2020年高中数学 人教A版 必修4 同步作业本《二倍角的正弦、余弦、正切公式》(含答案解析)

2020年高中数学 人教A 版 必修4 同步作业本
《二倍角的正弦、余弦、正切公式》
一、选择题
1.计算⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π12
－sin π12⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π12＋sin π12的值为( ) A ．-
32 B ．-12 C.12 D.32
2.若sin α=3cos α，则sin 2αcos 2α
=( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．6
3.已知cos(α＋π4)=14
，则sin 2α的值为( ) A.78 B ．-78 C.34 D ．-34
4.已知cos 2x 2cos ⎝
⎛⎭⎪⎫x ＋π4=15，则sin 2x=( ) A ．-2425 B ．-45 C.2425 D.255
5.若α∈⎝
⎛⎭⎪⎫0，π2，且 sin 2α＋cos 2α=14，则tan α的值等于( ) A.
22 B.33 C. 2 D. 3
6.已知不等式32sin x 4cos x 4＋6cos 2 x 4-62-m≤0对于任意的x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π6
，π6恒成立，则实数m 的取值范围是( )
A ．m≥ 3
B ．m≤ 3
C ．m≤- 3
D ．-3≤m≤ 3
二、填空题
7.已知sin(π6＋α)=13，则cos(2π3-2α)的值等于________．
8.已知tan α=-13，则sin 2α－cos 2α1＋cos 2α
=________.
9.已知等腰三角形底角的余弦值等于45，则这个三角形顶角的正弦值为________．
10.设a=12cos 6°-32sin 6°，b=2tan 13°1－tan 213°，c=1－cos 50°2
，将a ，b ，c 用“＜”号连接起来为________．
11.函数y=12
sin 2x ＋sin 2x ，x ∈R 的值域是________．
三、解答题
12.已知sin(π4-α)=513，0＜α＜π4，求cos 2αcos π4
＋α的值．
13.求证：cos 2α1tan α2
－tan α2=14sin 2α.
14.已知向量p=(cos α-5，-sin α)，q=(sin α-5，cos α)，p ∥q ，且α∈(0，π)．
(1)求tan 2α的值；
(2)求2sin 2(α2＋π6)-sin(α＋π6
)．
15.某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数：
①sin 213°＋cos 217°-sin 13°cos 17°；
②sin 215°＋cos 215°-sin 15°cos 15°；
③sin 218°＋cos 212°-sin 18°cos 12°；
④sin 2(-18°)＋cos 248°-sin(-18°)cos 48°；
⑤sin 2(-25°)＋cos 255°-sin(-25°)cos 55°.
(1)请根据②式求出这个常数；
(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论．
答案解析
1.答案为：D.
解析：原式=cos 2π12-sin 2π12=cos π6=32
.
2.答案为：D.
解析：sin 2αcos 2α=2sin αcos αcos 2α=2sin αcos α=6cos αcos α
=6.
3.答案为：A. 解析：∵cos(α＋π4)=14，∴sin 2α=-cos(2α＋π2)=-cos[2(α＋π4
)] =1-2cos 2(α＋π4)=1-116×2=78
.
4.答案为：A. 解析：∵cos 2x 2cos ⎝
⎛⎭⎪⎫x ＋π4=15，∴cos 2x －sin 2x cos x －sin x =15，∴cos x ＋sin x=15， ∴1＋sin 2x=125，∴sin 2x=-2425
.
5.答案为：D.
解析：∵sin 2α＋cos 2α=14，∴sin 2α＋cos 2α-sin 2α=cos 2α=14.∴cos α=±12
. 又α∈⎝
⎛⎭⎪⎫0，π2，∴cos α=12，sin α=32.∴tan α= 3.
6.答案为：A. 解析：32sin x 4cos x 4＋6cos 2 x 4-62=322sin x 2＋62cos x 2=6sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫x 2＋π6. 因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π6，π6，所以x 2＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4，所以6sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫x 2＋π6∈[-3，3]， 由题意可知m≥ 3.
7.答案为：-79； 解析：因为cos(π3-α)=sin[π2-(π3-α)]=sin(π6＋α)=13， 所以cos(2π3-2α)=2cos 2(π3-α)-1=2×(13)2-1=-79
.
8.答案为：-56； 解析：sin 2α－cos 2α1＋cos 2α=2sin αcos α－cos 2α1＋2cos 2α－1=2sin αcos α－cos 2α2cos 2α=tan α-12=-56. 9.答案为：2425； 解析：设此三角形的底角为α，顶角为β，则cos α=45，sin α=35
， 所以s in β=sin(π-2α)=sin 2α=2sin αcos α=2×35×45=2425
.
10.答案为：a ＜c ＜b ；
解析：a=12cos 6°-32
sin 6°=sin 30°cos 6°-cos 30°·sin 6°=sin 24°， b=
2tan 13°1－tan 213°=tan 26°，c=1－cos 50°2
=sin 2 25°=sin 25°. ∵tan 26°=sin 26°cos 26°
，cos 26°＜1，∴tan 26°＞sin 26°. 又∵y=sin x 在(0°，90°)上为增函数，所以a ＜c ＜b.
11.答案为：⎣⎢⎡
⎦
⎥⎤－22＋12，22＋12； 解析：
y=12sin 2x ＋sin 2x=12sin 2x ＋1－cos 2x 2=12sin 2x-12cos 2x ＋12=22sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2x －π4＋12， 所以函数的值域为⎣⎢⎡⎦
⎥⎤－
22＋12，22＋12.
12.解：因为π4＋α=π2-(π4
-α)， 所以cos(π4＋α)=cos[π2-(π4-α)]=sin(π4-α)=513
. 又因为0＜α＜π4，0＜π4-α＜π4，所以cos(π4-α)=1213
， 所以cos 2α=sin(π2-2α)=2sin(π4-α)cos(π4-α)=120169
， 所以cos 2αcos π4＋α=120
169513
=2413.
13.证明：
法一：左边=cos 2αcos α2sin α2－sin α2cos α2=cos 2
αcos 2α2－sin 2α2sin α2cos α2=cos 2αsi n α2cos α2cos 2α2－sin 2α2=cos 2αsi n α2cos α2cos α =sin α2cos α2cos α=12sin αcos α=14
sin 2α=右边． ∴原式成立．
法二：
左边=cos 2αtan α21－tan 2α2=12cos 2α·2tan α21－tan 2α2
=12cos 2α·tan α=12cos αsin α=14sin 2α =右边．
∴原式成立．
14.解：(1)由p ∥q ，可得(cos α-5)cos α-(sin α-5)·(-sin α)=0，
整理得sin α＋cos α=15.两边平方得1＋2sin α·cos α=125
， 所以sin α·cos α=-1225.因为α∈(0，π)，所以α∈(π2
，π)， 所以sin α-cos α=1－2sin α·cos α=75
， 解得sin α=45，c os α=-35，故tan α=-43
， 所以tan 2α=2tan α1－tan 2α=247
. (2)2sin 2(α2＋π6)-sin(α＋π6)=1-cos(α＋π3)-sin(α＋π6
) =1-12cos α＋32sin α-32sin α-12cos α=1-cos α=85
.
15.解：(1)计算如下：
sin 215°＋cos 215°-sin 15°cos 15°=1-12sin 30°=1-14=34
. (2)三角恒等式为sin 2α＋cos 2(30°-α)-sin αcos(30°-α)=34
. 证明如下：
sin 2α＋cos 2(30°-α)-sin αcos(30°-α)
=sin 2α＋(cos 30°cos α＋sin 30°sin α)2-sin α(cos 30°·cos α＋sin 30°sin α)
=sin 2α＋34cos 2α＋32sin αcos α＋14sin 2α-32sin αcos α-12
sin 2α =34sin 2α＋34cos 2α=34
.。