初三数学与圆有关的角知识精讲试题

卜人入州八九几市潮王学校初三数学与圆有关的
角知识精讲
知识考点：
1、掌握与圆有关的角，如圆心角、圆周角、弦切角等概念；
2、掌握圆心角的度数等于它所对弧的度数；
3、掌握圆周角定理及其推论；
4、掌握弦切角定理及其推论；
5、掌握各角之间的转化及其综合运用。

精典例题：
【例1】如图，在等腰△ABC 中，AC ＝BC ，∠C ＝1000
，点P 在△ABC 的外部，并且PC ＝BC ，求∠APB 的度数。

分析：注意条件AC ＝BC ＝PC ，联想到圆的定义，画出以点C 为圆心，AC 为半径的圆，问题那么得以解决。

解：∵AC ＝BC ，PC ＝BC
∴A 、B 、P 三点在以C 为圆心，AC 为半径的圆上 假设P 、C 在AB 的同侧，那么∠APB ＝2
1
∠ACB ∵∠ACB ＝1000
，∴∠APB ＝500
假设P 、C 在AB 的异侧，那么∠APB ＝1800
－50＝1300
【例2】如图，在△ABC 中，∠B ＝900
，O 是AB 上一点，以O 为圆心，OB 为半径的圆与AB 交于E ，与AC 切于点D ，直线ED 交BC 的延长线于F ，假设AD ∶AE ＝2∶1，求cot ∠F 的值。

分析：由AD ∶AE ＝2∶1和△ADE ∽△ABD 有DE ∶DB ＝1∶2，而∠F ＝∠EBD ，那么
cot ∠F ＝cot ∠EBD ＝DE
BD
，故结论得证。

解：连结BD
P '
•例1图
P C
B
A
•
例2图
2
1
O
E
F
D C
B
A
∵AC 为⊙O 的切线，∴∠1＝∠2 ∵∠A ＝∠A ，∴△ADE ∽△ABD ∴
DE BD AE AD =，即12=AE AD ∴21
2
==DE DB
∵BE 为⊙O 的直径，∴∠BDE ＝900
∴∠2＋∠BEF ＝900
，∵∠F ＋∠BEF ＝900
，∴∠2＝∠F
∴cot ∠F ＝cot ∠2＝
DE
BD
＝2 【例3】如图，由矩形ABCD 的顶点D 引一条直线分别交BC 及AB 的延长线于F 、G ，连结AF 并延长交△BGF 的外接圆于H ，连结GH 、BH 。

〔1〕求证：△DFA ∽△HBG ；
〔2〕过A 点引圆的切线AE ，E 为切点，AE ＝33
，CF ∶FB ＝1∶2，求AB 的长；
〔3〕在〔2〕的条件下，又知AD ＝6，求tan ∠HBG 的值。

分析：〔1〕证∠DAF ＝∠AFB ＝∠BGH ，∠DFA ＝∠HFG ＝∠HBG 即可；
〔2〕由DC ∥AG ，得CF ∶FB ＝CD ∶BG ＝1∶2，那么AB ∶AG ＝1∶3，由切割线定理得AB ＝3；
〔3〕由〔2〕知AB ＝3，AG ＝9，过A 作AQ ⊥DG 于Q 。

由
AB AD AQ DG ⋅=⋅21
21得13
1318=AQ 。

所以DF ＝
3
1
DG ＝
13。

由DG DQ AD ⋅=2得13
1312
=DQ ，所以
1313=
QF 。

故tan ∠HBG ＝tan ∠HFG ＝tan ∠QFA ＝FQ
AQ
＝18。

探究与创新：
【问题一】如图，，半圆的直径AB ＝6cm ，CD 是半圆上长为2cm 的弦，问：当弦CD 在半圆上滑动时，AC 和BD 延长线的夹角是定值吗？假设是，试求出这个定角的正弦值；假设不是，请说明理由。

分析：此题有一定难度，连结BC 〔或者AD 〕可构成直角三角形，这是遇直径常用的辅助线。

解；连结BC
例3图
H
G
Q
E
F
D
C
B
A
•
问题一图
O
P
D
C
B
A
∵CD 为定长，虽CD 滑动，但⋂
CD 的度数不变，∴∠PBC 为定值 ∴∠P ＝∠ACP －∠PBC ＝900
－∠PBC 为定值
∵∠PCD ＝∠PBA ，∴△PCD ∽△PBA
∴
3162===BA CD PB PC 在Rt △PBC 中，cos ∠P ＝3
1
=PB PC ，∴sin ∠P ＝322)31(12=
- 评注：此题是在变中寻不变，有一定的难度，但考虑到常用的辅助线――直径，问题便迎刃而解了。

变式：如图，BC 与AD 交于E ，其它条件与上题一致，问∠P 与∠DEB 的大小关系？ 分析：∵AB 为直径，那么∠PCB ＝∠ADB ＝900
，而cos ∠P ＝
AB
CD
PB PC =
，又∵△CED ∽△AEB ，∴EB
DE
AB CD =
＝cos ∠DEB 。

∴cos ∠P ＝cos ∠DEB ，故∠P 与∠DEB 的大小相等。

【问题二】如图，AB 是⊙O 的直径，弦〔非直径〕CD ⊥AB ，P 是⊙O 上不同于C 、D 的任一点。

〔1〕当点P 在劣弧CD 上运动时，∠APC 与∠APD 的关系如何？请证明你的结论；
〔2〕当点P 在优弧CD 上运动时，∠APC 与∠APD 的关系如何？并证明你的结论〔不讨论P 与A 重合的情形〕。

分析：〔1〕P 在劣弧CD 上运动时，∠APC ＝∠APD ，利用垂径定理及圆周角定理易证；〔2〕
P 在优弧CD 上运动时，∠APC ＋∠APD ＝1800
，∠APC 所对的弧是
⋂
ADC ，∠APD 所对的弧是
⋂
AD ，而⋂
⋂
=AC AD ，⋂
⋂
+AD ADC 的度数和等于⋂
⋂
+AC ADC 的度数和，等于
3600
，
由圆周角定理易证明得到结论。

跟踪训练： 一、选择题： 〕
①顶点在圆周上的角是圆周角；②圆周角度数等于圆心角度数的一半； ③900
的圆周角所对的弦是直径；④圆周角相等，那么它们所对的弧也相等。

•
问题一变式图
E
O
P
D C
B
A
P '
•问题二图
O
P
D
C
B
A
A 、1个
B 、2个
C 、3个
D 、4个
2、AB 、AC 与⊙O 相切于B 、C ，∠A ＝500
，点P 是⊙O 上异于B 、C 的一动点，那么∠BPC 的度数是〔〕
A 、650
B 、1150
C 、650
或者1150
D 、1300
或者500
3、O 为锐角△ABC 的外心，OD ⊥BC ，OE ⊥AC ，OF ⊥AB ，垂足分别为D 、E 、F ，那么OD ∶OE ∶OF 为〔〕 A 、a:b:c B 、1/a:1/b:1/c
C 、cosA ∶cosB ∶cosC
D 、sinA ∶sinB ∶sinC
4、如图，AB 是⊙O 的直径，DB 、DC 分别切⊙O 于B 、C ，假设∠ACE ＝250
，那么∠D 为〔〕
A 、500
B 、550
C 、600
D 、650
5、如图，⊙O 经过⊙O 1的圆心O 1，∠ADB ＝α，∠ACD ＝β，那么α与β之间的关系是〔〕 A 、β＝αB 、αβ21800-=C 、)90(210αβ-=
D 、)180(2
1
0αβ-= 二、填空题：
6、如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，那么x ＝。

7、如图，A 、B 、C 是⊙O 上的三个点，当BC 平分∠ABO 时，能得出结论〔任写一个〕。

8、如图，AB 是⊙O 的直径，C 、D 、E 都是⊙O 上的点，那么∠1＋∠2＝。

9、如图，PA 切⊙O 于点A ，PO 交⊙O 于C ，延长PO 交⊙O 于点B ，PA ＝AB ，PD 平分∠APB 交AB 于
点D ，那么∠ADP ＝。

10、如图，直径AB ⊥CD 于E ，∠COB ＝α，那么
2
sin 2α
BE AB ＝。

11、如图，⊙O 1与⊙O 2为两个等圆，O 1在⊙O 2上，O 2在⊙O 1上，⊙O 1与⊙O 2交于A 、B 两点，过B
的直线交⊙O 1于C ，交⊙O 2于D ，过C 作⊙O 1的切线CE 与过D 作⊙O 2的切线DE 交于E ，那么∠E ＝。

三、计算题或者证明题：
第10题图 E
D
O C
B
A
2
O 1O ••
第11题图
E
D
C
B
A
12、如图，P 为⊙O 外一点，PA 、PB 分别切⊙O 于A 、B ，OP 与AB 相交于点M ，C 为⋂
AB 上一点。

求证：∠OPC ＝∠OCM 。

13、如图，⊙O 1与⊙O 2交于A 、B 两点，点O 1在⊙O 2上，⊙O 2的弦O 1C 交AB 、⊙O 1于D 、E 。

求证：
〔1〕AO 12
=O 1D ·O 1C
〔2〕E 为△ABC 的内心。

14、如图，AD 是△ABC 外角∠EAC 的平分线，交BC 的延长线于点D ，延长DA 交△
ABC 的外接圆于点F ，连结FB 、FC 。

〔1〕求证：FB ＝FC ； 〔2〕FD FA FB
⋅=2
；
〔3〕假设AB 是△ABC 的外接圆的直径，∠EAC ＝1200
，BC ＝6cm ，求AD 的长。

15、如图，⊙O 的直径AB ＝6，P 为AB 上一点，过P 作⊙O 的弦CD ，连结AC 、BC ，设∠BCD ＝m ∠ACD ，当347+=AP
BP
时，是否存在正实数m ，使弦CD 最短？假设存在，恳求出m 的值；假设不存在，请说
明理由。

16、如图，在△ABC 中，AD 为∠BAC 的平分线，以C 为圆心，CD 为半径的半圆交BC 的延长线于点E ，交AD 于F ，交AE 于点M ，且∠B ＝∠CAE ，EF ∶FD ＝4∶3。

〔1〕求证：AF ＝DF ； 〔2〕求∠AED 的余弦值；
〔3〕假设BD ＝10，求△ABC 的面积。

[参考答案]
一、选择题：ACCAD 二、填空题：6、1400
；7、OC ∥AB 等；8、900
；9、450
；10、1；11、1200
•
第15题图
P
O
D
C
B
A
•
第16题图
F
M
E
D C B A
•
第12题图
O
M
P
C B
A
2
O 1O •
•
第13题图
D E
C
B
A
三、计算题或者证明题：12、提示：连结OA ，22
OC OP OM OA =⋅=，∴
OC
OP
OM OC =，又∠O 是公一共角，△
OCM ∽△OPC 。

13、略证：〔1〕连结，O 1B ，由O 1A ＝O 1B 可得∠O 1AD ＝∠O 1CA ，∠AO 1D 是公一共角，∴△O 1AD ∽△O 1CA ；〔2〕连结AE 、BE ，由∠ABE ＝
21∠AO 1
C ＝21∠ABC ，∠BAE ＝21∠BO 1
E ＝2
1
∠BAC 。

14、〔1〕〔2〕略；〔3〕34cm 。

15、解：连结OD ，设存在正实数m ，那么在⊙O 中过P 点的所有弦中，只有垂直于直径的弦最短。

∴CP ⊥AB 于P 。

∵
347+=AP
BP
，设AP ＝k ，那么BP ＝k )347(+，又AB ＝6
∴6)134
7(=++k ，解得2
336-=
k ∴OP ＝OA －AP ＝23363--
＝2
3
3 在Rt △POD 中，cos ∠POD ＝
2
3
=OD OP ，∴∠POD ＝300
，∠ACD ＝150
∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ACB ＝900
∴∠BCD ＝900
－150
＝750
∵∠BCD ＝m ∠ACD
∴m ＝5，即存在正实数m ，使CD 弦最短。

16、〔1〕先证∠ADE ＝∠DAE ；〔2〕作AN ⊥BE 于N ，设FE ＝x 4，FD ＝x 3，可求DE ＝x 5，由AN
DE EF AD ⋅=⋅得：AN ＝x 8.4，可得EN ＝x 4.1，cos ∠AED ＝
25
7
；〔3〕△CAE ∽△ABE ，72=∆ABC S 。