高考数学 填空题的解题策略

高考中的填空题的解题策略
一、复习策略
填空题是一种只要求写出结果，不要求写出解答过程的客观性试题，是数学高考的三种基本题型之一，求解填空题的基本策略是要在“巧解”二字上下功夫。

在解答问题时，要有合理的分析和判断，要求推理、运算的每一步骤都正确无误，还要求将答案表达得准确、完整. 合情推理、优化思路、少算多思将是快速、准确地解答填空题的基本要求，在草纸上少写一点，在头脑里多思考一点，这可能会加快解的速度. 常用的方法有直接法、特殊化法、数形结合法、等价转化法等.
填空题的类型一般可分为：完形填空题、多选填空题、条件与结论开放的填空题.
二、典例剖析
1．直接法：
直接从题设条件出发，利用定义、性质、定理、公式等，经过变形、计算得出结论.这是解填空题最常见的，也是最重要的方法，绝大多数的填空题使用该法求解.
例1、的展开式中，常数项为____________.
解：
设常数项为第r＋1项，则令
=0，得r=6.所以常数项为·23（－1）6，即672.
答案：672
例2、若函数的图象关于直线对称，则
解：
由已知抛物线的对称轴为,得，而，有.
答案：6
例3、设其中i，j为互相垂直的单位向量，又，则实数m = __________.
解：
∵，∴.
∴，而i，j为互相垂直的单位向量，故可得∴.
答案：－2
例4、已知函数在区间上为增函数，则实数a的取值范围是_______. 解：
，由复合函数的增减性可知，在上为增函数，∴，∴.
答案：
例5、已知直线(不全为)与圆有公共点,且公共点的横、纵坐标均为整数,那么这样的直线有______________条.
解：
先考虑时,圆上横、纵坐标均为整数的点有、、，依圆的对称性知,圆上共有个点横纵坐标均为整数,经过其中任意两点的割线有条,过每一点的切线共有12条,又考虑到直线不经过原点,而上述直线中经过原点的有6条，所以满足题意的直线共有条.
答案：72
2．特殊化法
当填空题的结论唯一或题设条件中提供的信息暗示答案是一个定值时，可以把题中变化的不定量用特殊值代替，即可以得到正确结果.
例6、在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c.若a、b、c成等差数列，则
__________。

解：
特殊化：令，则△ABC为直角三角形，，从而所求值为.
答案：
例7、△ABC的外接圆的圆心为O，两条边上的高的交点为H，，则实数m的值是________.
解：
由于本题对任意三角形结论成立，故可取特殊的等腰直角三角形ABC求解，
设∠BAC=90°，AB=AC，则H与A重合，O是BC边的中点，此时，
∴，∴m=1.
注意：
本题中的△ABC不能取成等边三角形，否则有，，此时m 取任意实数，值不唯一.
例8、过抛物线的焦点F作一直线交抛物线于P、Q两点，若线段PF、FQ
的长分别为p、q，则__________。

分析：
此抛物线开口向上，过焦点且斜率为k的直线与抛物线均有两个交点P、Q，当k变化时PF、FQ的长均变化，但从题设可以得到这样的信息：尽管PF、FQ不定，但其倒数和应为定值，所以可以针对直线的某一特定位置进行求解，而不失一般性。

解：
设k = 0，因抛物线焦点坐标为把直线方程代入抛物线方程得，∴，从而.
答案：
例9、求值__________.
分析：
题目中“求值”二字提供了这样信息：答案为一定值，于是不妨令，得结果为. 答案：
例10、已知是公差不为零的等差数列，如果是的前n项和，那么
解：
特别取，有，于是有
故应填2.
3．数形结合法
对于一些含有几何背景的填空题，若能数中思形，以形助数，则往往可以简捷地解决问题，得出正确的结果.
例11、如果不等式的解集为A，且，那么实数a 的取值范围是____________.
解：
根据不等式解集的几何意义，作函数和函数的图象（如图），
从图上容易得出实数a的取值范围是.
例12、已知实数x、y满足，则的最大值是___________.
解：
可看作是过点P（x，y）与M（1，0）的直线的斜率，其中点P的圆
上，当直线处于切线位置时，斜率最大，最大值为.
例13、设P是曲线y2=4（x－1）上的一个动点，则点P到点B（0，1）的距离与点P到y 轴的距离之和的最小值是____________.
解：
设y2=4x，则焦点为（1，0），准线方程为x=－1，将抛物线y2=4x向右平移1个单位，其图象的方程为y2=4（x－1），焦点为F（2，0），准线方程为x=0（即y轴），点P到y轴的距离PG就等于点P到焦点F的距离，所以|PB|＋|PG|=|PB|＋|PF|.由于P点在抛物线上，
所以，当点B、P、F共线时，|PB|＋|PF|的值最小，这个值是.
4．等价转化法
通过“化复杂为简单、化陌生为熟悉”，将问题等价地转化成便于解决的问题，从而得出正确的结果.
例14、不等式的解集为（4，b），则a=________，b=________.
解：
设，则原不等式可转化为：∴a > 0，且2与是方程的两根，由此可得：.
例15、不论k为何实数，直线与曲线恒有交点，则实数a的取值范围是____________.
解：
题设条件等价于点（0，1）在圆内或圆上，或等价于点（0，1）到圆心的距离小于或等于半径，∴.
例16、函数单调递减区间为。

解：
易知∵y与y2有相同的单调区间，而，
∴可得结果为.
5．构造模型法
有的填空题可根据题意构造一些几何模型快速求解，这种方法常称为构造法.
例17、在球面上有4个点P、A、B、C，如果PA、PB、PC两两互相垂直，且PA=a、PB=2a、PC=3a，那么这个球面的面积是____________.
解：
由PA、PB、PC两两垂直可构造球的内接长方体，使其同一顶点处的三条棱长依次为a、2a、3a，那么这个长方体的对角线恰好是球的直径，所以有：
(2R)2=a2＋(2a)2＋(3a)2=14a2，所以有4πR2=14πa2，即球面面积为14πa2.
例18、已知四面体的各面棱长分别为4，5，6，则此四面体的体积为____________.
解：
以四面体的各棱为侧面对角线，把原四面体补成一个长宽高分别为a、b、c的长方体，则原四面体的体积V等于长方体的体积减去四个相等的三棱锥的体积.
，而由b2＋c2=16，a2＋c2=25，a2＋b2=36，
得abc=，∴V=.
由于开放型命题最能考查和培养学生思维能力和探索能力，因此，近年来的高考试题当中常有这样的创新题型出现．
解开放型填空题，除了必须具备扎实的基础知识和思维敏捷、推理严密、联想丰富等诸要素外，还应熟练掌握分析判断、演绎推理、联想类比、合理转化、尝试探索、猜想论证等多种数学思维方法.
对于出现的开放型填空题，一般可将其分为四类：探索型填空题、组合型填空题、信息迁移型填空题和多选型填空题.
（1）探索型填空题
所谓探索型填空题，就是从问题给定的题设中探究其相应的结论，或从给定题断要求中探究其相应的必须具备的条件．如果是条件探索型命题，解题时要求学生要善于从所给的题断出发，逆向追索，逐步探寻，推理得出应具备的条件，进而施行填空；如果是结论探索型命题，解题时要求学生充分利用已知条件或图形的特征进行大胆猜想、透彻分析、发现规律、获取结论．
例19、如图所示，在直四棱柱中，当底面四边形满足条件
____________时，有（注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情形）.
解：
本例为条件探索型填空题，由题目的内在逻辑关系可知，应填
事实上，是直四棱柱,
因此，要使只需进而只需
例20、若两个长方体的长宽高分别为5cm，4cm，3cm，把它们两个全等的面重合在一起组成大长方体，则大长方体的对角线最长为___________cm.
分析：
本题为结论探索型填空题. 我们应在分析利用条件的基础上, 透彻分析、推理、发现规律, 获取结论.
解：
当大长方体的长、宽、高分别为5cm，4cm，6cm时，其对角线长cm.
当大长方体的长、宽、高分别为5cm，8cm,3cm时，其对角线长10cm.
当大长方体的长、宽、高分别为10cm,4cm，3cm时，其对角长cm.
综上，大长方体的对角线最长为cm.
（2）迁移型填空题
所谓信息迁移型填空题，就是指以已有知识为基础，并在此基础上进一步引申或定义新的情景，即给出一定容量的新信息（考生未曾见过的），要求考生依据新信息进行解题的问题．解答此类问题只须在理解新信息本质的基础上，紧扣新信息的意义，学会语言的翻译、新旧知识的转化，便可使问题顺利获解．
例21、设M、P是两个非空集合, 定义M与P的差集为,则等于（）
A.P
B.
C.
D.M
分析：
本题为信息迁移题，是一道新定义的集合运算问题，关键是将M—P转化为我们熟悉的交、并、补运算．
解：
设全集为I,根据定义,”等价于于是有
故选B.
说明：
本题属于应用性开放题，解答本题的突破口是对新信息的理解及转化，本题主要考查阅读理解能力和抽象字母的运算能力．
3．组合型填空题
所谓组合型填空题，就是给出若干个论断要求学生将其重新组合，使其构成符合题意的命题．解这类题，就要求学生对所学的知识点间的关系有一个透彻的理解和掌握，通过对题目的阅读、理解、分析、比较、综合、抽象和概括，用归纳、演绎、类比等推理方法准确地阐述自己的观点，理清思路，进而完成组合顺序．
例22、是两个不同的平面.m,n是平面及之外的两条不同直线，给出四个论断：
以其中三个论断作为条件，余下一个论断为结论，写出
你认为正确的一个命题____________。

分析:
读题并通过“线线垂直线面垂直面面垂直”的关系的透彻理解，作草图不难得出下面两个真命题：或.
4.多选型填空题
所谓多选型填空题，就是给出若干个命题或结论，要求从中选出所有满足题意的命题或结论来．这类题不论多选还是少选都是不能得分的．因此，这就要求学生要有扎实的基本功和“明辨是非”的能力．解此类题时，要对其中的命题一一进行分析判断．举反例是否定一个命题的最有效的方法．
例23、已知是直线，是平面，给出下列命题：
(1)若垂直于内的两条相交直线，则
(2)若平行于，则平行于内的所有直线；
(3)若且则
(4)若且，则
(5)若且，则
其中正确命题的序号是____________（注：把你认为正确的命题的序号都填上）.
解:
命题(1)是线面垂直的判定定理，所以正确.命题(2)，但不能平行于内所有直线.命题(3)两线与相垂直，不能保证，即分别包含与的平面可能平行也可能相交而不垂直.命题(4)为面面垂直的判定定理，所以正确.命题(5)两平面平行，但分别在两面内的直线与可能平行，也可能异面.故正确的答案只有(1)(4).
说明：
本题的关键是将符号语言转化为图形语言，要求考生根据符号语言提供的信息去画图，再进行推理和判断.
总之，能够多角度思考问题，灵活选择方法，是快速准确地解数学填空题的关键. 1．已知函数，则
2．如果函数，那么
3．如果函数的图象关于直线对称，那么
4．不等式（）的解集为____________.
5．以双曲线的中心为焦点，且以该双曲线的左焦点为顶点的抛物线方程是____________．
6．设椭圆上一点到左准线的距离为10，是该椭圆的左焦点，若点满足，则=___________．
7．.
8．定义一种运算“”对于正整数满足以下运算性质：
（1）；
（2），则的值是___________.
9．如果直线与圆相交于两点，且点关
于直线对称，则不等式组所表示的平面区域的面积为________. 10．已知函数f(x)=Acos2(ωx＋)＋1（A>0，ω>0）的最大值为3，f(x)的图象在y轴上的截距为2，其相邻两对称轴间的距离为2，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(100)=____________. 11．若函数满足：对于任意都有，且
成立，则称函数具有性质M.
给出下列四个函数：①，②③，④.
其中具有性质M的函数是___________.（注：把满足题意的所有函数的序号都填上）12．如图，在杨辉三角中，斜线l上方，从1开始箭头所示的数组成一个锯齿数列:1，3，3，4，6，5，10，…，记其前n项和为Sn，则S19等于____________.
13. 已知f（x＋y）=f(x)·f(y)对任意的实数x、y都成立，且f(1)=2，则
= __________.
14．已知为坐标原点，动点满足，其中且，则的轨迹方程为____________.
15．从装有个球（其中个白球，1个黑球）的口袋中取出个球，共有种取法。

在这种取法中，可以分成两类：一类是取出的个球全部为白球，
共有，即有等式：成立.试根据上述思想化简下列式子：
____________.
.
16．数列中，，，则
17．正三棱锥P－ABC的底面边长为1，E、F、G、H分别是PA、AC、BC、PB的中点，四边形EFGH的面积为S，则S的取值范围是____________．
18．若四面体各棱的长是1或2，且该四面体不是正四面体，则其体积是____________（只需写出一个可能的值）．
19．椭圆上的一点P到两焦点的距离的乘积为m，则当m取最大值时，点P 的坐标是__________.
20．一只酒杯的轴截面是抛物线的一部分，它的函数解析式是，在杯
内放一个玻璃球，要使球触及酒杯底部，则玻璃球的半径r的取值范围是___________. [提示]
答案：
1．4
提示：由，得，应填4.
2．
提示：容易发现，这就是我们找出的有用的规律，于是原式＝，应填
3．
提示：，其中.是已知函数的对称轴，
，即，于是
故应填.
4．
提示：注意到，于是原不等式可变形为
而，所以，故应填
5．
提示：双曲线的中心为O（0，0），该双曲线的左焦点为F（－3，0），则
抛物线的顶点为（－3，0），焦点为（0，0），所以p=6，所以抛物线方程是.
6．2
提示：椭圆左准线为，左焦点为（－3，0），P（，由
已知M为PF中点，M（，所以.
7．
提示：
8．
提示:设，则且，
，，即，.
9．
提示：两点，关于直线对称，，又圆心在直线上，，，原不等式组变为.作出不等式
组表示的平面区域并计算得面积为.
10.200
提示：
11.①、③
提示：可通过作差比较得到结论.
12. 283
提示：由条件知道:该数列的奇数项分别为1，3，6，10，15，21，28，36，45，55，…，偶数项分别为3，4，5，6，7，8，9，10，11，…，把奇数项的前10项与偶数项的前9项相加即得S19=283.
13.4012
提示：∵f(1＋0)=f(1)·f(0)，2=2f(0)，∴f(0)=1，∵f(2)=f(1＋1)=f(1)·f(1)=22，
f(3)=f(2＋1)=f(2)·f(1)=23，依此类推:f(2005)=22005，f(2006)=22006，
∴原式==4012.
14．
提示：设点的坐标为则由得解之得又由代入消元得.故点的轨迹方程为
.
15．
提示：根据题中的信息，可以把左边的式子归纳为从个球（n个白球，k个黑球）
中取出m个球，可分为：没有黑球，一个黑球，……，k个黑球等类，故有种取法.
16．
提示：分类求和，得
，故应填．
17．
提示：由题意可知，因而四边形为矩形．设正三棱锥的侧棱
，设在平面上的射影为，连，则
，从而．故应填．
18．填、、中的任一个即可.
提示：本题是一道很好的开放题，解题的开窍点是：每个面的三条棱是怎样构造的，依
据“三角形中两边之和大于第三边”，就可否定｛1，1，2｝，从而得出｛1，1，1｝，｛1，2，2｝，｛2，2，2｝三种形态，再由这三类面构造满足题设条件的四面体，最后计算出这三个四
面体的体积分别为：，，，故应填、、中的一个即可.
19．或
提示：记椭圆的二焦点为，有
则知显然当，即点P位于椭圆的短轴的顶点处时，m取得最大值25.故应填或
20．
提示：依抛物线的对称性可知，大圆的圆心在y轴上，并且圆与抛物线切于抛物线的顶点，从而可设大圆的方程为
由
消去x，得（*）
解出或
要使（*）式有且只有一个实数根，只要且只需要即
再结合半径，故应填。