高三数学-[整理]2018学年第一学期温州市八所重点中学

2018学年第一学期温州市八所重点中学期末联考
高三数学试卷（理科）
本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分. 共150分. 考试时间120分钟.
第I 卷（选择题 共50分）
一、选择题 ：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的，请把答案填在答题卷相应位置。

1、||||a b a b ==是的
A ．充要条件
B ．充分不必要条件
C ．必要不充分条件
D ．既不充分又不必要条件
2、双曲线19
42
2=-y x 的渐近线方程是
A ．x y 2
3
±
= B ．x y 3
2±
= C ．x y 4
9±
= D ．x y 9
4±
= 3、2
20061i i i ++++的值是
A ．0
B ．－1
C ．1
D ．i
4、设直线 ax +by +c =0的斜率为-1，则a 、b 满足
A ．1=+b a
B ．1=-b a
C ．0=+b a
D ．0=-b a
5、设1021001210(12)x a a x a x a x -=+++⋅⋅⋅+，则129a a a ++⋅⋅⋅+等于
A ．1
B ．0
C ．10
2
D ．10
2-
6、设向量(cos23,cos67),(cos53,cos37),a b a b =︒︒=︒︒∙=则
A ．
2
3 B ．
2
1 C ．－
2
3 D ．－
2
1
7、已知矩形ABCD 的边⊥==PA BC a AB ,2,面AC 现有以下五个数据：
,4)5(;2)4(;3)3(;1)2(;2
1
)1(=====a a a a a
当在BC 边上存在点Q ，使QD PQ ⊥时，则a 可以取_____________
A （1）（2）
B （2）（3）
C （3）（4）
D （4）（5）
8、已知02log 2log >>a b ,则lim x x
x x
x a b a b →+∞-+的值为
A ．-1
B ．0
C ．1
D ．不存在
9、△ABC 中,a 、b 、c 分别为∠A 、∠B 、∠C 的对边.如果a 、b 、c 成等差数列，∠B=300
△ABC 的面积为
2
3
，那么b =
A ．
2
3
1+ B ．31+
C ．
2
3
2+ D ．32+
10、直线x y m x ==,将封闭区域42
2≤+y x 分成若干块. 现在用5种不同的颜色给这若
干块涂色，每块只涂一种颜色，且任意两块不同色。

若共有120种不同的涂法，则实数m 的取值范围是
A [
B (1-
C ( D
2018学年第一学期温州市八所重点中学期末联考
数学试卷（理科）
第I 卷（选择题 共50分）
第Ⅱ卷（非选择题 共100分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上. 11、设集合{}2,1=A ，{}3,2,1=B ，{}4,3,2=C ，则()_____________A
B C =
12、已知2()(1)(0)f x x x =+≥，则1()__________f x -=
13、原点和点(1,1)在直线0x y a +-=的两侧，则a 的取值范围是_____________ 14、已知曲线：124=+y x ，则下列结论正确的是
（请将你认为正确的结论的序号全部填入）.
（1）它的图象关于x 轴对称 （2）它的图象关于y 轴对称（3）它的图象关于原点对称 （4）它的图象是一个封闭图形，且面积大于π （5）它的图象是一个封闭图形，且面积小于π
三、解答题：本大题共6小题，每小题14分，共84分.解答应写出文字说明，证明过程或
演算步骤. 15、已知：a R a a x x x f ,.(2sin 3cos 2)(2∈++=为常数） （Ⅰ）若R x ∈，求)(x f 的最小正周期； （Ⅱ）若)(x f 在[]6
,6π
π-上最大值与最小值之和为3，求a 的值。

班级＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿姓名＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿学号＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ………………………………………密………………………………………封……………………………………………线……………………………………………
16、已知四棱锥ABCD P -的底面是梯形, 且AB ∥CD,
∠DAB ＝90°, DC ＝2AD ＝2AB, 侧面PAD 为正三角形, 且与底面垂直, 点M 为侧棱PC 中点。

(Ⅰ) 求直线PB 与平面PAD 所成角的大小; (Ⅱ) 求证: BM ∥平面PAD 。

17、设命题p ：{
}
R a y y x ∈=
∈,
命题q ：关于x 的方程2
0x x a +-=一根大于1，另一根小于1。

如果命题p 且q 为假命题，p 或q 为真命题，求实数a 的取值范围。

18、我国自造的一艘邮轮自上海驶往法国的马赛港，沿途有n 个港口（包括起点上海和终点马赛港），游轮上有一间邮政仓，每停靠一港口便要卸下前面各港口发往该港的邮袋各一个，同时又要装上该港发往后面各港的邮袋各一个，试求：
（Ⅰ）游轮从第k 个港口出发时，邮政仓内共有邮袋数是多少个？ （Ⅱ）第几个港口离开时的邮袋数最多？最多是多少？
19、设函数22
()4f x x x ax =---（a 为常数.）
（Ⅰ）若()f x 是偶函数，求a 的值；
（Ⅱ）是否存在实数a ，使得()f x 在(,2)-∞-和(2,)+∞上单调递增？
若存在，求出实数a 的取值范围；若不存在，说明理由。

班级＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿姓名＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿学号＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ …………………………………………密………………………………………封……………………………………………线……………………………………………
20、设抛物线：22(0)y px p =>的焦点为F ，直线l 过点F 交抛物线于A 、B 两点,点M 为
抛物线准线上的一动点，O 为坐标原点，设1122(,),(,),A x y B x y （Ⅰ）求证：212y y p =-；
（Ⅱ）求证：直线MA 、MF 、MB
（Ⅲ）当MA ⊥ MB
2018数学试卷（理科）参考答案
第I 卷（选择题 共50分）
第Ⅱ卷（非选择题 共100分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上. 11、设集合{}2,1=A ，{}3,2,1=B ，{}4,3,2=C ，则(){1,2,3,4}A
B C =
12、已知2
()(1)(0)f x x x =+≥
13、原点和点(1,1)在直线0x y a +-=的两侧，则a 的取值范围是(0,2) 14、已知12
4
=+y x ，则下列结论正确的是 （1）（2）（3）（4）
（请将你认为正确的结论的序号全部填入）.
（1）它的图象关于x 轴对称 （2）它的图象关于y 轴对称（3）它的图象关于原点对称 （4）它的图象是一个封闭图形，且面积大于π （5）它的图象是一个封闭图形，且面积小于π
三、解答题：本大题共6小题，每小题14分，共84分.解答应写出文字说明，证明过程或
演算步骤.
15、已知：a R a a x x x f ,.(2sin 3cos 2)(2∈++=为常数） （Ⅰ）若R x ∈，求)(x f 的最小正周期； （Ⅱ）若)(x f 在[]6
,6π
π-
上最大值与最小值之和为3，求a 的值。

解：（Ⅰ）1)6
2sin(22sin 32cos 1)(+++
=+++=a x a x x x f π
--------6分
最小正周期ππ
==
2
2T ------------------8分 （Ⅱ）]2
,6[62]3,3[2]6,6[πππππππ-∈+⇒-∈⇒-∈x x x 1)62
s i n (21≤+≤-∴π
x 即03321
1)(1
2)(min max =⇒=+∴⎩⎨
⎧++-=++=a a a x f a x f ---------------14分
16、已知四棱锥ABCD P -的底面是梯形, 且AB ∥CD, ∠DAB ＝90°, DC ＝2AD ＝2AB, 侧面PAD 为正三角形, 且与底面垂直, 点M 为侧棱PC 中点.
(Ⅰ) 求直线PB 与平面PAD 所成角的大小； (Ⅱ) 求证: BM ∥平面PAD 。

解:(Ⅰ) ∵面PAD ⊥面ABC, 交线为AD, 且 AB ⊥AD, ∴AB ⊥面PAD, 直线PB 在
面PAD 上的射影为PA, ∴∠BPA 为PB 与 面PAD 的所成角. 又AB ⊥PA, 且PA ＝AB,
∴∠BPA ＝45°, ∴直线PB 与平面PAD 所成角的大小为45°. -----------------6分
(Ⅱ)过M 作MN ∥CD 交PD 于N, 连AN. ∵M 为PC 中点, 则MN ＝
2
1
CD, 又AB ∥CD, DC ＝2AB, ∴MN ∥AB 且 MN ＝AB, ∴ABMN 为平行四边形.
∴BM ∥AN, MB 平面APD, ∴BM ∥平面PAD. ---------------------14分 17、设命题p
：{
}
R a y y x ∈=
∈,
命题q ：关于x 的方程2
0x x a +-=一根大于1，另一根小于1， 如果命题p 且q 为假命题，p 或q 为真命题，求实数a 的取值范围。

解：
2y x =-=∴命题p:03a ≤≤ ------------4分
令2
()f x x x a =+-, 命题q (1)0f ⇔<, ∴命题q:2a > ------------8分
∵命题p 且q 为假命题，p 或q 为真命题，就是p 和q 中有且仅有一个真命题. 所以实数a 的取值范围是02a ≤≤或3a > -------------14分
18、我国自造的一艘邮轮自上海驶往法国的马赛港，沿途有n 个港口（包括起点上海和终点马赛港），游轮上有一间邮政仓，
每停靠一港口便要卸下前面各港口发往该港的邮袋各一个，
同时又要装上该港发往后面各港的邮袋各一个，试求：
（Ⅰ）游轮从第k 个港口出发时，邮政仓内共有邮袋数是多少个？ （Ⅱ）第几个港口的邮袋数最多？最多是多少？
解：设游轮从各港口出发时邮政仓内的邮袋数构成一个数列}{n a
（Ⅰ）由题意得：
.21)3()2()1(,1)2()1(,1321---+-+-=--+-=-=n n n a n n a n a 在第k 个港口出发时，前面放上的邮袋共：)()2()1(k n n n -++-+- 个
而从第二个港口起，每个港口放下的邮袋共：1+2+3+…+（k －1）个 故)]1(21[)()2()1(-+++--++-+-=k k n n n a k
),,2,1()1(2
1
)1(212n k k kn k k k k kn =-=--+-
= 即游轮从第k 个港口出发时，邮政仓内共有邮袋数),2,1(2n k k kn =-个 ---8分
（Ⅱ）2241)2(n n k a k +--= 当n 为偶数时，n k 21=时，最大值为2
41n
当n 为奇数时，)1(21)1(21+=-=n k n k 或时，最大值为)1(4
12
-n .
所以，当n 为偶数时，第2n 个港口的邮袋数最多，最多是2
41n 个；
当n 为奇数时，第2121+-n n 或第个港口的邮袋数最多，最多是)1(4
12
-n 个 –14分 19、设函数22
()4f x x x ax =---， a 为常数.
（Ⅰ）、若()f x 是偶函数，求a 的值；
（Ⅱ）是否存在实数a ，使得()f x 在(,2)-∞-和(2,)+∞上单调递增？ 若存在，求出实数a 的取值范围；若不存在，说明理由. 解：Ⅰ）()f x 是偶函数,当且仅当()()f x f x =-对任意R x ∈
成立..22
44x ax x ax --=+-两边平方即得24(4)0ax x -=,因为上式对
任意R x ∈成立,所以当且仅当0a =.所以若()f x 是偶函数， 0a =.--------6分 （Ⅱ）设2()40g x x ax =--=的两根是1x 、2x ， 12x x <.
则12
1224,()24,4,ax x x f x x ax x x x ax x x +<⎧⎪=--≤≤⎨⎪+>⎩
.
若0a ≤,则()f x 在1(,)x -∞上不具有单调递增,因而在(,2)-∞-上也不会单调递增. 下面仅考虑0a >的情况.
由(2)42420,(0)0g a a g -=+-=><,知12x -<,由()f x 在1(,)x -∞上单调递增,
知在(,2)-∞-上也单调递增.
()f x 在]2(,4a
x 和2(,)x +∞上单调递增,又22222()244f x x ax ax =--=+,所以
()f x 在(,)4a +∞上单调递增. ()f x 在(2,)+∞上单调递增当且仅当24
a
≤.
存在实数a ，使得()f x 在(,2)-∞-和(2,)+∞上单调递增.其取值范围是(]0,8--------14分 20、设抛物线：22(0)y px p =>的焦点为F ，直线l 过点F 交抛物线于A 、B 两点,点M 在
抛物线的准线上，O 为坐标原点，设1122(,),(,),A x y B x y （Ⅰ）求证：212y y p =-
(Ⅱ) 求证：直线MA 、MF 、
(Ⅲ) 当MA ⊥ MB 解：Ⅰ）设MA 、MF 、MB 1122(,),(,),(,2
p
A x y
B x y M -
直线l 的方程为：
2,222p x ty p x
ty y px
⎧
=+⎪=+⎨⎪=⎩由212y y p =-故Ⅱ）2
2
11222,2y px y px ==又2
2
1
21211122222
11122()
2()2()()22
p y m y m y m p y m y m
m k k k p p p y p p y p p p
x x -----+=+=+=-=-
++++ 122k k k ∴+=，所以直线MA 、MF 、MB 的斜率成等差数列。

------------8分
Ⅲ）由Ⅱ）知
12
1221,0,0,
k k k k MA MB k k k -=-⊥∴=-><1不妨令k
11221121121
1
tan 1()k k k k k k AMF k k k k k k k k k k k ---∴∠=
====-+-+-同理：1tan BMF k ∠= tan()AMF BMF ∴∠-∠=
tan |||tan(MFO k ∴∠==解法2：延长AM 交X 轴于点E
的垂线于点G ，则
AMF BMF MFO
MEF MFO BMF MFO
MEF BMF
BMG BMF BG BF BMG BMF
∠-∠-∠=∠+∠-∠-∠=∠-∠=∠-∠=∴∠=∠ |
MFO AMF ∴∠=∠-∠
解法3：可以证明以AB 则MK ∥OF 、MK=AK ∵MF ⊥AB 、MA ⊥MB ∴|∠AMF-∠BMF|=|∠ =|∠AMF-∠AMK|=∠ ∴∴|∠AMF-∠BMF|=∠。