科西公式

f ( z) dz
l k 1
n
lk
f ( z ) dz
2i , n 1 dz , l: za r l ( z a) n 0 , n 1
ez 2、 z 1 dz ? z
§2.3 科希公式
Cauchy Formula
一、 Cauchy公式：
§2.3 科希公式
d 设 max f ( ) M , d min z , s l长, z 2 d 则 z d , z z z z 2 f ( ) z f 1 f ( ) 1 d d 2 2 z 2 i l ( z ) 2 l z z z
a
l

l
f ( z ) f (a) l z a dz 2 f ( z ) f (a) dz 0 l za
一、 Cauchy公式：
注： 1)更一般：
f ( z) 1 f ( ) d 2i l z
§2.3 科希公式
2）意义： 解析函数在区域内的值由边界上 的积分值确定
注意：（1）上述公式成立，实际上只用到条件： 1 f ( ) 1) f ( z ) d , 2) f ( z ) 连续 l 2i ( z )
（2）对复变函数，若一阶可导，则任意阶导数存在； 对实变函数则不然。
二、科西公式的推论
注意： （3）科西导数公式可用来计算积分： f ( z) 2i ( n ) l ( z a) n1 dz n! f (a)
例2
计算：
*
e
1 z i 2 2
z
z(z 1 )
dz
答：π (sin 1 i cos1)
i l 0 i
一、 Cauchy公式：
2、复通区域的科西公式
l2
l
ln
§2.3 科希公式
设 L l lk 为 的边界复围线，
f ( z ) H ( ) 在 L 上连续，则
l2
l
ln
f ( z) dz
l k 1
n
lk
f ( z ) dz
摩勒纳定理
l1

f ( z)dz 0
l
平均值定理 模数原理
l
f
(n)
1 f ( ) f ( z) d 2i l z
刘维尔定理
n! f ( ) ( z) d n 1 2i l ( z )
变函数中则不然。
(2) Pn ( z ), e z , sin z等不为常数，所以均无界。
4、模数原理：
若f ( z) H ( ), 在 l上连续，则f ( z)
只能在边界上取得最大值。 *
二、科西公式的推论
5、平均值定理：
§2.3 科希公式
若f ( z)在 z a R内解析, 在 z a R上连续, 则
f
(n)
n! Ms ( z) n 1 2d
§2.3 科希公式
本节作业
习题2.3: 2; 5; 6
1、单通区域的Cauchy公式：
设f ( z) H ( ), 在 l上连续，a

a
则
l
1 f ( z) f (a) dz 2i l z a

l
分析：*
一、 Cauchy公式：
证明：

§2.3 科希公式

l
f ( z ) f (a) f ( z ) f (a) dz dz l za za
§2.3 科希公式
e 例3 z 1 z n dz ? (4) 推论：若 ( z )在 l 上连续，
1 ( ) f ( z) d 2i l ( z )
z
2 i , n 1 答： (n 1)! 0, n 1
－科西型积分
则
f
(n)
n! ( ) ( z) d ( z l ) n 1 l 2i ( z )
当 z 时 f ( z )一致趋于零，则
f ( ) f ( z) d 2 i l z 1
l
CR
e 思考： 1) z 1 z n dz ?
2)解析函数有任意阶导数吗?
z
二、科西公式的推论
1、解析函数的任意阶导数
§2.3 科希公式
设 l , , f ( z ) 满足科西公式存在的条件，则在
3）可用来计算围道积分
f ( ) l z d 2if ( z)
l

a

l
ez 2 i z 1 z dz ?
一、 Cauchy公式：
例1
§2.3 科希公式
3z 1 计算: dz z 2 z(z 1 )
*
1
答：6 i
0 1 l 2 l1
l
内有：
f
(n)
n! f ( ) ( z) d n 1 2i l ( z )
1
当n 1时有：
f ( ) f ( z ) d 2 2 i l ( z )
分析：*
二、科西公式的推论
§2.3 科希公式
1 f ( ) f f ( z z ) f ( z ) f ( z) d 证明： 2i l z z z 1 1 f ( ) f ( ) [ ] d 2 i z l z z z 1 f ( ) d 2 i l ( z z )( z )
z Ms 1 M z s 3 2 d 2 d 3
d d 取 min[ , ], 则当 z 时有： 2 Ms
3
二、科西公式的推论
证明：
§2.3 科希公式
f 1 f ( ) d 2 z 2 i l ( z )
即
f ( ) f ( z ) d 2 2 i l ( z ) 1
(5) 复通区域的科西导数公式仍然成立。
二、科西公式的推论
2、科西不等式：
§2.3 科希公式
设 f ( z ) H ( )，在 l 上连续，则有
f
(n)
n! Ms ( z) n 1 2d
其中，M sup f ( z) , s l的长， d min z
Ｍathematical Methods in Physics
第二章 解析函数积分
Integrals of Analytic Function
武汉大学 物理科学与技术学院
问题的引入： 1、至此，你了解该如何计算复围道积分吗？ 首先判断被积函数是否解析 是解析，
f ( z )d z 0
l
不解析，绕奇点作补充围道
k 1
n
l1
n 1 f ( z) f ( z) f ( z) d d l l 2i z k 1 k z
一、 Cauchy公式：
3、无界区域的科西公式
§2.3 科希公式
设 f ( z ) 在围道 l 外单值解析，在 l外至 l上连续，且
f 1 f ( ) 1 f ( )z d d 2 2 z 2 i l ( z ) 2 i l ( z z )( z )
1 2

f ( ) z
l
z z z
2
d
二、科西公式的推论 证明： f ( z)在 上连续， 有上界，

l
f ( z)在a点连续， 0, 0, z a f ( z ) f ( a)

f ( z ) f (a) f ( z ) f (a) dz dz l za za max f ( z ) f (a) 2
1 f (a) 2

2
0
f (a Re i ) d

6、摩勒纳定理： 设 f ( z ) 在区域 内连续，且对
l 都有
内任意围线
f ( z) dz 0
l
，则 f ( z ) 在 内解析。
§2.3 科希公式
小结
若f ( z) H ( ), 在 l上连续，则
特别是，当 l : z R 时, 有：
f
(n)
n! M ( z) n R
二、科西公式的推论
3、刘维尔定理：
§2.3 科希公式
设 f ( z ) 在复平面解析，且当 z 时 f ( z) M ,
则 f ( z )必为常数。
注：（1）在复变函数中，函数可导有界必为常数；在实