高考数学一轮复习 第八章 平面解析几何 8.9 圆锥曲线

【步步高】（浙江通用）2017版高考数学一轮复习第八章平面解析几何 8.9 圆锥曲线的综合问题课时1 直线与圆锥曲线
1．直线与圆锥曲线的位置关系的判断
将直线方程与圆锥曲线方程联立，消去一个变量得到关于x(或y)的一元方程：ax2＋bx＋c ＝0 (或ay2＋by＋c＝0)．
(1)若a≠0，可考虑一元二次方程的判别式Δ，有
①Δ>0⇔直线与圆锥曲线相交；
②Δ＝0⇔直线与圆锥曲线相切；
③Δ<0⇔直线与圆锥曲线相离．
(2)若a＝0，b≠0，即得到一个一元一次方程，则直线l与圆锥曲线E相交，且只有一个交点，
①若E为双曲线，则直线l与双曲线的渐近线的位置关系是平行；
②若E为抛物线，则直线l与抛物线的对称轴的位置关系是平行或重合．
2．圆锥曲线的弦长
设斜率为k(k≠0)的直线l与圆锥曲线C相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则|AB|＝1＋k2
|x2－x1|＝1＋1
k2
|y2－y1|.
【知识拓展】
过一点的直线与圆锥曲线的位置关系
(1)过椭圆外一点总有两条直线与椭圆相切；
过椭圆上一点有且只有一条直线与椭圆相切；
过椭圆内一点的直线与椭圆相交．
(2)过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点：两条切线和一条与对称轴平行或重合的直线；
过抛物线上一点总有两条直线与抛物线有且只有一个公共点：一条切线和一条与对称轴平行或重合的直线；
过抛物线内一点只有一条直线与抛物线有且只有一个公共点：一条与对称轴平行或重合的直线.
(3)过双曲线外不在渐近线上的一点总有四条直线与双曲线有且只有一个交点：两条切线和两条与渐近线平行的直线；
过双曲线上一点总有三条直线与双曲线有且只有一个交点：一条切线和两条与渐近线平行的
直线；
过双曲线内一点总有两条直线与双曲线有且只有一个交点：两条与渐近线平行的直线． 【思考辨析】
判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)直线l 与抛物线y 2
＝2px 只有一个公共点，则l 与抛物线相切．( × ) (2)直线y ＝kx (k ≠0)与双曲线x 2
－y 2
＝1一定相交．( × )
(3)与双曲线的渐近线平行的直线与双曲线有且只有一个交点．( √ ) (4)直线与椭圆只有一个交点⇔直线与椭圆相切．( √ ) (5)过点(2,4)的直线与椭圆x 2
4
＋y 2
＝1只有一条切线．( × )
(6)满足“直线y ＝ax ＋2与双曲线x 2
－y 2
＝4只有一个公共点”的a 的值有4个．( √ )
1．直线y ＝kx －k ＋1与椭圆x 29＋y 2
4＝1的位置关系为( )
A ．相交
B ．相切
C ．相离
D ．不确定 答案 A
解析 直线y ＝kx －k ＋1＝k (x －1)＋1恒过定点(1,1)，又点(1,1)在椭圆内部，故直线与椭圆相交．
2．若直线y ＝kx 与双曲线x 29－y 2
4
＝1相交，则k 的取值范围是( )
A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，23
B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，0
C.⎝ ⎛⎭
⎪⎫－23，23 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－23∪⎝ ⎛⎭⎪⎫23，＋∞ 答案 C
解析 双曲线x 29－y 2
4＝1的渐近线方程为y ＝±2
3
x ，
若直线与双曲线相交，数形结合，得k ∈⎝ ⎛⎭
⎪⎫－23，23.
3．过点(0,1)作直线，使它与抛物线y 2
＝4x 仅有一个公共点，这样的直线有( )
A ．1条
B ．2条
C ．3条
D ．4条
答案 C
解析 过(0,1)与抛物线y 2
＝4x 相切的直线有2条，过(0,1)与对称轴平行的直线有一条，这三条直线与抛物线都只有一个公共点．
4．(2014·山东)已知双曲线x 2a 2－y 2b
2＝1(a >0，b >0)的焦距为2c ，右顶点为A ，抛物线x 2
＝
2py (p >0)的焦点为F .若双曲线截抛物线的准线所得线段长为2c ，且|FA |＝c ，则双曲线的渐近线方程为________． 答案 y ＝±x
解析 抛物线的准线y ＝－p
2，焦点F ⎝ ⎛
⎭⎪⎫
0，p 2，
∴a 2
＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫p 22
＝c 2
.①
设抛物线的准线y ＝－p 2交双曲线于M ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1
，－p 2，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2
，－p 2两点，∴⎩⎪⎨⎪⎧
y ＝－p 2，x 2
a 2
－y 2b 2
＝1，
即x
2
a 2－⎝ ⎛⎭
⎪⎫－p 22
b
2＝1，解得x ＝±a p 2
4b
2＋1， ∴2a
p 2
4b
2＋1＝2c .② 又∵b 2
＝c 2
－a 2
，③
∴由①②③，得c 2
a 2＝2.
∴b 2a 2＝c 2
a
2－1＝1， 解得b a
＝1.
∴双曲线的渐近线方程为y ＝±x .
5．已知倾斜角为60°的直线l 通过抛物线x 2
＝4y 的焦点，且与抛物线相交于A 、B 两点，则弦AB 的长为________． 答案 16
解析 直线l 的方程为y ＝3x ＋1，
由⎩⎨
⎧
y ＝3x ＋1x 2＝4y
得y 2
－14y ＋1＝0.
设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝14， ∴|AB |＝y 1＋y 2＋p ＝14＋2＝16.
课时1 直线与圆锥曲线
题型一 直线与圆锥曲线的位置关系
例1 (1)过抛物线y 2
＝2x 的焦点作一条直线与抛物线交于A ，B 两点，它们的横坐标之和等于2，则这样的直线( )
A ．有且只有一条
B ．有且只有两条
C ．有且只有三条
D ．有且只有四条
(2)(2014·湖北)设a ，b 是关于t 的方程t 2
cos θ＋t sin θ＝0的两个不等实根，则过A (a ，
a 2)，B (
b ，b 2
)两点的直线与双曲线
x 2cos 2θ－y 2
sin 2
θ
＝1的公共点的个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 答案 (1)B (2)A
解析 (1)设抛物线的焦点为F ，A (x A ，y A )，B (x B ，y B )，则|AB |＝|AF |＋|BF |＝x A ＋p 2＋x B ＋
p
2＝x A ＋x B ＋1＝2＋1＝3>2p ＝2.所以符合条件的直线有两条．
(2)关于t 的方程t 2
cos θ＋t sin θ＝0的两个不等实根为0，－tan θ(tan θ≠0)，则过
A ，
B 两点的直线方程为y ＝－x tan θ，双曲线
x 2cos 2θ－y 2
sin 2
θ
＝1的渐近线方程为y ＝±x tan θ，所以直线y ＝－x tan θ与双曲线没有公共点．故选A.
(3)在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C 1：x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a >b >0)的左焦点为F 1(－1,0)，且点
P (0,1)在C 1上．
①求椭圆C 1的方程；
②设直线l 同时与椭圆C 1和抛物线C 2：y 2
＝4x 相切，求直线l 的方程．
解 ①根据椭圆的左焦点为F 1(－1,0)，知a 2
－b 2
＝1，又根据点P (0,1)在椭圆上，知b ＝1，所以a ＝2，所以椭圆C 1的方程为x 2
2＋y 2
＝1.
②因为直线l 与椭圆C 1和抛物线C 2都相切， 所以其斜率存在且不为0，
设直线l 的方程为y ＝kx ＋m (k ≠0)，
代入椭圆方程得x 2
2
＋(kx ＋m )2
＝1，
即⎝ ⎛⎭
⎪⎫12＋k 2x 2＋2kmx ＋m 2
－1＝0， 由题意可知此方程有唯一解，
此时Δ＝4k 2m 2
－4⎝ ⎛⎭
⎪⎫12＋k 2(m 2－1)＝0，
即m 2
＝2k 2
＋1.①
把y ＝kx ＋m (k ≠0)代入抛物线方程得k
4y 2
－y ＋m ＝0，由题意可知此方程有唯一解，此时Δ
＝1－mk ＝0， 即mk ＝1.②
联立①②得⎩
⎪⎨
⎪⎧
m 2
＝2k 2
＋1，
mk ＝1，解得k 2
＝12
，
所以⎩⎪⎨⎪⎧
k ＝22，
m ＝2，
或⎩⎪⎨
⎪⎧
k ＝－22，
m ＝－2，
所以直线l 的方程为y ＝
22x ＋2或y ＝－2
2
x － 2. 思维升华 研究直线与圆锥曲线位置关系的方法
研究直线和圆锥曲线的位置关系，一般转化为研究其直线方程与圆锥曲线方程组成的方程组解的个数．对于选择题、填空题，常充分利用几何条件，利用数形结合的方法求解．
已知直线l ：y ＝2x ＋m ，椭圆C ：x 24＋y 2
2
＝1.试问当m 取何值时，直线l 与椭圆
C ：
(1)有两个不重合的公共点； (2)有且只有一个公共点； (3)没有公共点．
解 将直线l 的方程与椭圆C 的方程联立，
得方程组⎩⎪⎨⎪⎧
y ＝2x ＋m ， ①x 24＋y
2
2
＝1， ②
将①代入②，整理得9x 2
＋8mx ＋2m 2
－4＝0.③
方程③根的判别式Δ＝(8m )2
－4×9×(2m 2
－4)＝－8m 2
＋144.
(1)当Δ>0，即－32<m <32时，方程③有两个不同的实数根，可知原方程组有两组不同的
实数解．这时直线l与椭圆C有两个不重合的公共点．
(2)当Δ＝0，即m＝±32时，方程③有两个相同的实数根，可知原方程组有两组相同的实数解．这时直线l与椭圆C 有两个互相重合的公共点，即直线l与椭圆C有且只有一个公共点．
(3)当Δ<0，即m<－32或m>32时，方程③没有实数根，可知原方程组没有实数解．这时直线l与椭圆C没有公共点．
题型二弦长问题
例2 已知椭圆C：
x2
a2
＋
y2
b2
＝1(a>b>0)的一个顶点为A(2,0)，离心率为
2
2
.直线y＝k(x－1)与椭圆C交于不同的两点M，N.
(1)求椭圆C的方程；
(2)当△AMN的面积为
10
3
时，求k的值．
解(1)由题意得
⎩⎪
⎨
⎪⎧a＝2，
c
a
＝
2
2
，
a2＝b2＋c2，
解得b＝2，所以椭圆C的方程为
x2
4
＋
y2
2
＝1.
(2)由
⎩⎪
⎨
⎪⎧
y＝k x－1，
x2
4
＋
y2
2
＝1，
得(1＋2k2)x2－4k2x＋2k2－4＝0.
设点M，N的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，
则y1＝k(x1－1)，y2＝k(x2－1)，
x1＋x2＝
4k2
1＋2k2
，x1x2＝
2k2－4
1＋2k2
，
所以|MN|＝x2－x12＋y2－y12
＝1＋k2[x1＋x22－4x1x2]
＝
21＋k24＋6k2
1＋2k2
又因为点A (2,0)到直线y ＝k (x －1)的距离d ＝
|k |1＋k
2
，
所以△AMN 的面积为S ＝12|MN |·d ＝|k |4＋6k
2
1＋2k 2
， 由|k |4＋6k 2
1＋2k 2
＝10
3
，解得k ＝±1. 思维升华 有关圆锥曲线弦长问题的求解方法：
涉及弦长的问题中， 应熟练的利用根与系数的关系、设而不求法计算弦长；涉及垂直关系时也往往利用根与系数的关系、设而不求法简化运算；涉及过焦点的弦的问题，可考虑用圆锥曲线的定义求解．
(2015·湖南)已知抛物线C 1 ：x 2
＝4y 的焦点F 也是椭圆C 2：y 2a 2＋x 2
b
2＝1(a >b >0)
的一个焦点．C 1 与C 2的公共弦的长为2 6.过点F 的直线l 与C 1相交于A ，B 两点，与C 2相交于C ，D 两点，且AC →与BD →
同向． (1)求C 2的方程；
(2)若|AC |＝|BD |，求直线l 的斜率．
解 (1)由C 1：x 2
＝4y 知其焦点F 的坐标为(0,1)． 因为F 也是椭圆C 2的一个焦点，所以a 2
－b 2
＝1.①
又C 1与C 2的公共弦的长为26，C 1与C 2都关于y 轴对称，且C 1的方程为x 2
＝4y ，由此易知C 1与C 2的公共点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫±6，32，所以94a 2＋6b 2＝1.② 联立①②，得a 2
＝9，b 2
＝8. 故C 2的方程为y 29＋x 2
8
＝1.
(2)如图，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)，D (x 4，y 4)．
因AC →与BD →同向，且|AC |＝|BD |，所以AC →＝BD →
，从而x 3－x 1＝x 4－x 2，即x 1－x 2＝x 3－x 4， 于是(x 1＋x 2)2
－4x 1x 2＝(x 3＋x 4)2
－4x 3x 4.③ 设直线l 的斜率为k ，则l 的方程为y ＝kx ＋1.
由⎩⎪⎨⎪⎧
y ＝kx ＋1，x 2
＝4y
得x 2
－4kx －4＝0.
而x 1，x 2是这个方程的两根， 所以x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－4.④
由⎩⎪⎨⎪⎧
y ＝kx ＋1，x 28＋y
29
＝1得(9＋8k 2)x 2
＋16kx －64＝0.
而x 3，x 4是这个方程的两根，
所以x 3＋x 4＝－16k 9＋8k 2，x 3x 4＝－649＋8k 2，⑤
将④⑤代入③，得16(k 2
＋1)＝162k
2
9＋8k
2
2
＋
4×64
9＋8k
2， 即16(k 2
＋1)＝162
×9k 2
＋1
9＋8k
22
， 所以(9＋8k 2)2
＝16×9，解得k ＝±64，即直线l 的斜率为±64
. 题型三 中点弦问题
例3 (1)已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2
b
2＝1(a >b >0)的右焦点为F (3,0)，过点F 的直线交E 于A ，B 两
点．若AB 的中点坐标为(1，－1)，则E 的方程为( ) A.x 245＋y 236＝1 B.x 236＋y 2
27＝1 C.x 2
27＋y 2
18＝1 D.x 2
18＋y 2
9
＝1 (2)已知双曲线x 2
－y 2
3
＝1上存在两点M ，N 关于直线y ＝x ＋m 对称，且MN 的中点在抛物线
y 2＝18x 上，则实数m 的值为________．
答案 (1)D (2)0或－8
解析 (1)因为直线AB 过点F (3,0)和点(1，－1)，所以直线AB 的方程为y ＝1
2
(x －3)，代入
椭圆方程x 2a 2＋y 2b 2＝1消去y ，得⎝ ⎛⎭
⎪⎫a 24＋b 2x 2－32a 2x ＋94a 2－a 2b 2＝0，所以AB 的中点的横坐标为
32
a 2
2⎝ ⎛⎭
⎪⎫a
2
4＋b 2
＝1，即a 2＝2b 2，又a 2＝b 2＋c 2
，所以b ＝c ＝3，a ＝32，选D.
(2)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，MN 的中点P (x 0，y 0)，
则⎩⎪⎨⎪⎧
x 21－y 21
3＝1， ①x 22
－y
22
3＝1， ②
x 1＋x 2＝2x 0， ③y 1
＋y 2
＝2y 0
， ④
由②－①得(x 2－x 1)(x 2＋x 1)＝13(y 2－y 1)(y 2＋y 1)，显然x 1≠x 2.∴y 2－y 1x 2－x 1·y 2＋y 1x 2＋x 1＝3，即k MN ·
y 0
x 0＝3，
∵M ，N 关于直线y ＝x ＋m 对称，∴k MN ＝－1， ∴y 0＝－3x 0.
又∵y 0＝x 0＋m ，∴P ⎝ ⎛⎭
⎪⎫－m 4，3m 4，
代入抛物线方程得916m 2＝18·⎝ ⎛⎭⎪⎫－m 4， 解得m ＝0或－8，经检验都符合． 思维升华 处理中点弦问题常用的求解方法
(1)点差法：即设出弦的两端点坐标后，代入圆锥曲线方程，并将两式相减，式中含有x 1＋
x 2，y 1＋y 2，y 1－y 2
x 1－x 2
三个未知量，这样就直接联系了中点和直线的斜率，借用中点公式即可求
得斜率．
(2)根与系数的关系：即联立直线与圆锥曲线的方程得到方程组，化为一元二次方程后，由根与系数的关系求解．
设抛物线过定点A (－1,0)，且以直线x ＝1为准线．
(1)求抛物线顶点的轨迹C 的方程；
(2)若直线l 与轨迹C 交于不同的两点M ，N ，且线段MN 恰被直线x ＝－1
2平分，设弦MN 的垂
直平分线的方程为y ＝kx ＋m ，试求m 的取值范围． 解 (1)设抛物线顶点为P (x ，y )，则焦点F (2x －1，y )． 再根据抛物线的定义得|AF |＝2，即(2x )2
＋y 2
＝4， 所以轨迹C 的方程为x 2
＋y 2
4
＝1.
(2)设弦MN 的中点为P ⎝ ⎛⎭
⎪⎫－12，y 0，M (x M ，y M )，N (x N ，y N )，则由点M ，N 为椭圆C 上的点， 可知⎩
⎪⎨⎪⎧
4x 2
M ＋y 2
M ＝4，
4x 2N ＋y 2
N ＝4.
两式相减，得
4(x M －x N )(x M ＋x N )＋(y M －y N )(y M ＋y N )＝0，
将x M ＋x N ＝2×⎝ ⎛⎭
⎪⎫－12＝－1，y M ＋y N ＝2y 0， y M －y N x M －x N ＝－1k 代入上式得k ＝－y 0
2
.
又点P ⎝ ⎛⎭
⎪⎫－12，y 0在弦MN 的垂直平分线上，
所以y 0＝－1
2k ＋m .
所以m ＝y 0＋12k ＝3
4
y 0.
由点P (－12，y 0)在线段BB ′上(B ′，B 为直线x ＝－1
2与椭圆的交点，如图所示)，
所以y B ′<y 0<y B ，也即－3<y 0< 3. 所以－334<m <33
4
，且m ≠0.
[方法与技巧] 1．有关弦的三个问题
涉及弦长的问题，应熟练地利用根与系数的关系，设而不求计算弦长；涉及垂直关系往往也是利用根与系数的关系设而不求简化运算；涉及过焦点的弦的问题，可考虑利用圆锥曲线的定义求解．
2．求解与弦有关问题的两种方法
(1)方程组法：联立直线方程和圆锥曲线方程，消元(x 或y )成为二次方程之后，结合根与系数的关系，建立等式关系或不等式关系．
(2)点差法：在求解圆锥曲线且题目中已有直线与圆锥曲线相交和被截线段的中点坐标时，设出直线和圆锥曲线的两个交点坐标，代入圆锥曲线的方程并作差，从而求出直线的斜率，然后利用中点求出直线方程．“点差法”的常见题型有：求中点弦方程、求(过定点、平行弦)弦中点轨迹、垂直平分线问题．必须提醒的是“点差法”具有不等价性，即要考虑判别式Δ是否为正数．
[失误与防范]
判断直线与圆锥曲线位置关系时的注意点
(1)直线与双曲线交于一点时，易误认为直线与双曲线相切，事实上不一定相切，当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交于一点．
(2)直线与抛物线交于一点时，除直线与抛物线相切外易忽视直线与对称轴平行时也相交于一点．
A 组 专项基础训练 (时间：40分钟)
1．若直线mx ＋ny ＝4与⊙O ：x 2
＋y 2
＝4没有交点，则过点P (m ，n )的直线与椭圆x 29＋y 2
4＝1
的交点个数是( ) A ．至多为1 B ．2
C ．1
D ．0 答案 B 解析 由题意知：
4m 2＋n
2
>2，即m 2＋n 2
<2，
∴点P (m ，n )在椭圆x 29＋y 2
4
＝1的内部，故所求交点个数是2.
2．直线y ＝b a x ＋3与双曲线x 2a 2－y 2
b
2＝1的交点个数是( )
A ．1
B ．2
C ．1或2
D ．0 答案 A
解析 因为直线y ＝b
a x ＋3与双曲线的渐近线y ＝
b a
x 平行，所以它与双曲线只有1个交点．
3．已知椭圆C 的方程为x 2
16＋y 2m 2＝1(m >0)，如果直线y ＝2
2
x 与椭圆的一个交点M 在x 轴上
的射影恰好是椭圆的右焦点F ，则m 的值为( ) A ．2 B ．2 2 C ．8 D ．2 3 答案 B
解析 根据已知条件得c ＝16－m 2
，则点(16－m 2
，2216－m 2
)在椭圆x 216＋y 2
m
2＝1(m >0)上，
∴16－m 216＋16－m
2
2m
2＝1，可得m ＝2 2.
4．把圆x 2
＋(y －1)2
＝1与椭圆9x 2
＋(y ＋1)2
＝9的公共点用线段连接起来所得到的图形为( )
A ．线段
B ．不等边三角形
C ．等边三角形
D ．四边形 答案 C
解析 联立圆x 2＋(y －1)2
＝1与椭圆
9x 2
＋(y ＋1)2
＝9，解得⎩⎪⎨
⎪⎧
x 1
＝3
2，
y 1
＝12
或
⎩⎪⎨⎪⎧
x 2＝－3
2，y 2
＝12
或⎩⎪⎨
⎪
⎧
x 3＝0，y 3＝2，
∴交点为A ⎝
⎛⎭⎪⎫32，12，B ⎝ ⎛
⎭
⎪⎫－32，12，C (0,2)， ∴AB ＝AC ＝BC ＝ 3.
∴得到的图形为等边三角形．
5．斜率为1的直线l 与椭圆x 2
4＋y 2
＝1相交于A ，B 两点，则|AB |的最大值为( )
A ．2 B.45
5 C.4105
D.810
5
答案 C
解析 设A ，B 两点的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)， 直线l 的方程为y ＝x ＋t ，
由⎩
⎪⎨
⎪⎧
x 2
＋4y 2
＝4，y ＝x ＋t 消去y ，得5x 2＋8tx ＋4(t 2
－1)＝0，
则x 1＋x 2＝－85t ，x 1x 2＝
4
t 2－1
5
.
∴|AB |＝1＋k 2
|x 1－x 2| ＝1＋k 2
·
x 1＋x 2
2
－4x 1x 2
＝2·
⎝ ⎛⎭
⎪⎫－85t 2－4×4t 2
－15 ＝425
·5－t 2
，
当t ＝0时，|AB |max ＝410
5
.
6．过双曲线x 2
－y 2
2＝1的右焦点作直线l 交双曲线于A 、B 两点，若使得|AB |＝λ的直线l
恰有3条，则λ＝___________________________________________________. 答案 4
解析 ∵使得|AB |＝λ的直线l 恰有3条． ∴根据对称性，其中有一条直线与实轴垂直．
此时A ，B 的横坐标为3，代入双曲线方程，可得y ＝±2，故|AB |＝4. ∵双曲线的两个顶点之间的距离是2，小于4，
∴过双曲线的焦点一定有两条直线使得交点之间的距离等于4， 综上可知，|AB |＝4时，有三条直线满足题意． ∴λ＝4.
7．在抛物线y ＝x 2上关于直线y ＝x ＋3对称的两点M ，N 的坐标分别为______________． 答案 (－2,4)，(1,1)
解析 设直线MN 的方程为y ＝－x ＋b ， 代入y ＝x 2
中，
整理得x 2＋x －b ＝0，令Δ＝1＋4b >0， ∴b >－14
.
设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－1，
y 1＋y 2
2
＝－
x 1＋x 2
2＋b ＝1
2
＋b ，
由⎝ ⎛⎭
⎪⎫－12，12＋b 在直线y ＝x ＋3上， 即12＋b ＝－1
2
＋3，解得b ＝2， 联立得⎩⎪⎨⎪⎧
y ＝－x ＋2，y ＝x 2
，
解得⎩
⎪⎨
⎪⎧
x 1＝－2，y 1＝4，⎩
⎪⎨
⎪⎧
x 2＝1，
y 2＝1.
8．过椭圆x 216＋y 2
4＝1内一点P (3,1)，且被这点平分的弦所在直线的方程是____________．
答案 3x ＋4y －13＝0
解析 设直线与椭圆交于A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)两点， 由于A 、B 两点均在椭圆上， 故x 2116＋y 214＝1，x 2216＋y 22
4＝1， 两式相减得
x 1＋x 2
x 1－x 2
16
＋
y 1＋y 2
y 1－y 2
4
＝0.
又∵P 是A 、B 的中点，∴x 1＋x 2＝6，y 1＋y 2＝2， ∴k AB ＝
y 1－y 2x 1－x 2＝－3
4
. ∴直线AB 的方程为y －1＝－3
4(x －3)．
即3x ＋4y －13＝0.
9．设F 1，F 2分别是椭圆E ：x 2a 2＋y 2
b 2＝1 (a >b >0)的左，右焦点，过F 1且斜率为1的直线l 与
E 相交于A ，B 两点，且|A
F 2|，|AB |，|BF 2|成等差数列．
(1)求E 的离心率；
(2)设点P (0，－1)满足|PA |＝|PB |，求E 的方程． 解 (1)由椭圆定义知|AF 2|＋|BF 2|＋|AB |＝4a ， 又2|AB |＝|AF 2|＋|BF 2|，得|AB |＝4
3
a ，
l 的方程为y ＝x ＋c ，其中c ＝a 2－b 2.
设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则A ，B 两点的坐标满足方程组⎩⎪⎨⎪⎧
y ＝x ＋c ，x 2a 2＋y
2
b
2＝1，消去y ，化简得
(a 2
＋b 2
)x 2
＋2a 2
cx ＋a 2
(c 2
－b 2
)＝0，则x 1＋x 2＝－2a 2
c a 2＋b 2，x 1x 2＝
a 2
c 2
－b
2
a 2＋
b 2
.
因为直线AB 的斜率为1，所以|AB |＝2|x 2－x 1|＝2[x 1＋x 2
2
－4x 1x 2]，即43a ＝4ab
2
a 2＋b
2，
故a 2
＝2b 2
，
所以E 的离心率e ＝c a ＝a 2－b 2a ＝2
2
.
(2)设AB 的中点为N (x 0，y 0)，由(1)知
x 0＝
x 1＋x 2
2＝－a 2
c a 2＋b 2＝－2c 3，y 0＝x 0＋c ＝c 3
. 由|PA |＝|PB |，得k PN ＝－1，即
y 0＋1
x 0
＝－1， 得c ＝3，从而a ＝32，b ＝3. 故椭圆E 的方程为x 218＋y 2
9
＝1.
10．(2014·湖北)在平面直角坐标系xOy 中，点M 到点F (1，0)的距离比它到y 轴的距离多1.记点M 的轨迹为C . (1)求轨迹C 的方程；
(2)设斜率为k 的直线l 过定点P (－2,1)，求直线l 与轨迹C 恰好有一个公共点、两个公共点、三个公共点时k 的相应取值范围．
解 (1)设点M (x ，y )，依题意得|MF |＝|x |＋1， 即
x －1
2
＋y 2
＝|x |＋1，
化简整理得y 2
＝2(|x |＋x )． 故点M 的轨迹C 的方程为y
2
＝⎩
⎪⎨
⎪⎧
4x ，x ≥0，0，x <0.
(2)在点M 的轨迹C 中，记C 1：y 2
＝4x (x ≥0)，
C 2：y ＝0(x <0)．
依题意，可设直线l 的方程为y －1＝k (x ＋2)．
由方程组⎩
⎪⎨⎪⎧
y －1＝k
x ＋2，
y 2
＝4x ，
可得ky 2
－4y ＋4(2k ＋1)＝0.(*1) ①当k ＝0时，此时y ＝1.
把y ＝1代入轨迹C 的方程，得x ＝1
4
.
故此时直线l ：y ＝1与轨迹C 恰好有一个公共点(1
4，1)．
②当k ≠0时，方程(*1)根的判别式为Δ＝－16(2k 2
＋k －1)．(*2) 设直线l 与x 轴的交点为(x 0,0)，则
由y －1＝k (x ＋2)，令y ＝0，得x 0＝－2k ＋1
k
.(*3)
(ⅰ)若⎩
⎪⎨
⎪⎧
Δ<0，x 0<0，由(*2)(*3)解得k <－1或k >1
2
.
即当k ∈(－∞，－1)∪(1
2
，＋∞)时，直线l 与C 1没有公共点，与C 2有一个公共点，故此时
直线l 与轨迹C 恰好有一个公共点．
(ⅱ)若⎩⎪⎨
⎪⎧
Δ＝0，x 0<0，
或⎩⎪⎨⎪⎧
Δ>0，
x 0≥0，
由(*2)(*3)解得k ∈{－1，12}，或－1
2
≤k <0.
即当x ∈{－1，1
2}时，直线l 与C 1只有一个公共点，与C 2有一个公共点．
当k ∈[－1
2，0)时，直线l 与C 1有两个公共点，与C 2没有公共点．
故当k ∈[－12，0)∪{－1，1
2
}时，直线l 与轨迹C 恰好有两个公共点．
(ⅲ)若⎩
⎪⎨
⎪⎧
Δ>0，
x 0<0，由(*2)(*3)解得－1<k <－12或0<k <1
2
.
即当k ∈(－1，－12)∪(0，1
2)时，直线l 与C 1有两个公共点，与C 2有一个公共点，故此时直
线l 与轨迹C 恰好有三个公共点．
综合①②可知，当k ∈(－∞，－1)∪(1
2，＋∞)∪{0}时，直线l 与轨迹C 恰好有一个公共
点；当k ∈[－12，0)∪{－1，12}时，直线l 与轨迹C 恰好有两个公共点；当k ∈(－1，－1
2)∪(0，
1
2
)时，直线l 与轨迹C 恰好有三个公共点． B 组 专项能力提升 (时间：25分钟)
11．过抛物线y 2
＝2px (p >0)焦点F 的直线l 与抛物线交于B ，C 两点，l 与抛物线准线交于点A ，且|AF |＝6，AF →＝2FB →
，则|BC |等于( ) A.9
2 B ．6 C.13
2 D ．8 答案 A
解析 不妨设直线l 的倾斜角为θ，其中0<θ<π
2，点B (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)，则点B 在x
轴的上方，过点B 作该抛物线的准线的垂线，垂足为B 1，于是有|BF |＝|BB 1|＝3，|AF ||AB |＝p
|BB 1|，
由此得p ＝2，抛物线方程是y 2
＝4x ，焦点F (1,0)，cos θ＝p |AF |＝p 6＝26＝1
3
，sin θ＝1－cos 2
θ＝
223，tan θ＝sin θ
cos θ
＝22，直线l ：y ＝2
2(x －1)．由
⎩⎨⎧
y ＝22x －1，y 2
＝4x
消去y ，得2x 2
－5x ＋2＝0，x 1＋x 2＝52，|BC |＝x 1＋x 2＋p ＝52＋2＝92
，
选A.
12．已知F 为抛物线y 2
＝x 的焦点，点A ，B 在该抛物线上且位于x 轴的两侧，OA →·OB →＝2(其中O 为坐标原点)，则△ABO 与△AFO 面积之和的最小值是( ) A ．2 B ．3 C.1728
D.10
答案 B
解析 设直线AB 的方程为x ＝ny ＋m (如图)，
A (x 1，y 1)，
B (x 2，y 2)，
∵OA →·OB →
＝2， ∴x 1x 2＋y 1y 2＝2. 又y 2
1＝x 1，y 2
2＝x 2， ∴y 1y 2＝－2.
联立⎩⎪⎨
⎪⎧
y 2＝x ，x ＝ny ＋m ，
得y 2
－ny －m ＝0，
∴y 1y 2＝－m ＝－2， ∴m ＝2，即点M (2,0)． 又S △ABO ＝S △AMO ＋S △BMO
＝12|OM ||y 1|＋1
2
|OM ||y 2|＝y 1－y 2， S △AFO ＝1
2|OF |·|y 1|＝18
y 1，
∴S △ABO ＋S △AFO ＝y 1－y 2＋18y 1
＝98y 1＋2y 1
≥298y 1·2
y 1
＝3， 当且仅当y 1＝4
3
时，等号成立．
13．设双曲线x 2a 2－y 2
b
2＝1 (a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，离心率为e ，过F 2的直线
与双曲线的右支交于A ，B 两点，若△F 1AB 是以A 为直角顶点的等腰直角三角形，则e 2
等于( )
A ．1＋2 2
B ．4－2 2
C ．5－2 2
D ．3＋2 2 答案 C
解析 设|AF 1|＝|AB |＝m ，则|BF 1|＝2m ，|AF 2|＝m －2a ，|BF 2|＝2m －2a ，∵|AB |＝|AF 2|＋|BF 2|＝m ，∴m －2a ＋2m －2a ＝m ⇒4a ＝2m ， ∴|AF 2|＝⎝ ⎛
⎭
⎪⎫
1－
22m ，∵△AF 1F 2为直角三角形， ∴|F 1F 2|2＝|AF 1|2＋|AF 2|2，∴4c 2
＝⎝ ⎛⎭⎪⎫52－2m 2，
∵4a ＝2m ，∴4c 2＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫52－2×8a 2
，
∴e 2
＝5－22，故选C.
14．设抛物线y 2
＝8x 的焦点为F ，准线为l ，P 为抛物线上一点，PA ⊥l ，A 为垂足．如果直线AF 的斜率为－3，那么|PF |＝________. 答案 8
解析 直线AF 的方程为y ＝－3(x －2)，联立⎩⎨
⎧
y ＝－3x ＋23，
x ＝－2，
得y ＝43，所以
P (6,43)．
由抛物线的性质可知|PF |＝6＋2＝8.
15.如图，设抛物线C ：y 2
＝2px (p >0)的焦点为F ，过点F 的直线l 1交抛物线C 于A ，B 两点，且|AB |＝8，线段AB 的中点到y 轴的距离为3.
(1)求抛物线C 的方程；
(2)若直线l 2与圆x 2＋y 2
＝12相切于点P ，与抛物线C 相切于点Q ，求△FPQ 的面积．
解 (1)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则AB 中点坐标为⎝ ⎛⎭
⎪⎫x 1＋x 22，y 1＋y 22，
由题意
x 1＋x 2
2
＝3，∴x 1＋x 2＝6.
又|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝8，∴p ＝2，
故抛物线C 的方程为y 2
＝4x .
(2)由直线l 2与抛物线C 相切，且与圆x 2＋y 2
＝12
相切，则直线的斜率存在且不等于0.设l 2：
y ＝kx ＋m ，由l 2与⊙O 相切，
得
22＝m 1＋k
2⇒2m 2＝1＋k 2.① 由⎩
⎪⎨⎪⎧
y ＝kx ＋m ，y 2
＝4x ，得k 2x 2＋(2km －4)x ＋m 2
＝0.(*)
∴Δ＝(2km －4)2
－4k 2m 2
＝0⇒km ＝1.② 由①②，得k ＝m ＝±1，
方程(*)为x 2
－2x ＋1＝0，解得x ＝1，∴Q (1，±2)， ∴|PQ |＝x 2
Q ＋y 2
Q －r 2
＝
1＋4－1
2＝
92＝322
. 此时直线l 2方程为y ＝x ＋1或y ＝－x －1， ∵F (1,0)到直线l 2的距离为d ＝2， ∴S △PQF ＝12|PQ |·d ＝12×222×2＝3
2.。