高三数学一轮复习解析几何知识点突破训练有答案解析

第九章⎪
⎪⎪
解析几何 第一节 直线与方程
突破点(一) 直线的倾斜角与斜率、两直线的位置关系
1．直线的倾斜角
(1)定义：当直线l 与x 轴相交时，取x 轴作为基准，x 轴正向与直线l 向上方向之间所成的角叫做直线l 的倾斜角．当直线l 与x 轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0.
(2)范围：直线l 倾斜角的范围是[0，π)． 2．斜率公式
(1)定义式：直线l 的倾斜角为α≠π
2
，则斜率k ＝tan_α.
(2)两点式：P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)在直线l 上，且x 1≠x 2，则l 的斜率k ＝y 2－y 1
x 2－x 1
. 3．两条直线平行与垂直的判定 (1)两条直线平行：
①对于两条不重合的直线l 1，l 2，若其斜率分别为k 1，k 2，则有l 1∥l 2⇔k 1＝k 2. ②当直线l 1，l 2不重合且斜率都不存在时，l 1∥l 2. (2)两条直线垂直：
①如果两条直线l 1，l 2的斜率存在，设为k 1，k 2，则有l 1⊥l 2⇔k 1·k 2＝－1. ②当其中一条直线的斜率不存在，而另一条直线的斜率为0时，l 1⊥l 2.
本节主要包括3个知识点：
1.直线的倾斜角与斜率、两直线的位置关系； 2．直线的方程；
3.直线的交点、距离与对称问题.
考点贯通 抓高考命题的“形”与“神”
直线的倾斜角与斜率
1．直线都有倾斜角，但不一定都有斜率，二者的关系具体如下：
斜率k k ＝tan α>0 k ＝0 k ＝tan α<0 不存在 倾斜角α
锐角
0°
钝角
90°
2.在分析直线的倾斜角和斜率的关系时，要根据正切函数k ＝tan α的单调性，如图所示：
当α取值在⎣⎡⎭⎫0，π2内，由0增大到π2⎝⎛⎭⎫α≠π2时，k 由0增大并趋向于正无穷大；当α取值在⎝⎛⎭⎫π2，π内，由π
2⎝⎛⎭⎫α≠π2增大到π(α≠π)时，k 由负无穷大增大并趋近于0.解决此类问题，常采用数形结合思想．
[例1] (1)直线x sin α＋y ＋2＝0的倾斜角的取值范围是( ) A ．[0，π) B.⎣⎡⎦⎤0，π4∪⎣⎡⎭⎫3π
4，π C.⎣⎡⎦
⎤0，π
4 D.⎣⎡⎦⎤0，π4∪⎝⎛⎭
⎫π
2，π (2)已知线段PQ 两端点的坐标分别为P (－1,1)和Q (2,2)，若直线l ：x ＋my ＋m ＝0与线段PQ 有交点，则实数m 的取值范围是________．
[解析] (1)因为直线x sin α＋y ＋2＝0的斜率k ＝－sin α，又－1≤sin α≤1，所以－1≤k ≤1.设直线x sin α＋y ＋2＝0的倾斜角为θ，所以－1≤tan θ≤1，而θ∈[0，π)，故倾斜角的取值范围是⎣⎡⎦⎤0，π4∪⎣⎡⎭
⎫3π
4，π. (2)如图所示，直线l ：x ＋my ＋m ＝0过定点A (0，－1)，当m ≠0时，k QA ＝32，k PA ＝－2，k l ＝－1m .∴－1m ≤－2或－1m ≥32.解得0<m ≤
1
2或－2
3
≤m <0；
当m ＝0时，直线l 的方程为x ＝0，与线段PQ 有交点．
∴实数m 的取值范围为⎣⎡⎦⎤－23，12. [答案] (1)B (2)⎣⎡⎦⎤－23，12 [易错提醒]
直线倾斜角的范围是[0，π)，而这个区间不是正切函数的单调区间，因此根据斜率求倾斜角的范围时，要分⎣⎡⎭⎫0，π
2与⎝⎛⎭⎫π2，π两种情况讨论．由正切函数图象可以看出，当α∈⎣⎡⎭⎫0，π2时，斜率k ∈[0，＋∞)；当α＝π
2
时，斜率不存在；当α∈⎝⎛⎭⎫π2，π时，斜率k ∈(－∞，0)．
两直线平行或垂直的判定方法 (1)已知两直线的斜率存在
①两直线平行⇔两直线的斜率相等且坐标轴上的截距不相等； ②两直线垂直⇔两直线的斜率之积为－1. (2)已知两直线的斜率不存在
若两直线的斜率不存在，当两直线在x 轴上的截距不相等时，两直线平行；否则两直线重合．
(3)已知两直线的一般方程
设直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，则l 1∥l 2⇔A 1B 2－A 2B 1＝0且B 1C 2
－B 2C 1≠0，l 1⊥l 2⇔A 1A 2＋B 1B 2＝0.该方法可避免对斜率是否存在进行讨论．
[例2] (1)若直线ax ＋2y －6＝0与x ＋(a －1)y ＋a 2－1＝0平行，则a ＝________. (2)已知经过点A (－2,0)和点B (1,3a )的直线l 1与经过点P (0，－1)和点Q (a ，－2a )的直线l 2互相垂直，则实数a 的值为________．
[解析] (1)因为两直线平行，所以有a (a －1)－2＝0，且2(a 2－1)＋6(a －1)≠0，即a 2
－a －2＝0，且a 2＋3a －4≠0，解得a ＝2或a ＝－1.
(2)l 1的斜率k 1＝
3a －0
1－(－2)
＝a .
当a ≠0时，l 2的斜率k 2＝
－2a －(－1)a －0
＝1－2a
a .
因为l 1⊥l 2，
所以k 1k 2＝－1，即a ·1－2a
a ＝－1，解得a ＝1.
当a ＝0时，P (0，－1)，Q (0,0)，这时直线l 2为y 轴，A (－2，0)，B (1,0)，直线l 1为x 轴，显然l 1⊥l 2.
综上可知，实数a 的值为1或0. [答案] (1)2或－1 (2)1或0
[易错提醒]
当直线方程中存在字母参数时，不仅要考虑到斜率存在的一般情况，也要考虑到斜率不存在的特殊情况．同时还要注意x ，y 的系数不能同时为零这一隐含条件．
1.[考点一]直线2x cos α－y －3＝0(α∈[π6，π
3])的倾斜角的取值范围是( )
A.⎣⎡⎦⎤π6，π3
B.⎣⎡⎦⎤
π4，π3 C.⎣⎡⎦⎤π4，π2
D.⎣⎡⎦⎤π4，2π3
解析：选B 直线2x cos α－y －3＝0的斜率k ＝2cos α， 因为α∈⎣⎡⎦⎤
π6，π3， 所以12≤cos α≤32，
因此k ＝2·cos α∈[1， 3 ]．
设直线的倾斜角为θ，则有tan θ∈[1， 3 ]． 又θ∈[0，π)，所以θ∈⎣⎡⎦⎤π4，π3， 即倾斜角的取值范围是⎣⎡⎦⎤π4，π3.
2.[考点一]直线l ：x sin 30°＋y cos 150°＋1＝0的斜率是( ) A.3
3
B. 3 C ．－ 3
D ．－
33
解析：选A 设直线l 的斜率为k ，则k ＝－sin 30°cos 150°＝3
3
.
3.[考点二]若直线l 1：mx －y －2＝0与直线l 2：(2－m )x －y ＋1＝0互相平行，则实数m 的值为( )
A ．－1
B ．0
C ．1
D ．2
解析：选C ∵直线l 1：mx －y －2＝0与直线l 2：(2－m )x －y ＋1＝0互相平行，∴
⎩
⎪⎨⎪⎧
－m ＋(2－m )＝0，m ＋2(2－m )≠0，解得m ＝1.故选C. 4.[考点二]已知直线l 1：2ax ＋(a ＋1)y ＋1＝0，l 2：(a ＋1)x ＋(a －1)y ＝0，若l 1⊥l 2，则a ＝( )
A ．2或1
2
B.1
3或－1 C.13
D ．－1
解析：选B 因为直线l 1：2ax ＋(a ＋1)y ＋1＝0，l 2：(a ＋1)x ＋(a －1)y ＝0，l 1⊥l 2，所以2a (a ＋1)＋(a ＋1)(a －1)＝0，解得a ＝1
3
或a ＝－1.故选B.
5.[考点一]直线l 过点P (1,0)，且与以A (2,1)，B (0，3)为端点的线段有公共点，则直线l 斜率的取值范围为________．
解析：如图，∵k AP ＝1－0
2－1
＝1， k BP ＝
3－0
0－1
＝－3， ∴k ∈(－∞，－ 3 ]∪[1，＋∞)． 答案：(－∞，－ 3 ]∪[1，＋∞)
6.[考点二](2016·苏北四市一模)已知a ，b 为正数，且直线ax ＋by －6＝0与直线2x ＋(b －3)y ＋5＝0平行，则2a ＋3b 的最小值为________．
解析：由两直线平行可得，a (b －3)－2b ＝0， 即2b ＋3a ＝ab ，2a ＋3b ＝1.
又a ，b 为正数，
所以2a ＋3b ＝(2a ＋3b )·⎝⎛⎭⎫2a ＋3b ＝13＋6a b ＋6b a
≥13＋2 6a b ·6b
a ＝25，
当且仅当a ＝b ＝5时取等号， 故2a ＋3b 的最小值为25. 答案：25
突破点(二) 直线的方程
基础联通 抓主干知识的“源”与“流”
直线方程的五种形式
[例1] (1)求过点A (1,3)，斜率是直线y ＝－4x 的斜率的1
3
的直线方程．
(2)求经过点A (－5,2)，且在x 轴上的截距等于在y 轴上截距的2倍的直线方程． (3)求过A (2,1)，B (m,3)两点的直线l 的方程．
[解] (1)设所求直线的斜率为k ，依题意k ＝－4×13＝－4
3.又直线经过点A (1,3)，因此所
求直线方程为y －3＝－4
3
(x －1)，即4x ＋3y －13＝0.
(2)当直线不过原点时，设所求直线方程为
x 2a ＋y
a
＝1，将(－5,2)代入所设方程，解得a ＝－1
2，所以直线方程为x ＋2y ＋1＝0；当直线过原点时，设直线方程为y ＝kx ，则－5k ＝2，
解得k ＝－25，所以直线方程为y ＝－2
5
x ，即2x ＋5y ＝0.
故所求直线方程为2x ＋5y ＝0或x ＋2y ＋1＝0.
(3)①当m ＝2时，直线l 的方程为x ＝2； ②当m ≠2时，直线l 的方程为y －13－1＝x －2
m －2，
即2x －(m －2)y ＋m －6＝0.
因为m ＝2时，代入方程2x －(m －2)y ＋m －6＝0，即为x ＝2， 所以直线l 的方程为2x －(m －2)y ＋m －6＝0.
[易错提醒]
(1)在求直线方程时，应选择适当的形式，并注意各种形式的适用条件．
(2)对于点斜式、截距式方程使用时要注意分类讨论思想的运用(若采用点斜式，应先考虑斜率不存在的情况；若采用截距式，应先判断截距是否为零)．
[例2] 过点P (4,1)作直线l 分别交x ，y 轴正半轴于A ，B 两点． (1)当△AOB 面积最小时，求直线l 的方程． (2)当|OA |＋|OB |取最小值时，求直线l 的方程． [解] 设直线l ：x a ＋y
b ＝1(a >0，b >0)，
因为直线l 经过点P (4,1)， 所以4a ＋1b ＝1. (1)4a ＋1
b ＝1≥2
4a ·1b ＝4ab
， 所以ab ≥16，当且仅当a ＝8，b ＝2时等号成立，
所以当a ＝8，b ＝2时，S △AOB ＝1
2ab 最小，此时直线l 的方程为x 8＋y 2＝1，
即x ＋4y －8＝0.
(2)因为4a ＋1
b ＝1，a >0，b >0，
所以|OA |＋|OB |＝a ＋b ＝(a ＋b )·⎝⎛⎭⎫4a ＋1b ＝5＋a b ＋4b a
≥5＋2 a b ·4b
a ＝9，
当且仅当a ＝6，b ＝3时等号成立，
所以当|OA |＋|OB |取最小值时，直线l 的方程为x ＋2y －6＝0.
[方法技巧]
1．给定条件求直线方程的思路
(1)考虑问题的特殊情况，如斜率不存在的情况，截距等于零的情况． (2)在一般情况下准确选定直线方程的形式，用待定系数法求出直线方程． (3)重视直线方程一般形式的应用，因为它具有广泛的适用性． 2．与直线有关的最值问题的解题思路 (1)借助直线方程，用y 表示x 或用x 表示y . (2)将问题转化成关于x (或y )的函数． (3)利用函数的单调性或基本不等式求最值．
1.[考点一]倾斜角为135°，在y 轴上的截距为－1的直线方程是( ) A ．x －y ＋1＝0 B ．x －y －1＝0 C ．x ＋y －1＝0
D ．x ＋y ＋1＝0
解析：选D 直线的斜率为k ＝tan 135°＝－1，所以直线方程为y ＝－x －1，即x ＋y ＋1＝0.
2.[考点一]已知直线l 过点(1,0)，且倾斜角为直线l 0：x －2y －2＝0的倾斜角的2倍，则直线l 的方程为( )
A ．4x －3y －3＝0
B ．3x －4y －3＝0
C ．3x －4y －4＝0
D ．4x －3y －4＝0
解析：选D 由题意可设直线l 0，l 的倾斜角分别为α，2α， 因为直线l 0：x －2y －2＝0的斜率为12，则tan α＝1
2，
所以直线l 的斜率k ＝tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝2×1
21－⎝⎛⎭⎫122＝4
3，
所以由点斜式可得直线l 的方程为y －0＝4
3(x －1)，
即4x －3y －4＝0.
3.[考点二]若直线ax ＋by ＝ab (a >0，b >0)过点(1,1)，则该直线在x 轴，y 轴上的截距之和的最小值为( )
A ．1
B ．2
C ．4
D ．8
解析：选C ∵直线ax ＋by ＝ab (a >0，b >0)过点(1,1)，
∴a ＋b ＝ab ，即1a ＋1
b ＝1，
∴a ＋b ＝(a ＋b )⎝⎛⎭⎫
1a ＋1b ＝2＋b a ＋a
b ≥2＋2
b a ·a b ＝4，
当且仅当a ＝b ＝2时上式等号成立．
∴直线在x 轴，y 轴上的截距之和的最小值为4.
4.[考点二]若ab >0，且A (a,0)，B (0，b )，C (－2，－2)三点共线，则ab 的最小值为________． 解析：根据A (a,0)，B (0，b )确定直线的方程为x a ＋y
b ＝1，又C (－2，－2)在该直线上，故－2a ＋－2
b ＝1，所以－2(a ＋b )＝ab .又ab >0，故a <0，b <0.
根据基本不等式ab ＝－2(a ＋b )≥4ab ，从而ab ≤0(舍去)或ab ≥4，故ab ≥16，当且仅当a ＝b ＝－4时取等号．即ab 的最小值为16.
答案：16
5.[考点一]△ABC 的三个顶点分别为A (－3,0)，B (2,1)，C (－2,3)，求： (1)BC 边所在直线的方程；
(2)BC 边上中线AD 所在直线的方程； (3)BC 边的垂直平分线DE 所在直线的方程． 解：(1)因为直线BC 经过B (2,1)和C (－2,3)两点， 由两点式得BC 的方程为y －13－1＝x －2
－2－2，
即x ＋2y －4＝0.
(2)设BC 边的中点D 的坐标为(x ，y )， 则x ＝2－22＝0，y ＝1＋32
＝2.
BC 边的中线AD 过点A (－3,0)，D (0,2)两点， 由截距式得AD 所在直线的方程为x －3＋y
2＝1，
即2x －3y ＋6＝0.
(3)由(1)知，直线BC 的斜率k 1＝－1
2，
则BC 的垂直平分线DE 的斜率k 2＝2. 由(2)知，点D 的坐标为(0,2)．
由点斜式得直线DE 的方程为y －2＝2(x －0)， 即2x －y ＋2＝0.
突破点(三) 直线的交点、距离与对称问题
1．两条直线的交点
2．三种距离
[例1] (1)当0<k <1
2时，直线l 1：kx －y ＝k －1与直线l 2：ky －x ＝2k 的交点在( )
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
(2)已知直线l 经过点P (3,1)，且被两条平行直线l 1：x ＋y ＋1＝0和l 2：x ＋y ＋6＝0截得
的线段长为5，则直线l 的方程为________．
[解析] (1)由⎩
⎪⎨
⎪⎧
kx －y ＝k －1，
ky －x ＝2k 得⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝k
k －1，
y ＝2k －1
k －1.
又∵0<k <1
2
，
∴x ＝k
k －1<0，y ＝2k －1k －1
>0，
故直线l 1：kx －y ＝k －1与直线l 2：ky －x ＝2k 的交点在第二象限．
(2)若直线l 的斜率不存在，则直线l 的方程为x ＝3，此时与l 1，l 2的交点分别为A ′(3，－4)，B ′(3，－9)，截得的线段A ′B ′的长|A ′B ′|＝|－4＋9|＝5，符合题意．若直线l 的斜率存在，则设直线l 的方程为y ＝k (x －3)＋1.
解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝k (x －3)＋1，x ＋y ＋1＝0，得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫3k －2k ＋1，－4k －1k ＋1， 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧
y ＝k (x －3)＋1，x ＋y ＋6＝0，
得B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3k －7k ＋1，－9k －1k ＋1.
由|AB |＝5，得⎝ ⎛⎭⎪⎫3k －2k ＋1－3k －7k ＋12＋⎝ ⎛⎭
⎪
⎫－4k －1k ＋1＋9k －1k ＋12＝52.解得k ＝0，即所求的直线方
程为y ＝1.
综上可知，所求直线l 的方程为x ＝3或y ＝1. [答案] (1)B (2)x ＝3或y ＝1 [方法技巧]
1．两直线交点的求法
求两直线的交点坐标，就是解由两直线方程联立组成的方程组，得到的方程组的解，即交点的坐标．
2．求过两直线交点的直线方程的方法
求过两直线交点的直线方程，先解方程组求出两直线的交点坐标，再结合其他条件写出直线方程．也可借助直线系方程，利用待定系数法求出直线方程，这样能简化解题过程．
[例2] (1)若P ，Q 分别为直线3x ＋4y －12＝0与6x ＋8y ＋5＝0上任意一点，则|PQ |的最小值为( )
A.95
B.185
C.2910
D.295
(2)已知A (4，－3)，B (2，－1)和直线l ：4x ＋3y －2＝0，若在坐标平面内存在一点P ，使|PA |＝|PB |，且点P 到直线l 的距离为2，则P 点坐标为________．
[解析] (1)因为36＝48≠－12
5，所以两直线平行，
将直线3x ＋4y －12＝0化为6x ＋8y －24＝0，
由题意可知|PQ |的最小值为这两条平行直线间的距离， 即
|－24－5|62＋82＝2910
，所以|PQ |的最小值为2910.
(2)设点P 的坐标为(a ，b )． ∵A (4，－3)，B (2，－1)，
∴线段AB 的中点M 的坐标为(3，－2)． 而AB 的斜率k AB ＝－3＋1
4－2
＝－1，
∴线段AB 的垂直平分线方程为y ＋2＝x －3， 即x －y －5＝0.
∵点P (a ，b )在直线x －y －5＝0上，∴a －b －5＝0.① 又点P (a ，b )到直线l ：4x ＋3y －2＝0的距离为2， ∴
|4a ＋3b －2|
42＋32
＝2，即4a ＋3b －2＝±10，②
由①②联立可得⎩
⎪⎨
⎪⎧
a ＝1，
b ＝－4或⎩⎨⎧
a ＝27
7，
b ＝－8
7.
∴所求点P 的坐标为(1，－4)或⎝⎛⎭⎫277，－8
7. [答案] (1)C (2)(1，－4)或⎝⎛⎭⎫277，－87 [易错提醒]
(1)点P (x 0，y 0)到直线x ＝a 的距离d ＝|x 0－a |，到直线y ＝b 的距离d ＝|y 0－b |； (2)利用两平行线间的距离公式要先把两直线方程中x ，y 的系数化为相等．
1．中心对称问题的两种类型及求解方法 (1)点关于点对称：
若点M (x 1，y 1)及N (x ，y )关于P (a ，b )对称，则由中点坐标公式得⎩⎪⎨⎪
⎧
x ＝2a －x 1，y ＝2b －y 1
，进而
求解．
(2)直线关于点的对称，主要求解方法是：
①在已知直线上取两点，利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点坐标，再由两点式求出直线方程；
②求出一个对称点，再利用两对称直线平行，由点斜式得到所求直线方程． 2．轴对称问题的两种类型及求解方法 (1)点关于直线的对称：
若两点P 1(x 1，y 1)与P 2(x 2，y 2)关于直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0对称，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧
A ⎝⎛⎭⎫x 1
＋x 2
2＋B ⎝⎛⎭⎫
y 1
＋y 2
2＋C ＝0，y 2－y 1x 2
－x 1
·
⎝⎛⎭⎫－A B ＝－1，可得到点P 1关于l 对称的点P 2的坐标(x 2，y 2)(其中
B ≠0，x 1≠x 2)．
(2)直线关于直线的对称：
①若直线与对称轴平行，则在直线上取一点，求出该点关于轴的对称点，然后用点斜式求解．
②若直线与对称轴相交，则先求出交点，然后再取直线上一点，求该点关于轴的对称点，最后由两点式求解．
[例3] (1)点P (3,2)关于点Q (1,4)的对称点M 为( ) A ．(1,6) B ．(6,1) C ．(1，－6)
D ．(－1,6)
(2)直线2x －y ＋3＝0关于直线x －y ＋2＝0对称的直线方程是( ) A ．x －2y ＋3＝0 B ．x －2y －3＝0 C ．x ＋2y ＋1＝0
D ．x ＋2y －1＝0
(3)已知入射光线经过点M (－3,4)，被直线l ：x －y ＋3＝0反射，反射光线经过点N (2,6)，
则反射光线所在直线的方程为________．
[解析]
(1)设M (x ，y )，则⎩⎨⎧
3＋x
2
＝1，2＋y
2＝4，
∴x ＝－1，y ＝6， ∴M (－1,6)．
(2)设所求直线上任意一点P (x ，y )，则P 关于x －y ＋2＝0的对称点为P ′(x 0，y 0)， 由⎩⎪⎨⎪⎧
x ＋x 02－y ＋y 02＋2＝0，x －x 0＝－(y －y 0)，
得⎩⎪⎨⎪⎧
x 0＝y －2，y 0＝x ＋2，
由点P ′(x 0，y 0)在直线2x －y ＋3＝0上， ∴2(y －2)－(x ＋2)＋3＝0， 即x －2y ＋3＝0.
(3)设点M (－3,4)关于直线l ：x －y ＋3＝0的对称点为M ′(a ，b )，则反射光线所在直线过点M ′，
所以⎩⎪⎨⎪⎧
b －4
a －(－3)·
1＝－1，－3＋a 2－b ＋4
2＋3＝0，
解得a ＝1，b ＝0.
又反射光线经过点N (2,6)，
所以所求直线的方程为y －06－0＝x －12－1，
即6x －y －6＝0.
[答案] (1)D (2)A (3)6x －y －6＝0
[方法技巧]
解决两类对称问题的关键点
解决中心对称问题的关键在于运用中点坐标公式，而解决轴对称问题，一般是转化为求对称点的问题，在求对称点时，关键是抓住两点：一是两对称点的连线与对称轴垂直；二是两对称点的中心在对称轴上，即抓住“垂直平分”，由“垂直”列出一个方程，由“平分”列出一个方程，联立求解．
1.[考点三](2016·东城期末)如果平面直角坐标系内的两点A (a －1，a ＋1)，B (a ，a )关于
直线l 对称，那么直线l 的方程为( )
A ．x －y ＋1＝0
B ．x ＋y ＋1＝0
C ．x －y －1＝0
D ．x ＋y －1＝0
解析：选A 因为直线AB 的斜率为
a ＋1－a
a －1－a
＝－1，所以直线l 的斜率为1，设直线l
的方程为y ＝x ＋b ，由题意知直线l 过点⎝⎛⎭⎫
2a －12，2a ＋12，所以2a ＋12＝2a －12＋b ，解得b ＝1，所以直线l 的方程为y ＝x ＋1，即x －y ＋1＝0.选A.
2.[考点二]若直线l 1：x －2y ＋m ＝0(m >0)与直线l 2：x ＋ny －3＝0之间的距离是5，则m ＋n ＝( )
A ．0
B ．1
C ．－1
D ．2
解析：选A ∵直线l 1：x －2y ＋m ＝0(m >0)与直线l 2：x ＋ny －3＝0之间的距离为5，∴⎩⎪⎨⎪
⎧
n ＝－2，|m ＋3|5
＝5，∴n ＝－2，m ＝2(负值舍去)．∴m ＋n ＝0.
3.[考点一]已知定点A (1,0)，点B 在直线x －y ＝0上运动，当线段AB 最短时，点B 的坐标是( )
A.⎝⎛⎭⎫12，12
B.
⎝⎛⎭⎫22，22
C.
⎝⎛⎭⎫32
，32
D.
⎝⎛⎭
⎫52，52 解析：选A 因为定点A (1,0)，点B 在直线x －y ＝0上运动，所以当线段AB 最短时，直线AB 和直线x －y ＝0垂直，设直线AB 的方程为x ＋y ＋m ＝0，将A 点代入，解得m ＝－1，所以直线AB 的方程为x ＋y －1＝0，它与x －y ＝0联立解得x ＝12，y ＝1
2，所以B 的坐
标是⎝⎛⎭⎫
12，12.
4.[考点三]若m >0，n >0，点(－m ，n )关于直线x ＋y －1＝0的对称点在直线x －y ＋2＝0上，那么1m ＋4
n
的最小值等于________．
解析：由题意知(－m ，n )关于直线x ＋y －1＝0的对称点为(1－n,1＋m )．则1－n －(1＋m )＋2＝0，即m ＋n ＝2.于是1m ＋4n ＝1
2(m ＋n )⎝⎛⎭⎫1m ＋4n ＝12×⎝⎛⎭⎫5＋n m ＋4m n ≥12×(5＋2×2)＝92，当且仅当m ＝23，n ＝4
3
时等号成立． 答案：9
2
5.[考点一]经过两直线l 1：x －2y ＋4＝0和l 2：x ＋y －2＝0的交点P ，且与直线l 3：3x
－4y ＋5＝0垂直的直线l 的方程为________________．
解析：由方程组⎩⎪⎨⎪⎧ x －2y ＋4＝0，x ＋y －2＝0，得⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＝0，
y ＝2，即P (0,2)．
∵l ⊥l 3，直线l 3的斜率为34，∴直线l 的斜率k 1＝－4
3，
∴直线l 的方程为y －2＝－4
3x ，
即4x ＋3y －6＝0. 答案：4x ＋3y －6＝0 6.[考点二]已知点P (2，－1)．
(1)求过点P 且与原点的距离为2的直线l 的方程．
(2)求过点P 且与原点的距离最大的直线l 的方程，最大距离是多少？
(3)是否存在过点P 且与原点的距离为6的直线？若存在，求出方程；若不存在，请说明理由．
解：(1)过点P 的直线l 与原点的距离为2，而点P 的坐标为(2，－1)，显然，过P (2，－1)且垂直于x 轴的直线满足条件，此时l 的斜率不存在，其方程为x ＝2.
若斜率存在，设l 的方程为y ＋1＝k (x －2)， 即kx －y －2k －1＝0. 由已知得|－2k －1|
k 2＋1＝2，
解得k ＝3
4
.
此时l 的方程为3x －4y －10＝0.
综上，可得直线l 的方程为x ＝2或3x －4y －10＝0.
(2)作图可得过点P 与原点O 的距离最大的直线是过点P 且与PO 垂直的直线，如图．
由l ⊥OP ，得k l k OP ＝－1，因为k OP ＝－12，所以k l ＝－1
k OP ＝2.
由直线方程的点斜式得y ＋1＝2(x －2)， 即2x －y －5＝0.
所以直线2x －y －5＝0是过点P 且与原点O 的距离最大的直线，最大距离为|－5|
5
＝ 5.
(3)由(2)可知，过点P 不存在到原点的距离超过5的直线，因此不存在过点P 且到原点的距离为6的直线.
[全国卷5年真题集中演练——明规律] 1.(2016·全国甲卷)圆x 2＋y 2－2x －8y ＋13＝0的圆心到直线ax ＋y －1＝0的距离为1，则a ＝( )
A ．－43
B ．－3
4
C. 3 D ．2
解析：选A 因为圆x 2＋y 2－2x －8y ＋13＝0的圆心坐标为(1,4)，所以圆心到直线ax ＋y －1＝0的距离d ＝
|a ＋4－1|a 2＋1
＝1，解得a ＝－4
3.
2．(2013·新课标全国卷Ⅱ)已知点A (－1,0)，B (1,0)，C (0,1)，直线y ＝ax ＋b (a >0)将△ABC 分割为面积相等的两部分，则b 的取值范围是( )
A ．(0,1) B.⎝⎛⎭
⎫1－
22，12 C.⎝⎛⎦⎤1－
22，13 D.⎣⎡⎭⎫13，12
解析：选B 法一：(1)当直线y ＝ax ＋b 与AB ，BC 相交时，如图①所示．易求得：x M ＝－b
a ，y N ＝a ＋
b a ＋1.由已知条件得：⎝⎛⎭⎫1＋b a ·a ＋b a ＋1＝1，∴a ＝b 21－2b
.∵点M 在线段OA 上，∴－1<－b
a <0，∴0<
b <a .∵
点N 在线段BC 上，∴0<a ＋b
a ＋1
<1，∴b <1.由
⎩⎨⎧
b 2
1－2b
>b ，b 2
1－2b >0，
b >0，
解得13<b <12
.
(2)当直线y ＝ax ＋b 与AC ，BC 相交时，如图②所示．设MC ＝m ，NC ＝n ，则S △MCN ＝12mn ＝12，∴mn ＝1.显然，0<n <2，∴m ＝1n >2
2.
又0<m ≤2且m ≠n .∴
2
2
<m ≤2且m ≠1.设D 到AC ，BC 的距离为t ，则t m ＝DN MN ，t n ＝DM MN ，∴t m ＋t n ＝DN MN ＋DM MN ＝1.∴t ＝mn m ＋n ，∴1t ＝1m ＋1n ＝1m ＋m .而f (m )＝
m ＋1m ⎝⎛⎭⎫22<m ≤2且m ≠1的值域为⎝⎛⎦⎤2，322，即2<1t ≤322，∴23≤t ＜12.∵b ＝1－CD ＝1－2t ，∴1－
22＜b ≤13.综合(1)、(2)可得：1－22<b <1
2
.
法二：由⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＋y ＝1，y ＝ax ＋b 消去x ，得y ＝a ＋b
a ＋1，当a ＞0时，直线y ＝ax ＋
b 与x 轴交于点
⎝⎛⎭⎫－b a ，0，结合图形知12×a ＋b a ＋1×⎝⎛⎭⎫1＋b a ＝12，化简得(a ＋b )2＝a (a ＋1)，则a ＝b 2
1－2b
.∵a ＞0，
∴b 21－2b
＞0，解得b ＜12.考虑极限位置，即a ＝0，此时易得b ＝1－22，故答案为B.
[课时达标检测] 重点保分课时——一练小题夯双基，二练题点过高考
[练基础小题——强化运算能力]
1．直线x ＋3y ＋1＝0的倾斜角是( ) A.π6 B.π3 C.2π
3
D.5π
6
解析：选D 由直线的方程得直线的斜率为k ＝－33，设倾斜角为α，则tan α＝－33
，所以α＝5π
6
.
2．若方程(2m 2＋m －3)x ＋(m 2－m )y －4m ＋1＝0表示一条直线，则参数m 满足的条件是( )
A ．m ≠－3
2
B ．m ≠0
C ．m ≠0且m ≠1
D ．m ≠1
解析：选D 由⎩
⎪⎨⎪⎧
2m 2＋m －3＝0，
m 2－m ＝0，解得m ＝1，故m ≠1时方程表示一条直线．
3．过点(1,0)且与直线x －2y －2＝0平行的直线方程是( ) A ．x －2y －1＝0 B ．x －2y ＋1＝0 C ．2x ＋y －2＝0
D ．x ＋2y －1＝0
解析：选A 依题意，设所求的直线方程为x －2y ＋a ＝0，由于点(1,0)在所求直线上，则1＋a ＝0，即a ＝－1，则所求的直线方程为x －2y －1＝0.
4．已知直线3x ＋4y －3＝0与直线6x ＋my ＋14＝0平行，则它们之间的距离是( ) A.1710 B.17
5
C ．8
D ．2
解析：选D ∵63＝m 4≠14
－3，∴m ＝8，直线6x ＋8y ＋14＝0可化为3x ＋4y ＋7＝0，两
平行线之间的距离d ＝
|－3－7|32＋42
＝2.
5．若三条直线y ＝2x ，x ＋y ＝3，mx ＋2y ＋5＝0相交于同一点，则m 的值为________．
解析：由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝2x ，x ＋y ＝3，得⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝1，y ＝2.
所以点(1,2)满足方程mx ＋2y ＋5＝0，即m ×1＋2×2＋5＝0，所以m ＝－9.
答案：－9
[练常考题点——检验高考能力]
一、选择题
1．已知直线l ：ax ＋y －2－a ＝0在x 轴和y 轴上的截距相等，则a 的值是( ) A ．1 B ．－1 C ．－2或－1
D ．－2或1
解析：选D 由题意可知a ≠0.当x ＝0时，y ＝a ＋2.当y ＝0时，x ＝a ＋2a .故a ＋2
a ＝a ＋2，
解得a ＝－2或a ＝1.
2．直线ax ＋by ＋c ＝0同时要经过第一、第二、第四象限，则a ，b ，c 应满足( ) A ．ab ＞0，bc ＜0 B ．ab ＞0，bc ＞0 C ．ab ＜0，bc ＞0
D ．ab ＜0，bc ＜0
解析：选A 由于直线ax ＋by ＋c ＝0同时经过第一、第二、第四象限，所以直线斜率存在，将方程变形为y ＝－a b x －c b .易知－a b ＜0且－c
b
＞0，故ab ＞0，bc ＜0.
3．两直线x m －y n ＝a 与x n －y
m ＝a (其中a 是不为零的常数)的图象可能是( )
解析：选B 直线方程x m －y n ＝a 可化为y ＝n m x －na ，直线x n －y m ＝a 可化为y ＝m
n x －ma ，由此可知两条直线的斜率同号，故选B.
4．若动点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)分别在直线l 1：x －y －5＝0，l 2：x －y －15＝0上移动，
则P 1P 2的中点P 到原点的距离的最小值是( )
A.522 B ．5 2 C.1522
D ．15 2
解析：选B 由题意得P 1P 2的中点P 的轨迹方程是x －y －10＝0，则原点到直线x －y －10＝0的距离为d ＝
|－10|
2
＝52，即P 到原点距离的最小值为5 2. 5．已知A ，B 两点分别在两条互相垂直的直线2x －y ＝0和x ＋ay ＝0上，且AB 线段的中点为P ⎝⎛⎭
⎫0，10
a ，则线段AB 的长为( ) A ．11 B ．10 C ．9
D ．8
解析：选B 依题意，a ＝2，P (0,5)，设A (x,2x )，B (－2y ，y )，故⎩⎨⎧
x －2y
2
＝0，2x ＋y
2＝5，
解得
⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＝4，y ＝2，所以A (4,8)，B (－4,2)，∴|AB |＝(4＋4)2＋(8－2)2＝10. 6．设A ，B 是x 轴上的两点，点P 的横坐标为3，且|PA |＝|PB |，若直线PA 的方程为x －y ＋1＝0，则直线PB 的方程是( )
A ．x ＋y －5＝0
B ．2x －y －1＝0
C ．x －2y ＋4＝0
D ．x ＋y －7＝0
解析：选D 由|PA |＝|PB |知点P 在AB 的垂直平分线上．由点P 的横坐标为3，且PA 的方程为x －y ＋1＝0，得P (3，4)．直线PA ，PB 关于直线x ＝3对称，直线PA 上的点(0,1)关于直线x ＝3的对称点(6,1)在直线PB 上，所以直线PB 的方程为x ＋y －7＝0.
二、填空题
7．已知直线l 1：y ＝2x ＋3，直线l 2与l 1关于直线y ＝－x 对称，则直线l 2的斜率为________． 解析：因为l 1，l 2关于直线y ＝－x 对称，所以l 2的方程为－x ＝－2y ＋3，即y ＝12x ＋3
2，
即直线l 2的斜率为1
2
.
答案：1
2
8．已知l 1，l 2是分别经过A (1,1)，B (0，－1)两点的两条平行直线，当l 1，l 2间的距离最大时，则直线l 1的方程是__________________．
解析：当直线AB 与l 1，l 2垂直时，l 1，l 2间的距离最大．因为A (1,1)，B (0，－1)，所以k AB ＝－1－10－1＝2，所以两平行直线的斜率为k ＝－12，所以直线l 1的方程是y －1＝－1
2(x
－1)，即x ＋2y －3＝0.
答案：x＋2y－3＝0
9．设点A(－1,0)，B(1,0)，直线2x＋y－b＝0与线段AB相交，则b的取值范围是________．解析：b为直线y＝－2x＋b在y轴上的截距，当直线y＝－2x＋b过点A(－1，0)和点B(1,0)时，b分别取得最小值和最大值．∴b的取值范围是[－2,2]．
答案：[－2,2]
10.如图，已知A(－2,0)，B(2,0)，C(0,2)，E(－1,0)，F(1,0)，一束
光线从F点出发射到BC上的D点，经BC反射后，再经AC反射，落
到线段AE上(不含端点)，则直线FD的斜率的取值范围为________．
解析：从特殊位置考虑．如图，
∵点A(－2,0)关于直线BC：x＋y＝2的对称点为A1(2,4)，
∴kA1F＝4.又点E(－1,0)关于直线AC：y＝x＋2的对称点为
E1(－2，1)，点E1(－2,1)关于直线BC：x＋y＝2的对称点为E2(1,4)，
此时直线E2F的斜率不存在，∴k FD>kA1F，即k FD∈(4，＋∞)．
答案：(4，＋∞)
三、解答题
11．正方形的中心为点C(－1,0)，一条边所在的直线方程是x＋3y－5＝0，求其他三边所在直线的方程．
解：点C到直线x＋3y－5＝0的距离d＝|－1－5|
1＋9
＝
310
5.
设与x＋3y－5＝0平行的一边所在直线的方程是x＋3y＋m＝0(m≠－5)，
则点C到直线x＋3y＋m＝0的距离d＝|－1＋m|
1＋9
＝
310
5，
解得m＝－5(舍去)或m＝7，
所以与x＋3y－5＝0平行的边所在直线的方程是x＋3y＋7＝0. 设与x＋3y－5＝0垂直的边所在直线的方程是3x－y＋n＝0，则点C到直线3x－y＋n＝0的距离
d＝|－3＋n|
1＋9
＝
310
5，
解得n＝－3或n＝9，
所以与x＋3y－5＝0垂直的两边所在直线的方程分别是3x－y－3＝0和3x－y＋9＝0. 12．已知两条直线l1：ax－by＋4＝0和l2：(a－1)x＋y＋b＝0，求满足下列条件的a，b
的值．
(1)l 1⊥l 2，且l 1过点(－3，－1)；
(2)l 1∥l 2，且坐标原点到这两条直线的距离相等． 解：(1)由已知可得l 2的斜率存在， ∴k 2＝1－a .若k 2＝0，则1－a ＝0，a ＝1. ∵l 1⊥l 2，直线l 1的斜率k 1必不存在，∴b ＝0.
又∵l 1过点(－3，－1)，∴－3a ＋4＝0，即a ＝4
3(矛盾)，
∴此种情况不存在，∴k 2≠0，即k 1，k 2都存在． ∵k 2＝1－a ，k 1＝a
b ，l 1⊥l 2，∴k 1k 2＝－1，
即a
b (1－a )＝－1.① 又∵l 1过点(－3，－1)， ∴－3a ＋b ＋4＝0.②
由①②联立，解得a ＝2，b ＝2. (2)∵l 2的斜率存在，l 1∥l 2，
∴直线l 1的斜率存在，k 1＝k 2，即a
b ＝1－a .③
又∵坐标原点到这两条直线的距离相等，且l 1∥l 2， ∴l 1，l 2在y 轴上的截距互为相反数，即4
b ＝b .④
联立③④，解得⎩⎪⎨⎪⎧
a ＝2，
b ＝－2或⎩⎪
⎨⎪⎧
a ＝2
3
，b ＝2.
∴a ＝2，b ＝－2或a ＝2
3，b ＝2.
第二节 圆的方程
本节主要包括2个知识点： 1.圆的方程；
2.与圆的方程有关的综合问题.
突破点(一) 圆的方程
1．圆的定义及方程
2.点与圆的位置关系
点M (x 0，y 0)，圆的标准方程(x －a )2＋(y －b )2＝r 2
.
1．求圆的方程的两种方法
(1)直接法：根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程． (2)待定系数法：①若已知条件与圆心(a ，b )和半径r 有关，则设圆的标准方程，依据已知条件列出关于a ，b ，r 的方程组，从而求出a ，b ，r 的值；②若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择设圆的一般方程，依据已知条件列出关于D ，E ，F 的方程组，进而求出D ，E ，F 的值．
2．确定圆心位置的三种方法
(1)圆心在过切点且与切线垂直的直线上． (2)圆心在圆的任意弦的垂直平分线上． (3)两圆相切时，切点与两圆圆心共线．
[例1] (1)已知圆C 经过A (5,1)，B (1,3)两点，圆心在x 轴上，则圆C 的方程为________________．
(2)已知圆心在直线y ＝－4x 上，且圆与直线l ：x ＋y －1＝0相切于点P (3，－2)，则该圆的方程是________________．
(3)经过三点(2，－1)，(5,0)，(6,1)的圆的一般方程为________________． [解析] (1)依题意，设圆心坐标为C (a,0)， 则|CA |＝|CB |，
即(a －5)2＋(0－1)2＝(a －1)2＋(0－3)2，则a ＝2. 故圆心为(2,0)，半径为10， 所以圆C 的方程为(x －2)2＋y 2＝10.
(2)过切点且与x ＋y －1＝0垂直的直线为y ＋2＝x －3，与y ＝－4x 联立可求得圆心为(1，－4)．
所以半径r ＝(3－1)2＋(－2＋4)2＝22， 故所求圆的方程为(x －1)2＋(y ＋4)2＝8.
(3)设所求圆的一般方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0， 则⎩⎪⎨⎪
⎧
22＋(－1)2＋2D －E ＋F ＝0，52＋02＋5D ＋0＋F ＝0，62＋12＋6D ＋E ＋F ＝0，
解得⎩⎪⎨⎪
⎧
D ＝－4，
E ＝－8，
F ＝－5，
故所求圆的一般方程为x 2＋y 2－4x －8y －5＝0.
[答案] (1)(x －2)2＋y 2＝10 (2)(x －1)2＋(y ＋4)2＝8 (3)x 2＋y 2－4x －8y －5＝0 [方法技巧]
1．确定圆的方程必须有三个独立条件
不论圆的标准方程还是一般方程，都有三个字母(a ，b ，r 或D ，E
，F )的值需要确定，因此需要三个独立的条件．利用待定系数法得到关于a ，b ，r (或D ，E ，F )的三个方程组成的方程组，解之得到待定字母系数的值，从而确定圆的方程．
2．几何法在圆中的应用
在一些问题中借助平面几何中关于圆的知识可以简化计算，如已知一个圆经过两点时，其圆心一定在这两点连线的垂直平分线上，解题时要注意平面几何知识的应用．
3．A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，以AB 为直径的圆的方程为(x －x 1)(x －x 2)＋(y －y 1)(y －y 2)＝0.
1．圆的轴对称性
圆关于直径所在的直线对称． 2．圆关于点对称
(1)求已知圆关于某点对称的圆，只需确定所求圆的圆心位置． (2)两圆关于某点对称，则此点为两圆圆心连线的中点． 3．圆关于直线对称
(1)求已知圆关于某条直线对称的圆，只需确定所求圆的圆心位置． (2)两圆关于某条直线对称，则此直线为两圆圆心连线的垂直平分线．
[例2] 已知圆C 1：(x ＋1)2＋(y －1)2＝1，圆C 2与圆C 1关于直线x －y －1＝0对称，则圆C 2的方程为( )
A ．(x ＋2)2＋(y －2)2＝1
B ．(x －2)2＋(y ＋2)2＝1
C ．(x ＋2)2＋(y ＋2)2＝1
D ．(x －2)2＋(y －2)2＝1
[解析] 圆C 1的圆心坐标为(－1,1)，半径为1， 设圆C 2的圆心坐标为(a ，b )， 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧
a －12－
b ＋12－1＝0，
b －1
a ＋1＝－1，
解得⎩
⎪⎨⎪⎧
a ＝2，
b ＝－2，
所以圆C 2的圆心坐标为(2，－2)，
又两圆的半径相等，故圆C 2的方程为(x －2)2＋(y ＋2)2＝1. [答案] B
1.[考点一]已知点A (－1，3)，B (1，－3)，则以线段AB 为直径的圆的方程是( ) A ．x 2＋y 2＝2 B ．x 2＋y 2＝ 2 C ．x 2＋y 2＝1
D ．x 2＋y 2＝4
解析：选D 由题意知，AB 的中点为(0,0)， 即所求圆的圆心坐标为(0,0)， 设圆的方程为x 2＋y 2＝r 2，
因为|AB |＝[1－(－1)]2＋(－3－3)2＝4， 所以圆的半径为2， 所以圆的方程为x 2＋y 2＝4.
2.[考点一]若圆C 的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x －3y ＝0和x 轴都相切，则该圆的标准方程是( )
A ．(x －2)2＋()y －12＝1
B ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝1
C ．(x ＋2)2＋(y －1)2＝1
D.()x －32＋(y －1)2＝1
解析：选A 由于圆心在第一象限且与x 轴相切，故设圆心为(a,1)(a >0)，又由圆与直线4x －3y ＝0相切可得
|4a －3|
5
＝1，解得a ＝2，故圆的标准方程为(x －2)2＋(y －1)2＝1. 3.[考点二]已知圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋1＝0关于直线2ax －by ＋2＝0(a ，b ∈R)对称，则ab 的取值范围是( )
A.⎝⎛⎦⎤－∞，14
B.⎝⎛⎭⎫0，1
4 C.⎝⎛⎭
⎫－1
4，0 D.⎣⎡⎭
⎫－1
4，＋∞ 解析：选A 将圆的方程化成标准形式得(x ＋1)2＋(y －2)2＝4，若圆关于已知直线对称，
则圆心(－1,2)在直线上，代入整理得a ＋b ＝1，故ab ＝a (1－a )＝－⎝⎛⎭⎫a －122＋14≤1
4
，故选A. 4.[考点二]若圆C 的半径为1，其圆心与点(1,0)关于直线y ＝x 对称，则圆C 的标准方程为________．
解析：根据题意得，点(1,0)关于直线y ＝x 对称的点(0,1)为圆心，又半径r ＝1，所以圆C 的标准方程为x 2＋(y －1)2＝1.
答案：x 2＋(y －1)2＝1
5.[考点二]若圆(x ＋1)2＋(y －3)2＝9上的相异两点P ，Q 关于直线kx ＋2y －4＝0对称，则k 的值为________．
解析：圆是轴对称图形，过圆心的直线都是它的对称轴．已知圆的圆心为(－1,3)，由题设知，直线kx ＋2y －4＝0过圆心，则k ×(－1)＋2×3－4＝0，解得k ＝2.
答案：2
6.[考点一]求圆心在直线x －2y －3＝0上，且过点A (2，－3)，B (－2，－5)的圆的方程． 解：设点C 为圆心，因为点C 在直线x －2y －3＝0上， 所以可设点C 的坐标为(2a ＋3，a )． 又该圆经过A ，B 两点， 所以|CA |＝|CB |， 即(2a ＋3－2)2＋(a ＋3)2 ＝(2a ＋3＋2)2＋(a ＋5)2， 解得a ＝－2，
所以圆心C 的坐标为(－1，－2)，半径r ＝10. 故所求圆的方程为(x ＋1)2＋(y ＋2)2＝10.
突破点(二) 与圆的方程有关的综合问题
圆的方程是高中数学的一个重要知识点，高考中，除了圆的方程的求法外，圆的方程与其他知识的综合问题也是高考考查的热点，常涉及轨迹问题和最值问题.解决此类问题的关键是数形结合思想的运用.
[例1]已知圆x2＋y2＝4上一定点A(2,0)，B(1,1)为圆内一点，P，Q为圆上的动点．
(1)求线段AP中点的轨迹方程；
(2)若∠PBQ＝90°，求线段PQ中点的轨迹方程．
[解](1)设AP的中点为M(x，y)，由中点坐标公式可知，P点坐标为(2x－2,2y)．
因为P点在圆x2＋y2＝4上，所以(2x－2)2＋(2y)2＝4.
故线段AP中点的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝1.
(2)设PQ的中点为N(x，y)．
在Rt△PBQ中，|PN|＝|BN|.
设O为坐标原点，连接ON，则ON⊥PQ，所以|OP|2＝|ON|2＋|PN|2＝|ON|2＋|BN|2，所以x2＋y2＋(x－1)2＋(y－1)2＝4.
故线段PQ中点的轨迹方程为x2＋y2－x－y－1＝0.
[方法技巧]求与圆有关的轨迹问题的四种方法
借助数形结合思想求解．与圆有关的最值问题，常见的有以下几种类型：
(1)形如μ＝y －b
x －a
的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题．
(2)形如t ＝ax ＋by 的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题，也可用三角代换求解． (3)形如m ＝(x －a )2＋(y －b )2的最值问题，可转化为动点与定点的距离的平方的最值问题．
[例2] 已知M (m ，n )为圆C ：x 2＋y 2－4x －14y ＋45＝0上任意一点． (1)求m ＋2n 的最大值； (2)求
n －3
m ＋2
的最大值和最小值． [解] (1)法一：因为x 2＋y 2－4x －14y ＋45＝0的圆心C (2，7)，半径r ＝22， 设m ＋2n ＝t ，将m ＋2n ＝t 看成直线方程， 因为该直线与圆有公共点， 所以圆心到直线的距离d ＝
|1×2＋2×7－t |
12＋22
≤22，
解上式得：16－210≤t ≤16＋210， 所以m ＋2n 的最大值为16＋210.
法二：由x 2＋y 2－4x －14y ＋45＝0，得(x －2)2＋(y －7)2＝8. 因为点M (m ，n )为圆上任意一点，
故可设⎩⎨⎧
m －2＝22cos θ，
n －7＝22sin θ，
即⎩⎨⎧
m ＝2＋22cos θn ＝7＋22sin θ
∴m ＋2n ＝2＋22cos θ＋2(7＋22sin θ) ＝16＋22cos θ＋42sin θ ＝16＋8＋32sin(θ＋φ) ＝16＋210sin(θ＋φ)，
⎝
⎛⎭⎫其中tan φ＝12
故m ＋2n 的最大值为16＋210. (2)记点Q (－2,3)．
因为n －3
m ＋2表示直线MQ 的斜率，
设直线MQ 的方程为y －3＝k (x ＋2)， 即kx －y ＋2k ＋3＝0，则n －3
m ＋2＝k .
由直线MQ 与圆C 有公共点， 所以|2k －7＋2k ＋3|k 2＋1≤2 2.
可得2－3≤k ≤2＋3，
所以n －3m ＋2
的最大值为2＋3，最小值为2－ 3.
能力练通 抓应用体验的“得”与“失”
1.[考点一]设定点M (－3,4)，动点N 在圆x 2＋y 2＝4上运动，以OM ，ON 为两边作平行四边形MONP ，求点P 的轨迹．
解：如图，设P (x ，y )，N (x 0，y 0)，则线段OP 的中点坐标为⎝⎛⎭⎫
x 2，y 2，线段MN 的中点坐标为⎝⎛⎭⎫x 0－32，y 0＋42.
因为平行四边形的对角线互相平分，
所以x 2＝x 0－32，y 2＝y 0＋4
2，整理得⎩⎪⎨⎪⎧
x 0＝x ＋3，y 0＝y －4.
又点N (x ＋3，y －4)在圆x 2＋y 2＝4上， 所以(x ＋3)2＋(y －4)2＝4.
所以点P 的轨迹是以(－3,4)为圆心，2为半径的圆，因为O ，M ，P 三点不共线，所以应除去两点⎝⎛⎭⎫－95，125和⎝⎛⎭
⎫－215，285. 2.[考点二]已知实数x ，y 满足方程x 2＋y 2－4x ＋1＝0， (1)求y
x 的最大值和最小值；
(2)求y －x 的最大值和最小值； (3)求x 2＋y 2的最大值和最小值．
解：原方程可化为(x －2)2＋y 2＝3，表示以(2,0)为圆心，3为半径的圆．。