对称性在积分中应用

对称性在积分中的应用
摘要：对称性是宇宙中许多事物都具有的性质,大到银河星系, 小到分子原子.根据对称性, 我们就可以把复杂的东西简单化，把整体的东西部分化. 本文介绍运用数学中的对称性来解决积分中的计算问题, 主要介绍了几种常见的对称性在积分计算过程中的一些结论及其应用，并通过实例讨论了利用积分区间、积分区域、被积函数的奇偶性, 从而简化定积分、重积分、曲线积分、曲面积分的计算方法. 另外对于曲面积分的计算,本文还给出了利用轮换对称性简化积分的计算. 积分的计算是高等数学教学的难点, 在积分计算时, 许多问题用“正规” 的方法解决，反而把计算复杂化, 而善于运用积分中的对称性，往往能使计算简捷, 达到事半功倍的效果.
关键词：积分对称定积分重积分曲线积分曲面积分区域对称轮换对称
目录
一、引言
二、相关对称的定义
（一）区域对称的定义
（二）函数对称性定义
（三）轮换对称的定义
三、重积分的对称性
（一）定积分中的对称性定理及应用
（二）二重积分中的对称性定理及应用
（三）三重积分中的对称性定理及应用四、曲线积分的对称性
（一）第一曲线积分的对称性定理及应用
（二）第二曲线积分的对称性定理及应用五、曲线积分的对称性
（一）第一曲面积分的对称性定理及应用
（二）第二曲面积分的对称性定理及应用六、小结
参考文献
引言
积分的对称性包括重积分、曲线积分、曲面积分的对称性•在积分计算中，根据题目的条
件,充分利用积分区域的对称性及被积函数的奇偶性，往往可以达到事半功倍的效果•下面我
将从积分对称性的定理及结论，再结合相关的实例进行具体探讨•本文从积分区域平行于坐
标轴、对角线的直线的对称性，平行于坐标面的平面等的对称性定义•
二、相关的定义
定义1：设平面区域为D ,若点(x, y) • D= (2a-x,y),则D关于直线x = a对
称,对称点(x,y)与(2a - x,y)是关于x = a的对称点•若点(x, y) € D = (x,2b-y)
-D(x, y),则D关于直线y二b对称，称点(x, y)与(x,2b - y)是关于y = b的对称(显然当a =0,b = 0对D关于y , x轴对称).
定义2:设平面区域为D ,若点(x, y) • D = (y—a,x-a),则D y二x，a对称，
称点(x, y)与(y - a, x - a)是关于y 二x • a 的对称点.若点(x, y) • D = (a - y,a - x)
-D，贝U D关于直线y 对称.
注释：空间区域关于平行于坐标面的平面对称；平面曲线关于平行于坐标轴的直线
对称；平面曲面以平行于坐标面对称，也有以上类似的定义.空间对称区域.
定义3: (1)若对-(x, y, z^ 1,点(x,y,-z)・1 ,则称空间区域门关于xoy面对
称;利用相同的方法，可以定义关于另外两个坐标面的对称性.
⑵ 若对P(x, y, z)匕0 ,二点(x, y,—z)匕O ,则称空间区域0关于z轴对称；利用相同的方法，可以定义关于另外两个坐标轴的对称性.
(3)若对_(x, y, z^ 1 1, -J点(-x,-y,-z) • 11,则称空间区域门关于坐标原点对称.
⑷ 若对一(x, y,z) •门，T点(y,乙x),(z, x, 1 1 ,则称空间区域门关于x, y, z具
有轮换对称性.
定义4:若函数f(x)在区间- a,a上连续且有f(x-a) = f(x • a),则f(x)关于x二a
对称当且仅当a = 0时f (-x)二f (x),则f (x)为偶函数.若f (a - x) =-f (a x),
则f(x)为关于a,0中心对称.当且仅当a=0时有f(_x)-_f(x)则f(x)为奇函数.若
f (x -a) = f (x • a)且f (a -x) = - f (a x)则f (x)既关于x = a对称，又关于a,0 中心对称.
定义5 若n元函数f(X i,X2，…，X n)三f (X i,X i 1,…，X n,X i,…，x：丄)，(i =1,2，…,n ), 则称n元函数f (X i,X2，…，X n)关于X i,X2，…，X n具有轮换对称性•定义6：若- p(X i,X2, ,X n) D n R n( n N)有P i(X i,X i 1, ,X n,X i,厶J D n
(i =1,2，…，n)成立，则称D n关于p(X i,X2，…,X n)具有轮换对称性.
三、重积分的对称性
(一)对称性在定积分中的应用
利用函数图形的对称性可简化定积分的计算■在特殊情况下，甚至可以求出原函数不是初等函数的定积分■因此掌握对称性在积分中的方法是必要的■下面首先给出一个引理，由此得出一系列的结论，并通过实例说明这是结论的应用■
引理设函数f (x)在a - h, a h上连续,则有
f (x)dx = f (a x) f (a - x) dx (1)
证令x二a t,有
a h h h
f(x)dx f(a t)dt f(a t)dt
a -h ' -h 0
令t u,则
0 0 h
f (a t)dt = f (a -u)du = i f (a - u)du
•山h 0
将( 3)式带入(2)式,并将积分变量统一成x ,则
(x)dx = ° f (a x) f (a - x)dx dx
特别地，令a =0，就得公式
:f(x)dx= ：〔f(x) f (-x)d x
由函数奇偶性的定义及上式，易知
定理1设函数f (x)在［- h, h上连续，那么
h h
2)若 f(x)为偶函数，则
f(x)dx=2 f(x)dx
■_h
o
h
3)若f(x)为奇函数，则 』f(x)dx=O
次结论有广泛的应用，如能恰当地使用，对简化定积分的计算有很大的帮助,
是奇函数，后一部分是偶函数，运用定理
1的结论简化其计算.
2一 ： cosxdx 2
_ cosxdx
匕x 2
1 2 2
cosxdx
=2
注：而对于任 意区间上的定积分问题，可以平移 到对称区间Lh,h 1上求解。

F 面我们把定理1推广到更一般的情况.
定理2 设函数f (x)连续 1 )若y 二f (x)的图像关于直线
x 二a 对称，即f(x - a) = f (x • a)，则对一
切
adh
a
-h
h 0，有 f(x)dx=2 f (x)dx
a -h
o
2)若y 二f (x)的图像关于原点 a,0中心对称，即f(a -x)二-f (a • x)，则对一 .
亠 a4h
切 h 0，有 f(x)dx=O
■a -h
证1)由(1)式及已知条件f (x-a) = f (x • a)，有
a h
h
a u h
f(x)dx=2 f(a x)dx=2 f (t)dt
a -h
o
2)有(1)式及已知条件 f (a 「x)二- f (a • x)，有
2
X 3 2
1
cosxdx -2 x 2 1
解：虽然被奇函数非奇非偶，但可以把它分成两部分
2
cosx 禾口 cosx ，前一部
分
aa-h h
f (x)dx Odx 二0
二 xsin x ,
2 dx )1 cos x
1 "IT TT TT
解：由于sinx及2都关于对称，(x-')关于「，0)点中心对称，
1 cos x
2 2 2
(--) sinx
因此22关于点C，0)点中心对称，有区间0,二1关于x 对称，故由定理
1 +cod2x
2 2
_ (x )sin x
2的2)有I
2
— dx = 0于是0 1 + cod x
兀故I =_ .
4 二xsinx
)1 cod2x
dx
n n
[(x - ) ]sinx
9 9
2
2
JI
4
本例中的被积函数xsinx (1 cos2 x)原函数不是初等函数，所以不能直接利用牛顿一
莱布尼兹公式，但利用对称性却能容易地求出其值
以上我们研究的是一个函数图像本身的对称性在积分中的应
用,
F面来看看两个函数图定理3设f (x)，g (x)都是连续
1)若f (x)与g(x)关于直线x = a对称，即f (x - a)二g(x • a)，则对一切h 0，
a -h a
有a』f (x)dx =2。

g(x)dx
2)若f (x)与g(x)的图像关于原点a,0中心对称，即f(a -x) - - f(a x)，则对
a -lh a -h
一切 h 0，有f (x)dx g(x)dx
dx
x i a2-x2
解：设x 二asint，t [0/ ]，则
2 dx 7
T
cost ,
dt sint
cost
而由定理3可证 2 sin t
dt =
sin t cost
cost
dt，故
sin t cost
21 2沁型dt
0sint cost
IL 二
2
注：定理3可以推广到更一般的情况定理4设f (x)与h(x)都连续，则
a a
1) 0 f[u(x)]dx f[u(a —x)]dx ；
a a
2)
q
x{ f[u(x)] f[u(a —x)]}dx = a 0 f[u(a — x)]dx.
TT - n
n
2
sin x - cos
x )1 -3sinx cosx
所以
f(x)=f( x)=0,
2
由定理3得
・ n
n
:sin x — cos x . 小 2 dx =0. 0
1 -3sin x cosx
我们可以看出这些都是教材中常见的等式，
我们使用对称性给出了它们的简洁证明，
并 有一定的规律可循.另外，取各种连续函数f (x)，又可以从已知的公式中到处许多公式
.
(二)重积分中的对称性定理及应用
在二重积分的计算中利用对称性不仅要求积分区域
D 具有对称性，而且被积函数对于
区域D 也要有有对称性.但在特殊情况下区域 D 不对称，或者关于对称区域 D 的被积函数
不具备对称性，也可以经过一些变化使之能用对称性来计算
定理5设二元函数f (x,y)在平面区域D 连续，且D 关于x 轴对称，则
1) 当 f (x,-y) - - f (x, y)(即 f (x, y)是关于 y 的奇函数)时，有 f (x,
y)dxdy=O
D
2) 当f (x,-y) = f (x, y)(即f (x, y)是关于y 的偶函数)时，有
j i f (x, y)dxdy = 2\ \ f (x, y)dxdy0 ,其中D 1是由x 轴分割D 所得到的一半区域.
D
D 1
例5计算I ： I i(xy • y
3
)dxdy ，其中D 为由y 2
=2x 与x = 2围城的区域.
D
解：如图所示 几，积分区域D 关于x 轴对称，且 图形待定
例4计算 dx
解：令
n n …、 sin x-cos x
f(x):
1 -3sin x cosx ，则 n ・ n
r
n 、 cos x-sin x f ( x)= 2 1 -3sin x
cosx
f (x,-y)二-(xy y3) = - f (x, y)
即f (x, y)是关于y的奇函数，由定理5有
I = (xy y3)dxdy =0
D
类似地推出下面的定理：
定理6设二元函数f(x,y)在平面区域D连续，且D关于y轴对称，则
1)若f (-x, y) = f (x, y)，则11 f (x, y)dxdy =2 \ \ f (x, y)dxdy
D D2
2)若f (-x, y) - 一f (x, y)，则11 f (x, y)dxdy =0
D
其中D2是由y轴分割D所得到的一半区域.
3 2 2 3
例6计算I = ff xy f (x +y )dcr,,其中D为y = x , y = 1所围成的区域，f (u) D 是连续函数• 图形待定
解：如图几，作辅助线y =x3，它把区域D分成D1，D2两部分，其中
U \ x, y 10 乞y 乞1, 一3y 乞x 乞3y 匚D2= *x, y 10 乞x 乞1, -x3辽y 乞x3』，在D1上，
3 2 2
F x,y =xy f(x y )满足F (-x, y)二-F (x, y)，而D1 关于y 轴对称，因而
I ixy3 f (x2y2)d；：「= 0 .
D1
3 2 2
在D2上，F(x,-y) = -F(x, y)，且D2关于x轴对称，因而..xy f (x y )d= = 0
D2
因此I = xy3 f (x2y2)d；「= =0
D D1 D2
例7 计算二重积分I = (| x | | y |)dxdy，其中
D : | x | | y 2
D
解：如图所示几,D关于x轴和y轴均对称，且被积函数关于x和y是偶函数，即有
f (x,-y)二f (-x, y)二f (x, y)
由定理5,6，得
I = (I x| | y|)dxdy = 4.. (|x| | y|)dxdy
D D1
其中D1是D的第一象限部分，2有对称性知，..| x | dxdy = .. | y | dxdy,
D1 D1
8
故 I =4 (|x| |y |)dxdy = 4 11(| x| | y |)dxdy =8^ | x | dxdy =-图形待
定
D 1
D 1
D 1
3
定理7设平面区域D =D i • D 2,且D i , D 2关于原点对称，则当
D 上连续函数满足
1)
f ( -x, _y) = f (x, y)时，有 M f (x, y)dxdy = 2 11 f (x, y)dxdy
D
D 1
2) f ( -X, —y)二—f (x, y)时，有 11 f (x,y)dxdy = 0 •
D
例8计算二重积分
(x 3 • y 3)dxdy ，区域D : x 2 3 * y 2 <1
D
解：如图所示 几，区域 D 关于原点对称，对于被积函数
3
3
3
3
f(-x,-y) =(-x ) (-y ) = -(x y )= -f(x, y)
由定理7,得
11 f (x, y)dxdy 二 0
D
f(x, y)在平面区域D 上连续，且 D 1 D 2，且D 1, D 2关于
直线y =x 对称，则
当 f (y,x) - - f (x, y)时，有 I I f (x, y)dxdy = 0.
D
当 f (y, x) = f (x, y)时，有 I I f (x, y)dxdy = 2 11 f (x, y)dxdy
D
D 1
2 2 例 9 求 I =
($ y
^)dxdy ，区域 D : x 2 y 2
岂 1 D a b
解：积分区域关于直线 y =x 对称，由定理8，得
2 2
'D G 臼呦仁
(
話訂幼，
2) 3) 2 2 彳 2 故"DC 帥口佰
2
x
2)dxdy] b
f (x, y) x 3 y 3
，有
定理8设二元函数 1)
f (x, y) dxdy =
D
f(x,y)dxdy
f
(y,x)dxdy ;
D
f(x,y)dxdy
8
4/1 1 \ R (r 2 )
4 a b
相似地，我们可得以下定理:
定理9设二元函数f (x, y)在平面区域D 上连续，且D 二D j • D 2，且D 1, D 2关于 直线y = _x 对称，则
1) f (-y,-X)- 一 f (x, y)时，有 11 f (x, y)dxdy = 0 ;
D
2)
f(-y,-x)二 f (x, y)时，有 I, f (x, y)dxdy = 2 II f(x, y)dxdy .
D
D 1
例题略•
注：在进行二重积分计算式， 我们要善于观察被积函数的积分区域的特点, 积函数的奇偶性也要注意积分区域的对称性 •恰当地利用积分中的对称性，可以避免计算的 繁
琐，时二重积分的解答大大简化
重积分的对称性定理及应用
在三重积分中我们也有类似的结论 定理10 设空间有界闭区域
-门2, J 与门2关于xoy 坐标平面对称，函数
f (x, y, z)在I 】上连续,那么:
1)若f (x, y, z)是关于z 的奇函数，则111 f (x,y,z)dv =0
Q
2)若 f (x, y, z)是关于 z 的偶函数，则 HI f (x,y,z)dv = 2 111 f (x, y,
z)dv Q
Q
同样地，若积分区域分别关于
yoz , zox 坐标平面对称，也有类似的结论:
计算三重积分I
2
y
，其中“是由球面
既要注意被
推论1 1 )若f (x, y, z)是关于x 的奇函数，则 iii f(x,y,z)dv
= 0 Q
2)
若f (x, y, z)是关于x 的偶函数，则 i n f (x, y,z)dv = 2 iii f
(x,y,z)dv
Q
a
推论2
1) 若f (x, y,z)是关于y 的奇函数，则 HI f
(x,y,z)dv=0
2)
若f(x, y,z)是关于y 的偶函数，则 川 f (x,y,z)dv = 2 i!! f (x,y,z)dv
zln (x 2
例10
Q x+y+z +
x 3 y 2 z 2
=1所围成的空间闭区域
in
f (x,y,z)dv=3iii f 1(x,y,z)dv .
Q Q
在有些问题中，尤其对于三重积分，在被积函数及积分区域都没有对称性的时， 而被积
函数具有轮换对称性，我们利用轮换对称性可以使问问题得到简便的计算
同理利用轮换对称性可得
z 4 ^dxdydz abc
V c 15
- 4 4
2)dxdydz 二 3( abc) abc .
y 2
4 2dxdydz abc , V b 15
所以
解：积分区域 门关于xoy 面对称，被积函数
2 2 2
zln(x y z 1)
是z 的奇函 x 2 y 2 z 2
1
’ zln (x 2 y 2 z 2
1)
Q dv =
0 x y z
定理 10若空间区域 门具有轮换对称性，若
f i (x,y,z) 二 f 1(y,z,x)二 f 1(z,x,y ),
.下面我们给出例
例11求I
$)dxdydz ,其中V 是椭球体写
c a
y 2
2
c 2
解：由于
2 2
2
dxdydz 亠 111岭dxdydz 亠
111z
^dxdydz , / a / b V ' c
2
x
其中 2 dxdydz
/ a
2 2 : a
x y z dx dydz ,这里V 表示椭球面为y
2 ~a V b V
X
C 2
2 ^-x 2
a
它的面积为
(2 (
2 2
x
2
、 111 r dxdydz- V a a
■ bc 2 A
(1 -x 2)
dx =—二 abc . 所以
15 5
四、对称性在曲线积分中的定理及应用
(一)第一型曲线积分
1、平面曲线积分L f(x, y)ds的计算
若曲线L关于X轴对称，记L位于X周上半部分的L1，则：
3)当f (x,-y)工f(x,y)时，L f (x, y)ds二2 L f(x,y)ds
4)当f (x,-y) - - f (x, y)时，]f(x, y)ds = O
同理能得到关于丫轴对称的式子•
例12 求I x2 y2ds，其中L 为圆周x2 y^ R2.
L
解：因为曲线L关于y轴对称，记位于y轴上方部分为L1，而被积函数满足：
f(x,-y) =f (x,y)
所以I = . x2 y2 ds = 2 i 扌x2y2 ds = 2R2
L L
1
注:对于一般情况我们可以得出引理
引理：设L关于直线x=a对称的一条曲线弧，则
1)若f (x, y)二-f (2a -x, y)，则f(x,y)ds=O.
2)若f (x,y) = f(2a—x,y)，则J f(x,y)ds=2j f(x,y)ds，其中
L L1
L 二{(x,y) L|x 咗a}.
例13计算I = j ( y ■ 3 y5- x) ds ,其中L是曲线(x - 2)2 y^1所围成的回路•
解：因为L关于x轴和直线x = 2对称，故
I = L y 3y5ds- L(X-2)ds- ]2ds
设f (x, y)二y y5,则f (x,-y)二-f (x, y)；
设g(x,y) = x-2，则-g(4-x,y)=x-2 二g(x, y).
I = L y 3y5ds _ L(x「2)ds _ ]2ds = 0 0 _ [2ds = 8二.所以有
2、空间曲线积分.F (x, y,z)ds 的计算
若积分曲线:关于xoy 面对称，记:位于xoy 面上半部分为 M ，则
2)当 F(x, y,-z)二-F(x, y, z)时,
同理可得关于yoz ， zox 面对称的式子.例题略.
(二)第二型曲线积分
对于第二型曲线积分还需要我们考虑投影元素的符号 .当积分方向与坐标方向之间的夹
角小于一时，投影元素的符号为正，否则为负，就
f (x, y)dx 而言，只需考察f (x,
y)dx
2 L
在对称点的符号•
但第二类曲线积分有关对称性的结论与第一型曲线积分结论恰好相反：
定理11设积分曲线L 是平面分段光滑曲线，若曲线L 关于x 轴对称，且L 在x 轴上半 部分与下半部分走向相反，曲线
L 1 , L 2分别是L 位于x 轴上、下方的部分，则
1) L
f(x,y)ds=0
，当 f (x,—y) = f (x, y)时；
2)
[
f(x,y)ds=2[ f (x, y)ds,当 f (x,—y) =—f (x, y)时•
其中,f (x,-y)二 f (x, y)表示 f (x, y)是 y 的偶函数，f (x,-y) - - f (x, y)表示 f
(x, y) 是y 的奇函数。

注：当定理中两部分的方向相同时则结论与定理相反 推论：设L 是xoy 平面上关于直线
x = a 对的一光滑曲线弧， L< L 2，任意
(x, y) L ，有 (2a-x, y) L ?,且L ?在y 轴投影方向相反，则
1)若 f (x, y)二-f (2a -x, y),则丄 f (x, y)ds =0
2 )若 f (x, y) = -f (2a -x, y),则丄 f (x, y)d^^ f (x, y)ds 定理12若积分曲线T 关于x , y , z 具有轮换对称性，即
1)当 F(x,y,—z)二 F(x,y,z)时,
.F(x, y,—z)ds = 2 . F(x, y, z)ds ..F (x ,
y^z )
d
L f(x, y,z)dz 二L f(x,y,z)dy 二L f (x, y,z)dx,
2
2
2
例14 计算| = jy x)cosxydx ,其中L 为圆周x y =1,以逆时针方向. 解：令 f (x, y) = (y
4
x)cosxy , (x, y) L ,
2 2 2 2
将L 分为L i ：x y =1,y_0与L 2 : x y =1,y 乞0两部分.
对于对称点(x, y), (x, -y) • L ,有f (x, y)二f (x, -y),而L 1, L 2两部分关于y 轴对称，且 方向相同，所以
I = L ( y 2
* x)cosxydx = 0 .
例15设L 为球面x
2
y 2 z 2
=1和平面x y
0的交线，若从x 轴正向看去，
L 时沿逆时针方向的，试计算下列第二型曲线积分：
I = [xdx + L ydy + [zdz
解：把 y 二-x -z 代入 x
2
y 2
z^ a 2
,得 2x 2
2z 2
2xz 二 a 2
.令 u v ,
由此可知L 的参数方程为
a a
z cos ：； ----- sin^，二［0,2二］
V6 V2
I 二 L xdx ydy zdz 二 0 .
五、曲面积分的对称性
(一)第一型曲面积分的对称性定理及应用
定理13若积分曲面S 可以分成对称的两部分 ^S 1 S 2，在对称点上被积函数的绝 对值相等，即光滑曲面
S 关于xoy (或xoy ,或xoy )坐标面对称，则有
1)若在对称点上f (x, y, z)取相反的符号，即f (x, y, z)关于z (或x ,或y )的奇函
4 2
i ydy a
z = u -v ,可
得 所以可取
u =卓 cos0
v6
a v ：——sinr ,〔三［0,2二］
由轮换对称性可知
L
xdx 二 L
ydy 二.L zdz 二
，
x = -^cos& +9s in 。

<6 v'2
所以
数，
则，S f （x ，y ，z ）dS =0.
则，S
f (x, y, z)dS =2 耳 f (x, y, z)dS .
值相同，所以由对称性可得.1.1 zdS = 4 !! zdS .
x 2 y 2 = 2az 和 z 二x 2 ■ y 2 消去 x
得到S 在yz 坐标面上的投影区域
2
y
— 一1, y 一 0, z 一 2a
2
而S 在D 上的显函数表示为 x = 2az - z
2
人zdS = 4 人?dS = 4 叽 z J 1 + x 2
+ y 2
dydz = 4 仏 一dydz
1 v
2 az — z
二 32a
3
- V^dt (令 t = . 2 tan r ) 0 (2+t 2)3
L 3 卫 7 1
7%/2
3
=8.2a 2
( cos2 cos4))
a .
J o
8 8 2
例17 计算下列面积的曲线积分I = 口(x + y + z)dS ,其中S 为球面
S
x 2
y 2
z 2
= a 2
上,z - h(0 :: h a)的部分.
2）在对称点上f （x, y, z ）取相同的符号，即 f （x, y, z ）关于z （或x ,或y ）的偶函数,
推论1：若光滑曲面S 可以分成对称的两部分
S 二S 1 S 2,且关于原点对称，则
1)
. S f (x, y,z)dS = 0, f (x, y, z)为关于 z （或x ,或y ）的奇函数.
2)
S f (x, y,z)dS = 2 S f (x,y,z)dS ， f （x, y,z ）关于z （或x ,或y ）的偶函数•
例16计算积分 zdS ,其中S 为曲面x 2
z 2
2 2
-2ax(a - 0)被曲面 z - x y 所
截取部分•图在P273
解：因为S 关于yz 坐标平面、zx 坐标平面以及
z 轴对称，且被积函数在对称点上函数
其中3为S 在第一卦限中的部分 （见图几）•由 / a 2
(z )
D : 2
—
a 2
72a^—2吗2(令 A
2z -2a :2a -
z
4
a
? I a
解：因为S关于yz坐标平面、zx坐标平面以及z轴对称，且又f (x, y, z)关于x , y的奇函数,所以利用对称性知sXdS二$ ydS = 0
设D xy={( x, y) | x2y2 - a2-h2},则
I = S(x y z)dS = s zdS
二a2—x2_y2 1 Z x2Z y2dxdy
…Dxy '
2 2
=a [D dxdy = Jia(a -h )
''Dxy
定理14若积分曲面S关于x, y, z具有轮换对称性，即
S f (x,y,z)dS= J：S f (y, z,x)dS= J：S f (z, x,y)dS,则
1
f(y, z, x) f( z,x,y)]dS
f(x,y,z)dS=3 s[f(x,y,z)
s
例18计算曲面积分| | z2dS ,其中S是球面x2亠y2亠z2 = a2.
解：此积分若按照一般方法来计算，计算量比较大，若果利用对称函数的。