六题型复习勾股定理

勾股定理
一、 概念辨析
1.在△ABC 中，C B A ∠=∠=∠3
12
1，则△ABC 是（ ）.
A.锐角三角形
B.钝角三角形
C.直角三角形
D.等腰直角三角形
2．已知直角三角形中30°角所对的直角边长是32cm ，则另一条直角边的长是（ ）
A. 4 cm
B. 34cm
C. 6 cm
D. 36cm
3．△ABC 中，AB ＝15，AC ＝13，高AD ＝12，则△ABC 的周长为（ ）
A ．42
B ． 32
C ．42 或 32
D ．37 或 33
4.在 Rt ΔABC 中，∠C ＝90°，且c=29，a ＝20，则b 为（d ）.
A.9
B.10
C.20
D.21 5.在下列说法中正确的是（ c ）. A.在 Rt ΔABC 中，AB 2＋BC 2＝AC 2 B.在 Rt ΔABC 中，若a=3,b=4,则c=5 C.在 Rt ΔABC 中，两直角边长都为15，则斜边长为215 D.在直角三角形中，若斜边长为10，则可求出两直角边的长
6、在下列以线段a ，b ，c 的长为三边的三角形中，不能构成直角三角形的是 （ d ）
A 、a ＝9，b ＝41，c ＝40
B 、a ＝b ＝5，c ＝25
C 、a ：b ：c ＝3：4：5
D 、a ＝11，b ＝12，c ＝15 7．下列几组数中不能作为直角三角形三边长度的是 （ c ）
A ．7,24,25a b c ===
B ． 1.5,2, 2.5a b c ===
C ．2
5,2,34
a b c ===
D ．15,8,17a b c ===
8.若三角形三边分别为5，12，13，那么它最长边上的中线长是（ c ）.
A.5
B.5.5
C.6.5
D.1.7
9．等腰三角形腰长10cm ，底边16cm ，则面积 （ b ）
A ．296cm
B ．248cm
C ．224cm
D ．232cm
11.若直角三角形两直角边的比为3：4，斜边长为20，则此直角三角形的面积为 96 。

12.在△ABC 中，∠C ＝90°，AD 平分∠BAC 交BC 于D ，DE ⊥AB 于E ，AB ＝10㎝，AC ＝6㎝，△BDE 的周长为 ㎝。

二、 基本计算
1．正方形ABCD 中，F 为DC 中点，E 为BC 上一点，且EC=4
1
BC ，说明∠EFA=90º。

2.如图，四边形ABCD 中，AB ＝3cm ，BC ＝4cm ，CD ＝12cm ，DA ＝13cm ，且
A
B
C
D
F
E
∠ABC ＝900，则四边形ABCD 的面积是 （ ）
A 、84
B 、36
C 、2
51
D 、无法确定
3、如图，已知长形ABCD 沿着直线BD 折叠，使点C 落在C ∕处，BC ∕
交AD 于E ，AD ＝8，AB ＝4，则DE 的长为 （ ） A 、3 B 、4 C 、5 D 、6 4．如图一直角三角形纸片，两直角边cm BC cm AC 8,6==，现将直角边AC 沿
直线AD 折叠，使它落在斜边AB 上，且与AE 重合，则CD 等于（ ） A ．cm 2 B ．cm 3
C ．cm 4
D ．cm 5
三、 实际应用
1.陈平想知道学校旗杆的高，他发现旗杆上的绳子垂到地面还多1m,当他把绳子的下端拉开5m,后，发现下端刚好接触地面，你能帮他求出旗杆的高吗？
2、如图所示，一个梯子AB 长5米，顶端A 靠在墙AC 上，这时梯子下端B 与
A
E B D C 第10题图
墙角C 间的距离为3米，梯子滑动后停在DE 的位子上，如图，测得DB 的长为1米，则梯子顶端A 下落了
米。

3、如图将一根长24cm 的筷子，置于底面直径为5cm ，高为12cm 的圆柱形水杯中，设筷子露在杯子外面的长度为h cm ，则h 的取值范围是 。

四、 综合创新
1.如图，已知△ABC 的三边长为别为
5，12，13，分别以三边为直径向上作三个半圆，求图中阴影部分的面积。

2．如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7cm ，则正方形A ，B ，C ，D 的面积之和为_______cm 2.
3、2002年8月在北京召开的国际数学家大会会徽取材于我国古代数学家赵爽的
《勾股圆方图》，它是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示，如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的短直角边为a，较长直角边为b，那么（a+b）2的值为（c）A、13B、19C、25D、
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五、开放探究
1、如图，有一块塑料矩形模板ABCD，长为10cm，宽为4cm，将你手中足够大的直角三角板 PHF 的直角顶点P落在AD边上（不与A、D重合），在AD上适当移动三角板顶点P,能否使你的三角板两直角边分别通过点B与点C？若能，请你求出这时 AP 的长；若不能，请说明理由.
2、拼图填空：
材料：硬纸板、剪刀、三角板
方法：剪裁、拼图、探索
操作：剪裁出若干个大小、形状完全相同的直角三角形，三边长分别记为a、b、c，如图①。

⑴拼图一：分别用4张直角三角形纸片，拼成如图②、图③的形状，观察图②、图③可发现，图②中两个小正方形的面积之和（填“大于”“小于”“等于”）图③中小正方形的面积，用关系式可表示为。

⑵拼图二：用4张直角三角形纸片拼成如图④的形状，观察图形可以发现，图中共有个正方形，它们的面积之间的关系是，用关系式可表示为。

⑶拼图三：用8张直角三角形纸片拼成如图⑤的形状，图中3个正方形的面积之
间的关系是，用关系式可表示为。

六、 规律探索
1.先观察下列等式，再回答问题： ①2111111112111122=+-+=++
②6
11121211312112
2
=+-+=++
③
12
111313114
1
3
1
12
2
=+-+
=+
+
⑴根据上面三个等式提供的信息，请猜想
2
2
51411+
+
的结果，并进行验证；
⑵请按照上面各等式反映的规律，试写出用n(n 为正整数)表示的等式，并加以
验证。

例7（2005年山西省临汾市）阅读材料并解答问题：我国是最早了解和应用勾股定理的国家之一，古代印度、希腊、阿拉伯等许多国家也都很重视对勾股定理的研究和应用，古希腊数学家毕达哥拉斯首先证明了勾股定理，在西方勾股定理又被称为“毕达哥拉斯定理”。

关于勾股定理的研究还有一个很重要的内容是勾股数组，在《几何》课本中我们已经了解到，“能够成为直角三角形三条边的三个正整数成为勾股数”。

以下是毕达哥拉斯等学派研究出的确定勾股数的两组方法：
方法1：若m 为奇数（m ≥3），则a=m ，b =-=+1211
2122()()
m c m 和是勾股数。

方法2：若任取两个正整数，m 和n （m>n ），则a m n b mn =-=22
2，，c m =2 +n 2是勾股数。

（1）在以上两种方法中任选一种，证明以a 、b 、c 为边长的△ABC 是直角三角形。

（2）请根据方法1和方法2按规律填定下列表格：
（3）某园林管理处要在一块绿地上植树，使之构成如图8所示的图案景观，该图案由四个全等的直角三角形组成。

要求每个三角形顶点处都植一棵树，各边上相邻两棵树之间的距离均为1米，如果每个三角形最短边上都植6棵树，那么这四个直角三角形的边上共需植树___________棵。

图8
2、细心观察图，认真分析各式，然后解答问题：
21
2
1)1(12=
=+s 2
231)2(22=
=+s 2
34
1)3(32=
=+s (1) 用含有n （n 是正整数）的等式表示上述变化规律； (2) 推算出OA 10的长；
(3) （3）求出S 12＋S 22＋S 32＋…＋S 102的值。