随机变量的数字特征与特征函数(课堂PPT)

性4： 质X 若 与 Y独立 EX且 ,EY存在X， 的 Y 则 数学期望
EXY EXEY
注：性质3和4可推广到任意有限个随机变量的场合。
7
性质5，6为不等式→
性5质 ：如 EX 果 2,EY2存在且0,则 不有 等
EXY2 EX2 EY2
柯西-许瓦兹不不等式
性质 6： 若X0，EX存在，则对b任 ，何 有实数 PXbEX
性质4可由契比雪夫不等式推出,见p151
契比雪夫不等式
10
矩→
三、矩
随机变量的矩是常见的数字特征。 数学期望和方差是它的特例。
定义：设X为随机变量，对任意正整数k，分别称
E X k
E X k
E X E X k
K阶原点矩 K阶原点绝对矩 K阶中心矩
EX E X k
K阶中心绝对矩
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N维随机变量也可以定义其数学期望和方差。 以二维为例,有协方差、相关系数。→
量纲化)的，XDE X X ,YDE Y Y
问：后者能用前者的线性函数 表示吗？近似程度如何？
讨论：设后者能用前者的线性变换表示，其形式为
YD E Y Y tX D E X X 其中t为常数
用所产生的均方差来衡量近似程度。所产生的均方差为
E Y D E Y Y tX D E X X 2 ，定 t,义 则为
三、随机变量函数的数学期望 定理4.1.1
要确定Y=g(X)的数学期望，因Y也是随 机变量，可先确定Y的分布再求Y的均 值，但Y的分布确定比较复杂。可否直 接用X的分布来求Y=g(X)的均值？
(1)设离散型随机变量X的分布律为 P X x p ,k 1 , 2 ,
k
k
又 YgX,若 gxp收敛，则
因此，在对随机变量的研究中，确定随机变量的某些 数字特征是非常重要的.
最常用的数字特征是数学期望和方差。
1
4.1数学期望→
4.1 数学期望
一、离散型随机变量的数学期望
平均值是日常生活中最常用 的一个数学特征，它对评判 事物、做出决策等具有重要 作用。 P138例1
定义：设X为离散型随机变量，其分布律为
X服从泊松分布， 特征函数=?
设连续型随机变量X的概率密度f (x)，则X的特征函数为
tEeitX eitxfxdx
X服从均匀分布， 特征函数=?
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特征函数的性质→
二、特征函数的性质
1 t 0 1 , t t
2 设随 Y a 机 X b ,其 变 a ,b 为 中 量常数，
Yteib tXat
4.3 协方差与相关系数
N维随机变量也可以 定义其数学期望和方 差。以二维为例。
定义 设X和Y的数学期望E(X)和E(Y)，D(X)和D(Y)存在，则
(E(X),E(Y)) (D(X),D(Y))
二维随机变量(X,Y)的数学期望 二维随机变量(X,Y)的方差
问题1 二维随机变量的数学期望、方差分别反映了它的各分 量的平均值和相对于各自数学期望的分散程度。如何反映各 分量之间的相互联系呢？
b
8
方差和矩→
4.2 方差与矩
一、方差的概念和计算
数学期望反映了随机变量的 取值水平，衡量随机变量相 对于数学期望的分散程度则 需用另一个数字特征:方差
定义：设X为一随机变量，如果 EXEX2存在，则称其
为X的方差，记为D(X) ,即 D X E XE X 2
而称 DX 为均方差或标准差。
计算公式： DXEX2EX2
15xyxy显然当时均方差最小其值为xy既决定了反映近似程度的均方差的最小值又同时与xy有关故其本身就能反映xy的近似程度于是作如下定义记为16定义对二维随机变量xy若exeyexexyey都存在则称exexyey为x与y的协方差或相关矩记作covxy即cov显然协方差也可以表达为covp155例1p155例2协方差的大小与使用的度量单位有关如何避免度量单位的影响
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定义相关系数→
定义：设(X,Y)为二维随机变量，D(X)>0,D(Y)>0，称
XY
covX,Y DXDY
为随机变量X和Y的相关系数，有时也记为ρ
相关系数的性质：
性1质 : XY1
性 2 :质 X Y 1 的充分 P Y a 必 X b 1 要 ,其 a ,b 为 条 中 .常 件
性3:质 如X 果 ,Y独立 X， Y 0 则
k1
k
k
E Y E g X g x p P141例8
k 1
kk
(2)设连续型随机变量X的概率密度为f (x),又Y = g (X),若
|gx|f(x)d收 x 敛，则
E Y g xf(x ) dx P142例9
P142例10
5
性质3，4→
(3)设(X,Y)的分布律为 P X x , Y y p , i , j 1 , 2 ,
因此, X与以概率 f(xi)xi
取值 x i 的离散型r . v.近似，该离 散型r . v.的数学期望为：
xi f(xi)xi
这正是
xf(x)dx的渐近和式.
3
i
受此启发，定义→
定义 设X是连续型随机变量，其密度函数为 f (x),
如果
| x|f(x)dx 收敛，则称
xf(x)dx
为随机变量X的数学期望或均值，记为E(X)或 EX,即
衡量X*,Y*之间相互关系的协方差为：
coX v*Y,*EX*Y*EX*EY*
EXDE X X YDE Y Y EXDE X X EYDE Y Y
coX v,Y DXDY
显见，cov(X*,Y*)与cov(X,Y)构成线性关系，也能反映X和Y间的相互关系，
且因其无量纲，从而不会因单位不同而影响对相互关系的度量。
称为随机 变量X的特征函数，其中i为虚单位。
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离散型r.v.和连续型r.v.的特征函数→
3.离散型随机变量的特征函数
设离散型随机变量X的分布律为 p k P X x k ,k 1 ,2 , ,
则X 的特征函数为
t EiteX eitkxpk
k
4.连续型随机变量的特征函数
X~B(n,p)， 特征函数=?
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一、协方差
定义 对二维随机变量(X,Y)，若E(X),E(Y),E{[X-E(X)][Y-E(Y)]} 都存在，则称E{[X-E(X)][Y-E(Y)]}为X与Y的协方差或相关矩，记 作cov(X,Y)，即
c X , o Y E v X E X Y E Y
显然，协方差也可以表达为
P X x p ,k 1 , 2 ,
k
k
如 果 xp收敛 x， p为称 随X 的 机数 变学 量
k1 k k
k1 k k
或均值，记为E(X)或EX.即：
EXxp
k
kk
例：产品价值的评判
X~B(n,p),E(X)=?
X~π(λ),E(X)=?
2
连续型r.v.的数学期望→
二、连续型随机变量的数学期望
问题2 另外，在实际问题中，常考虑用一个随机变量X的线 性函数来近似表示另一个随机变量Y，那么，何时能而何时不 能？如果能，如何衡量与描述近似程度的优劣？
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下面根据独立性来寻求反映X和Y相关程度的量→
分析：对于相互独立的随机变量X,Y，有E(XY)=E(X)E(Y),从而
E X E X Y E Y E X Y X Y X E Y E E X E Y
P155例1
c X o , Y v E X E Y X E Y P155例2
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协方差的大小与使用的度量单位有关，如何避免度量单位的影响？→
二、相关系数
随机变量的标准化（无量纲化）：令
X *X D E X X ,Y*Y D E Y Y
用协方差描述随机变量之间的相关程度
有一个明显的不足，就是协方差的大小 与使用的度量单位有关，例如kX和kY之 间的统计关系与X和Y之间的统计关系应 该是一样的，但其协方差却扩大了k2倍， 即Cov(kX,kY)=k2cov(X,Y).为了避免随机 变量本身因本身度量单位不同而影响它 们相互关系的度量，可将每个随机变量 进行标准化，即无量纲化
V2n
Vnn
为n维随机变量(X1,X2, …，Xn)的协差阵。
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4.5 特征函数
一、特征函数的定义
1.复随机变量 如果随机变量X和Y都是实值随机变量，则称E=X+iY 为复(值)随机变量，其中i为虚单位。 2.特征函数的定义 设X是(实值)随机变量，则对任意实数t，
t E i tE X c e t o i X s t i s X E c n t o X i s E t s i X n
第四章 随机变量的数字特征与特征函数
前面讨论了随机变量及其分布. 如果知道了随机变量X的概 率分布，那么X的全部概率特征也就知道了.
在实际问题中，概率分布是较难确定的. 在实际应用中，有 时并不需要知道随机变量的所有性质，只要知道它的某些数字 特征就够了.更重要的是一些分布可以由它的某些数字特征完全 刻画.
其 X 中 t,Yt分别表 X ,Y 示 的随 特 . 机 征变 函
3特征函 t数 在区 间 , 上一致 . 连续
4 设随 X ,Y 相 机互 变 Z 独 量 X Y ， 立则 ，又
Z t X t Y t
22
性质5:特征函数与矩的关系→
5设 随 机X变 的n量 阶 原 点 矩 存 在 ，
则 它 的 特 征 函分 数 n次可，以且微有
E X x f(x )dx 例 6 ( p 1 ) : 设 X 4 ~ N 0 ,2 , 求 E X .
解fx ： 1
x2
e22 , x
2
1
EX x2 e d x
x2 22
可见，X~N(μ,σ2),则其数 学期望为μ。后面例题的 计算使用了这一结论。
4
函数的数学期望→
9
方差性质→
二、方差性质
性1质 若 C 为 常D 数 C 0 ， 则
性2质 若 C 为常D 数 CX ， C 2D 则 X
性 3 若 X , 质 Y 独 D 立 X Y D ， X D Y 则
性质可推广到n个独立随机变量的情况。
性 4 D X 质 0 的充 P X 要 C 1 ,其 条 C E 中 X 件
设X是连续型随机变量，其密度函数为f(x), 在数轴上取很密
的点x0<x1<x2<…, 则X落在小区间[xi, xi+1)的概率是
xi1 xi
f (x)dxf(xi)x (i1xi)
在小区间 [xi, xi+1)上
f(xi)xi
由于xi与xi+1很接近, 所以区间[xi, xi+1)中的值可用 xi 来近似地替代.
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记为XY
t 1 2 tE X D E X X D Y Y E Y t2
t t X 2 Y 1 X 2 Y
显然，当 t XY 时，均方差最小，其值为 t1X 2 Y
E X E X Y E Y 既决定了反映近似程
度的均方差的最小值，又同时与X、Y有关，故其本身 就能反映X、Y的近似程度，于是作如下定义
i
j
ij
又 Zg X ,Y ,若 gx,yp收敛，则
i 1j 1
i
j
ij
E Z E g X ,Y g x ,y p
i 1j 1
i j ij
(4)设(X,Y)的概率密度为f (x , y),又Z= g(X,Y)，若
若 g x ,yfx ,ydx 收 dy 敛，
E Z g x ,yfx ,y dxP14d 3例11 y
E X Y E X E Y 0
反之则说明，当E{[X-E(X)][Y-E(Y)]}≠0时，X与Y 一定不相互独立，这说明E{[X-E(X)][Y-E(Y)]}在一 定程度上反映了X和Y的相关程度。
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通过例子说明E{[X-E(X)][Y-E(Y)]}在一定程度上反映了X和Y的相关程度→
例：设X,Y的数学期望、差均存在，则以下两个随机变量为标准化(无
n0inEX n
或
EnX in n0
用定义计算矩………求级数或积分………比较繁琐。
用特征函数计算矩………求导数………比较简便。
P171例6
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特征函数与分布函数的关系→
四、特征函数与分布函数的关系
定理4.5.2：设随机变量X的分布函数为f x ，特征函数为t
则对f(x)的连续点x1, x2，有
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数学期望的性质→
四、数学期望的性质
性1:设 质 C 为常E 数 C C ， . 则
性2质 :设 C为常数 EX， 存若 在C， 的 X则 数学期望 ECX CE X.
性3质 :若 X与 Y的数学期望 X存 Y的在 数， 学则 期望
EXYEXEY P144例12
利用性质求 X~B(n,p),
E(X)=?
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二维r.v.是协方差，那，n维r.v.呢？→
三、协差阵
n维随机变量的重要数字特征是协差阵。
定义：设(X1,X2, …，Xn)为n维随机变量，且
V i jcX o i , Y j,v i ,j 1 , 2 , , n
则称矩阵 V11 V12
V V21 V22 Vn1 Vn2
V1n