材料力学9—压杆稳定

B
0 k sin kl
1 0 cos kl
l 1 0 0
tan(kl) kl (kl) min 4.5
P 2 k EI P 4.52 EI l 4.5 Pcr EI l2
拐点
x y A
一端固支一端绞支细长压杆 的欧拉临界压力公式
Pcr
2 EI
(0.7l ) 2
EIy M ( x) RB (l x) py
P 2 k 引入记号： ，改写为： EI RB (l x) 2 y k y EI R 通解为： y A sin kx B cos kx B (l x) P
边界条件: y(0)=0 , q(0)=0, y(l)=0 ， 即
1 压杆失稳时，挠曲线上两拐点间的长度就是压杆的相当 长度 l 。 2
l是各种支承条件下，细长压杆失稳时，挠曲线中相当于
半波正弦曲线的一段长度。
（2）各种约束的简化： （a）柱形铰约束
两端为柱形铰的连杆: 当在xy平面内弯曲时,可简化为两端铰支; x z
y
当在xz平面内弯曲时,可简化为两端固定。
R A sin 0 B cos 0 l B 0 P RB k Acos 0 Bk sin 0 0 P RB A sin k l B cos k l 0 0 P
RB
P
B
拐点
x y A
l
y
A，B，RB / P不能同时为零 ，即行列式：
P RB
cr a b
抛物线公式为：
cr a1 b12
a,b,a1,b1都是与材料性质相关的常数。
a s 使用上述经验公式的最小柔度极限值为：s b 若柔度在 s 与 p 之间的，可用上述经验公式求其临界应
力。这类压杆称为“中柔度杆”。
s 当杆的柔度 λ ＜ 时，称为小柔度杆或短粗杆。对于短 粗杆的计算，可直接采用前面轴向拉压的知识求解。
P
P与中点挠度vmax 的关系 如右图所示：
D
则如AC 所示 实验 分析所 得平 衡路径为OFGH曲线
F
G
H Pmax
Pcr
O
例9-1 有一根矩形截面细长松木杆，两端铰支，截面面积为 30×5 mm2， 杆长l=1m，弹性模量E = 9GPa，计算木压杆的 临界压力？ 解：先计算截面的惯性矩：
c
继Euler之后，J-L. Lagrange在1770-1773年有关柱的形状 的论文中，得出了两端铰支的压杆临界力公式。 1846年，marle在《关于木材弯曲的研究报告》中， 具体的讨论了Euler公式的适用范围问题，对于两端铰支的 压杆，他导出了如下的临界力公式：
dx
2
py
cr
EI y '' M ( x) P y
M ( x) EI y '' P y
令k 2 P ,有 EI
y '' k 2 y 0
以上微分方程的通解为:
y A sin kx B cos kx
然后利用边界条件进行分析: 当x=0及x=l 时,y=0, 所以有:
B 0, A sin kl 0 sin kl 0
欧拉公式的一般形式为：.
2 EI P cr ( l ) 2
式中称为相当长度， μ称为长度系数。现把其 它情况下的长度系数μ列 表如下： 表9.1 压杆的长度系数μ
压杆的 约束条件 两端铰支
一端固定 一端自由
两端固 定
一端固定 一端铰支
长度系数 μ
1
2
0.5
0.7
（1）相当长度 l 的物理意义
平衡的分类： 稳定平衡:经微小干扰后能回到原来位臵的平衡； 不稳定平衡:经微小干扰后不能回到原来位臵的平衡； 随意平衡：经微小干扰后可以在一个比较随意的位臵平衡；
随意平衡：可在任意位臵平衡。
p
干扰力
p
p pcr
a
b
c
当压力逐渐增加到某一极限值时，压杆的直线平衡变为 不稳定，若再有微小的横向干扰力使其发生轻微弯曲，干扰 力解除后，它将不能恢复原有的直线形状，而保持其曲线形 状的平衡。上述压力的极限值称为临界压力，记为Pcr。
（二）
文艺复兴以来，人们逐渐开始用实验和理论分析的方法 研究柱的承载能力问题。
Leonardo da Vinci做过一些开拓性的工作。他认为：高度 一定的柱的承载能力与其直径的立方成正比。
压杆临界力公式是L.Euler在1744出版的一本有关变分法 的专著指出的，但当时他得到的结果是错误的。直到1757年 出版《关于柱的承载力》的著作时，才纠正了自己的错误。 他是利用下列经过简化的近似微分方程，简便地导出了临界 力的公式。 d2y
i2 2E 2 l
（三）
长期以来，Euler和Lagrange得出的公式并为受到工程上 的工程上的广泛应用和重视，这与当时采用的柱体结构大都 短和粗有关。但进入19世纪末和20世纪初后，由于压杆失稳 引起的破坏事故出现了不少，试举几例： 1876年，美国仕特比拉河上的桥发生了倒塌。当时一列 火车正行驶在桥的中部时，司机感觉到有一股无形的力量把 火车往后拖，于是加足了马力，猛地开过了桥，但最后的两 节车厢还是掉入了河中，158名乘客中有92人遇难。 1907年，加拿大魁北克省的一座桥在施工过程中就发生 了倒塌，有74名工人遇难。事后查明是下弦杆失稳所致。 1925年2月13日，在苏联流经俄罗斯和乌克兰的普里皮亚 季河上。莫济里铁路桥试车时就出了问题。经分析是由于连 接柱子的缀条比较薄弱，未能将柱子组成坚固的整体。
l
y
例9-3 图示各杆均为圆形截面细长压杆。已知各杆的材料及 直径相等。问哪个杆先失稳?
P P P
a
A
1.3a
B
1. 6a c
d
解： 杆A： = 2 杆C： =0.7
μ l 2a
杆B： =1
μ l 1.3a
所以A杆先失稳
μ l 0.7 1.6a 1.12a
例9-4
图示结构，①、②两杆截面和材料相同，为细长压杆。
§9.2 压杆稳定的概念
压杆丧失其直线形状的平衡而过渡为曲线平衡的现 象，称为丧失稳定，简称失稳。 例如，有一矩形截面松 木 杆 ， 截 面 面 积 为 P 30×5mm2 ，其压缩强度极 限 为 40MPa ， 受 力 如 图 所 示。根据实验可知，当杆 很短时(高为30mm左右)， P 将 它 压 坏 所 需 的 压 力 P1 =bA=6kN ； 但 若 杆 长 达 1000mm 时 ， 则 只 要 P2 ＝ 30 27.8N的压力，就会使杆产 生显著的弯曲变形而丧失 (a) (b) 工作能力。
二 欧拉公式的适用范围
cr
2E 2 ≤ p
2E p
由此式 可得对应于比例极限的柔度值为：
p
我们把柔度大于 p 的压杆，称为“大柔度”杆或 “细长杆”。
三 中、小柔度杆的临界应力
p 若压杆的柔度λ小于 ，则临界应力大于材料的比例极限， 这时欧拉公式就不能使用，目前，在工程设计中多采用经验 公式。当 ≤ s＜ 时，p有直线公式为：
P cos P sin
2E I
l1 l2
2
式(2)除以式(1), 便得tg l1 ctg 2 l2 由此得 arctg(ctg2 )
2
（1） （2）
2E I
2
§９.４ 欧拉公式的适用范围
一．临界应力 横截面上相应的平均应力，就是临界应力，即：
（一）
浙江余姚河姆渡新石器文化遗址的木 构榫卯
河姆渡新石器文化遗址出土的苇编 残片，用于干阑式建筑铺垫地板用
几千年来，柱子大多采用圆形和各种正多边形的截面，尤 其值得一提的是“拼合柱”。 除了房屋的柱子，古代的兵器的柄也采用了合理的截面形 状。 古希腊人在建造神殿时，采用了仿生学的方法来确定柱子 的尺寸。他们测量男人的足印，发现足的尺寸大约是人高的1/6。 于是他们把这个比例用到柱子上。
kl n , n 0,1,2,3,4....
n=1时即得: 两端铰支压杆临界力的欧拉公式
Pcr
2EI
l2
式中：E— 压杆材料的弹性模量； I— 压杆横截面对中性 轴的惯性矩。在计算分析过程中，如压杆可以在几个平面 内产生弯曲变形时，应取较小的I值进行计算（在杆端约束 相同的情况下）；l— 压杆的长度。
I min
3 0.53 1 10 8 4 4 cm m 12 32 32
由此可得临界力为：
2 E I 2 9 10 9 10 8 Pcr 2 27.8 N l 32 12
由此可知，若轴向压力达到27.8N时，此杆就会丧失 稳定。
二、其它支承情况压杆的临界压力
y p （b）焊接和铆接 桁架腹杆----可简 化成两端铰支 C A
D
B
E
（c） 螺母和丝杠连接
螺母 丝杠
有时可简化为铰 支座，有时可简 化为固定端。 d0
L0
（d）固定端
对于与坚实的基础固结成一体的柱脚，可简化 为固定端。
例9-2 推导一端固支一端铰支压杆的临界压力公式。 在线弹性、小变形下，近似微分方程：
在工程实际中，有许多的构件需要考虑其稳定性。如千斤 顶的丝杠，托架中的压杆及失稳后的窄梁和薄壁容器等。 P C B 压杆 A
p pcr
z p
p y
x
p pcr
§9.3 细长压杆的临界压力
一 两端铰支中心受压直杆的临界压力 中心受压直杆：杆由均质材料制成，轴线为直线，外力的作 用线与压杆轴线重合。（不存在压杆弯曲的初始因素） 令距杆端为x处截面的挠度为y，则如右图所示，得到弯 矩方程为： M(x)＝－P y 挠曲线近似微分方程为：
表 13-2 直线公式的系数 a 和 b
材料 A3 钢 优质碳钢 硅钢 铬钼钢 铸铁 强铝 松木 a(MPa) 304 461 578 9807 332.2 373 28.7 b(MPa) 1.12 2.568 3.744 5.296 1.454 2.15 0.19
压杆的临界应力图：
例9-5 如图所示的两根压杆，其直径均为d，材料都是A3钢， 但二者的长度和约束都不相同。(1) 分析哪一根杆的临界力较 大；(2) 若d=160mm，E=205GPa，计算二杆的临界力。 解：(1) 先计算柔度，判断 那一根压杆的临界力较大。 二者均为圆截面，且直径为 d，故 d 4 64 d i 2 4 d 4 因二者的长度和约束条件各不相同， 所以柔度不一定相等。对于图a所示的 （a） 压杆，因为两端铰支约束，故μ＝1， 于是 l 1 5 20 (a) i d 4 d
确定使载荷 P 为最大值时的θ角（设0<θ<π/2）。
解:由静力平衡条件可解得两杆的压力分别为:

N1 P cos ， N 2 P sin
两杆的临界压力分别为:
Pc r 1
①
l2 2
②
2E I
l1
2
，
Pc r 2
2E I

90
要使P最大,只有N1、N2都达 到临界压力,即
cr
Iy A
2 EI A ( l ) 2 A
Pr c
设iy和iz分别为截面图形对于y轴和z轴的惯性半径
iy
cr
Iz iz A
则有：
2E 2E l 2 2 ( )
i

l
i
式中 称为压杆的柔度，又叫长细比，是一个无量纲的量。 其反映了杆端约束情况、压杆长度、截面形状和尺寸对临界应力 的综合影响。
（b）
对于图b中之压杆，因为两端
为固定端支座，故μ＝0.5，于是
0.5 9 18 (b) d 4 d
（a） （b） 比较(1)与(2)，两端固定压杆的柔度小，应具有较高的 临界压力。因此不难看出支承条件对临界压力的影响。 (2) 计算给定参数下压杆的临界力 对于两端铰支的压杆，由(1)式有：
第九章
压杆稳定
§9-1 压杆稳定研究简史 §9-2 压杆稳定的概念 §9-3 细长压杆的临界压力 §9-4 欧拉公式的适用范围 §9-5 压杆稳定计算 §9-6 提高压杆稳定性的措施
§9.1 压杆稳定研究简史
大约六七千年前，我国新石器时代的房屋，具有代表性 的营建方式主要有两种：一种是长江流域多水地区的干阑式 建筑(所谓干阑式建筑，即是体量较大，下屋架空，上层铺 木板作居住用的一种房屋)；另一种是黄河流域的木骨泥强 房屋。这两种营建方式都离不开柱子。