数学物理方程提纲

数学物理⽅程提纲
数学物理⽅程提纲
第七章数学物理定解问题
数学物理定解问题包含两个部分：数学物理⽅程（即泛定⽅程）和定解条件。

§7.1数学物理⽅程的导出
⼀般⽅法：第⼀确定所要研究的物理量u ,第⼆分析体系中的任意⼀个⼩的部分与邻近部分的相互作⽤,根据物理规律, 抓住主要⽭盾, 忽略次要⽭盾。

（在数学上为忽略⾼级⼩量.）第三然后再把物理量u 随时间，空间的变为通过数学算式表⽰出来, 此表⽰式即为数学物理⽅程。

（⼀）三类典型的数学物理⽅程
（1）波动⽅程： 0
:),(:)
,(:22
2
222
22==??-??=?-??→f 当⽆外⼒时t x f x u a t u ⼀维t r f u a t
u 三维此⽅程适⽤于各类波动问题。

（特别是微⼩振动情况.）
（2）输运⽅程： 0
:).(:)
,(:2
2
2
2
==??-??=?-??→f ⽆外源时t x f x
u a t u ⼀维t r f u a t
u 三维此⽅程适⽤于热传导问题、扩散问题。

（3）Laplace ⽅程： .0(:0
:).程时泊松⽅程退化拉⽒⽅f f u 泊松⽅程u 拉⽒⽅程t r ==?=?→
稳定的温度和浓度分布适⽤的数学物理⽅程为Laplace ⽅程, 静电势u 在电荷密度为零处也满⾜Laplace ⽅程。

§7.2定解条件
定解条件包含初始条件与边界条件。

（1）初始条件的个数等于⽅程中对时间最⾼次导数
的次数。

例如波动⽅程应有⼆个初始条件, ⼀般选初始位移u （x,o ）和初始速度u t （x,0）。

⽽输运⽅程只有⼀个初始条件选为初始分布u （x,o ）,⽽Laplace ⽅程没有初始条件。

（2）三类边界条件
第⼀类边界条件： u( r ,t)|Σ = f （1）第⼆类边界条件： u n |Σ = f （2）第三类边界条件： ( u+Hu n )|Σ= f （3）
其中H 为常数.
7.3 ⼆阶线性偏微分⽅程分类
判别式 ,
,0,,0,
,02211212221121222112
12抛物型a a a 椭圆型a a a 双曲型a a a =-=?<-=?>-=? 波动⽅程是双曲型的,输运⽅程为抛物型的,⽽拉普拉斯⽅程为椭圆型的.
7.4 达朗贝尔公式
对⼀维⽆界的波动⽅程,当不考虑外⼒时,定解问题为
()()()()
()()()[]()?+-+++-====??-??at
x at x t d a
at x at x t x u 解为x x u x x u x u a t u ξξψ??ψ?2121,:0,0,022
222
对半⽆界问题作延拓处理:
对第⼀类齐次边界条件作奇延拓,⽽对第⼆类齐次边界条件作偶延拓.
第⼋章分离变量法 8.1 分离变量法主要步骤:
1.边界条件齐次化,对⾮齐次边界条件⾸先把它化为齐次的. ?
2.分离变量 u(x,t) =X(x) T(t) （1） [以后对三维问题也是如此]
3. 将（1）式代⼊原⽅程得出含任意常数λ的常微分⽅程, (称为本征⽅程) ⽽λ为本征值.
4.由齐次边界条件确定本征值,并求出本征⽅程.(得出的解为本征函数)
5.根据迭加原理把所有满⾜⽅程的线性⽆关解迭加后,就能得通解.
6.再由初始条件确定系数.
⼀维波动⽅程在第⼀类齐次边界条件下的
()()()()()
()()
()()4,sin 2:3,sin 22,sin 0,:1,sin
sin cos ,:001
1ξπξ
ξψπξπξ
ξ??ππππd l
n a n b 同样d l
n l a x l x
n a x u 代⼊边⼊边界l x n l at n b l at n a t x u 通解l
n l
n n n n n n ??∑∑=
===??? ?
+=∞
=∞
=
⼀维波动⽅程在第⼆类齐次边界条件下的通解:
()()()()()()()()7.cos 2,cos 26.1
,15,cos
sin cos .000
000100ξπξξψπξπξξ?ξξψξξ?πππd l
n a n B d l n l A d l B d l A l x n l at n B l at n A t B A t x u l n l
n l
l n n n ∑====??? ?
+++=∞
=
⼀维输运⽅程在第⼀类齐次边界条件下的通解:
()()
()()
9,sin 28,sin ,012
∑==
-∞
=l
n t l a n n n d l
n l c l
x n e
c t x u ξπξξ?ππ
⼀维输运⽅程在第⼆类齐次边界条件下的通解:
()()
()()()11,cos 2,110,cos ,00002
∑===
-∞
=l
n l
t l a n n n d l
n l c d l c l
x n e
c t x u ξπξξ?ξξ?ππ
对其他的齐次边界条件,如本征函数已知也可直接求解,⽽对本征函数不熟则只能⽤分离变量法来求解. 8.2 ⾮齐次边界条件的处理常⽤⽅法有 1) 直线法 :
对边界条件为: u(0,t)=g(t), u(L,t)=h(t) .
令 ()()()()()x L
t g t h t g t x u t x v ---=,, ,可把边界条件化为齐次,但⼀般情况下⽅程变为⾮齐次. ?只有当g,h 为常数时,⽅
程才不变.
2) 特解法
把 u 化为两部分,令 u=v+w 使v 满⾜齐次边界条件与齐次⽅程,⽽使w 满⾜齐次⽅程与⾮齐次边界条件.下⾯通过实例来介绍此⽅法. ? 例题求解下列定解问题
U tt －a 2 U xx = 0 ? U|x=0 =0, U|x=L = ASin ωt ? U|t=0 = 0 , U t ∣t=0 = 0 ?( 其中A 、ω为常数, 0＜x ＜L , 0＜ t ）
解：令 u=v+w ,使w 满⾜波动⽅程与⾮齐次边界条件, ?得出
()
a
l
t
a
x
A t x w ωωωsin
sin sin
, 第九章⼆阶
常微分⽅程的级数解法本征值问题
⼀.拉普拉斯⽅程与亥姆霍斯⽅程在球坐标与柱坐标下分离变量结果.
1. 拉普拉斯⽅程在球坐标下的通解:
()()()1,,1,,,1im m l l L l l Y r B r A r u ∑??? ?
+=+
其中Y lm 为球函数,拉普拉斯⽅程在球坐标下的解不依赖于边界条件. 在
轴
对
称时(1)式退化为
()()()∑∞
=+
+=012,c o
s ,l l l l l l P r B r A r u θθ 2. 拉普拉斯⽅程在柱坐标下:
()()()()()
()()()
()()()()()()()()
()().
.55.0:4,,
0,ln :4;:3,04.01.3.022,1,0,sin cos 1.,,2
22
22
22
22'
'2程为m阶Bessel⽅R m x dx
dR x dx R d x 式为今x m F E R 式解为Bz A z Z 的解为R m d dR d R d Z Z m m m b m a z Z r R z u =-++==+=+=== -++=-==+=ΦΦ=ρµρµρµρρρµλρ
(5)式其解为m 阶Bessel 函数,
解依赖于边界条件,当上下底为边界条件是齐次时,
µ<0.对应的解是虚贝塞尔函数.
3）亥姆霍斯⽅程在球坐标与柱坐标下分离变量结果.
在球坐标下:
()()(),,,Y r R r u =
其中Y 为球函数,R 为球贝塞尔函数.
在
柱
坐
标
下
:
.
()()()()()
()()()
()()()()
()5.0:4,;
4.01.3.022,1,0,sin cos 1.,,2
22
222
222
2
2222''2=-++=-==
--++=+==+=ΦΦ=R m x dx
dR x dx R d x 式为今x k 令R m k d dR d R d Z Z m m m b m a z Z r R z u ρµνµρνρρρνλρ(5)式其解为m 阶Bessel 函数, ⼆、常微分⽅程的级数解法
1. 掌握常点邻域的级数解法.
2. 掌握正则奇点邻域的级数解法.
3.知道⽆穷级数退化为多项式的⽅法. 三. 知道Sturm-Livouville 本征值问题的共同性质
当k(x),q(x)和ρ(x)都只取⾮负的值(≥0), Sturm-Livouville ⽅程共同性质为:
1)当k(x),k ’(x)和q(x)连续且x=a 和x=b 最多为⼀阶极点时,存在⽆限多个本征值及对应的本征函数: ()()()()
x y x y x y x y k k 321321,,≤≤≤≤≤λλλλ
2)所有本征值λn ≥03)对应于不同本征值的本征函数带权正交()()()()m n dx x x y x y b
a
n m ≠=?,0ρ4)本征函数族构成完备系
()()∑
∞
==1
n n n x y f x f
第⼗章球函数
1. 轴对称的球函数
当物理问题绕某⼀轴转动不变时,选此轴为z 轴这时物理量u 就与φ⽆关,m=0.
此时球函数Y(θ,φ)就为L 阶勒让德多项式.即Y=P l (cos θ) 1) 勒让德多项式
1. 勒让德多项式级数形式:
()()()()()()1.!2!2!!2212
120
2∑-=-----=
l 或l n n
l l
n
l x n l n l n n l x P 2. 勒让德多项式微分形式:
()()
()2.1!212
l l
l l l x dx
d l x P -= 3.前⼏项为:
P 0(x)= 1, P 1(x) =x=cos θ, ?P 2(x)=(3x 2
-1)/2, ….
⼀般勒让德多项式的幂次取决L
当L 为偶数时都为偶次幂项,L 为奇数时都为奇次幂项. 对特殊点x=1,0. ()()()()()()()()(),
!
!2!!1210,00,
1,11212n n P P x P x P P n
n n l l
l l --==-=-=-
4.勒让德多项式正交关系 ()lk l k l N dx x P x P δ211
)(=?- (3) ?5.勒让德多项式的模
1
22
,1222+=
+=
l N l N l l (4) 6.⼴义傅⾥叶级数 :当f(x)在[-1,1]连续可导,且在x=-1与1
有限时.
()()
()(),21
21
1
1
∑-∞
=+==
dx x P x f l f x P f x f l l l l
l
(5) ?7.在球坐标下Laplace ⽅程: △u= 0的通解为:
轴对称 ()()()
()()
∑∑∑∞=+∞=-=+
+=
+=01017,c o s 6,,l l l l l l l l
l m lm l l l l P r B r A u Y r B r A r u θ?θθ (6)式有两系数需要两条件来确定,对球坐标有两⾃然边界条件,r=0与r →∞,球内解包含r=0,
u 有限, ()∑∞
===0cos ,0l l l
l l P r A u B θ (7)
⽽A l 由球⾯的边界条件确定,同样对球外区域两系数由球⾯的边界条件与r →∞, 两个条件确定. 8. 母函数
()∑∞
==+-02
c o s c o s 211l l l P r r r θθ (8)
9. 递推公式
()()()()()()()
0.12.
2,
112'1'1''1'111>-=+-+=++=+-+-++-l P P P l xP P P P x P l x lP x xP l l l l l l l l l l l
⼆.连带勒让德函数
在⼀般情况下,物理量u 与φ有关,故球函数Y 是连带勒让德函数与周期函数的乘积. 1. 连带勒让德函数
(
)
[]
()x P x
m l
m
2
21-=Θ (1)
2.连带勒让德函数的微分表⽰
()()
.1!
2122
2l
m
l m l l
m
m
l
x dx
d l x P --=
++ (2) 从(2)可得当L ⼀定时,m 的取值为 m=0,1,2…L.共有L+1个值.⽽三⾓形式球函数Y （θ,φ）中,cosm φ,sinm φ为不同态,共有2L+1个态.3.正交关系
()()()()()!
!
1223.2
21
1
m l m l l 模平⽅N N dx x P x P ml
lk ml m k
m l -++=
=?-δ
4. 球函数Y 的两种表⽰形式. 第⼗⼀章柱函数⼀、掌握三类柱函数的基本性质
⼀般我们称Bessel 函数Jm(x)为第⼀类柱函数. ⽽把Neumann 函数Nm(x)称为第⼆类柱函数 . 1）对于第⼀类柱函数与第⼆类柱函数的线性组合.
()()()()()()x iN x J x H x iN x J x H m m m
m m m
-=+=2
1
称为第⼀种与第⼆种汉克尔函数.⽽汉克尔函数称为第三类柱函数 2) x →0和x →∞时的⾏为
()()()
()()()()()()()()??
---∞→??
--∞→∞
→∞
→-→→→→==??
--= --=
∞
→∞→?==4224210
002lim ,2lim 42sin 2lim ,42cos 2lim lim ,lim 0.0lim ,1lim ππππππππππππm x i m x m x i m x m x m x m x m x m x x e x
x H e x
x H m x x x N m x x x J x J x N m x J x J
3) 递推公式
()()()()()()()[]
()()()()()()
()()()()()()
4.3.212.1.211!21211!11'
1'
110122022x J x
x J m x J x J x x J m x J 展开
与把x J x x J x dx
d
x
x J x k m k k x k m k dx d x J dx d m m m m m m m m m m m
m k k k m k k k
k m k
m m -+-+∞
=-+∞=+=+-=-=-=
++Γ-=??????????? ??++Γ-=∑∑4）贝塞尔函数的零点
对m 阶贝塞尔⽅程
(
)
(
)
()(
)
(
)()
()
()
()
(
)0
)(
::1.0.,0.00
'
2
22
2
2
2
=
==
=?=
=-++ρµρµρµρ
µρµµρ
m
m n
m n m n
m
m
J
x 本征值x 记J
J R 件对柱侧⾯的齐次边界条时当x R m x
dx dR
x
dx R
d
x
对第⼀类齐次边界条件得出第n 个零点
对第⼆类齐次边界条件⼆．贝塞尔函数的正交关系 .
对于不同本征值的同阶贝塞尔函数在区间 ? [0,ρ0]上带权重ρ正交. ()
()()
()()
()1.][20
nk m n
m k
m
m n
m
N
d J J δρρρµρµρ=?
2）⼴义傅⾥叶- 贝塞尔级数 ?
()()
()()
()
[]
()()
()()3.1
2.0
2
1
ρρρµρρµρρd J f N f J f f m n
m m n
n
m n
m
n n ?∑==∞
=
3）Laplace 在柱坐标下的通解 ? 轴对称m=0,柱内解为在侧⾯为第⼀类齐次边界条件时
()()()
()
()()()()
()
()2.,1.,101110000100
?
+ ++=
?
+ =∑∑∞
=∞
=ρρρρR x J z R
x sh B z R
x ch A z B A z u 条件时
侧⾯为第⼆类齐次边界R x J z R x ch B z R
x sh A z u n n n
n n
n n n n n n
n
其中系数An,Bn 由上下底边界条件确定.
在上下底为齐次边界条件时,
µ≤ 0,R 的解为虚宗量贝塞尔函数.记为I m (x)
同样可得Laplace ⽅程在柱内解 ? 当轴对称时m=0
上下底满⾜第⼀类齐次边界条件时解为
()()()()3.cos
,:
2.sin ,00
01
H z n H n I A z u 对第⼆类齐次边界条件H z n H n I A z u n n n n ππρρππρρ
=?
=
∑∑∞
=∞=
输运⽅程与波动⽅程在柱坐标下的解 ? 1) 解的形式: u(r ,t)=T(t)v(r ) ? V 满⾜亥姆霍兹⽅程.在侧⾯与上下底齐次边界条件下能完全确定本征值,例如上
下底满⾜第⼀类齐次边界条件. 在轴对称情况下m=0 对输运⽅程柱内的解:
上下底满⾜第⼀类齐次边界条件
()()
1.sin ,,22
21,1000t H l x a
l n n nl n e
H z
l x J a t z u
+ -∞
==∑
=πρπρρρ
波动⽅程在柱内的解:
在上下底满⾜第⼀类齐次边界条件下
()[
]
()2
00
2000000)(2.sin sin cos ,,
+=
+=∑
∞
ρπρρπρn
nl n nl nl nl nl nl x H l k x J H z l at k b at k a t z u
⼆维极坐标下的解:
侧⾯满⾜第⼀类齐次边界条件
()[]()
∑∞
=+=10
000sin cos ,n n n n n n k J at k d at k c t u ρρ（3） ? 侧⾯满⾜第⼆类齐次边界条件 ? ()[]()
()4.sin cos ,101
11
00ρρn
n n
n n
n k J at k d at k c t b a t u ∑∞
=+++=
第⼗⼆章积分变换法 ? ⼀、傅⾥叶变换法
1。

掌握傅⾥叶变换法的适⽤条件，即⽅程中的⼀个变量是在(-∞,∞)范围内时,可⽤Fourier 变换法. 2。

能⽤傅⾥叶变换法求解⼀些筒单的偏微分⽅程。

⼆、Laplace变换法
1。

掌握Laplace变换法的适⽤条件，即⽅程有初值情况,且⼀个变量的变化范围在(0, ∞)
2。

能⽤Laplace变换法求解⼀些筒单的偏微分⽅程。

第⼗三章格林函数法
1。

知道格林函数的定义及物理意义
2。

知道泊松⽅程解的积分形式
3。

能⽤电像法求解泊松⽅程的格林函数。

.
.。