2013级常微分方程考试大纲

肇庆学院数学与统计学院2013级本科各专业《常微分方程》考试大纲
一、考试基本要求
《常微分方程》考试大纲适用于肇庆学院数学与统计学院2013级本科各专业的期末考试。

其主要目的是考核学生对《常微分方程》基本内容的理解、掌握程度。

要求学生掌握《常微分方程》的基本理论和基本方法，要求学生具有《常微分方程》基本理论的应用能力和基本计算能力，并熟悉在物理、化学、生物、工程技术和某些社会科学中的应用。

二、考试内容及具体要求
第一章基本概念
本部分内容主要介绍微分方程及其相关的基本概念，引入一些应用微分方程的实际问题的数学模型。

（1）理解微分方程的有关概念，掌握微分方程的分类；
（2）正确理解并熟悉解、通解、特解及相关概念；熟悉初值问题、初始条件；（3）了解解的几何解释；
（4）掌握微分方程的一些实际应用背景。

第二章一阶微分方程的初等积分法
本部分内容介绍若干能用初等积分法求解的方程类型及求解的一般方法。

本部分内容的重点是变量分离方程、一阶线性方程和恰当方程的解法，难点是变量代换的技巧、常数变易法及积分因子法。

（1）熟悉变量分离方程及分离变量法，熟练掌握变量分离方程及可化为变量分离方程的方程的解法；
（2）熟练掌握一阶线性方程的性质及解法，掌握常数变易法，掌握贝努利方程的特征及解法；
（3）熟悉恰当方程的特征，熟练掌握可用积分因子求解的方程的特征及解法；
（4）熟练掌握几类一阶隐方程的解法；
（5）了解Ricaati方程（选修）；
（6）能够解决一些相关的应用问题。

第三章一阶微分方程解的存在唯一性定理
本部分内容主要是：一阶方程初值问题解的存在唯一性定理及其证明（Picard逐步逼近法）；解的近似计算；解的延拓，解对初值的连续依赖性、可微性；包络和奇解的概念及求法，克莱洛方程。

（1）熟练掌握解的存在唯一性定理，掌握其证明方法；了解用Picard逐步逼近法求方程近似解的方法；
（2）理解解的延拓及延拓定理（证明不作要求）；
（3）了解解对初值的连续依赖性和可微性的意义，了解解对初值的连续性、可微性定理（证明不作要求）（选修）；
（4）了解包络和奇解的概念，了解求包络和奇解的方法；了解克莱洛方程及其解法（选修）。

第四章高阶微分方程
本章内容主要包括几类可降阶的高阶方程；函数组的线性相关性，朗斯基行列式，齐次线性方程解的性质与通解结构定理，基础解系（基本解组），用降阶法解齐次线性方程；非齐次线性方程解的性质及通解结构定理，求解非齐次线性方程的常数变易法；常系数齐次线性方程，欧拉方程的解法；常系数非齐次线性方程的解法（比较系数法和拉普拉斯变换法）；幂级数解法；应用问题（振动问题等）。

（1）掌握几类可降阶的高阶方程的解法；
（2）掌握函数组的线性相关性，熟悉并掌握朗斯基行列式及其性质；
（3）熟练掌握齐次线性方程解的性质、通解结构与基础解系；掌握由已知解用降阶法求解的方法；
（4）熟练掌握非齐次线性方程解的性质与通解结构；掌握常数变易法；
（5）熟练掌握常系数线性方程的解法（特征根法和比较系数法），会解欧拉方程；
（6）了解常微分方程的幂级数解法，会用于求解某些二阶线性方程（选修）；
（7）能够熟练地用二阶线性方程解决振动问题，了解其它相关的应用（选修）。

第五章微分方程组
本章内容主要包括微分方程组及解的有关概念，一阶微分方程组与高阶微分方程（组）的关系；一阶微分方程组解的存在唯一性定理，一阶线性微分方程组解的存在唯一性定理；矩阵（向量）函数的连续性、导数、积分，矩阵（向量）函数列的一致收敛性；向量函数组的线性相关性，朗斯基行列式及其性质；齐次线性方程组解的性质、通解结构，基础解系及基解矩阵的性质；非齐次线性方程
组解的性质、通解结构，常数变易法；矩阵指数exp A的定义及性质；常系数齐次线性方程组的解法（求基解矩阵exp A），常系数非齐次线性方程组的解法（常
数变易法）；一些实际应用问题。

（1）了解微分方程组及其解的有关概念，会将高阶微分方程（组）化为一阶微分方程组；
（2）了解一阶微分方程组解的存在唯一性定理（证明不做要求），一阶线性微分方程组解的存在唯一性定理（证明不做要求）；
（3）熟悉矩阵（向量）函数，了解向量函数范数的定义；掌握矩阵函数的连续性、导数及积分；了解矩阵函数列的一致收敛性；
（4）掌握向量函数组的线性相关性，朗斯基行列式及其性质；
（5）熟练掌握齐次线性微分方程组解及基解矩阵的性质、通解结构；掌握非齐次线性微分方程组解的性质、通解结构，常数变易法；
（6）熟练掌握常系数齐次线性方程组的解法（Jordan标准型的方法不做要求）；
（7）了解相关的应用问题。

三、考试题型
选择题、填空题、判断题、计算题、应用题、讨论题、证明题等。

四、参考书
1.《常微分方程》（第三版），王高雄等编，高等教育出版社，2006年。

2.《常微分方程》，东北师大数学系编，高等教育出版社，1982年。

五、备注：选学内容不考核（如第三章第4节等）。