复变函数作业

第一章 复数与复变函数
（一） 本章主要知识 一．复数及其代数运算 1．复数的概念 2．复数的代数运算
设两个复数12,z a bi z c di =+=+，复数的四则运算定义为 ()()()(a i b c i d a c i b d
+±+=+±+ ()()()(a i b c i d a c b d i b c
a d
+⋅+=-++ 222222
()(),0ac bd bc ad a ib c id i c d c d c d
+-+÷+=++≠++ 二．复数的几何表示 1．复平面
① 模—||z z a bi ==+其中 ② 辐角—,,tan()y
Argz z a bi Argz x
θ==+=其中 ③ 复数的三角表示式—(cos sin )z r i θθ=+ ④ 复数的指数表示式—i z re θ=
2． 复球面
三．复数的乘幂与方根 1．乘积与商
① 两个复数乘积的模等于模的乘积; 两个复数乘积的辐角等于辐角的和。

② 两个复数商的模等于它们模的商; 两个复数商的辐角等于被除数与除数的辐角之差。

2．乘幂与方根 幂:(cos sin )n n z r n i n θθ=+
方根:
22sin
)k k i n
n
θπ
θπ
++=+，当0,1,,1k n =- 时，有n
个相异的根。

四．区域 1．基本概念
①距离;②领域;③去心领域;④内点;⑤开集;⑥区域;⑦边界点;⑧闭区域;⑨有界;⑩圆环域。

2． 单连通域与多连通域
单连通区域—对于区域D ，D 中任意一条简单闭曲线的内部仍属于D ，则称D 为单连通区域。

复连通区域—不是单连通区域的区域。

五．复变函数
1．复变函数)(z f w =的定义类似于数学分析中实函数)(x f y =的定义，不同的是前者)(z f w =是复平面到复平面的映射。

2．反函数 3．映射
六． 复变函数的极限与连续 1． 复变函数的极限 2．复变函数的连续
重点：1．复习复数的基本概念 2．计算有关复数的典型题
3．乘积与商的运算
4．复变函数的极限与连续 难点：1．复球面
2．开集与闭集的概念 3．极限的定义 （二） 本章作业 一．单项选择题
1．当i
i
z -+=11时，5075100z z z ++的值等于（ ）
A. i
B. -i
C. 1
D. -1 2．使得2
2z z =成立的复数z 是（ ） A.不存在 B.唯一的 C.纯虚数 D.实数。

3．设z 为复数，则方程__
||2z z i +=+的解（ ）
A.i +-
43。

B. i +43。

C. i -43。

D.i --4
3。

4.
方程z 23i +-= ）
A.中心为i 32-,半径为2的圆
B. 中心为i 32+-,半径为2的圆
C. 中心为i 32+-,半径为2的圆
D. 中心为i 32-,半径为2的圆
5设z C ∈且1z =，则函数21()z z f z z
-+=的最小值为（ ）。

A -3
B -2
C -1
D 1 6000
Im()Im()
lim
Z Z z z z z →-=-（ ）。

A i
B -i
C 0
D 不存在 7函数()(,)(,)f z u x y iv x y =+于点000z x iy =+连续的充要条件为（ ）。

A (,)v x y 于点00(,)x y 连续.
B (,)u x y 于点00(,)x y 连续.
C (,)u x y 和(,)v x y 于点00(,)x y 均连续.
D (,)u x y +(,)v x y 于点00(,)x y 连续 8 满足不等式
2z i
z i
-≤+的所有点构成的集合时 A 有界区域 B 无界区域 C 有界闭区域 D 无界闭区域
二． 计算题:
1．求下列复数的模与辐角。

① i --1 ② 13i -+
③ i i i +-218 ④ （n
i )2
31+
2．求下列复数的指数与三角表示式。

① i - ② 1i
+
③ ϕϕc o s s i n 1i z ++= （)2
0π
ϕ≤≤
④ =z 2
3
)3s i n 3(c o s )s i n (c o s ϕϕϕϕi i -+
⑤ i
i z -=1
3．解方程:55)1()1(z z -=+
4．求下列极限。

① z z re z )
(lim
→ ② 2
1
1lim z z
→∞+ ③ (
)
z
z i
z i
z 21lim +-→
5．讨论函数222(),00,0xy x y f z z z ⎧⎪
+=≠⎨⎪=⎩
的连续性。

5.证明下列各题。

① 设函数()f z 在0z 连续且0()0f z ≠，那么可找到0z 的小邻域，在这邻域
内()0f z ≠．
②设0
lim ()z z f z A →=，证明()f z 在0z 的某一去心邻域内是有界的，即存在一
个实数0M >，使在0z 的某一去心邻域内有()f z M ≤．
三．附加题：
第二章 解析函数
(一) 本章主要知识 一．解析函数的概念
1．复变函数的导数、微分的定义 导数—z
z f z z f z f z ∆-∆+='→∆)
()(lim )(000
2．解析函数的概念
设函数)(z f w =定义在区域D 内，0z 为D 内某一点，若存在
一个邻域),(0p z N ，使得函数)(z f 在该邻域内处处可导，则称函数)(z f 在点0z 解析。

点0z 为函数)(z f 的解析点。

若函数)(z f 在点0z 不解析，则称0z 为函数)(z f 的奇点。

函数在一点解析，则在该点可导，反之则未必。

二．解析函数的充要条件
1．设函数()(,)(,)f z u x y iv x y =+定义在区域D 内，则()f z 在D 内一点z x iy =+可导的充要条件是(,)u x y 与(,)v x y 在点(,)x y 可微，
并且在该点满足柯西-黎曼方程,u v u v
x y y x
∂∂∂∂==-∂∂∂∂。

2．函数()(,)(,)f z u x y iv x y =+在其定义域D 内解析的充要条件是
(,)u x y 与(,)v x y 在D 内可微，并且满足柯西-黎曼方程
,u v u v x y y x
∂∂∂∂==-∂∂∂∂。

三． 初等函数 1．指数函数 2．对数函数 3．乘幂：
4．三角函数与双曲函数
重点:1．可导、解析函数的概念及判别。

2．指数函数、对数函数的等初等函数的运算。

难点:1．解析与可导的关系。

2．乘幂的运算。

(二) 本章作业 一．选择题
1．.函数2
3)(z z f =在点z=0处是（ ）
A.解析的
B.可导的
C.不可导的
D.既不解析的又不可导的 2．设,)(22iy x z f +=则=+)1('i f （ ） A.2 B.2i C.1+i D.2+2i 3．i i 的主值为（ ）
A. 0
B. 1
C. 2π
e D. 2
π
-
e
4．下列数中，为实数的是（ ）
A.3)1(i -
B. i cos
C. Lni
D. i
e 2
3π
-
5. 函数()f z 在点z 可导是()f z 在点z 解析的（ ）。

A 充分不必要条件
B 必要不充分条件
C 充分必要条件
D 既不充分也不必要条件 6.若函数2222()2()f z x xy y i y axy x =+-++-在复平面内处处解析，那么实数a =（ ）。

A.0
B.1 C 2 D-2 7 设α是任意实数，则1α（ ）
A 无定义
B 等于1
C 是复数，其实部等于1
D 是复数，其模等于1
8函数()f z = ）
A 复平面
B 除去原点的复平面
C 除去实轴的复平面
D 除去原点与负实轴的复平面 二．计算题:
1．讨论下列函数的可导性。

① ()()z z f Im = ② ()2
z z f =
③ ()1
22+=z z z f ④ ()2
222y x y
x i y x y x z f +-+++=
2．求下列函数的导数。

① ()n
z 1- ② 1
22
+z z
③ ()i z z f 2=
3．计算下列各式的值。

① z i e 2- ② 2
z e
③ i z ④ i 2
⑤ ()i Ln +1 ⑥ ()i e ln
⑦ ()i +1sin ⑧ ()i -3tan
⑨ i cos
4．解方程:i z i z 4cos sin =+
5. 证明：如果()f z '在区域D 内处处为零，那么()f z 在D 内为一常数。

6. 设函数2222
f z x axy by i cx dxy y
=+++++，问,,,
()()
a b c d取何值时，()
f z在复平面内处处解析？
三．附加题：
第三章 复变函数的积分
(一) 本章基本知识
一．复变函数积分的概念
1．复变函数积分—()()∑⎰=∞
→∆⋅=n
k k k n c
z f dz z f 1lim ζ
2．积分存在的条件及其计算方法
()dz z f c
⎰()()idy dx iv u c
++=⎰⎰⎰++-=c
c
udy vdx i vdy udx
()()(),:t iy t x t z z C +== β
α≤≤t
当()z f 是连续函数而C 是光滑曲线，()dz z f c
⎰一定存在。

3．积分的性质
4．柯西—古萨定理——如果函数()z f 在单连通区域内处处解析，则沿内的任何一条封闭曲线的积分()0=⎰dz z f c
二．复合闭路定理
定理 设有围线n c c c c ,,,,210 ，其中n c c c ,,,21 中的每一条均在其余各条的外部，而它们又全都在0c 的内部;又设G 为由0c 的内部与n c c c ,,,21 的外部相交的部分组成的复连通区域，若)(z f 在
G 内解析，且在闭区域G 上连续，则
0d )(10=⎰--+++n
c c c z z f
1．()()dz z f dz z f n
k c c
k
∑⎰⎰==1
2．()0=⎰dz z f τ
三．原函数与不定积分
定理1 如果函数()z f 在单连通区域内处处解析，那么积分与连结
起点及终点的路线无关。

定理2 。

如果函数()z f 在单连通区域内处处解析，则()z F 是B 内一个解析函数。

定理3 如果函数()z f 在单连通区域B 内处处解析，()z G 是()z f 的一个原函数，则()()()011
0z G z G dz z f z z -=⎰
四．积分基本公式
定理 设G 是以围线c 为边界的单连通区域，若)(z f 在G 内解析，且在G 上连续，则G z z z z z f z f c ∈-=⎰00
0d )
(i π21)(
五．高阶导数公式
定理 设G 是以围线c 为边界的单连通区域，若)(z f 在G 内解析，且在G 上连续，则)(z f 在区域G 内有各阶导数，并且有 G z z z z z f n z f c n n ∈-=
⎰+01
00)(d )
()
(i π2!)(
六．解析函数与调和函数的关系
1．调和函数的定义：()()2,c y x ∈ϕ，0=+yy xx ϕϕ称()y x ,ϕ是D 内的调和函数。

2．定理 任何在区域D 解析的函数，它的实部和虚部是D 内的调和函数。

解析函数的虚部是实部的共轭调和函数 重点：1．积分的计算方法
2．柯西古萨基本定理 3．原函数的概念 4．高阶导数公式 5．调和函数的定义
难点：1．复变函数积分的概念
2．复合闭路定理 3．不定积分的计算
4．证明解析函数的高阶导数公式 （二） 本章作业 一．单项选择题
1．设c 为从原点沿2y x =至1+i 的弧段，则2()c
x iy dz +⎰=（ ）。

A.i 6561-
B.i 6561+-
C.i 6561--
D.i 6
561+ 2．设c 为不经过1与1-的正向简单闭曲线，则dz z z z
c ⎰
+-)
1)(1(为
（ ）。

A. 2i π
B. 2i π-
C. 0
D. A ，B ，C 均有可能
3．设c 为正向圆周21
=
z ，则=--⎰dz z z z c
2
3)
1(21
cos
（ ）。

A.)1sin 1cos 3(2-i π B. 0 C.1cos 6i π D.1sin 2i π-
4．设c 为正向圆周0222=-+x y x ，则=-⎰dz z z c
1)
4sin(2π
（ ）。

A.
i π22 B.i π2 C. 0 D. i π2
2
- 5．下列命题中，正确的是（ ）。

A.设21,v v 在区域D 内均为u 的共轭调和函数，则必有21v v =。

B.解析函数的实部是虚部的共轭调和函数。

C.若iv u z f +=)(在区域D 内解析，则x
u
∂∂为D 内调和函数。

D.以调和函数为实部与虚部的函数是解析函数。

二．计算题:
1．设c 为从原点z=0，到z=1+i 的直线段，求2c
zdz ⎰的值。

2．求下列积分的值。

① ⎰-c
z
dz z e 2，其中c ：12=-z 的正向。

② ⎰
+c
iz z dz e 12
，其中c ：2
3
2=-i z 的正向 ③ ⎰-c
dz z z
2)1(cos ，其中:2c z =的正向。

④ ⎰--c z z dz
)
1)(1(32，其中c ：1<=r z 的正向
⑤ 32(1)c
z dz z -⎰ ，其中c ：21
=z 的正向。

⑥ 求⎰+212sin c c dz z
z
，其中1:1c z =的负向， 2:3c z = 的正向。

⑦ ⎰=-R z dz z z
1
62，其中0,1R R >≠ ⑧ dz ze c
z ⎰，其中C ：从z=0到z=1+i 2
π
的直线段。

⑨ ⎰1
sin zdz z 。

⑩ dz z z i
⎰+12cos tan 1
3．设(,)x y xy ϕ=，求其共轭调和函数(,)x y ψ。

4．若cos ,x u e y -=求解析函数().f z u iv =+
三．附加题：
第四章 级数
（一） 本章基本知识 一．复数项级数
定理1 复数列{} (1,2,)n n α= 收敛于α的充要条件是
lim , lim n n n n a a b b →∞
→∞
==
定理2 级数1
n n α∞=∑收敛的充分必要条件是级数1n n a ∞=∑和1
n n b ∞
=∑都收
敛。

定理3 复数项级数1n n α∞
=∑ 收敛的必要条件是0n n α∞
=∞
=∑。

定理4 若级数1
n n α∞=∑绝对收敛，则级数1
n n α∞
=∑也收敛。

(级数收敛的
充分条件)
定理5 级数1n n α∞
=∑收敛的充分必要条件是对于任意给定的ε＞0，
存在自然数N=N (ε)，使得当n ≥N 时，对于任何自然数P ，有
12n n n p αααε++++++< (柯西收敛准则)
二．幂级数
1．幂级数的概念
形如 +++++=∑∞
=n n n n n z c z c z c c z c 22100或
+-++-+-+=-∑∞
=n n n n n
z z c z z c z z c c z z c
)()()()(02020100
的级数为幂级数，其中 ,,,,,,2100n c c c c z 均为复常数。

定理1 对于级数，总存在圆周R z c R =:，使得级数在R c 的内部绝
对收敛，在R c 的外部发散．我们称圆R z R N <:),0(为级数的收敛圆，称R 为级数的收敛半径。

2．收敛半径的求法: 比值法 n
n n c c 1
lim
+∞→
根值法n
n n n n n c c c 1
lim
lim +∞→∞
→=
三．泰勒级数
1．定理 设G 为区域，点G a ∈，圆R a z K <-:含于G ，若函数)(z f 在G 内解析，则在K 内有∑∞
=-=0)()(n n n a z c z f
成立，其中 ,2,1,0,!
)
0()(==n n f c n n 且上述展式是唯一的。

2．函数的泰勒展开式: 四．洛朗级数 1．洛朗级数—
+-++-+-+=---∞
=-∑n n n n
n
z z c z z c z z c c z z c )()()()
(02020100
定理 设()z f 在圆环域内处处解析，则
∑∞
=--=0)()(n n n a z c z f ，()()ζζζπd z f i c c n n ⎰+-=
1
021 2．应用: 间接展开法
重点：1．收敛半径的求法
2．函数的泰勒展开式的概念及将函数展成泰勒级数的方法 难点：1．复数项级数的性质
2．函数的泰勒展开 3．洛朗级数展开
(二) 本章作业 一．单项选择题
1．设(1)(1,2,),4
n n ni
n n α-+==+ 则lim n n α→∞=( )
A 0 B. 1 C. i D.不存在
2．下列级数中，条件收敛的级数为（ ） A.∑
∞
=1n n
i )231(+ B.∑∞
=1
n n
n i !)43(+ C. ∑
∞
=1
n n
i n
D. ∑
∞
=1
n 1
)1(++-n i n
3．下列级数中，绝对收敛的级数为（ ） A.∑
∞
=1n )1(1n i
n + B.∑∞=1n ]2)1([
n n i n +- C.∑∞
=2
n n i n ln D. ∑
∞
=1
n n
n
n i 2)1(- 4．幂级数∑
∞
=1
n n z n n )2
(2sin
π
的收敛半径R=（ ） A. 1 B. 2 C.2 D.∞+ 5．设函数)
4)(1(1
)(++=
z z z z f 在以原点为中心的圆环内的洛朗展
开式有m 个，那么m=（ ）
A. 1
B.2
C. 3
D. 4 二．计算题：
1．求幂级数0(1)n n n i z ∞
=+∑的收敛半径。

2．求幂级数21
n
n n z ∞
=∑的和函数，并计算2
12n n n ∞
=∑。

3．把函数22
1
(1)
z +展成z 的幂级数，并求其收敛半径。

4．求函数21
z
在z=-1点的泰勒展开式。

复变作业答案 第一章 作业答案
一．1.B 2.D 3.B 4.C 5 A 6 D 7 C 8 D
二．1. ①1i --=Arg （-1-i ）=arg （-1-i ）+2k π （k 012=±± ，，，）
arg （-1-i ）=arctan 11π---=4ππ-=34π
-
所以Arg （-1-i ）=34
π
-+2k π（k 012=±± ，，，）
② 13i -+=Arg （-1+3i ）=arg （-1+3i ）+2k π （k 012=±± ，，，）
arg （-1+3i ）=arctan 3
1
π+-= -arctan 3+π
所以Arg （-1+3i ）=arg （-1+3i ）+2k π=-arctan 3+（2k+1）π （k 012=±± ，，，） ③11218=+-=++-i i i i i 模为1，辐角为2k π
④ （n i )231+=n
cos +isin 33ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭=（cos n 3π+isin n 3π
）
所以n =1 ， arg （n i )231+=arctan n 3
π
， Arg （
n i )231+= arg （n i )231+=arctan n 3
π+2k π （k 012=±± ，，，） 2．① i -=cos （2
π
-
）+isin （2
π
-
）=i()
2
e
π
② i
31isin )2e 33
π
π
π
++= ③ 原式=1+cos ）（ϕπ-2+isin ）（ϕπ
-2
=2cos ）
（2
42
ϕπ-+2isin ）（24ϕπ-cos ）（24ϕπ- =2cos ）
（24ϕπ-(cos ）（24ϕ
π-+isin ）（2
4ϕ
π
-) =2cos ）
（
2
4
ϕ
π
-e 4
2ϕπ-i
④i i
e
e z ϕϕ63-==i e ϕ9 =ϕϕ9sin 9cos i +
⑤()⎪⎭
⎫ ⎝⎛+=+-=-+=-=
ππ43sin 43cos 222211112i i i i i i i z 3．解：由于1不是方程的根，所以方程可变为 51z 11z =+（）-=cos0+isin0，1z
w 1z
+令=
- 则有5w =cos0+isin0 于是2k i 52k 2k w cos isin e k 0123455
π
ππ
=+==，，，，， 从而
2sin (sin i cos )
w-1cos +isin -1222z==w+1cos +isin 12cos (cos isin )
222
k 2k itan itan (,k 01234)
255
θθθ
θθθθθθθθππθ-+=
++====，，，，
4．①yi x x z +→0
lim
=ikx x x kx y x +=→0lim =ki
+11
极限不存在 ②011
lim 2
=+∞→z z
③()()()2
1
1lim lim
-=+=-+-→→i z z z i z i z i z i z i
z
5．222220220122lim 2lim k k
x k x kx y x xy kx
y x z +=+=+=→→，所以()z f 在0=z 处不连续 6 ()f z 在0z 连续．对于01
()02
f z ε=
，一定存在0>δ，当δ<-0z z 时，有0()()f z f z ε-<，即01
()()02
f z f z ≥>
．所以()f z 在0z 的某去心邻域内不为零。

7. 取1ε=，存在0>δ，当00z z δ-< 时，有()1f z A ε-<=，
()()()1f z f z A A f z A A A ⇒=-+≤-+≤+
取10M A =+ 即可。

第二章 作业答案
一．1.B 2.A 3.D 4.B 5 B 6 C 7 D 8 D
二．1 ①()y z f =不可导，因为不满足柯西—黎曼方程 ② ()22y x z f +=不可导，因为不满足柯西—黎曼方程
③ ()122
+=z z z f 的分子、分母均是解析函数，所以
()1
2
2
+=z z z f 在除去分母为零的点z i =±外解析。

④ u=
22x y x y ++，v=22
x y
x y
-+ 22222u y x 2xy ,(x +y )x ∂--=∂22222u x y 2xy ,y (x +y )∂--=∂ 22222v y x 2xy ,(x +y )x ∂-+=∂22222
v y x 2xy ,y (x +y )∂--=∂ 除去z=0满足柯西—黎曼方程，故在z 0≠处解析。

2 ①
()()
()1
11--='-n n z n z ②(
)
(
)
=+⋅-+='
⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛+22
222212121z z z z z z z ()2212+z z
，)(i z ±≠ ③ ()1222-='
i i iz z
3 ①式=2(21)2x y i x e e --+-= ②原式=2
2
22
2y x
xyi
y x e e -+-= ③()
Argz
z i iArgz z i iLnz e
e
e -+==ln ln
④()πk i i iLn e e 22ln 2+==πk i e 22ln -
⑤()⎪⎭⎫ ⎝⎛
++=+422ln 1ππk i i Ln
⑥i i i iArge e e +=ln ln =()πk i 21+
⑦原式=()()i e e i i i i 211+-+-=i
e e i i 21
1+---
⑧原式=
()()()()()()i i i i i i i i e e i e e i i ------+⋅-=--3333223cos 3sin =()
13131
313--+--++--i i i i e
e i e e ⑨ 原式=2i i i i e e ⋅-⋅+2
1e
e +=
- 4．iz -iz iz -iz
e e e e i 4i 2i 2
-++=，整理得 iz e =4，-iz=Ln4=ln4+2k πi
即 z=-2k π+iln4（k 012=±± ，，，）
5. 证明： ()1u v u v
f z i x x i y y
∂∂∂∂'=+=+∂∂∂∂=0
0u v u v
x y y x
∂∂∂∂⇒====∂∂∂∂ u =常数，v =常数。

因而()f z 在D 内是常数。

6. 由
2u
x ay x
∂=+∂2v dx y y ∂==+∂ 2u ax by y ∂=+∂2v
cx dy x
∂=-=--∂ 得2,1,1,2a b c d ==-=-=时，此函数在复平面上处处解析。

第三章 作业答案
一．1.D 2.D 3.B 4.A 5.C
二．1．设⎩⎨⎧==t
y t
x 10≤≤t ，则，z=t+it ，dz=(1+i)dt 。

1
122
022()(1)(1)()2c
zdz t it i dt i t it =-+=+-=⎰⎰
2．①由柯西积分公式得 z
2z 2
2i e 2ie 2z c
e dz z ππ==⋅=-⎰ 。

②解：i 在c 内，-i 在c 外 ，由柯西积分公式得
1z i
2z+i 2i e 1i z i iz
iz iz c c
e e dz e dz z z ππ-===⋅=+-+⎰⎰
③解：由高阶导数公式
1sin 2)(cos )!12(2)
1(cos 1
'2i z i
dz z z z c ππ-=-=-=⎰。

④解：由柯西古萨定理 被积函数所有奇点均在曲线外，故积分值
为零。

⑤解：由柯西古萨定理 被积函数所有奇点均在曲线外，故积分值为零。

⑥解：
1212
222sin sin sin c c c c z z z
dz dz dz z z z +=+⎰⎰⎰ '
'
00
22(sin )(sin )(1)!
(1)!
z z i
i
z z z z ππ===-
+
--
220i i ππ=-+=
⑦解：
（1）当R<1时，
2601z R
z
dz z ==-⎰ 。

（2）当R>1时，
261z R
z
dz z =-⎰
12226611c c z z dz dz z z =+--⎰⎰ 12
661111c c z z
z z dz dz z z -+=++-⎰⎰ 11662211z z z z
i i z z ππ=-==+-+6612i i i πππ=+=
⑧e 12
π-
⑨ sin1-cos1
⑩ 2211
ith1-(th1)tan1(tan1)22-- 注：tani=ith1
3．,
y x x
y
ϕ
ϕ
∂∂==∂∂，2222
0,
0x y ϕϕ
∂∂==∂∂ 由于22220x y
ϕϕ
∂∂+=∂∂，所以(,)x y ϕ为调和函数。

又
2,().2y y ydy g x y x ψϕψ∂∂====+∂∂⎰'()g x x x y
ψϕ∂∂==-=∂∂， 则有2
1()2
g x x C =-+， 故22(,)22y x x y C ψ=-+ 4．解：
cos ,sin x x u u
e y e y x y
--∂∂=-=-∂∂， 2222cos ,
cos x x u
u
e y e y x
y
--∂∂==-∂∂ 由于22220u u
x y
∂∂+=∂∂，所以u 为调和函数。

又
cos ,cos sin ().x x x v u e y v e ydy e y g x y x
---∂∂==-=-=-+∂∂⎰
'sin ()sin x x v u e y g x e y x y
--∂∂=+=-=∂∂ 则有'()g x =0，即()g x C =
因此sin .x v e y C -=-+，()cos (sin ).x x f z e y i e y C --=+-+
第四章 作业答案
一．1.C ，2.C ，3．D ，4．B ，5.C
二．1
．1
n 1n n n
c (1)lim
lim c (1)n n
i i ++→∞→∞+==+。

2．n
n 01z 1z ∞
==-∑，n-1n 0
1nz 1z ∞='⎛⎫= ⎪-⎝⎭∑，
n
n 0
1z nz 1z ∞='⎛⎫= ⎪-⎝⎭∑ n 2n-12n
n 0n 01z z z n z n z 1z ∞∞=='⎡⎤'⎛⎫⎢⎥== ⎪-⎢⎥⎝⎭⎣⎦
∑∑ 故 ()()()()2n 233
11-z+23z-z S x z z z 1z 1z 1z '⎡⎤===⎢⎥---⎢⎥⎣⎦
3．()()n 2
n 0111z 1z 1z n ∞==--++∑()n 1n 0
1nz n
∞
-==-∑ ()
()
()
n 1
2n-12
2n 0
1
1nz
1z ∞
-==-+∑
4．()()n
n 0
11z 1,z 1z 1∞==-=-+-+∑ z 11+<
()()()n n-12n 0n 1n-1
2n 1
11z 1z 1z z 1n z 1,z 11z ∞∞
==∞
=''⎡⎤⎛⎫-==-+=-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⇒=++<∑∑∑
5．当1z 2<< 时
()111111
f z z 1
z 2z 1z z 112z
=
-=-
---- =n
n
n 0n 01z 11z 2z z ∞∞==⎛⎫⎛⎫
-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
∑∑ ， 当2z <<+∞ 时
()111111
f z z 1
z 2z 1z z 1-12z
=
-=-
--- =n
n
n 0n 01211z z z z ∞∞==⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑=n n 1n 1n 0n 021z z
∞∞
++==-∑∑ 第五章 作业答案
一．1.D 2.C 3.D 4.D 5.D
二．1．解：函数4
sin )(z
z
z z f -=在有限点仅有一个孤立奇点0=z 为一级极点。

2．解：函数z
z z z f 21
)(2-+=孤立奇点为2,0==z z ，均为一级极点
21
21lim ]1),([Re 20-=-+⋅=→z
z z z z f s z
2
3
21)2(lim ]2),([Re 20=-+⋅-=→z z z z z f s z
3．解：函数2
)
1()(-=z z e z f z
孤立奇点为1,0==z z ，分别为一级极点，二级极点
1)
1(lim ]0),([Re 20=-⋅=→z z e z z f s z
z 0lim ))1()1((lim ]1),([Re 2122
0=-⋅='-⋅-=→→z
e z e z z e z z
f s z
z z z z 4．解：所给函数在0=z 的洛朗展开式为
......
!71!51!3......)!71!51!311(1sin 3
3
74344+-+-=+-+-=z z z z z z z z z z z 120
1
!51]0,1sin [Re 14=
==-C z z s 5．解：
......!41!3121......)!51!31!2111(23432313
+++++=+++++
=z z z z z
z z z z e z z
12
!4122113
i
i C i dz e z C
z
πππ=⋅
=⋅=-⎰ 6．解：
1313
23242324133
22324
23242Re [,](1)(1)(1)(1)1()12Re [,0]Re [,0]011(1)1)(()1)(()1)C
z z dz i s z z z z z z i s s z z z z z
ππ=-∞+-+-=⋅==+-+-⎰ （ 第六章 作业答案
一．1．解：ω
βωj F +=
1
)(
ω
βωβω
ωj j j t f F d dF t f F t tf F t f t F +-
+=--=-=-2)()]([2)
()]([2)]([)]()2[(2
2．解：()()()0
1i i t
i t
A e F f t e
dt Ae
dt i ωττ
ωωωω
-+∞
---∞
-===
⎰
⎰。

3．解：由()t δ性质()()()00t t g t dt g t δ+∞
-∞
-=⎰，
()()0
0111222
i t i t i t f t e d e e ωωωωωπδωωωπ
+∞
-=--∞
=
+==⎰。

第七章 作业答案
一．1．解：s s F +=
β1
)(，2
)(1)()]([s s F t tf L +='-=β 2．解：()220sin sin ,(Re 0)st k
L kt kt e dt s s k +∞
-=⋅=
>+⎰。

()22
0cos cos ,(Re 0)st s
L kt kt e dt s s k +∞-=⋅=>+⎰。

3．解：1
2232213[()]Re [,1]Re [,3]
2323
3lim(1)lim(3)232344
st st
st st t t
s s se se L F s s s s s s s se se e e
s s s s s s --→-→=-+----=++-=+---- 4．解：()2(1),0B s s s s =-=为单零点， 1s =为二级零点。

则
()()()222011
1lim 11(),0.3411st
st
t t s s d f t e s e te e t s s ds s s =→⎡⎤=+-=+->⎢⎥-+-⎢⎥⎣⎦
复变函数综合测试题一
一.选择题（每题4分，共计24分） 1.z z f sin )(=的导数是（ ） A.cosz B.z sin C.0 D.1 2.i e 52+=（ ）
A.0
B.1
C.2e (cos5+isin5)
D. 2e 3.若曲线C 为|z|=1的正向圆周，
()2(3=-⎰C
z dz
） A.0 B.1 C.-1 D.2
4.0z =为函数3sin )(z
z
z f =的（ ）
A.一级极点
B.二级极点
C.本性奇点
D.可去奇点 5.δ-函数的傅氏变换为（ ）
A.1ω+
B.2ω
C.0
D.1
6.
()f z z z =，则()f z （ ）
A. 在全平面解析
B. 仅在原点解析
C. 在原点可导但不解析
D. 处处不可导 二.填空题：（每题4分，共计20分）
1.若函数为z z f 1
)(=则()f z '=______________。

2.⎰=
i
i zdz 2___。

3.若曲线C 为3z =的正向圆周，则=-⎰
dz z C
2
1
______。

4.函数0,0
()0,0t t f t e t ββ-<⎧=>⎨≥⎩
，（）的傅氏变换为 _________。

5.lim 12n
n i -→∞
⎛
⎫+= ⎪⎝⎭
______。

三.计算题（共计56分）
1.求幂函数∑∞
=1
3n n
n z 的收敛半径。

（6分）
2.试求arg c
zdz ⎰，c 为()1z i t =+，t 从1到2. （7分）
3.把函数)
3)(2(1
)(--=z z z f 在2<3<z 内展成洛朗展开式。

（7分）
4.求dz z z
C
⎰
-1
2
曲线C 为正向圆周3z =。

（7分） 5.求()
2
11z z -在11z ->上的洛朗展开式。

（7分）
6.比较()i
i e 与i
i e 两个数。

（8分）
7．已知1f z i ⎛⎫
⎪+⎝⎭
z =，则求极限()lim z i
f z → 。

（7分）
8．求函数,0()0,
E t f t τ≤≤⎧=⎨
⎩其它
的傅氏变换。

（7分）
复变函数综合测试题二
一.选择题（每题4分，共计24分） 1.z z f cos )(=的导数是（ ） A.cosz B.-z sin C.0 D.1 2.i e 53+=（ ）
A.0
B.1
C.3e (cos5+isin5)
D. 3e
3.若曲线C 为|z|=1的正向圆周，
(2
1=-⎰C z dz
） A.0 B.1 C.-1 D.2i π
4.0z =为函数3cos )(z
z
z f =的（ ）
A.一级极点
B.三级极点
C.本性奇点
D.可去奇点
5.若幂级数∑∞
=0
n n n z c 在i z 21+=处收敛，则该级数在2=z 处的敛散
性为（ ）。

A.绝对收敛
B.条件收敛
C.发散
D.不能确定 6.2lim
1n n ni
ni
→∞+-=（ ）
A.12i -+
B.12i +
C.2i +
D.∞ 二.填空题：（每题4分，共计20分）
1.若函数为z z f 1
)(=则()i f +'2=______________。

2.复数()i
i +1=________________。

3.不等式522<++-z z 表示的区域为______________。

4.复数i 1的模为_________。

5.()Im c
z dz =⎰_________。

三.计算题（共计56分）
1.求极限()
z e z i
z 21lim 2++→。

（6分）
2.设c 为从原点沿x y =2至i +1的弧段，则()dz iy x c
⎰+2。

（7分）
3.求dz z e C z
⎰-1
2曲线C 为正向圆周3z =。

（7分）
4.求()2
1
z z f =在1-=z 处的泰勒展开式。

（7分）
5.求0(1)n n n i z ∞
=+∑的收敛半径。

（7分）
6.求()t te t f t 4sin 3-=的拉氏变换。

（8分）
7.已知()43f z z '=-，且()13f i i +=-，则求()f z 。

（7分）
8.计算()
2
2
1
2z z e z dz z =⋅+⎰ 。

（7分）
复变函数综合测试题三
一.选择题（每题4分，共计24分）
1.()4
1++-=n ni
n
n α，则n n α∞
→lim 是（ ）
A.0
B.i
C.不存在
D.1
2.1f z z i ⎛⎫= ⎪-⎝⎭
，则()1f i +=（ ）
A.0
B.1
C.
12
i
+ D. 2e 3.若曲线C 为|z|=2的正向圆周，
()
1(cos 2=-⎰C z zdz
） A. 1sin B. 1sin 2i π C.-1sin D. 1sin 2i π- 4.1=z 为函数
1
1
)(-=z e
z f 的（ ）
A.一级极点
B.二级极点
C.本性奇点
D.可去奇点 5.若12z z e e =，则（ ）
A.12z z =
B. 122z z k π=+
C. 12z z k i π=-
D. 12z z =-2i k π
6.0132n
n i ∞
=-⎛⎫ ⎪⎝
⎭∑的敛散性为（ ）
A.发散
B.条件收敛
C.绝对收敛
D. 无法确定
二.填空题：（每题4分，共计20分） 1.复数()1i
-的主值为_____________。

2.()()()()
i i i i i z ++--+=
23)3(21，则=z
________________。

3.若曲线C 为1z =的正向圆周，则2
z
C
ze dz =⎰ ______。

4.复数i e ln =_________。

5.z e 在1z =处的泰勒级数为_________。

三.计算题（共计56分）
1.求复数()()2
2
cos5sin 5cos3sin 3i i θθθθ+-的指数表达式及三角表达式。

（6分）
2．计算积分()Re ,c
z dz ⎰C 为：,i z e θθ=从π-到π。

（7分）
3.试求在3z =ω的映射下，直线()t i z +=1的象。

（7分）
4.求1n
p n z n
∞
=∑（p 为正整数）的收敛半径。

（7分）
5.求函数()()()⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛++-++=2221a t a t a t a t t f δδδδ的傅氏变换。

（8分）
6.求1n n nz ∞
=∑的和函数。

（7分）
7.讨论()2
f z z =的可导性。

（7分）
8.求41Re sin ,0s z z ⎡
⎤⋅⎢⎥⎣
⎦。

（7分）
复变函数综合测试题四
一.选择题（每题4分，共计24分） 1.22)(iy x z f +=，则()i f +'1是（ ） A.2 B.i 2 C.i +1 D.2+2i 2.i i 的主值（ ）
A.0
B.1
C.2π
e D. 2
π
-
e
3.若曲线C 为|z|=4的正向圆周，5(()C
dz
z i π=-⎰ ） A.
i 12
π
B.1
C.0
D.π
4.0z =为函数
1
()s f z zco z
=的（ ）
A.一级极点
B.二级极点
C.本性奇点
D.可去奇点
5.函数()f z 在z 点可导是()f z 在z 点解析的（ ）条件 A.充分不必要 B. 必要不充分 C.充要 D. 非充分非必要
6.11
cos z z dz z
=⎰
=（ ） A.2i π B. i π C.2i π- D. 0 二.填空题：（每题4分，共计20分）
1.函数()sin f z z =的零点______________。

2.⎰=
i
i z dz ze 22
___。

3.=-
2
1i
e
π______。

4.i 3= _________。

5.2sin z 的麦克劳林级数为_________。

三.计算题（共计56分）
1.讨论函数()sin cosh cos sinh f z x y i x y =+的可导性。

（6分）
2.计算,dz z c
⎰曲线C 为自i -到i 的直线段。

（7分）
3.设2
1,11n
n n c z z z ∞
=-∞
=+∑ ，则求0c 的值。

（7分）
4.试求幂级数∑∞
=++1
1
414n n n z 的收敛半径及和函数。

（7分）
5.计算()
()
2
2
11c
dz
z z
-+⎰ ，c 是圆周()222x y x y +=+。

（7分）
6.求函数()⎪⎩⎪⎨⎧>≤=π
π
t t t t f ,0,sin 的傅氏变换。

（8分）
7．求正弦函数()cos (f t kt k =为实数）的Laplace 变换。

（7分）
8.求解微分方程()()0y t y t ''+=，()()02,03y y '==。

（7分）
复变函数综合测试题五
一.选择题（每题4分，共计24分） 1.℉()[]=
+0t t δ（ ）
A.- j t e ω
B.j t e ω
C.0
D.1 2.=i sin （ ）
A.0
B.1
C.1ish
D.e
3.级数221ni
n e n
∞
=∑为（ ）
A.条件收敛
B. 绝对收敛
C.通项不趋于0
D. 发散
4.0z =为函数3
sin )(z
z
z z f -=的（ ） A.一级极点 B.二级极点 C.本性奇点 D.可去奇点 5.=-z i e 2（ ）
A. x e 2-
B.2-e
C.0
D.1
6.(
)f z = ）
A.全复平面
B. 除原点外的复平面
C.除实轴外的全平面
D. 除原点与负实轴外处处解析 二.填空题：（每题4分，共计20分） 1.31=______________。

2.()i Ln -1=___。

3.若曲线C 为1=z 的正向圆周，则()2
sin z C
e dz z
=⎰
______。

4.()s F 1=￡()[],1t f ()s F 2=￡()[],2t f 则￡()()[]=*t f t f 21_________。

5.2z z e 的麦克劳林级数为______。

三.计算题（共计56分）
1.讨论()z z
f z z z
=-在0z =点的极限。

（6分）
2.解方程01=+z e 。

（7分）
3.讨论()()322333f z x xy i x y y =-+-的可导性。

（7分）
4.计算dz z
z
c ⎰，曲线C 为正向圆周1=z 。

（7分） 5.试证()2
2c
x
iy dz π+≤⎰，:,i c z e θθ=是从0至π的半圆弧。

（7分）
6.已知调和函数()y x u 12-=，求解析函数()iv u z f +=。

（7分）
7.求()()()t u t t t t f ⋅-⋅=sin cos δ的拉氏变换。

（8分）。