2019上海市高一上学期数学期中考试试卷

高一上学期数学期中考试一试卷
一、单项选择题
1. 如图，为全集，、、是的三个子集，则阴影部分所表示的会集是（）
A. B.
C. D.
【答案】 C
【考点】交、并、补集的混杂运算
【解析】【解答】图中的阴影部分是：M∩ P 的子集，
不属于会集S，属于会集S 的补集
即是 C I S 的子集则阴影部分所表示的会集是（M∩P）∩ ?I S
故答案为： C．
【解析】依照会集的运算结合韦恩图，即可确定阴影部分所表示的会集.
2. 以下各组函数中，表示同一函数的是（）
A.与
B.与
C.与
D.（）与（）
【答案】 D
【考点】判断两个函数可否为同一函数
【解析】【解答】关于 A 选项，， f （ x）的定义域为R，g（ x）的定义域为 [0 ，+∞），∴不
是同一函数；
关于 B 选项的定义域为
的定义域为∴不是同一函数；关于 C选项， f （0） =-1 ，g（ 0） =1， f （ 0）≠ g（ 0），∴不是同一函数．
关于 B 选项， f （x）的定义域为，g（x）的定义域为，且且两函数解析式化简后为同一解析式，∴是同一函数.
故答案为： D.
【解析】判断两个函数可否表示同一个，看定义域和对应关系可否相同即可.
3. 已知，则“”是“”的（）
A.充分非必要条件
B.必要非充分条件
C.充要条件
D.既非充分又非必要条件
【答案】 A
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【解答】由题意可知：a， b∈ R+，若“a2+b2＜1”
则 a2+2ab+b2＜ 1+2ab+a2?b2，
∴（ a+b）2＜（ 1+ab）2
∴ab+1＞ a+b．
若 ab+1＞ a+b，当 a=b=2 时， ab+1＞a+b 成立，但 a2+b2＜1 不成
立．综上可知：“a2+b2＜1”是“ ab+1＞a+b”的充分不用要条件．
故答案为： A．
【解析】依照不等式的性质，结合充分、必要条件的看法进行判断即可.
4.汽车的“燃油效率”是指汽车每耗资1 升汽油执行的里程，以下列图描述了甲、乙、丙三辆汽
车在不相同速度下得燃油效率状况，以下表达中正确的选项是（）
A. 耗资 1 升汽油，乙车最多可执行 5 千米
B.以相同速度执行相同行程，三辆车中，甲车耗资汽油最多
C. 甲车以 80 千米 / 小时的速度执行 1 小时，耗资10 升汽油
D.某城市灵巧车最高限速 80 千米 / 小时，相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油
【答案】 D
【考点】函数的图象
【解析】【解答】关于 A，耗资升汽油，乙车行驶的距离比千米小得多，故错；关于B,以相同速度行驶相同行程，三辆车中甲车耗资汽油最少，故错；关于C,甲车以千米/小时的速度行驶小时，耗资升汽油,故错；关于D, 车速低于千米/小时，丙的燃油效率高于
乙的燃油效率，用丙车比用乙车量多省油，故对.
故答案为： D.
【解析】依照图象的实质意义，对选项逐一判断即可.
二、填空题
5. 函数的定义域为 ________
【答案】
【考点】函数的定义域及其求法
【解析】【解答】由题意得，即定义域为
【解析】要使函数有意义，应满足分式的分母不为0，偶次根式被开方数非负，解不等式组即
可求出函数的定义域 .
6. 已知会集，，则________
【答案】
【考点】交集及其运算
【解析】【解答】由题会集
会集
故.
故答案为.
【解析】经过求函数的定义域求出会集A，经过求二次函数的值域求出会集B，依照交集的含义求出相应的会集即可.
7. 不等式的解集是________
【答案】
【考点】其他不等式的解法
【解析】【解答】不等式，则
故答案为.
【解析】经过作差，将分式不等式转变成整式不等式，解相应的一元二次不等式即可求不相
应的解集 .
8. “若且，则”的否命题是________
【答案】若或，则
【考点】四种命题
【解析】【解答】“若且，则”的否命题是“若或，则”.
即答案为：若或，则
【解析】将原命题的条件和结论都进行否定，即可获取否命题.
9. 已知，则的取值范围是________
【答案】
【考点】简单线性规划
【解析】【解答】作出所对应的可行域，即（如图阴影），
目标函数z=a-b 可化为 b=a-z ，可看作斜率为 1 的直线，
平移直线可知，当直线经过点A（ 1， -1 ）时， z 取最小值 -2 ，
当直线经过点O（0， 0）时， z 取最大值0，
∴ a-b 的取值范围是，
故答案为：．
【解析】作出可行域及目标函数相应的直线，平移直线即可求出相应的取值范围.
10. 若，，且，则的取值范围是_________ 【答案】
【考点】会集关系中的参数取值问题
【解析】【解答】由题，，且，
当时，，则；
当时，，则可得
故的取值范围是.
【解析】经过解绝对值不等式表示出会集A，将会集之间的关系转变成区间端点值的大小比较，
即可求出实数 a 的取值范围 .
11. 若关于的不等式的解集是，则实数的取值范围是
________
【答案】
【考点】不等式的综合
【解析】【解答】略
【解析】对二次项系数的取值分类谈论，当系数为0 时，求出 a 值，直接考据吻合题意；当
二次项系数不为 0 时，张口向下，鉴识式小于0，解不等式组即可求出实数 a 的取值范围 . 12. 若函数，则________
【答案】
【考点】函数解析式的求解及常用方法
【解析】【解答】设, 则则即
即答案为.
【解析】采用换元法，求出函数 f （x）的表达式，代入即可求出 f （ 2x+1） .
13. 若关于的不等式在上恒成立，则实数的最小值是__
【答案】
【考点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】∵关于的不等式在上恒成立，
∴，
∵x＞，
∴
，当且仅当，即时取等号，
∴，
∴，解得，，
∴实数 a 的最小值为．
故答案为．
【解析】将不等式恒成立问题进行转变，结合基本不等式求出相应式子的最值，即可求出实
数 a 的最小值 .
14. 已知函数，（），若不存在实数使得
和同时成立，则的取值范围是________
【答案】
【考点】其他不等式的解法
【解析】【解答】由 f （ x）＞ 1，得＞1，化简整理得，解得
即的解集为A={x|-2 ＜x＜ -1 或 2＜ x＜ 3} ．
由 g（ x）＜ 0 得 x2-3ax+2a 2＜0，即（ x-a ）（ x-2a ）＜ 0， g（x）＜ 0 的解集为B={x|2a ＜ x＜ a，a＜ 0} ．
A 的取值范围是 {a|a ≤ -2 或 -≤a＜0}．
即答案为.
【解析】分别解相应的不等式，结合不等式的解集即可确定实数 a 的取值范围 .
15. 当时，可以获取不等式，，，由此可以实行为，则________
【答案】
【考点】归纳推理
【解析】【解答】∵x∈ R+时可获取不等式，
∴在 p 地址出现的数恰好是分母的指数的指数次方
即答案为.
【解析】依照已知式子归纳猜想，获取相应的关系即可确定P.
16. 已知数集（，）拥有性质：对任意、（），与两数中最少有一个属于会集，现给出以下四个命题：①数集拥有性质；②数集拥有性质；③若数集
拥有性质，则；④若数集（）拥有性质，则；其中真命题有 ________（填写序号）
【答案】②③④
【考点】元素与会集关系的判断
【解析】【解答】①数集中，，故数集不拥有性质；
②数集满足对任意、（），与两数中最少有一个属于会集，故数集拥有性质；
③若数列 A 拥有性质 P，则 a n+a n=2a n与 a n-a n=0 两数中最少有一个是该数列中的一项，
∵0≤a＜a ＜＜ a
n ， n≥3，
1 2
而 2a n不是该数列中的项，∴ 0 是该数列中的项，∴ a1=0；故③正确；
④当 n=5 时，取 j=5 ，当 i ≥2时， a i +a5＞ a5，
由 A 拥有性质 P，a5-a i∈ A，又 i=1 时， a5-a 1∈ A，
∴ a5-a i∈ A， i=1 ， 2， 3， 4，5
∵ 0=a1＜ a2＜ a3＜ a4＜ a5 ，∴ a5-a 1＞ a5-a 2＞ a5-a 3＞ a5-a 4＞ a5 -a 5=0，则 a5-a 1=a5 ， a 5-a 2=a4 ， a 5-a 3=a3 ，
从而可得 a +a =a
5 ， a =2a
3
， A +a =2a
3
，
2 4 5 2 4
即答案为②③④ .
【解析】依照会集中元素的特点，结合会集中元素的互异性，逐一判断即可确定真命题个数.
三、解答题
17. 设会集，会集.
（ 1）若“”是“”的必要条件，求实数的取值范围；
（ 2）若中只有一个整数，求实数的取值范围 .
【答案】（ 1）解：若“”是“”，则 B? A，∵ A={x|- 1≤x≤2} ，①当
时， B={x|2m ＜x＜ 1} ，此时 - 1≤2m＜ 1? ；②当时， B=?，有 B? A 成立；③当时 B=?，有 B? A 成立；；综上所述，所求 m的取值范围是
（ 2）解：∵ A={x|- 1≤x≤2} ，∴ ?R A={x|x ＜ -1 或 x＞ 2} ，①当时，B={x|2m ＜ x＜ 1} ，若?R A∩B中只有一个整数，则 - 3≤2m＜ -2 ，得②当 m当时，不吻合题意；③当时，不吻合题意；综上知， m的取值范围是 -
【考点】会集关系中的参数取值问题
【解析】【解析】（1）依照必要条件的看法，将会集的关系转变成端点值比较大小，即可求
出实数 m的取值范围；
（ 2）依照交集、补集的看法，结合区间端点值的大小关系，即可求出实数m的取值范围 . 18. 若“，求证：”
除了用比较法证明外，还可以有以下证法：
（当且仅当时等号成立），
学习以上解题过程，试一试解决以下问题：
（ 1）证明：若，，，则，并指出等号成立的条件；
（ 2）试将上述不等式实行到（）个正数、、、、的状况，并证
明 .
【答案】（ 1）解：，∴，当且仅当时等号成立
（ 2）解：故
. 当且仅当时等号成立【考点】归纳推理，类比推理
【解析】【解析】（ 1）依照题干中证法及不等式的性质，结合基本不等式，即可证明相应的
不等式成立；
（ 2）依照详尽例子，归纳实行即可证明相应的不等式.
19.某公司有价值 10 万元的一条流水线，要提高该流水线的生产能力，就要对其进行技术改
造，改造就需要投入，相应就要提高产品附加值，假设附加值万元与技术改造投入万元之间的关系满足：①与和的乘积成正比；②当时，；③
，其中为常数，且.
（ 1）设，求出的表达式，并求出的定义域；
（ 2）求出附加值的最大值，并求出此时的技术改造投入的的值.
【答案】（ 1）解：设，当时，可得k=4，∴
∴定义域为， t 为常数，
（ 2）解：由于定义域中函数
在上单调递减，故.
【考点】函数解析式的求解及常用方法，二次函数的性质
【解析】【解析】（1）依照题意，采用待定系数法，设出表达式，求出相应的系数，即可得
到 f （ x）机器定义域；
（ 2）采用配方法，结合二次函数的单调性，求出函数的最大值即可.
20. 设数集由实数构成，且满足：若（且），则.
（ 1）若，试证明中还有别的两个元素；
（ 2）会集可否为双元素会集，并说明原由；
（ 3）若中元素个数不高出8 个，所有元素的和为，且中有一个元素的平方等于
所有元素的积，求会集.
【答案】（ 1）证明：若x∈ A，则又∵ 2∈ A，∴∵ -1∈ A，∴∴ A 中别的两个元素为，
（2）解：，，，且，，，故集合中最少有 3 个元素，∴不是双元素会集
（ 3）解：由，，可得，所有元素积为1，∴
，、、，∴
.
【考点】元素与会集关系的判断
【解析】【解析】（1）将 x=2 代入，即可求出会集 A 中的别的两个元素；
（2）依照会集中元素的特点，确定会集A 中最少有三个元素；
（3）设出会集中相应的元素，结合元素之和，即可求出会集A.
21. 已知，设，，（，为常数） . （ 1）求的最小值及相应的的值；
（ 2）设，若，求的取值范围；
（ 3）若对任意，以、、为三边长总能构成三角形，求的取值范围 .
【答案】（1）解：。

当且仅当时等号成立
（ 2）解：，，即方程没有实根或
没有正实根，当方程没有实根时，当方程没有正
实根时，解得综上，
（ 3）解：由于b＞ a＞ 0，可得＞＞0．由三角形的三边的大小关系可得
，即对 x＞ 0 恒成立．化为
对 x＞ 0 恒成立，则
，当且仅当时等号成立；故
，故
综上
【考点】会集关系中的参数取值问题，基本不等式
【解析】【解析】（ 1）依照函数表达式，结合基本不定式，即可求出该式子的最小值及相应
的 x 值；
（2）依照会集的关系，确定会集 A 中没有实根或没有正实根，结合一元二次方程的鉴识式，即
可求出实数 m的取值范围；
（3）依照三角形的三边长定理，解不等式组即可求出m的取值范围 .
-11-。