主理想整环与欧几里得整环讲解

d ak . 另一方面,
ak I d
, 所以
d ak d .
从而
d ak .
由此知, 真因子链(4.4.1)仅有 k项.
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定理4.4.3 设 D为主理想整环, a是 D 的一个非 零非单位的元素. 则下列条件等价: (1)a是素元; (2)a是不可约元; (3) a 是极大理想; (4) a 是素理想. 证 (1) (2) 见定理 4.3.3。 (2)(3) 因为 a不是单位, 所以 a 为 D 的真理想.
a 极大.
(3)(4) 见第三章定理3.4.3. (4)(1) 设 a | bc , 则 bc a , 因 a 为素理想,故 必有 b a 或 c a , 即有a | b或 a | c . 所以 a为素元
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定理4.4.1的证明: 由定理4.4.2, 主理想整环的每一个真因子链都 有限. 又由定理4.4.3, 主理想整环的每一个不可约元 都是素元. 从而由定理4.3.7知, 主理想整环是惟一分 解整环.
则因为 g ( x) 0 , 所以 {0} .
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如果 0 , 则有 h( x) F [ x] , 使
0 f ( x) g ( x)h( x).
取 r ( x) 0, q( x) h( x) , 则有
f ( x) g ( x)q( x).
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二、欧几里德整环的定义及性质
我们知道, 在惟一分解整环中, 任意两个元素 a, b 都有最大公因子. 为了应用标准分解式求得它们的最 大公因子, 我们必须首先将这两个元素因式分解. 但 即使在整数环中, 因式分解也不是一件轻而易举的事 情. 所以希望通过因式分解来了解它们的最大公因子 是不现实的. 但在主理想整环中, 我们却可以象在整 数环中那样, 把 a, b的最大公因子表示为它们的一个线
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三、欧几里德整环、主理想整环 及惟一分解整环的关系
下面的定理揭示了欧几里德整环与主理想整环以 及惟一分解整环之间的关系. 定理4.4.5 每一个欧几里德整环都是主理想整环, 因而也是惟一分解整环. 证 设I 为欧几里德整环D 的任一理想, 为欧氏 映射.
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从而
x,2 1 Z[ x],
与前一结论矛盾, 所以 x, 2 不是主理想. 由例2知, Z[ x ] 不是主理想整环. 下一节将证明
Z[ x ]是惟一分解整环. 这说明, 惟一分解整环不一定是
主理想整环. 但我们却可以证明:
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定理4.4.1 每一个主理想整环都是惟一分解整环. 为了证明这个定理, 我们先给出主理想整环的几 个性质.
a dq, 于是 a d . 由此得 I d . 因而 I d
,
即 I 为 D 的主理想. 注：这个定理的逆是不成立的. 例如, 可以证明整 1 Z[ ] {a b | a, b Z}, (1 19), 环 2 是主理想整环, 但却不是欧几里德整环(参见[1]).
结论
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我们自然要问, 如何求出 u , v , 使
gcd(a, b) au bv？
回想在整数环中, 我们可借助于所谓的辗转相除 法具体求出这个表示. 看下面的例子:
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例3 求187与143的最大公因数 (187,143), 并求
u, v Z,使
(187,143) 187u 143v.
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性组合.
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定理4.4.4(最大公因子的存在表示定理) 设 D为 主理想整环. 则对任意的 a, b D , 存在 u, v D ,使
gcd(a, b) au bv.
证 令 d a, b , 则 d a, b , 从而存在 u, v D , 使
au bv d .
(1) 因 a, b a, b d , 所以 d | a, d | b , 即 d是 a, b 的一个公因子. (2) 设 c为a, b 的任一公因子, 则 c | a, c | b , 从而
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c | au bv d .所以 d为 a, b 的最大公因子. 由此即得.
所以 . [ x] x,2 Z
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另一方面, 如果存在 d ( x) Z[ x] , 使 x,2 d ( x) .
则在 Z[ x ]中, 有 d ( x) | x且 d ( x) | 2 . 由 d ( x) | 2知,
deg d ( x) 0 . 于是 d ( x) a Z . 又 a | x , 所以 a 1.
且
q r.
如果 r 0 , 则
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( r ) N ( r ) ( x a ) 2 ( y b) 2 N ( )
1 1 ( ) N ( ) ( ). 4 4 所以 Z[i ] 为欧几里德整环.
注 由代数数论可知, 当 d 1, 1,2,3,6,7,11,19 时,
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设 a, b Z, b 0 . 则存在 q, r Z,0 r b ,使
a bq r.
把这加以推广, 就得到
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定义4.4.2
设 D是整环. 如果存在映射
: D {0} N {0},
使对任意的 a, b D, b 0, 存在 q, r D , 使
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定理4.4.2 设D为主理想整环, 则 D 上每一个真因 子链都有限. 证 设
a1 , a2 , an
(4.4.1)
为 D 的一个真因子链. 则有
a1 a2
令
I
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i
an
ai
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则 I 为 D 的理想. 因为 D 是主理想整环, 所以I 是主理想. 设 I d , 则 d I , 因此必有k N , 使 d ak , 从而
例 6 设F为域. 则 F [ x ]为欧几里德整环, 因而也 是主理想整环及惟一分解整环. 证 令
: F [ x] {0} N {0}
f ( x)
设
deg f ( x).
f ( x), g ( x) F [ x], g ( x) . 0 令 { f ( x) g ( x)h( x) | h( x) F [ x]},
由此得: 且
11 187 (3) 143 4.
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(187,143) 11,
这个例子说明, 在整数环中, 我们可以应用辗转 相除法, 通过有限的步骤具体算出( a, b) , 并把它表示成
au bv (a, b)
的形式. 这个算法也叫做欧几里德算法(Euclidean algorithm). 进一步的研究发现, 整数环中有辗转相除法, 关键在于整数环中有所谓的带余除法定理:
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设 a I
D . 又因为 D 是主理想整环, 所以存在
b D , 使 I b . 于是 a b . 则存在 c D , 使a bc .
因 a不可约, 所以 b, c中至少有一个为单位. 而 a b , 所以 a不相伴于b, 从而 b为单位. 由此得 b D . 所以
§4.4 主理想整环与欧几里得整环
一、主理想整环
定义4.4.1
定理4.4.1
例1 例2
定义4.4.2 ---欧几里得整环 例4 三、欧几里德整环、 主理想整环及惟一分解 整环的关系 定理4.4.5 例5
定理4.4.2
定理4.4.3 二、欧几里得整环 定理4.4.4 ---最大公因子的存 在表示定理 例3
(1) 如果 I {0} , 则 I 0 . (2) 如果 I {0} , 则集合
{ (a) | a I , a 0}
是非负整数集的一个非空子集, 所以中有最小数. 设
0 d I , 使 ( d )最小.
下证: I d
.
显然有 d I . 又对任意的 a I , a 0 , 因为
例6 四、整环的辗转相 除法
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一、主理想整环的定义及性质
我们知道, 在整数环中, 如果 d (a, b) , 则存在
s, t Z , 使
as bt d .
即在整数环中, 任何两个元素的最大公因子可表示为
a与b 的一个线性组合. 如果我们把这一条性质加以推
广, 就得到下面的定义:
解
应用辗转相除法: a b 143 187 q1 1 132 143 r1 44 3 q2 q3 4 r2 11 44 r3 0
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187 1 143 44 143 3 44 11 44 4 11 11 143 3 44 143 3 (187 1 143) 187 (3) 143 4.
x yi, x, y Q.
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1 1 则存在 a, b Z , 使 x a , y b . 取 2 2 q a bi, r [( x a ) ( y b)i] .
则
q Z [i ], r (a bi ) Z[i ]
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例5 高斯整环 Z[i ]是欧几里德整环, 因而也是主理 想整环与惟一分解整环. 证 对任意的 a bi Z[i ], a bi 0 , 令
(a bi) N (a bi) a 2 b2 .
则 (a bi ) N. 设 , Z[i ], 0 . 在 C 中, 令
a bq r ,
其中r 0 或 (r ) (b).则称 D 为一个欧几里德整环 ( Euclidean domain), 记作: ED 注 定义4.4.2中的映射 通常称为欧氏映射.
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例4 整数环 Z 是欧几里德整环. Z 的欧氏映射就 是取绝对值.
Z[ d ] 为欧几里德整环. 又当
d 3, 7, 11,5,13,17,21,29,33,37,41,57,73时, 如记 1 1 d , 则 Z[ ]也是欧几里德整环. 并且, 在二次 2 2 整数环中, 只有上述整环才是欧几里德整环(参见[2]).
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2
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定义4.4.1 设 D 为整环, 如果 D 的每一个理想都 是主理想, 则称D为主理想整环( principal ideal domain), 记作: PID.
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例1
整数环 Z 是主理想整环.
例2 在Z[ x ] 中, x, 2 不是主理想. 证 首先,
x,2 { f ( x) x g ( x) 2 | f ( x), g ( x) Z[ x]} { f ( x) x 2n | f ( x) Z[ x], n Z},
如果 0 , 则 deg g ( x) 1 . 取 r ( x) , 使r ( x)为
中次数最小的多项式. 则有q ( x) F [ x] , 使
r ( x) f ( x) g ( x)q( x).
ห้องสมุดไป่ตู้
所以 f ( x) g ( x)q( x) r ( x)
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d 0 , 所以存在 q, r D , 使
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a dq r , ) 从而 r a dq I. 如果 r 0, 其中 , r 0 或 (r ) ( d .
则 (r ) ( d ) , 与d 的选取矛盾. 所以 r 0 , 从而