安徽省合肥市新华中学2020年高二数学理月考试卷含解析

安徽省合肥市新华中学2020年高二数学理月考试卷含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 早上从起床到出门需要洗脸刷牙(5 min)、刷水壶(2 min)、烧水(8 min)、泡面(3 min)、吃饭(10 min)、听广播(8 min)几个步骤、从下列选项中选最好的一种算法（）
A．S1 洗脸刷牙、S2刷水壶、S3 烧水、S4 泡面、S5 吃饭、S6 听广播
B．刷水壶、S2烧水同时洗脸刷牙、S3泡面、S4吃饭、S5 听广播
C．刷水壶、S2烧水同时洗脸刷牙、S3泡面、S4吃饭同时听广播
D．吃饭同时听广播、S2泡面、S3烧水同时洗脸刷牙、S4刷水壶
参考答案：
C
2. 双曲线左支上一点P到其左、右两焦点F1、F2的距离之和为8，
则点P到左焦点F1的距离是
A. 9
B. 7
C. 4
D. 1
参考答案：
D
3. 已知椭圆和双曲线有共同的焦点F1，F2，P是它们的一个交点，且∠F1PF2=，记椭圆和双曲线的离心率分别为e1，e2，则当e1e2取最小值时，e1，e2分别为（）
A．，B．，C．，D．，
参考答案：
C
【考点】椭圆的简单性质．
【分析】设出椭圆与双曲线的标准方程分别为：（a＞b＞0），（a1＞0，b1＞0），利用定义可得：m+n=2a，m﹣n=2a1，解出m，n．利用余弦定理可得关于e1，e2的等式，再由基本不等式求得当e1e2取最小值时，e1，e2的值．
【解答】解：不妨设椭圆与双曲线的标准方程分别为：（a＞b＞0），（a1＞0，b1＞0），
设|PF1|=m，|PF2|=n．m＞n．
则m+n=2a，m﹣n=2a1，
∴m=a+a1，n=a﹣a1．
cos=，
化为： =（a+a1）（a﹣a1）．
∴﹣4c2=0，
∴，
∴4≥2，则，即，当且仅当e1=，e2=时取等号．
故选：C．
【点评】本题考查了椭圆与双曲线的定义标准方程及其性质、余弦定理、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．
4. 设a＞0，b＞0若是3a与3b的等比中项，则的最小值为( )
A．B．C．4 D．
参考答案：
B
考点：等比数列的通项公式；基本不等式．
专题：转化思想；等差数列与等比数列；不等式．
分析：利用等比数列的性质可得a+b=5．再利用基本不等式的性质即可得出．
解答：解：∵a＞0，b＞0，是3a与3b的等比中项，
∴=35，
化为a+b=5．
则===，当且仅当a=b=时取等号．
故选：B．
点评：本题考查了等比数列的性质、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
5. 不等式的解集是
A、 B、
C、 D、
参考答案：
C
6. 已知定义在R上的函数满足：，
，则方程在区间上的所有实根之和为
（）
A． B．C． D．
参考答案：
A
7. 已知、、成等比数列，且，若，为正常数，则的取值范围是
（）
A．B．C．D．
参考答案：
B
略
8. 在中，若，则B等于A．1050B．600或1200C．150D．1050或150
参考答案：
D
9. 函数的定义域为集合，函数的定义域为集合，则
A． B． C． D．
参考答案：
A
略
10. 命题p：存在实数m，使方程x2＋mx＋1＝0有实数根，则“非p”形式的命题是（）
A、存在实数m，使得方程x2＋mx＋1＝0无实根
B、至少有一个实数m，使得方程x2＋mx＋1＝0有实根
C、对任意的实数m，使得方程x2＋mx＋1＝0无实根
D、至多有一个实数m，使得方程x2＋mx＋1＝0有实根
参考答案：
C
略
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 设函数y=f（x）的定义域为R，若对于给定的正数k，定义函数f k（x）=则当函
数f（x）=，k=1时，定积分f k（x）dx 的值为．
参考答案：
1+2ln2
【考点】67：定积分．
【分析】根据f k（x）的定义求出f k（x）的表达式，然后根据积分的运算法则即可得到结论．
【解答】解：由定义可知当k=1时，f1（x）=，即f1（x）=，
则定积分f k（x）dx==lnx|+x|=ln1﹣ln+2﹣1=1+2ln2，
故答案为：1+2ln2．
12. 已知集合A＝，B＝，若A∩B＝，则实数a的取值范围是
.
参考答案：
[0，1]
13. 已知z=2x﹣y，式中变量x，y满足约束条件，则z的最大值为．
参考答案：
5
【考点】简单线性规划．
【分析】先根据约束条件画出可行域，设z=2x﹣y，再利用z的几何意义求最值，只需求出直线z=2x
﹣y过可行域内的点A时，从而得到z=2x﹣y的最大值即可．
【解答】解：依题意，画出可行域（如图示），
则对于目标函数y=2x﹣z，
当直线经过A（2，﹣1）时，
z取到最大值，Z max=5．
故答案为：5．
14. 已知双曲线C的右焦点为F，过F的直线l与双曲线C交于不同两点A、B，且A、B两点间的距离
恰好等于焦距，若这样的直线l有且仅有两条，则双曲线C的离心率的取值范围为．
参考答案：
（1，）∪（2，+∞）
【考点】双曲线的简单性质．
【分析】讨论当A，B均在右支上，可得c＞，当A，B在左右两支上，可得c＞2a，运用离心率
公式，解不等式即可得到所求范围．
【解答】解：当A，B均在右支上，可得c＞，
即有2b2＜ac，即2c2﹣ac﹣2a2＜0，
即为2e2﹣e﹣2＜0，
解得1＜e＜；
当A，B在左右两支上，可得c＞2a，
即有e＞2．
故答案为：（1，）∪（2，+∞）
15. 某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为3:3:4，现用分层抽样的方法从该校高中三个年级
的学生中抽取容量为50的样本，则应从高二年级抽取________名学生。

参考答案：
15
16. 正四面体ABCD的棱长为1，E在BC上，F在AD上，BE = 2 EC，DF = 2 FA，则EF的长度
是。

参考答案：
17. 已知函数f（x）=﹣kx（e为自然对数的底数）有且只有一个零点，则实数k的取值范围
是．
参考答案：
（0，）
【考点】54：根的存在性及根的个数判断．
【分析】把函数f（x）=﹣kx有且只有一个零点转化为方程k=有且只有一根，构造函数g
（x）=，求出函数的导函数，再求其极值，数形结合得答案．
【解答】解：由f（x）=﹣kx=0，得=kx，
∵x≠0，∴k=，
令g（x）=，则g′（x）=，
令g′（x）=0，解得x=1，
当x＞2或x＜0时，g′（x）＞0，函数g（x）单调递增，
当0＜x＜2时，g′（x）＜0，函数g（x）单调递减．
∴当x=2时，函数有极小值，即g（2）=，
且当x＜0，时，g（x）∈（0，+∞），
∵函数f（x）=﹣kx（e为自然对数的底数）有且只有一个零点，结合图象可得，
∴0＜k＜，
故答案为：（0，）．
【点评】本题考查根的存在性及根的个数判断，考查利用导数求函数的极值，熟练掌握函数零点与方程根之间的对应关系是解答的关键，是中档题．
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 设双曲线的半焦距为c，已知直线l过（a，0），（0，b）两点，且原点O 到直线l的距离为，求此双曲线的离心率．
参考答案：
【考点】KC：双曲线的简单性质．
【分析】先求出直线l的方程，利用原点到直线l的距离为，及又c2=a2+b2，求出离心率的平方e2，进而求出离心率．
【解答】解：由题设条件知直线l的方程为即：ay+bx﹣ab=0
∵原点O到直线l的距离为∴
又c2=a2+b2∴从而16a2（c2﹣a2）=3c4
∵a＞0∴3e4﹣16e2+16=0解得：e2=4或
∵0＜a＜b∴
∴e2=4又e＞1
所以此双曲线的离心率为2
19. 如图，在直角坐标系xOy中，已知椭圆C：(a>b>0)的离心率左、右两个焦点分别为F1，F2过右焦点F2且与x轴垂直的直线与椭圆C相交于M，N两点，且|MN|＝1.
(Ⅰ)求椭圆C的方程；
(Ⅱ)设椭圆C的左顶点为A，下顶点为B，动点P满足，试求点P的轨迹方程，使点B关于该轨迹的对称点落在椭圆C上．
参考答案：
略
20. 已知函数在点
处的切线方程为
.
（1）求a 、b 的值； （2）求f (x )在R 上的极值.
参考答案：
（1）；（2）极小值为－4，极大值为28.
【分析】
（1）根据导数的几何意义，求出切线斜率，再利用切点既在切线上又在函数图象上，列出两个方程，即可求出、的值；（2）利用导数求极值的步骤，求导，再求导函数零点，判断零点两侧符号，即可求出极值。

【详解】（1） ，所以
，解得；
（2）由（Ⅰ）知，，，
令，解得或
由得，或
由
得，
当变化时， 的变化情况如下表：
因此，当时，
有极小值，极小值为
当
时，
有极大值，极大值为。

【点睛】本题主要考查曲线在某点处的切线求法，以及利用导数求函数的极值。

21. (本小题满分
分)
已知数列的前项和为
，且，
．从中抽出部分项
,
组成的数列
是等比数列，设该等比数列的公比为
，其中．
（Ⅰ）求证数列是等差数列，并求
；
（Ⅱ）求数列
的前项和．
参考答案：
22. 如图，在棱长为a 的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，点E ，F 分别为棱BC ，DC 上的动点，且BE=CF ．
（1）求证：B 1F⊥D 1E ；
（2）当三棱锥C1﹣FCE的体积取到最大值时，求二面角C1﹣FE﹣C的正切值．
参考答案：
【考点】与二面角有关的立体几何综合题；空间中直线与直线之间的位置关系．
【专题】计算题．
【分析】（1）因为是正方体，又是空间垂直问题，所以易采用向量法，所以建立如图所示的空间直角坐标系D﹣xyz，欲证B1F⊥D1E，只须证再用向量数量积公式求解即可．
（2）由题意可得：当三棱锥C1﹣FCE的体积取到最大值时，即其底面积△FEC最大，可得点E、F分别是BC、CD的中点时取最大值，再根据线面关系得到∠C1OC为二面角C1﹣FE﹣C的平面角，进而利用解三角形的有关知识求出答案即可．
【解答】解：（1）如图，以D为坐标原点，直线DA、DC、DD1分别x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，
如图所示：
设BE=CF=b，
则D1（0，0，a），E（a﹣b，a，0），F（0，a﹣b，0），B1（a，a，a），
所以，，
所以，
所以B1F⊥D1E．（2）由题意可得：当三棱锥C1﹣FCE的体积取到最大值时，即其底面积△FEC最大，即S△FEC=b（a﹣b）最大，
由二次函数的性质可得：当b=时，其底面积取最大值，即点E、F分别是
BC、CD的中点，
所以C1F=C1E，CE=CF．
取EF的中点为O，连接C1O，CO，
所以C1O⊥EF，CO⊥EF，
所以∠C1OC为二面角C1﹣FE﹣C的平面角．
在△C1OC中，C1C=a，CO=，所以tan∠C1OC=2．
所以二面角C1﹣FE﹣C的正切值为2．
【点评】本题主要考查向量证明线线的垂直关系，以及考查几何体的体积与二面角的平面角等问题，也可以利用向量的方法解决二面角的问题，次方法比较方便灵活，是常考类型，属中档题．。