先猜后证的数学思想在解题中的应用

先猜后证的数学思想在解题中的应用
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猜想是一种合情推理,属于综合程度较高的带有一定直觉性的高级认识过程,波利亚说过:“在您证明一个数学定理之前,您必须猜想这个定理证明的主导思想”.数学猜想是证明的前提,但由于猜想是一种跳跃的思维,是在逻辑依据不充分的前提下做出判断,因而对猜想的结果还需要严格证明.波利亚还指出“先猜后证——这是大多数的发现之道”,“预见结论、途径便可以有的放矢”,先猜后证的关键是猜想.从最近几年的高考题可以看出:高考对猜想能力的考查日趋加深,考查的形式也是多样的.这从另一侧面反映出猜想能力的重要性,以及培养的必要性.数学猜想可分为以下几种类型:1类比性猜想类比性猜想,是指运用类比方法,通过比较两个问题的共同性,得出新命题或新方法的猜想.例1若对任意常数a,且a≠0,都有f(a+x)=1+f(x)1-f(x),问f(x)是否为周期函数?若是,求出它的一个周期.分析通过审题分析,洞察出本题的实质是判断满足上述条件的函数是否为周期函数,进一步联想到等式f(a+x)=1+f(x)1-f(x)与等式tanπ4+α=1+tanα1-tanα的结构极为相似,分析后者可知tanx的周期为π,是常数项π/4的4倍,故猜想结构相似的函数f(x)可能...猜想是一种合情推理,属于综合程度较高的带有一定直觉性的高级认识过程,波利亚说过:“在您证明一个数学定理之前,您必须猜想这个定理证明的主导思想”.数学猜想是证明的前提,但由于猜想是一种跳跃的思维,是在逻辑依据不充分的前提下做出判断,因而对猜想的结果还需要严格证明.波利亚还指出“先猜后证——这是大多数的发现之道”,“预见结论、途径便可以有的放矢”,先猜后证的关键是猜想.从最近几年的高考题可以看出:高考对猜想能力的考查日趋加深,考查的形式也是多样的.这从另一侧面反映出猜想能力的重要性,以及培养的必要性.数学猜想可分为以下几种类型:1类比性猜想类比性猜想,是指运用类比方法,通过比较两个问题的共同性,得出新命题或新方法的猜想.例1若对任意常数a,且a≠0,都有f(a+x)=1+f(x)1-f(x),问f(x)是否为周期函数?若是,求出它的一个周期.分析通过审题分析,洞察出本题的实质是判断满足上述条件的函数是否为周期函数,进一步联想到等式f(a+x)=1+f(x)1-f(x)与等式tanπ4+α=1+tanα1-tanα的结构极为相似,分析后者可知tanx的周期为π,是常数项π/4的4倍,故猜想结构相似的函数f(x)可能...数学教学研究余锦银湖北省大冶市第一中学2007第六图书馆
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先猜后证的数学思想在解题中的应用
余锦银
(湖北省大冶市第一中学　435100)
猜想是一种合情推理,属于综合程度较高的带
有一定直觉性的高级认识过程,波利亚说过:“在您
证明一个数学定理之前,您必须猜想这个定理证明
的主导思想”.数学猜想是证明的前提,但由于猜想
是一种跳跃的思维,是在逻辑依据不充分的前提下
做出判断,因而对猜想的结果还需要严格证明.波利
亚还指出“先猜后证———这是大多数的发现之道”,
“预见结论、途径便可以有的放矢”,先猜后证的关键
是猜想.从最近几年的高考题可以看出:高考对猜想
能力的考查日趋加深,考查的形式也是多样的.这从
另一侧面反映出猜想能力的重要性,以及培养的必
要性.数学猜想可分为以下几种类型:
1　类比性猜想
类比性猜想,是指运用类比方法,通过比较两个
问题的共同性,得出新命题或新方法的猜想.
例1　若对任意常数a,且a≠0,都有f(a+x)=
1+f(x)
1-f(x)
,问f(x)是否为周期函数?若是,求出它的
一个周期.
分析　通过审题分析,洞察出本题的实质是判
断满足上述条件的函数是否为周期函数,进一步联
想到等式f(a+x)=1+f(x)
1-f(x)与等式tan
π
4
+α=
1+tanα
1-tanα
的结构极为相似,分析后者可知t an x的周期为π,是常数项π/4的4倍,故猜想结构相似的函数f(x)可能是以4a为周期的函数,即f(x+4a)= f(x),通过验证可知猜想正确.这里的猜想并非凭空想象,而是由题目己知条件,从整体上把握而产生的猜想,是观察题目所给的条件,由直观而产生的直觉猜想.正是由于猜想的先导作用,才为证明和验算辅平了道路.
例2　已知a,b,c∈R
+
,求证:a a b b c c≥
()++ 3
分析　寻找一个合适的类比对象,将原不等式退化为一个结构类似的二元不等式:
a a
b b≥(ab)a+b2(a,b>0).(1)
欲证(1)式,只需证:在a≥b>0,及0<a<b两种情况下,
a
b
a-b
≥1(2)都成立,即得证.
反思回顾证明过程可知:证明这个二元不等式的关键是将(1)变形为(2).由于原不等式与此不等式结构类似,故猜想原不等式证明方法也与此相似:要证a a b b c c≥(abc)a+b+c
3,即要证
a
b
a-b b
c
b-c c
a
c-a
≥1.
不失一般性,设a≥b≥c,可以证得
a
b
a-b
≥1,b
c
b-c
≥1,c
a
c-a
≥1,
三式相乘即得证.
反思　类比性猜想就是解题时联想一个结构类似的数学模型或题型,然后从中寻找启示或直接仿照其方法来研究待解问题,有简化类比猜想、结构类比猜想和降维类比猜想.当联想不到结构类似的熟知题型时,甚至可以将原问题退化为一个结构类似的简单问题,再反思简单问题的解答思路,从中寻找原问题的思维启示.
2　归纳性猜想
归纳性猜想,是指运用不完全归纳法,对研究的问题的个例、特例进行观察分析,从中得到有关命题的形式、结论或方法的猜想.
例3　(2007年天津21题)在数列{a n}中,a1=
2,a
n+1
=λa n+λn+1+(2-λ)2n(n∈N+),其中λ> 0.
(Ⅰ)求数列{a
n
}的通项公式;
(Ⅱ)求数列{}的前项和S;
(Ⅲ)证明存在∈N+,使得+≤+对任意
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2007年第10期 数学教学研究
abc a b c.
a
n
n
n
k
a
n1
a
n
a
k1
a
k
n
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∈N
+
均成立.
分析　本题第(Ⅰ)问可以先分析几个特例:
a
2
=2λ+λ2+(2-λ)2=λ2+22,
a
3
=λ(λ2+22)+λ3+(2-λ)22=2λ3+23,
a
3
=λ(2λ3+23)+λ4+(2-λ)23=3λ4+24.
由此可归纳猜想出数列{a
n }的通项公式为a
n
=(n
-1)λn+2n.再用数学归纳法证明即可.第(Ⅱ)问略.第(Ⅲ)问见下面探索性猜想.
反思　归纳性猜想往往从特例或特殊值出发,通过观察对比,洞察特例的共性特征,猜想一般结论和规律,最后证明猜想的正确性.这样将一道没有明确目标的解答题转化成了方向明确的证明题,如某些递推数列周期的发现.另一方面,通过特值命题解决思路和方法的启发,可寻求原命题的解决思路与方法,如数学归纳法第二步传递性的证明常常能从第一步初始值命题的证明中得到启发.在解题时,如果你不能解决所提出的问题,可先解决“一个与此有关的问题”.你能不能想出一个更容易着手的问题?一个更普遍的问题一个更特殊的问题?你能否解决这个问题的一部分这就是数学家波利亚解题时的“绝招”.
3　探索性猜想
探索性猜想是指根据已有的知识和结果,经尝试探索而获得对于待解决问题向结果靠近的方向性猜想.
如例3第(Ⅲ)问是2007年天津高考压轴题中最难的一问,较难突破,通过分析,猜想数列
a
n+1 a
n 的第一项
a
2
a
1
最大,然后再证明猜想的正确性:
a
n+1 a
n <
a
2
a
1
=
λ2+4
2
,n≥2.(3)
由λ>0知a n>0,要使(3)式成立,只要
2a
n+1
<(λ2+4)a n(n≥2).
而　(λ2+4)a n=(λ2+4)(n-1)λn+(λ2+1)2n >4λ(n-1)λn+4×2n=4(n-1)λn+1+2n+2
≥2nλn+1+2n+2=2a
n+1
,n≥2.
所以(3)式成立.
因此,存在k=1,使得a
n+1
a
n
≤
a
k+1
a
k
=
a2
a
1
对任意n
∈N
+
均成立
例　如图,在直三棱柱B2′B′′中,B′⊥′,B′⊥B′,求证△B为等腰三角形
　图1分析　此题的难点是确
定△A BC的底边,这必须靠猜
想:①BC为底边,理由是BC′
同时与A′C和A B′垂直;②若
加上条件A′C⊥A B′,则△ABC
为正三角形;③A′C⊥AB′时,
此三棱柱可“旋转”,理由是直
三棱柱,且AB′,BC′,CA′具有
垂直的轮换性,直觉此三棱柱沿上、下底面(假设的)的中心连线旋转120°时“垂直”重合.通过③肯定②,从而肯定①.由分析可知,猜想为难点找到了突破口,而且得到③以及证明的途径.
反思　在解题过程中应该充分利用直觉,洞察题目中已知与未知的连结点,做出猜想、预测,然后论证猜想.开放性命题都需要探索性猜想来引导思维方向,如2007年高考湖南卷解几20题、江苏数列20题,上海卷21题等等都是存在性探索题,首先都是猜想存在,然后再验证猜想即可.
4　仿造性猜想
仿造性猜想是指依据数学问题的形式“模式”,利用模型构造法做出相应数学规律或方法的猜想.
例5　若a,b,c为正数,求证:a2+b2+ b2+c2+c2+a2≥2(a+b+c).
分析1　不等式的左端很容易使用人想到距离或向量的模,联想到向量三角不等式:|a|-|b|≤|a ±b|≤|a|+|b|,该不等式专用于研究模的和差与和差的模之间的大小关系,与本题代数不等式结构特征相似,可尝试构造向量
m=(a,b),n=(b,c),p=(c,a),
则　m+n+p=(a+b+c,a+b+c),
a2+b2+b2+c2+c2+a2
=|m|+|n|+|p|
≥|m+n+p|=2(a+b+c).
　图
分析2　不等式的左端也
很容易使人想到勾股定理,且
每式可代表某直角三角形一
斜边.于是猜想此题可借用三
角形完成,不等式右端使人想
到边长为++的正方形的
对角线,由此我们构造一边长
为++的正方形,并在其中作出直角边长分别
22数学教学研究 2007年第10期.
41A C A C C A C C A:A C.
2
a b c
a b c
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为a,b,c的三角形.如图2,AE=a2+b2,EF=
b2+c2,FC=c2+a2,AC=2(a+b+c),由此得
AE+EF+FC≥AC,
故　a2+b2+b2+c2+c2+a2
≥2(a+b+c),
其中等号在A,E,F,C四点共线,即a=b=c时成立.
华罗庚说过:“数缺形时少直觉,形缺数时难入微.”通过深入的观察、联想,由数想形,利用代数式的结构特征诱发图形的直观猜想.
反思　从数式的结构和特点出发,在所学数学“模式”的基础上进行广泛的联想,构造一个与原命题相关的数学模型,实现问题的转化,从而使原命题得到解决.
5　审美性猜想
审美性猜想是运用数学美的思想———简单性、对称性、相似性、和谐性、奇异性等,对研究的对象或问题的特点,结合已有知识与经验所作出的直觉性猜想.
例6　已知x,y,z∈R,且x+2y+3z=6,求证: x2+2y2+3z2≥6.
分析　使用均值换元法.
令x=1+2+3
6
+α,y=
1+2+3
6
+β,z=
1+2+3
6
+γ,则α+2β+γ=0,故
x2+2y2+3z2=(1+α)2+2(1+β)2+3(1+γ)2
=1+2+3+2(α+2β+3γ)+α2+2β2+3γ2
=6+0+α2+2β2+3γ2≥6,
当α=β=γ=0时取等号.
只是根据数学的对称美猜想均值换元,也只是进行了均值换元,一道原本较难的题目,不再需要任何思维就解出来了,这就是数学美的威力!
本题还可以使用仿造性猜想:
设m=(x,2y,3z),n=(1,2,3),则
|m|2=(x2+(2y)2+(3z)2)2
=x2+2y2+3z2,
|n|2=(12+(2)2+(3)2)2=6,
又已知m·n=x+2y+3z=6,故由|m|2≥(m·n)2
ㄧnㄧ2
知结论成立.
反思　当我们研究数学美时,就能发现其中蕴涵着解题思路,启迪着解题灵感,数学美引导着我们发现问题、提出猜想.当我们解不等式和证明不等式时都猜想着:超越不等式代数化、无理不等式有理化、分式不等式整式化,这是因为数学的简洁美;我们还根据数学的和谐美进行目标消差和条件与结论的相互表达;根据对称美猜想均值换元.根据数学美提出猜想,常能优化解题思路、简化解题过程.
在数学解题中,不但要运用逻辑进行分析,而且还应在分析问题结构特征、洞察问题实质的同时,运用数学直觉猜想活跃思维.牛顿说过:“没有大胆的猜想,就做不出伟大的发现.”至于猜想的实现途径,由以上例题可以看出,它们可能是探索试验、类比、归纳、构造、联想、审美以及它们之间的组合等.实施猜想前,请记住“在证明一个数学问题之前,你先得猜想这个问题的内容;在你完全作出详细证明之前,你先得猜想证明的思路”.
参考文献
[1]　[美]G·波利亚.数学与猜想[M].北京:科学
出版社,1984
[2]　[美]G·波利亚.数学与似真推理[M].福州:
福建人民出版社,1985
[3]　任樟辉.数学思维论[M].南宁:广西教育出版
社,1996
[4]　胡炯涛.数学教学论[M].南宁:广西教育出版
社,1996
(收稿日期:2007207209)
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2007年第10期 数学教学研究
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