连接OC，
由题意，得
OE＝OA﹣AE＝4﹣1＝3，
CE＝ED＝＝，
CD＝2CE＝2，
故选：B．
7．（3分）方程＝的解为（）
A．x＝B．x＝C．x＝D．x＝
【解答】解：去分母得：6x＝27x﹣9，
解得：x＝，
经检验x＝是分式方程的解．
故选：B．
8．（3分）从分别写有﹣3，﹣6，0，3，6的五张完全相同的卡片中一次性任意抽取2张，那么抽到的两张卡片上的数之和为0的概率是（）
A．B．C．D．
【解答】解：画树状图如图：
共有20个等可能的结果，抽到的两张卡片上的数之和为0的结果有4个，
∴抽到的两张卡片上的数之和为0的概率为＝，
故选：D．
9．（3分）如图，在△ABC中，点D在BC边上，连接AD，DE∥AC交AB于点E，过点E 作EF∥BC交AD于点F，下列式子一定正确的是（）
A．＝B．＝C．＝D．＝
【解答】解：∵EF∥BC，
∴≠，
故A错误；
∵EF∥BC，EF∥BC，
∴，，
∴，
故B错误；
∵EF∥BC，EF∥BC，
∴，，
∴，
故C正确；
∵EF∥BC，EF∥BC，
∴，
故D错误；
故选：C．
10．（3分）如图，小明从家步行到学校需走的路程为1800米．折线OAB反映了小明从家步行到学校所走的路程s（米）与时间t（分钟）的函数关系，根据图象提供的信息，当小明从家出发去学校步行15分钟时，到学校还需步行（）米．
A．300B．350C．1450D．1500
【解答】解：当8≤t≤20时，设s＝kt+b，
将（8，960）、（20，1800）代入，得：
，
解得，
∴s＝70t+400；
当t＝15时，s＝1450，
1800﹣1450＝350（米）
∴当小明从家出发去学校步行15分钟时，到学校还需步行350米，
故选：B．
二.填空题（每小题3分，共计30分）
11．（3分）把4500000用科学记数法表示为 4.5×106．【解答】解：4500000＝4.5×106．
故答案是：4.5×106．
12．（3分）在函数y＝中，自变量x的取值范围是x≠．【解答】解：∵函数y＝有意义，
∴2x﹣5≠0，
解得：x≠，
故答案为：x≠．
13．（3分）把多项式a2b﹣4ab+4b分解因式的结果是b（a﹣2）2．【解答】解：a2b﹣4ab+4b
＝b（a2﹣4a+4）
＝b（a﹣2）2．
故答案为：b（a﹣2）2．
14．（3分）计算﹣4的结果是．
【解答】解：原式＝3﹣
＝，
故答案为：．
15．（3分）不等式组的整数解为2．
【解答】解：解不等式2x﹣4≥0得x≥2，
解不等式﹣x+3＞0得：x＜3，
则不等式组的解集为2≤x＜3，
∴不等式组的整数解为2，
故答案为：2．
16．（3分）抛物线y＝﹣2（x+1）2+4的最大值为4．【解答】解：∵a＝﹣2＜0，
∴函数有最大值4，
故答案为：4．
17．（3分）某商品原价200元，连续两次降价a%后售价为128元，则a＝20．【解答】解：第一次降价后价格为200×（1﹣a%），
∴第二次降价后价格为200×（1﹣a%）×（1﹣a%）＝200×（1﹣a%）2，
∴200×（1﹣a%）2＝128
1﹣a%＝±0.8，
∴a1＝20，a2＝1.8（不合题意，舍去）．
故答案为20．
18．（3分）某扇形的圆心角是45°，面积为18π，该扇形的半径是12．【解答】解：设扇形的半径为为R，
则＝18π，
解得，R＝12，
故答案为：12．
19．（3分）菱形ABCD的边长为6，∠ABC＝60°，菱形的高AM交对角线BD于点N，则线段DN的长为4或2．
【解答】解：①如图所示：
∵四边形ABCD是菱形，边长为6，
∴∠ADC＝∠ABC＝60°，∠ADN＝∠ADC＝30°，AD∥BC，AD＝6，
∵AM是菱形ABCD的高，
∴AM⊥BC，
∴AM⊥AD，
∴∠DAN＝90°，
∴AN＝AD＝2，
∴DN＝2AN＝4；
②如图所示：
∵∠DAN＝90°﹣∠ADC＝90°﹣60°＝30°，∠ADN＝30°，
∴∠ADN＝∠DAN，
∴DN＝AN＝2；
综上所述，线段DN的长为4或2；
故答案为：4或2．
20．（3分）如图，矩形ABCD的对角线AC，BD交于点O，过点O作OE⊥AC，交AD于点E，过点E作EF⊥BD，垂足为F，BC＝8，OE+EF＝，则线段AB的长为6．
【解答】解：∵矩形ABCD中，BC＝8，
∴AC＝＝，
∴AO＝AC，
∵对角线AC，BD交于点O，
∴△AOD的面积＝矩形ABCD的面积＝×AB•BC＝2AB，
∵EO⊥AO，EF⊥DO，
∴S△AOD＝S△AOE+S△DOE，
即2AB＝AO×EO+DO×EF，
∴2AB＝×AO（EO+EF）＝AC×＝AC，
∴2AB＝，
∴5AB＝3，
解得AB＝6或AB＝﹣6（舍去），
故答案为：6．
三.解答题（其中21～22题各7分，23～24题各8分，25～27题各10分，共计60分）21．（7分）先化简，再求值：（+）÷，其中a＝2sin60°+tan45°．【解答】解：原式＝[+]•
＝•
＝，
当a＝2sin60°+tan45°＝2×+1＝+1时，
原式＝＝．
22．（7分）如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1，线段AB和线段EF的端点均在小正方形的顶点上．
（1）在图中画出以AB为边的正方形ABCD，点C和点D均在小正方形的顶点上；
（2）在图中画出以EF为边的等腰直角三角形EFG，点G在小正方形的顶点上，且△EFG 的面积为5，连接BG，请直接写出线段BC的长．
【解答】解：（1）如图，正方形ABCD即为所求作．
（2）如图，△EFG即为所求作，BC＝＝．
23．（8分）某中学围绕“哈尔滨市周边五大名山，即：香炉山、凤凰山、金龙山、帽儿山、二龙山，你最喜欢哪一座山（每名学生必选且只选一座山）”的问题在全校范围内随机抽取了部分学生进行问卷调查，根据调查结果绘制了如图所示的不完整的统计图，请你根
据图中提供的信息回答下列问题：
（1）在这次调查中，一共抽取了多少名学生？
（2）请通过计算补全条形统计图；
（3）若该中学共有学生960人，请你估计该中学最喜欢凤凰山的学生有多少名．
【解答】解：（1）20÷25%＝80（名），
即在这次调查中，一共抽取了80名学生；
（2）喜欢凤凰山的学生有：80﹣24﹣8﹣20﹣12＝16（人），
补全的条形统计图如右图所示；
（3）960×＝192（名），
即估计该中学最喜欢凤凰山的学生有192名．
24．（8分）如图，在平行四边形ABCD中，AE、CF分别平分∠BAD和∠BCD，AE交BC 于点E，CF交AD于点F．
（1）如图1，求证：BE＝DF；
（2）如图2，连接BD分别交AE、CF于点G、H，连接AH，CG，CF，EH，AH与GF 交于点M，EH与GC交于点N，请直接写出图中所有的平行四边形（平行四边形ABCD
除外）．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠B＝∠D，∠BAD＝∠BCD，AB＝CD，
∵AE、CF分别平分∠BAD和∠BCD，
∴∠BAE＝∠BAD，∠DCF＝∠BCD，
∴∠BAE＝∠DCF，
在△ABE和△CDF中，
，
∴△ABE≌△CDF（ASA），
∴BE＝DF；
（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，
由（1）得：∠DAE＝∠BCF，BE＝DF，
∴CE＝AF，
∴四边形AECF是平行四边形，
∴AE∥CF，AE＝CF，
∵AD∥BC，
∴∠ADG＝∠CBH，
在△DAG和△BCH中，
，
∴△DAG≌△BCH（ASA），
∴AG＝CH，
又∵AG∥CH，
∴四边形AGCH是平行四边形，
∴AH∥CG，
∵AE＝CF，
∴AE﹣AG＝CF﹣CH，
即EG＝FH，
∴四边形EGFH是平行四边形，
∴EH∥GF，
又∵AH∥CG，
∴四边形MGNH是平行四边形，
∴图中所有的平行四边形（平行四边形ABCD除外）为平行四边形AECF、平行四边形AGCH、平行四边形EGFH、平行四边形MGNH．
25．（10分）为推广各县市名优农产品，市政府组织创办了名优产品推荐会，并以A、B两种礼品盒的方式优惠售出，如果购买6盒A种礼品盒和4盒B种礼品盒，共需960元；
如果购买1盒A种礼品盒和3盒B种礼品盒共需300元．
（1）求购买每盒A种礼品盒和每盒B种礼品盒各多少元？
（2）某公司决定购买两种礼品盒共80个，总费用不超过7800元，那么该公司最少需要购买多少个B种礼品盒？
【解答】解：（1）设购买每盒A种礼品盒要x元，每盒B种礼品盒要y元，由题意得，，
解得，
答：购买每盒A种礼品盒要120元，每盒B种礼品盒要60元；
（2）设该公司需要购买m个B种礼品盒，则购买（80﹣m）个A种礼品盒，由题意得，60m+120（80﹣m）≤7800，
解得：m≥30．
答：该公司最少需要购买30个B种礼品盒．
26．（10分）已知，△ABC为⊙O的内接三角形，D是上一点，连接AD、BD，∠ADB ＝∠ABC，
（1）如图1，求证：AB＝AC；
（2）如图2，若⊙O的半径为r，BC：r＝8：5，求∠ABC的正切值；
（3）如图3，在（2）的条件下，点F在AD上，连接CF，点H在AD的延长线上，连接BH，使BH∥CF，∠H+∠CAB＝90°，过点C作CE⊥AD于点E，连接OE，若CF ＝BC，BH＝6，求线段OE的长．
【解答】（1）证明：∵∠ADB＝∠ABC，
∴AB＝AC．
（2）解：如图所示：连接AO并延长，交BC于点K，连接OB，OC，
∵AB＝AC，OB＝OC，
∴AK线段BC的垂直平分线，设BC＝8a，
∴BK＝4a，OB＝OA＝5a，
在Rt△BOK中，∠OKB＝90°，
∴OK＝＝3a，
∴tan∠ABC＝＝＝2．
（3）解：连接AO交延长交BC于点K，连接OC、OB、FK、OF，
∵BH∥CF，
∴∠CFH＝∠H，
∵∠H+∠CAB＝90°，AB＝AC，
∴∠CAB＝180°﹣2∠ACB，
∵AK为BC的垂直平分线，
∴OC＝OB，AK⊥BC，CK＝BK，
∵CE⊥AD，
∴∠CEA＝90°'，
∴∠ECF+∠CFE＝90°，
∵∠CFE＝∠H，
∴∠ECF+∠H＝90°，
∵CF＝BC，∠H+∠CAB＝90°，
∴∠CAB＝180°﹣2∠ABC，
∵∠CFH＝∠CAH+∠ACF，∠ECO＝∠COE，
∴EC＝OE，
∴∠HAB＝∠H，
∴AB＝BH＝AC，
∵BH＝6，
∴AC＝6，
∵CF＝BC，∠ECB＝∠AEO，∠CEA+∠AEB＝90°，∴△CEE′∽△OFK，
∴，
∴CE＝BC，
∴CF＝，
在Rt△CEF中，
EC＝＝，
∵CE＝OE，
∴OE＝．
27．（10分）在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，A点坐标为（﹣4，0），C点坐标为（0，﹣4），抛物线y＝ax2﹣2ax+c经过A、C两点．
（1）如图1，求抛物线的解析式；
（2）如图2，点B是x轴上A点左侧一点，直线y＝x+b经过点B，且与y轴正半轴于点D，P是第一象限抛物线上一点，过点P作直线BD的垂线，交线段BD于点E，交x轴与点F，设P点横坐标为t，线段PF的长为d，求d与t之间的函数关系式；
（3）如图3，在（2）的条件下，H是OF上一点，连接DH，直线y＝x+m交x轴于点G，交DH于点R，且G是BH的中点，连接BR、GP，若∠DBR＝∠PGF，BR＝PG，求t的值．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2﹣2ax+c经过A（﹣4，0），C（0，﹣4），
∴，
解得：，
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣x﹣4；
（2）过P作PT⊥x轴于T，
∵直线y＝x+b经过点B，且与y轴正半轴于点D，
∴令y＝0，得0＝x+b，
解得：x＝﹣b，
令x＝0，得y＝b，
∴B（﹣b，0），D（0，b），
∴OB＝b，OD＝b，
∴tan∠DBO＝＝＝，
∴∠DBO＝60°，
∵EF⊥BD，
∴∠BEF＝90°，
∴∠PFT＝30°，
∵PT⊥x轴，
∴∠PTF＝90°，
∴PF＝2PT，
∵P点横坐标为t，线段PF的长为d，
∴P（t，t2﹣t﹣4），
∴PT＝t2﹣t﹣4，
∴d与t之间的函数关系式为：d＝t2﹣t﹣8；（3）过点R作RM⊥BD于点M，作RN⊥x轴于点N，
设EF与GR相交于点L，
∵∠MBR＝∠PGT，BR＝PG，
∴△MBR≌△TGP，
∴MR＝PT＝，
∵∠DBF＝∠RGF，∠MBR＝∠PGT，
∴∠RBN＝∠PGL，
∵BR＝GP，
∴△BRN≌△GPL，
∴PL＝RN，
∵BG＝GH，GR∥BD，
∴DR＝HR，
∵RN∥OD，
∴PL＝RN＝，
∴，而BF＝OB+OF＝，得：OF＝，
又∵OF＝OT+TF＝，
∴t＝，
∴（舍去负值）．。