山东省德州市某重点中学2015-2016学年高二上学期期末考试数学文试题 含答案

高二期末考试数学（文）试题
一、选择题（本题10小题，每小题5分,共50分，只有一项是符合题目要求的）
1．关于空间两条直线a 、b 与平面α，下列命题正确的是 A ．若//,a b b α⊂，则//a α B ．若//,a b αα⊂，则//a b C ．//,//a b αα,则//a b
D ．若,,a b αα⊥⊥则//a b
2．命题“若a b >，则a c b c +>+”的逆否命题为（ ） A ．若a b <，则a c b c +>+ B ．若a b ≤，则a c b c +≤+ C ．若a c b c +<+,则a b < D ．若a c b c +≤+，则a b ≤
3．已知抛物线)0(22
>=p px y
的准线与圆05422=--+x y x 相切，则p 的值为
A ．10
B ．6 C
．
4
D ．2
4．设斜率为2的直线l 过抛物线2
(0)y
ax a =≠的焦点F
，且和 y 轴交于
点A ，若OAF ∆ （O 为坐标原点）的面积为4,则抛物线方程为
A ．2
4y
x =±
B ．2
8y
x =± C ．2
4y
x =
D ．2
8y
x =
5．设f （x )＝x ln x ，若f ′（x 0）＝2，则x 0的值为
A ．e 2
B ．e
C ．错误!
D ．ln 2
6．双曲线13
62
2=-y x 的渐近线与圆)0()3(222>=+-r r y x 相切,则r =
A ．3
B ．2
C ．3
D ．6
7．设1F 、2F 分别为双曲线22
221(0x y a a b
-=>,0)b >的左、右焦点，双曲线上
存在一点P 使得1
2
||||3PF PF b +=，1
29
||||4
PF PF
ab ⋅=
,则该双曲线的离心率为 A ．43 B ．53
C ．94
D ．3
8．设椭圆22
22:1x y C a b
+=(0)a b >>的左、右焦点分别为12,F F ，P 是C 上的点，
212PF F F ⊥，1230
PF F ∠=，则C 的离心率为
A ．6
B ．13
C
．
12
D 9．已知直线1
:4360l x y -+=和直线2
:1l
x =-,抛物线24y x =上一动点P 到直线1
l 和直线2
l 的距离之和的最小值是
A ．2
B ．3
C ．115
D ．37
16
10．ABC ∆的顶点(5,0),(5,0)A B -，ABC ∆的内切圆圆心在直线3x =上,则顶点C
的轨迹方程是
A ．22
1916
x y -=
B ．22
1169
x y -=
C ．)3(11692
2>=-x y x
D ．22
1(4)169
x y x -=>
二、填空题:本大题共7小题，每小题5分，共35分．
11．“若a ≤b ，则ac 2≤bc 2”,则命题的原命题、逆命题、否命题和逆否命题中正确命题的个数是________．
12．“p 或q "为真命题是“p 且q ”为真命题的___必要不充分_____条件．
13．如果直线l 将圆C ：（x －2)2＋（y ＋3）2＝13平分，那么坐标原点O 到直线l 的最大距离为________．
14．若函数f （x ）＝错误!x 2－ax ＋ln x 存在垂直于y 轴的切线，则实数
a 的取值范围是________
15．椭圆
22
192
x y +=的焦点为12,F F ,点P 在椭圆上，若1
||4PF =，则1
2
F PF ∠的
大小为 ． 16．过抛物线2
2(0)y
px p =>的焦点F 作倾斜角为45的直线交抛物线于A 、
B 两点,若线段AB 的长为8，则p =_______________． 17．在平面直角坐标系中,
O 为原点， (1,0),(3,0)
A B C -,动点D 满足1CD =,
则OA OB OD ++的最大值是 ．
三、解答题:本大题共5小题, 共65分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
18．（本题12分）已知命题:P 函数log (12)a
y x =-在定义域上单调递增；
命题:Q 不等式2
(2)2(2)40a x
a x -+--<对任意实数x 恒成立．若Q P ∨是真命
题,求实数a 的取值范围．
已知命题p ：方程2x 2＋ax －a 2＝0在［－1，1］上有解;命题q ：只有一个实数x 0满足不等式x 错误!＋2ax 0＋2a ≤0，若命题“p 或q "是假命题，求a 的取值范围．
19．（本题12分）已知双曲线的中心在原点，焦点F 1，F 2在坐标轴上,离心率为2，且过点（4，－错误!）．
（1）求双曲线方程；
（2）若点M （3，m )在双曲线上，求证：点M 在以F 1F 2为直径的圆上;
(3）在(2）的条件下求△F 1MF 2的面积． 20．（本题13分）已知椭圆C ：x 2＋2y 2＝4．
（1)求椭圆C 的离心率；
(2)设O 为原点,若点A 在直线y ＝2上，点B 在椭圆C 上，且OA ⊥OB ，求线段AB 长度的最小值．
21．（本题14分）如图所示，为保护河上古桥OA，规划建一座新桥BC，同时设立一个圆形保护区．规划要求：新桥BC与河岸AB垂直;保护区的边界为圆心M在线段OA上并与BC相切的圆，且古桥两端O和A到该圆上任意一点的距离均不少于80 m．经测量，点A 位于点O正北方向60 m处，点C位于点O正东方向170 m处（OC 为河岸），tan∠BCO＝错误!．
（1）求新桥BC的长．
(2）当OM多长时,圆形保护区的面积最大？
数学文试题参考答案
1—10AADBB ABDAC
11．2
12．略
13．错误!
14．[2，＋∞)
2π
15．
3
16．2
17．7
1+
三、解答题：本大题共5小题,共65分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
18．
解由2x2＋ax－a2＝0得（2x－a）（x＋a）＝0, ∴x＝错误!或x＝－a,
∴当命题p为真命题时错误!≤1或|－a｜≤1，∴|a|≤2．
又“只有一个实数x0满足不等式x2，0＋2ax0＋2a≤0”,
即抛物线y＝x2＋2ax＋2a与x轴只有一个交点，
∴Δ＝4a2－8a＝0,∴a＝0或a＝2．∴当命题q为真命题时，a＝0或a＝2．
∴命题“p或q”为真命题时，|a｜≤2．∵命题“p或q”为假命题，∴a〉2或a〈－2．
即a的取值范围为{a｜a>2或a<－2}．
19．
（1）解 ∵离心率e ＝2，∴双曲线为等轴双曲线，可设其方程为x 2－y 2＝λ(λ≠0），
则由点（4,－错误!)在双曲线上,可得λ＝42－（－错误!）2＝6，∴双曲线方程为x 2－y 2＝6．
（2）证明 ∵点M （3，m ）在双曲线上,∴32－m 2＝6，∴m 2＝3， 又双曲线x 2－y 2＝6的焦点为F 1(－2错误!，0），F 2(2错误!，0)，
∴错误!·错误!＝（－2错误!－3，－m )·（2错误!－3，－m )＝（－3)2－（2
错误!
）2＋m 2＝9－12＋3＝0，
∴MF 1⊥MF 2，∴点M 在以F 1F 2为直径的圆上． （3)解 21MF F S ＝错误!×4错误!×|m ｜＝6．
20．
解:（1）由题意，椭圆C 的标准方程为错误!＋错误!＝1．所以a 2＝4,b 2＝2，从而c 2＝a 2－b 2＝2．
因此a ＝2，c ＝错误!．故椭圆C 的离心率e ＝错误!＝错误!．
(2）设点A ，B 的坐标分别为（t ，2)，（x 0，y 0），其中x 0≠0． 因为OA ⊥OB ,所以错误!·错误!＝0，即tx 0＋2y 0＝0，解得t ＝－错误!． 又x 错误!＋2y 错误!＝4，所以|AB |2＝（x 0－t )2＋(y 0－2）2＝错误!错误!＋（y 0－2）2＝x 错误!＋y 错误!＋错误!＋4
＝x 20＋错误!＋错误!＋4＝错误!＋错误!＋4 （0＜x 错误!≤4）
． 因为错误!＋错误!≥4（0＜x 错误!≤4），当x 错误!＝4时等号成立，所以｜
AB ｜2≥8．
故线段AB 长度的最小值为22． 21．
解：方法一：
（1）如图所示，以O为坐标原点, OC所在直线为x轴, 建立平面直角坐标系xOy．
由条件知A(0, 60），C（170，0),
直线BC的斜率k BC＝－tan∠BCO＝－错误!．
又因为AB⊥BC，所以直线AB的斜率k AB＝3
4
．
设点B的坐标为(a，b），
则k BC＝错误!＝－错误!，k AB＝错误!＝错误!，
解得a＝80, b＝120，
所以BC＝错误!＝150．
因此新桥BC的长是150 m．
（2）设保护区的边界圆M的半径为r m, OM＝d m （0≤d≤60）．由条件知，直线BC的方程为y＝－错误!(x－170）,
即4x＋3y－680＝0．
由于圆M与直线BC相切, 故点M（0，d）到直线BC的距离是r，
即r＝错误!＝错误!．
因为O和A到圆M上任意一点的距离均不少于80 m，所以错误!
即错误!
解得10≤d≤35．
故当d＝10时, r＝错误!最大，即圆面积最大，
所以当OM＝10 m时，圆形保护区的面积最大．
方法二：
（1）如图所示, 延长OA, CB交于点F．
因为tan∠FCO＝错误!，
所以sin∠FCO＝错误!, cos∠FCO＝错误!．
因为OA＝60，OC＝170,
所以OF＝OC tan∠FCO＝错误!，CF＝错误!＝错误!，从而AF＝OF－OA＝错误!．
因为OA⊥OC, 所以cos∠AFB＝sin∠FCO＝错误!．
又因为AB⊥BC，所以BF＝AF cos∠AFB＝错误!，从而BC＝CF－BF＝150．
因此新桥BC的长是150 m．
（2）设保护区的边界圆M与BC的切点为D，连接MD,则MD ⊥BC,且MD是圆M的半径，并设MD＝r m，OM＝d m （0≤d≤60)．因为OA⊥OC, 所以sin∠CFO＝cos∠FCO．
故由（1）知sin∠CFO＝错误!＝错误!＝错误!＝错误!，所以r＝错误!．
因为O和A到圆M上任意一点的距离均不少于80 m,所以错误!
即错误!
解得10≤d≤35．
故当d＝10时，r＝错误!最大，即圆面积最大，
所以当OM＝10 m时, 圆形保护区的面积最大．。