基于节点约束的球杆系统平衡控制策略研究

基于节点约束的球杆系统平衡控制策略研究
柳波
【摘要】In this paper, the balance control problem of set-point is studied about the ball and beam system based on the joint constraint. According to the position of the ball, the structure of the ball and beam system is divided into two types:the normal ball and beam system and the single pendulum system. The motion characteristics of both the two systems and their switching are analyzed. A control scheme based on the Lyapunov method is proposed to solve the balance problem of the ball and beam system based on the joint constraint. It is proved that the solutions make the closed-loop system converge to the desired balance state exactly by using the proposed control scheme. The simulations result is given.%研究了节点约束的球杆系统的定点平衡控制问题。

根据球的位置，球杆系统分为两种类型的结构模式：普通球杆系统和单摆系统。

对两种结构的运动特性以及它们之间的切换进行了分析，使用了基于Lyapunov方法的控制策略来解决节点约束球杆系统的平衡问题。

通过理论分析和实验，证明了提出的闭环系统控制策略完全收敛于预期的平衡状态，给出了相应的仿真结果。

【期刊名称】《计算机工程与应用》
【年(卷),期】2013(000)018
【总页数】6页(P36-40,51)
【关键词】节点约束;平衡控制策略;能量控制;球杆系统
【作者】柳波
【作者单位】绵阳师范学院数学与计算机科学学院,四川绵阳,621000
【正文语种】中文
【中图分类】TP11
欠驱动机械系统是一类驱动数少于系统自由度数的机械系统，这类系统的控制问题是目前研究的热点。

国内外的学者为研究欠驱动系统中的控制问题构造了许多的实验模型，如倒立摆、旋转摆等[1-2]。

本文主要研究了节点约束球杆系统的平衡控
制问题。

目前有很多研究欠驱动模型控制问题的方法，其中有一种是基于能量的方法，该方法构造整个系统机械能量的Lyapunov函数，通过分析解的收敛性来推
导控制方法[3-7]。

基于能量的方法已应用到几个欠驱动机械系统，如倒立摆、双摆。

至于球杆系统，Fantoni通过对球的驱动，将能量控制法应用于解决零点平衡问题[8-10]。

对于无节点约束的球杆系统，也可以使用能量控制法去解决零点平衡和非零点平衡问题[11]。

还有一些控制方法，并不基于能量方程，也解决了球杆系统的控制问题，比如输入输出近似线性化和模糊逻辑。

然而，所有的这些研究都忽略了对球的运动范围限制。

节点范围约束存在于很多欠驱动机械系统，比如倒摆的运动，球杆系统的滑动等。

但对这些机械系统控制方法进行研究时，很少考虑节点的范围的约束[12-16]。

本
文将对具有节点约束的球杆系统的平衡控制问题进行研究，并给出控制策略和收敛性的理论分析。

设计如图1（a）所示的球杆系统。

该系统由一个倒立的“T”型梁和一个小球构成。

其中“T”型梁可以围绕一个无驱动的挂点自由旋转，通过输入驱动转矩τ可以使得小球在杆上滑动。

q2的范围被限定在-qm和qm之间。

当小球在此限定的范围
内运动时，称此时的系统为“系统1”。

一旦小球以非零的速度到达边界，发生非弹性碰撞，小球将同杆一起围绕挂点摆动，如图1（b）所示。

此时摇摆的小球与杆构成类似单摆系统，称之为“系统2”。

为了简化讨论，在下文中假设小球处于“系统2”的qm处。

用-qm替换qm，即可得出小球处于-qm时结论。

2.1 系统1的动力学原理
使用Euler-Lagrange方程，可以得到如下系统1的动力学模型：
其中τ为控制输入转矩。

由于方程（1）中缺少输入转矩τ，系统1是一个欠稳定系统，所以不能使用精确线性化方法。

下一节中将使用一种基于能量的方法。

2.2 系统2的动力学原理
在系统2中，小球和杆类似单摆旋转，系统的动力学模型可以表示为：
其中：
简化式（3）和式（4）可以得到：
为了保证小球与杆相对静止，输入转矩τ*被作用到小球上。

由于小球有切向加速度和向心加速度，它将遵守牛顿第二定律：
其中：
将式（5）带入式（6）可得：
2.3 两种系统在切换过程中的状态关系
当小球从系统1切换到系统2时，由于将发生非弹性碰撞，系统的状态会在碰撞中突然改变。

系统1的状态变量表示为：
系统2的状态变量表示为：
由于位置不能突变，可以得到：
碰撞后，小球与杆保持相对静止，则小球的滑动速度变为0，也就是：
根据角动量守恒定律，角速度应该满足：
其中：
简化以上表达式得到：
当球杆系统从系统2切换到系统1时，由于没有碰撞发生，系统的状态不会改变。

若作用到q2的输入转矩τ方向相反，且足够大，则系统将从系统2变回到系统1。

3.1 现有的结论
球杆系统的目标是通过适当的输入转矩τ，控制系统从初始状态到达期望的平衡位置。

对于没有节点范围约束的球杆系统平衡控制问题，文献[11]中已得到如下主要结论：
结论1 考虑式（1）和式（2）所述的球杆系统，采用以下反馈控制法则：
取则对于任意初始状态，闭环系统的解趋近于零平衡点，也就是q1=0，q2=0。

结论2 设期望的平衡点为qd={q1d，q2d}≠0，并考虑球杆系统1和系统2。

采
用以下反馈控制法则：
则从任意初始状态开始，闭环系统的解逐渐趋近于qd。

3.2 控制策略
虽然以上两个结论可以解决球杆系统的平衡问题，但不能保证滑移节点始终保持在[-qm，qm]范围内。

并且如果限定了节点范围，则在实践中该控制法则可能无效。

如第2章所述，当小球运动到边界位置，系统变成一个单摆。

这是一个变结构系统，对于整个平衡控制策略，应对不同的结构采用不同的控制规则。

考虑的球杆系统的节点范围约束，根据q2和q˙2的取值，提出了以下控制策略。

为了避免混淆，平衡控制输入式（11）或式（12）中的τ称之为控制转矩，而系
统2中的τ*，称之为维持转矩。

（1）|q2|＜qm
此状态为系统1的结构，平衡控制规则式（11）或式（12）用于驱动系统状态趋
近于预期位置。

每个节点的收敛过程是一个阻尼振荡过程，振荡幅度可能会超出节
点限制范围。

（2）|q2|=qm，q2q˙2＞0
此状态下，系统结构从系统1切换至系统2。

由于位置与速度都相同，这意味着小球正向着边界运动，碰撞发生，结构切换至系统2。

式（8）和式（10）表示了碰撞发生时的状态变化，同时输入量τ也将被式（7）中的τ*替换。

（3）|q2|=qm，q˙2=0 and (τ-τ*)q2≥0
在此状态下，小球位于边界，估算可知控制转矩优于维持转矩。

即使控制转矩作用于小球，由于节点范围约束，小球也不能滑动。

因此维持转矩作为输入，以保证小球相对于杆静止。

此状态为系统2的结构，此时小球与杆作为一个整体旋转。

系
统可以被视为一个单摆系统，在此状态下系统机械能保持恒定。

（4）|q2|=qm，q˙2=0 and (τ-τ*)q2＜0
由于系统2不稳定，同时在系统2下不能达到预期的位置，故应当切换至系统1。

此时估算的控制转矩τ小于维持转矩τ*，如果τ作为输入，则意味着小球将向着
系统1变化。

系统将切换至第一种状态，平衡控制法则可以再次应用于系统以使
其达到目标平衡位置。

在这个控制过程中，系统1向系统2的转化是由于小球和杆的碰撞，这是不可控的。

输入转矩的切换也是在碰撞后才实施的。

在系统2的状态中，维持转矩和控
制转矩都是估算的，转矩输入是通过判断系统处于哪个阶段，经过比较它们的值来决定。

3.3 稳定性分析
如文献[11]所述，根据控制法则式（11）和式（12），系统将收敛于期望的平衡点。

相较而言，本文提出的控制策略较为复杂。

接下来，将证明提出的控制策略能够平衡系统以达到期望的位置。

以下证明中，只考虑非零情况，为零的情况可以用
同样的方法解决。

Lyapunov方程设计如下：
其中,M(q)为正定对称的惯性矩阵。

k1，k2，k3取值同结论2。

接下来证明V(q，q˙)的正定性。

假设期望的平衡点为qd={q1d，q2d}≠0，对于辅助函数：
故式（15）中若满足上述k1，k2，k3，则在任何状态下正定。

考虑控制法则式（12），则为半正定。

由于球杆系统要考虑节点范围约束，显然仍然保持正定性。

随时间的变化可以依据控制策略的每个阶段来分析：
阶段1 当控制法则式（12）被采用时，由于递减。

阶段2 当从系统1切换至系统2时，由于非弹性碰撞发生，动能减少。

在状态切
换期间，q2保持不变，因此在这个阶段会突然下降。

阶段3 由于小球位于边界，系统类似于一个单摆围绕固定的挂点旋转，机械能和
保持恒定。

阶段4 当从系统2切换到系统1，没有碰撞发生，在此阶段不会发生变化。

随时间的变化如图2所示，随时间变化是非递增的。

根据LaSalle不变定理，闭环系统的解收敛于最大不变集，即
当t→+∞，从图2可知，M包含系统1的不变集和系统2的所有状态。

系统1的不变集仅有一个元素，即一个确定的预期平衡点。

因此，如果能证明系统2不稳定，则具有前述控制策略的闭环系统的解将总是收敛于预期的点。

那么就可以证明随着时间的推移，不可能总保持系统2的状态，系统将必然转换到系统1。

假设系统2中小球处于正边界。

由式（1）和式（2）可获得杆中小球的加速度：
如果控制转矩式（12）被使用并得到了一个负的q¨2，则小球将获得一个负速度，并逐渐远离边界，系统将切换到系统1。

因此，如果式（18）可以被证明在某些
状态下为负，则系统2就可以视为前述控制策略下的不稳定系统。

由于系统2是具有平衡位置的摆，则q1的运动范围为δ*-δA，δ*+δA，其中δA 是振动振幅。

记为：
接下来验证以下不等式：
其中τ为式（12）中的控制转矩。

将δ*和式（12）代入式（20）的左边得到：
容易验证方程：
在条件下是递增的，由于可得。

因此，不等式（20）成立。

同理可知不等式f(δ*+δA)+d11τ＜0和f(δ*-δA)+d11τ＜0也总成立。

通过估算
可知：
其中：
当 q1+ϕ∈(0，π)，且，式（21）为负。

因此，f(δ*+δA)＜f(δ*)和f(δ*-δA)＜
f(δ*)中至少有一个不等式成立。

由于速度q˙1=0，当系统震荡到q1=δ*±δA位置时，小球的加速度满足：
因此，不论δ*-δA或δ*+δA都将导致故，由于的表达式是连续的，系统2必须
存在一个以上的状态导致q2的加速度为负。

最终，系统2必然会切换到系统1，而闭环系统在不变集中必然仅有一个稳定解，也就是确定的期望的平衡点。

所以具有前述控制策略的闭环系统必然收敛到一个期望的点。

该章给出了式（11）和式（12）控制规则下的球杆系统定点平衡控制的仿真结果，并分别给出了使用的控制策略。

对机械系统取如下参数：
假设初始状态为 x(0)=[-0.5，0.8，-0.4，0.2]T，期望的平衡状态为xd=[-0.55，-0.9，0，0]T。

非零点平衡控制法则中取参数k1=12，kv=5，则q1和q2收敛的仿真结果如图3所示。

随着t→∞，闭环系统逐渐收敛于期望点。

但在收敛过程中，q2的值超出了节点范围限制，这对实际系统来讲是不可能的。

采用相同的参数，运用反馈控制法则进行仿真。

初始状态和期望点如图4所示。

图4（a）和图4（b）分别给出了旋转节点和滑动节点的收敛性的仿真结果。

图4（c）和图4（d）所示的是节点速度的时间变量。

图4（e）为系统模型的切换。

图4（f）为系统的输入转矩。

图4（g）为Lyapunov函数收敛性样本。

比较两种仿真结果，可以发现所提出的控制策略对于节点范围约束的球杆系统的定点平衡控制问题是有效的。

系统确定会收敛于期望的平衡状态。

本文研究了球杆系统中球的定点平衡问题，文中考虑了滑动小球的节点范围的约束。

根据小球的运动，系统分为两种结构：普通球杆系统和单摆系统。

同时，根据系统的状态变量不同，系统的运动也被分成两种状态。

文中基于Lyapunov方法，提
出了一种控制策略以精简所有运动状态下的Lyapunov函数。

并且，在所提出的
控制策略下，通过理论分析证明了闭环系统的收敛性。

仿真结果给出了所提出的控制策略对于节点范围约束的球杆系统的有效性。

【相关文献】
[1]胖永新，金迪，孟宪东.球杆系统的建模、仿真与控制器的设计[J].武汉大学学报：工学版，2005，38（6）：142-146.
[2]Salvatore S，Esposito E，Miller J.Ball&beam control system[J].IEEE Transactions on Automatic Control，2002，30（3）：376-388.
[3]Astrom K J，Furuta K.Swinging up a pendulum by energy control[J].Automatica，2000，36（2）：287-295.
[4]牛月兰，冯巧玲，扈刚.二级倒立摆控制器的仿真与设计[J].计算机仿真，2003，20（9）：137-139.
[5]何朕，王毅，周长浩，等.球-杆系统的非线性问题[J].自动化学报，2007，33（5）：550-553.
[6]刘克平，史鹏飞.球杆系统自适应遗传PID控制[J].控制工程，2009，16（2）：173-175.
[7]彭建刚.球杆系统的模糊控制研究[J].自动化技术与应用，2008，27（3）：48-50.
[8]Fantoni I，Lozano R，Spong M W.Energy based control of thependubot[J].IEEE Transactionson AutomaticControl，2000，45（4）：725-729.
[9]井海明，杨明，赵宁.球棒系统的建模及反馈控制[J].航空计算技术，2003，33（4）：52-54.
[10]王广雄，杨冬云，何联.拉格朗日方程和它的线性化[J].控制与决策，2002，7（2）：7-8.
[11]Li En，Liang Zize.Energy-based balance control approach to the ball and beam system[J].International Journal of Control，2009，82（6）：981-992.
[12]Hauser J，Sastry S，Kokotovic P.Nonlinear control via approximate input-output linearization：the ball and beam example[J]. IEEE Transactions on Automatic Control，2000，37（3）：392-398.
[13]Xin X，Kaneda M.Analysis of the energy-based control for swinging up two pendulums[J].IEEE Transactions on Automatic Control，2005，50（5）：679-684. [14]Wu Xiaofeng，Gui Weihua.Design of networked controller for ball and beam system under feedback channels constraints[J].International Journal of Advancements in Computing Technology，2011，3（11）：276-283.
[15]Gao Fangzheng，Shang Yanling，Yuan Fushun.Finite-time stabilizing network control for ball and beam system with time delays[J].International Journal of Advancements in Computing Technology，2012，4（17）：70-77.
[16]Andreev F，Auckly D，Gosavi S.Matching，linear systems，and the ball and
beam[J].Automatica，2009，45（12）：2147-2152.。