广东省清远市盛兴中英文学校2020-2021学年高二数学理联考试题含解析

广东省清远市盛兴中英文学校2020-2021学年高二数学理联考试题含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 已知全集U=R，集合则等于（）
A．B． C.D．
参考答案：
D
略
2. 已知直线3x＋2y－3=0与6x＋my＋1=0互相平行,则它们之间的距离为( )
A.4
B.
C.
D.
参考答案：
D
3. 给定下列命题，其中真命题的个数为：
① 已知a，b，m∈R，若am2＜bm2，则a＜b；
② “矩形的对角线相等”的逆命题；
③ “若xy＝0，则x，y中至少有一个为0”的否命题；
④ 如果将一组数据中的每一个数都加上同一个非玲常数，
那么这组数据的平均数和方差都改变．
A．0 B．1 C．2 D．3
参考答案：
C
①正确，此时m2＞0，②逆命题：“对角线相等的四边形是矩形”是假命题．
③否命题：“若xy≠0，则都不为零”是真命题．
④根据平均数与方差的计算公式，平均数改变，方差不变；故不正确；
故答案为：①③
考点：命题的真假判断与应用
4. 某企业有职150人，其中高级职15人，中级职45人，一般职90人，现抽30人进行分层抽样，则各职称人数分别为( )A．5，10，15 B．3，9，18 C．3，10，17 D．5，9，16
参考答案：
B
【考点】分层抽样方法．
【分析】共有150人，要抽一个30人的样本，采用分层抽样，每个个体被抽到的概率是，根据这个比例作出各种职称的人数．
【解答】解：抽取的比例为，
15×=3，
45×=9，
90×=18．
故选B
【点评】这种问题是高考题中容易出现的，分层抽样为保证每个个体等可能入样，需遵循在各层中进行简单随机抽样，每层样本数量与每层个体数量的比与这层个体数量与总体容量的比相等．
5. 已知椭圆的焦距为8，则m的值为
A．3或
B．3 C．
D．±3或±
参考答案：
A
6. 已知点M（0，﹣1），点N在直线x﹣y+1=0上，若直线MN垂直于直线x+2y﹣3=0，则点N的坐标是（）
B
略
7. 正方体中,动点在线段上,，分别为，的中点.若异面直线
与所成的角为，则的取值范围为（）
A． B． C. D．
参考答案：
A
8. 要从由n名成员组成的小组中任意选派3人去参加某次社会调查．若在男生甲被选中的情况下，女生乙也被选中的概率为0.4，则n的值为（）
A．4 B．5 C．6 D．7
参考答案：
C
【考点】CM：条件概率与独立事件．
【分析】利用在男生甲被选中的情况下，女生乙也被选中的概率为0.4，建立方程，即可求n的值．【解答】解：由题意，在男生甲被选中的情况下，只需要从其余n﹣1人中选出2人，
在男生甲被选中的情况下，女生乙也被选中，即从其余n﹣2人中选1人即可，
故=0.4，
∴n=6，
故选：C．
【点评】本题考查条件概率，考查学生的计算能力，比较基础．
9. 已知集合，则实数a的取值范围是（）
A． B． C．
D．
参考答案：
A
略
10. （导数）已知函数，若，则
A． B ．或
C．
D．
参考答案：
B
略
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 若抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合，则p的值为
参考答案：
4
12. 函数的增区间是，减区间是
参考答案：
.增区间是减区间是
13. 如图，过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F的直线l交抛物线于点A、B，交其准线于点C，若
|BC|=2|BF|，且|AF|=3，则此抛物线的方程为．
参考答案：
y2=3x
【考点】抛物线的标准方程．
【分析】根据过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F的直线l交抛物线于点A、B，作AM、BN垂直准线于
点M、N，根据|BC|=2|BF|，且|AF|=3，和抛物线的定义，可得∠NCB=30°，设A（x1，y1），B（x2，
y2），|BF|=x，而，，且，，可求得p的值，即求得抛物线的方程．
【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），作AM、BN垂直准线于点M、N，
则|BN|=|BF|，
又|BC|=2|BF|，得|BC|=2|BN|，
∴∠NCB=30°，
有|AC|=2|AM|=6，
设|BF|=x，则2x+x+3=6?x=1，
而，，由直线AB：y=k（x﹣），代入抛物线的方程可得，
k2x2﹣（pk2+2p）x+k2p2=0，
即有，
∴，
得y2=3x．
故答案为：y2=3x．
14. 已知数列{a n}的前n项和S n=n3﹣n2，则a10= ．
参考答案：
252
考点：数列的函数特性
专题：函数的性质及应用．
分析：直接利用已知条件求出a10=S10﹣S9的结果即可．
解答：解：数列{a n}的前n项和S n=n3﹣n2，则a10=S10﹣S9=103﹣102﹣（93﹣92）=252．
故答案为：252．
点评：本题考查数列的函数的特征，基本知识的考查
15. 与椭圆具有相同的小题离心率且过点（2，-）的椭圆的标准方程是.
参考答案：
或
16. 已知函数的最小正周期为,则的单调递增区间
为
▲
．
参考答案：
略
17. 函数f（x）的定义域为实数集R，f（x）=对于任意的x∈R都有f
（x+2）=f（x﹣2）．若在区间[﹣5，3]上函数g（x）=f（x）﹣mx+m恰有三个不同的零点，则实数m 的取值范围是．
参考答案：
【考点】52：函数零点的判定定理．
【分析】求出f（x）的周期，问题转化为f（x）和y=m（x﹣1）在[﹣5，3]上有3个不同的交点，画出f（x）的图象，结合图象求出m的范围即可．
【解答】解：∵f（x+2）=f（x﹣2），∴f（x）=f（x+4），
f（x）是以4为周期的函数，
若在区间[﹣5，3]上函数g（x）=f（x）﹣mx+m恰有三个不同的零点，
则f（x）和y=m（x﹣1）在[﹣5，3]上有3个不同的交点，
画出函数函数f（x）在[﹣5，3]上的图象，如图示：
，
由K AC=﹣，K BC=﹣，结合图象得：
m∈，
故答案为：．
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 已知关于x的一元二次函数f（x）=ax2﹣4bx+1．
（1）设集合P={1，2，3}和Q={﹣1，1，2，3，4}，分别从集合P和Q中随机取一个数作为a和b，求函数y=f（x）在区间[1，+∞）上是增函数的概率；
（2）设点（a，b）是区域内的随机点，求y=f（x）在区间[1，+∞）上是增函数的概率．
参考答案：
【考点】等可能事件的概率．
【分析】（1）本题是一个等可能事件的概率，试验发生包含的事件是3×5，满足条件的事件是函数f（x）=ax2﹣4bx+1在区间[1，+∞）上为增函数，根据二次函数的对称轴，写出满足条件的结果，得到概率．
（2）本题是一个等可能事件的概率问题，根据第一问做出的函数是增函数，得到试验发生包含的事件对应的区域和满足条件的事件对应的区域，做出面积，得到结果．
【解答】解：（1）由题意知本题是一个等可能事件的概率，
∵试验发生包含的事件是3×5=15，
函数f（x）=ax2﹣4bx+1的图象的对称轴为，
要使f（x）=ax2﹣4bx+1在区间[1，+∞）上为增函数，
当且仅当a＞0且，即2b≤a 若a=1则b=﹣1，若a=2则b=﹣1，1；若a=3则b=﹣1，1；
∴事件包含基本事件的个数是1+2+2=5
∴所求事件的概率为．
（2）由（Ⅰ）知当且仅当2b≤a且a＞0时，
函数f（x）=ax2﹣4bx+1在区是间[1，+∞）上为增函数，
依条件可知试验的全部结果所构成的区域为
构成所求事件的区域为三角形部分
由得交点坐标为，
∴所求事件的概率为．
19. （12分）电视台与某企业签订了播放两套连续剧的合作合同．约定每集电视连续剧播出后，另外播出2分钟广告．已知连续剧甲每集播放80分钟，收视观众为60万，连续剧乙每集播放40分钟，收视观众为20万，根据合同，要求电视台每周至少播放12分钟广告，而电视剧播放时间每周不多于320分钟，设每周播放甲乙两套电视剧分别为x集、y集．
（Ⅰ）用x，y列出满足条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；
（Ⅱ）电视台每周应播映两套连续剧各多少集，才能使收视观众最多，最高收视观众有多少万人？参考答案：
【考点】函数模型的选择与应用．
【分析】（I）根据广告和连续剧的播放时间列不等式组即可；
（II）利用简单线性规划知识求出观众人数的最值．
【解答】解：（I）x，y列出满足条件的数学关系式为：，即．
相应的平面区域为：
（II）设每周收视观众为z万人，则z=60x+20y，
∴y=﹣3x+，
∴直线y=﹣3x+经过点A时，截距最大，
解方程组，得A（2，4），
∴z的最大值为60×2+20×4=200．
∴每周播放连续剧甲2集，连续剧乙4集收视观众最多，最高收视观众为200万人．20. 已知半径为5的圆的圆心在轴上，圆心的横坐标是整数，且与直线相切．（1）求圆的标准方程；
（2）设直线与圆相交于两点，求实数的取值范围；
（3）在（2）的条件下，是否存在实数，使得弦的垂直平分线过点，
参考答案：
(1);(2) 或a<0;(3) 存在。

21.
参考答案：
有极大值，又，，即当时，的最大值为，∵当时，恒成立，∴，解得或。

所以的取值范围是。

略
22. 已知函数f（x）=，
①若f（a）=14，求a的值
②在平面直角坐标系中，作出函数y=f（x）的草图．（需标注函数图象与坐标轴交点处所表示的实数）
参考答案：
【考点】3O：函数的图象；36：函数解析式的求解及常用方法．【分析】①分当a≥0时和当a＜0时2种情况，分别根据f（a）=14，求得a的值．②分当x≥0时和当x＜0时2种情况，分别作出函数f（x）的图象．
【解答】解：①∵函数f（x）=，f（a）=14，
当a≥0时，由f（a）=2a﹣2=14，求得a=4；
当a＜0时，由f（a）=1﹣2a=14，求得a=﹣．
综上可得，a=4或a=﹣．
②当x≥0时，把函数y=2x的图象向下平移2个单位，
可得f（x）的图象；
当x＜0时，作出函数y=1﹣2x的图象即可得到f（x）的图象．
在平面直角坐标系中，作出函数y=f（x）的草图，如图所示：。