圆锥曲线与圆有关的专题（打印版）

圆锥曲线与圆有关的专题（打印版）
专题六圆锥曲线与圆有关的专题
【知识回顾】一. 园的性质
圆的性质在平面解析几何中有广泛而灵活的应用，运用好圆的性质，不仅能免去解几中冗长的运算，还能充分地感受到平面几何的魅力。

1、圆心角定理、圆周角定理、弦切角定理； 2、垂径分弦定理、射影定理； 3、三角形内切圆和外接圆的性质； 4、圆的内接四边形的性质；
5、圆幂定理（相交弦定理，割线定理，切割线定理，切线长定理）.
6、圆的切线性质. 二、常见题型
1、利用圆的性质求解（或证明）角的大小、弦长、最值等。

2、判定或证明四点共圆：方法1：用定义；
方法2：若四边形的对角互补，则四边形的四顶点共圆；
方法3：若四边形的外角等于它的内对角，则四边形的四个顶点共圆. 方法4：证明四点的坐标都满足同一个圆的方程。

【例题】一、关于四点共圆
说明理由。

四点在同一个圆上？并，使得的）试判断是否存在这样（的方程；
的取值范围，并求直线）确定（两点。

交于的垂直平分线与椭圆相的中点，线段是线段上的两点，点是椭圆、设例D ,C ,B ,A 2AB 1D ,C AB AB )3,1(N y 3x B ,A 122λλλ=+
.
03.A ACD ,,,A 2D 12,
2
CD 2321,
22
324CD AB 12.)12(2AB ,)3(2CD ),2
3
,21(,044402y -x :CD ,CD ,
AB CD ),,M(x CD 1)2(.
04y x AB .120,1k ,3)1x (k y AB 12
2
2
2
2
2
00200=?=>∴=-=?=+==∴=-+=<>-=-=-=-++=+=-+>>?-=+-=AD AC DN CN AN D C B C B A AB d MB MA y x d AB M M x x y ：利用解法为直角为直角三角形，共圆：解法四点共圆。

、、、时，当）（的距离为到点。

时，因为当同理得求得与椭圆方程联立得由圆直径为所以若四点共圆，则此的垂直平分因为的中点为：（用定义）设解法方程为直线得由程，由中点公式得代入椭圆方程得二次方方程为）设解：（λλλλλλλ
.
D ,C ,B ,A 12,t t t t ,
ND NC NB NA D ,C ,B ,A ,ND t ,NC t ,NB t ,NA t tsin45
3y tcos45
1x CD ,tsin1353y tcos1351x AB 443214321四点共圆时易证此式成立，即即四点共圆，则若组根，分别与椭圆联立得到两方程为方程为设圆幂定理则非常简单。

：利用直线参数方程和解法>=?=?====+=+=+=+=λ
【同型练习】
是否共圆？为什么？两点，那么相交于的垂直平分线与双曲线）如果线段（的方程；
）求直线（的中点，
是线段上的两点，点是双曲线设D ,C ,B ,A D ,C AB 2AB
1AB )2,1(N 12
y x B ,A 2
2
=-四点共圆。

点的距离相等，故四点到即又可算得，所以由弦长公式得），，中点求得设和双曲线方程联立得由直线方程为得直线垂直平分由中二次方程解得由所求直线方程为解得由立得由直线与双曲线方程联方程为）设解（D ,C ,B ,A M D ,C ,B ,A ,102MB MA ,102CD 2 1
MD MC 104CD 6-3(M CD ),y ,x (D ),y ,x (C ,0116x x CD ,
2)1x (y CD AB CD ).4,3(B ),0,1(A )1()2(.1x y ,1k 1)x x (2
1
0,2)k 2(x )k 2(2k x )k 2(),
y ,x (B ),y ,x (A ,2)1x (k y AB 144332212222211=?====
===-++--=-+===+=------+-=
二、利用圆周角的性质求角的最大值
的最大值。

上运动，求在直线）若求椭圆的方程；（轴的交点为与，左准线的长为轴上，长轴在、心在坐标原点，焦点、如图，已知椭圆的中例211112
121PF F l P 2)1(.
1:2F A :MA ,M x l 4A A x F F 2∠=。

的最大值为
时，所以当所以的最大值即可。

只需求为锐角且所以的斜率为直线的斜率为设设：左准线为解法易求得椭圆方程为解：15
15
arctan PF F 15y .1515y 152y 2y 15y 2k k 1k k PF F tan PF F tan PF F ,2
M PF PF F 0,5
y k PF ,3y k PF ,0y ),y P(-4,-4,x 1(2) 1.
3
y 4x )1(210002
0012122121211210
22011002
2∠±==≤+=+-=∠∠∠<
∠<∠<-=-
=≠==+π
x。

所以且所以的半径为两点的纵坐标相等，圆的张角最大，此时、点对上所有点中质可知，直线角相等及三角形外角性同弧和等弧所对的圆周其余的点都在圆外，由点外，上除因为直线相切的圆，切点为且与直线、为过：设圆解法15
15
CO F tan PF F tan CO F PF F ,15CO y ,4CO 1CF PC r C C ,P F F P l P L ,P L F F C 21211210212
1
21=
∠=∠∠=∠===+===
三、利用直径所对的圆周角是直径
它表示什么曲线？
点的轨迹方程，并说明为垂足，求以外的两个动点，已知上原点为抛物线和、设例M M AB OM OB OA O p px y B A ,,)0(432⊥⊥>=点时更为方便。

直角顶点不在原张直角时很方便。

尤其理圆锥曲线的弦对定点【注意】这种方法在处点）。

为直径的圆（去掉点的轨迹是以点，所以于恒过定点即所在直线方程为于是所以显然所以此圆过原点，方程，因为为直径的圆）式是以，所以（）式等同于由于（得此方程等同于得消去，此方程等同于得消去由方程：，设：：设解法然后用韦达定理。

得，由：设解法O OC M M AB p C AB p ky x AB p a a pa a OB AB y y y y x x x x pa a pky pk a x y x y y y y pa pky y x x x x x a pk a x x y a
ky x px
y a ky x AB y x B y x A y y x x y x B y x A ⊥+==≠=-⊥=--+--=-+-+-++=--=--=--=++-+==+==+=?OM ).
0,4(,4,4,0,04,OA 30))(())((3)
3(044)2(2)2()1(),2(0))((,044),1(0))((0)2(24,
),(),,(2,0,0),(),,(1221212222212212222221121212211
【同型练习】
理由。

的值；若不存在，说明若存在，求出的右焦点为直径的圆经过双曲线使得以线段）是否存在实数（的取值范围；
求实数的右支交于不同的两点与双曲线直线k ?F AB ,K 2k )1(.B ,A 1y 2x 1kx y :l 22=-+=
四、利用圆的切线性质
例4、如图，已知圆:G 2
2
2
(2)x y r -+=是椭圆2
2116
x y +=的内接△ABC 的内切圆, 其中A 为椭圆的左顶点. （1）求圆G 的半径r ;
（2）过点(0,1)M 作圆G 的两条切线交椭圆于E F ，两点，证明：直线EF 与圆G 相切．
解: （1）设B 02,r y +（），过圆心G 作GD AB ⊥于D ,BC
由
GD HB AD AH =
06y r
=+, 即
0y =
(1) 而点B 02,r y +（）在椭圆上,222
0(2)124(2)(6)
1161616
r r r r r y +---+=-==- (2) 由(1)、 (2)式得2
158120r r +-=,解得23r =
或6
5
r =-（舍去） (2) 设过点M(0,1)与圆22
(2)9
x y -+=
相切的直线方程为:1y kx -= (3)
则
23=
即2
323650k k ++= (4)
解得12991616
k k ---=
=
将(3)代入2
2116
x y +=得22(161)320k x kx ++=,则异于零的解为2 32161k x k =-+ 设111(,1)F x k x +,222(,1)E x k x +，则12 12
22123232,161161
k k x x k k =-
=-++ 则直线FE 的斜率为：221112*********
EF k x k x k k k x x k k -+=
==--
于是直线FE 的方程为:21122
1132323
1()1614161
k k y x k k +-=+++ 即37
y x =
- 则圆心(2,0)到直线FE
的距离23d =
=
故结论成立.
【同型练习】
直？证明你的结论。

所引的两条切线互相垂向圆，由点上是否存在点）在椭圆（面积的最小值；
）三角形（两点，求轴交于轴，分别与分别为切点，直线，点的两条切线
：引圆上的动点过椭圆O H H C 2OMN 1N ,M y x AB B ,A PB ,PA b y x O P )0b a (1b
y a x :C 2222222
=+>>=+
≥--=≥-==+=+-+===∠==+≥?=??==+,0b a )2b a (b y 0b a b a x ,
b a y a x b ,2b y x ,b y x b ,
AH OA OAHB 90AHB 2a b b a ab y a x b ab y a x 2b ab y b x b 21S OMN ),y b .0(N ),0,x b (M ,b y y x x AB ),y ,x (P 1222
2220222
2202220220222020220203
2252
02202500502020
0220000，所以又所以为正方形，所以，则四边形）若（角形面积的最小值。

此为三的面积
所以三角形所以点的方程为则切点弦）设解：（
H.
b 2a o H ),b
a 2
b a b ,
b
a a
b (
H C b 2a 2
2
2
22
2
点时，不存在满足条件的所引切线互相垂直，当圆向
使得由点上存在点时，椭圆所以当<---≥
五、利用垂径分弦定理
的取值范围。

圆心的同一圆上，求为两点在以、且两点与该双曲线交于不同的）直线（求双曲线的方程；
直线与原点的距离为的
和过点的离心率、已知双曲线例m A D C ,D ,C )0m ,0k (m kx y 2)1(,
2
3
)0,a (B )b ,0(A ,332e )0b ,0a (1b
y a x 52222≠≠+=-=>>=-.
0m 414m 0014m 3k ,
14m 3k ,k
1
k ,CD AP 3k 1m
,3k 13km (P CD m kx y )2(;
1y 3
x 122AP 2
222
<<->>?>+=+=?-=??=⊥--+==-或求得由所以知，
），根据垂径分弦定理中点与双曲线联立，得直线）解：（
六、构圆解围
面积的最大值。

，求的直线交椭圆于点）过原点（的轨迹方程；中点段是椭圆上的动点，求线）若（求该椭圆的标准方程；
设点右顶点为中心在原点，左焦点为
系中的一个椭圆，它的、已知在平面直角坐标例ABC C ,B O 3M PA P 2)1().
2
1
,1(A ),0,2(D ),0,3(F 6?- .
2,22ABC BC OA 4BC 11A ,4y x 2.2)k (s k ABC BC A BC k ,kx y BC 1)3(;
1)2
12y (4)12x ()2(;1y 4x )1(22222
2原来的面积的最大值为以放大为原来的两倍，所的面积均依同样的比值在此变换下，所有图形最大值的面积取得时，，易知当为定长），此时，为（点两倍，则椭圆变为圆
，纵坐标扩大为原来的把所有点的横坐标不变（化椭圆为圆）：解法这个方法运算量大。

的最大值为的函数，再求出的面积表示成的距离，把到的长和点表示线段然后用方程为：设解法解：?⊥=+?==-+-=+
的横坐标的取值范围。

时，求点为钝角
为其上的一个动点，当点的焦点为、椭圆例P PF P F F y x 21212 2F ,,14
97∠=+。

为钝角，故有内部，那么上，即及圆弧由此可知，如果点在椭分别为四点，其横坐标其与圆交于为直径的圆：构造以解法。

（运算量大）
标，利用余弦定理来解：设椭圆上一点的横坐解法553
553PF F 5,55
3
,,,,5:2121222221<<-∠=+±
=+P x y x CD AB D C B A y x F F .
_____1)3(8222是上的点之间的最近距离上的点与圆、抛物线例=+-=y x x y .12
11,2
11,0)9(425)3(1),1()3(22222-≥≥--=?=+->=+-故最近距离是
所以有解知近距离。

由方程即是最，这时该圆的半径减去使圆与抛物线正好相切构造圆值，因此难以化成二次函数求最任意两点间的距离一般分析：求两二次曲线上r r r x x r r y x。