初一升初二数学暑假补习资料华很贵的20个财富2

第一节平方根
［情景引入］
【知识要点】
1、平方根
一般地，如果一个数x的平方等于a，即a
x=
2，那么这个数x就叫做a的平方根（也叫做二次方根）。

①一个正数有两个平方根，它们互为相反数；
②0只有一个平方根是0；
③负数没有平方根。

2、算术平方根
一般地，如果一个正数x的平方等于a，即a
x=
2，那么这个正数x就叫做a的算术平方根，记为“a”，读作“根号a”。

特别地，我们规定0的算术平方根是0，即0
0=。

3、开平方
求一个数a的平方根的运算叫做开平方，其中a叫做被开方数，a必须为非负数，即a有意义的条件是a≥0。

4、开平方及平方的关系：互为逆运算。

5、a（a≥0）的非负性，即一个非负数的算术平方根仍为非负数。

6、形如
()
()
⎩
⎨
⎧
<
-
≥
=
=
2
a
a
a
a
a
a
【典型例题】
例1-1、求下列各数的算术平方根、平方根。

①
259； ②64； ④0.09； ⑤49
15
1； ⑥0。

例1-2、求下列各数的算术平方根、平方根： ①
3625； ③0.0036； ④25
6
3； ⑤81； 例2、填空：
（1）23= ； （2）()231-= ； （5）210= ； （6）()2101-= ； （9）对于任意数x ，2x = ； 例3、求适合下列各式中未知数的值： （1）()0064252
<=-x x （2）()4912
=+x
（3）()()3252100-=--x （4）
13=x
例4、已知355+-+-=
x x y ；求x+y 的值。

例5、已知()02132=++-+-z y x ，求xyz 的值。

例6、x 为何值时，x x +-1有意义。

例7、已知12-a 的平方根是3±，13-+b a 的平方根是4±，求b a 2+的平方
根。

例8、小明家最近刚购买一套新房，他要在客厅铺花岗岩地面，客厅面积为232m ，他要用50块正方形的花岗岩。

请你帮助小明计算一下，他在购买多少米的花岗岩地砖？ 【随堂练习】 一、选择题：
1．一个数的平方根是它本身，那么这个数是（ ）。

A ．0 B ．1
C ．±1
D ．0或1
2．下列语句正确的是（ ）。

A ．4的平方根是2
B ．0没有算术平方根
C ．-1的算术平方根是-1
D ．3有两个平方根 3．
5表示（ ）。

A ．5的平方根
B ．5的算术平方根
C ．5的负的平方根
D ．5开平方
4．9的平方根是±3，用数学符号表示为（ ）。

A ．39=
B ．39=±
C ．
3
9±=
D ．3
9±=±
5．以下各数没有平方根的是（ ）。

A ．2
61⎪
⎭
⎫ ⎝⎛-
B ．2
61⎪
⎭
⎫
⎝⎛- C ．
2
61⎪⎭
⎫ ⎝⎛±
D ．6
1
6．下列说法正确的是（ ）。

A ．
4的平方根是±2 B ．2a -一定没有平方根
C ．0.9的平方根是±0.3
D ．12+a 一定有平方根 二、填空题：
1．49的算术平方根是 ，平方根是 。

2． 有两个平方根， 的平方根有且只有一个，
没有平方根。

3．平方根是±9的数是 。

4．-5是 的负的平方根。

5．16
的平方根是 ，算术平方根是 。

6．
7-x 有意义，那么
x 的取值范围是 。

7．若
6=x ，则
x= ，若62=x ，则x= 。

三、解答题： １．x 为何值时，22-+-x x 有意义。

２．若041=-+-xy x ，求y x +的值。

３．解下列方程： （１）()016922
=--x ； （２）
0125252=+-x ；
6．为了美化校园，希望中学欲在教学提前建一圆形花坛，若想使花坛的面积为6.28㎡，那么花坛的半径应为多少米？（π取3.14）
1．下列各式中，正确的是（ ）。

A ．
525±= B ．()332-=-
C ．636
±=±
D ．12-a 一定有平方根
2．平方根是±3
1
的数是（ ） A ．±91 B ．9
1 C ．±3
1
D ．3
1
3．对于
14-x ，当
x 时，它有意义？
4．当一个数a 的值为 时（在线上填入一个你认为合适的数），它有两个平方根，平方根是 。

5．一个数的算术平方根为a ，比这个数大2的数是 。

7．求下列各式的值： （1）
25
1600+； （2）
25
1
169254100+-⨯
；
8．解下列方程:
（1）025642=-x （2）()()3
2
43--=--x
（3）()169
42
=-x
9．若02510=-++-y x x ，求xy y x -+的值。

立 方 根
［情景引入］ 【知识要点】 1、立方根的定义
一般地，如果一个数x 的立方等于a ，即a x =3，那么这个数x 就
叫
做a 的立方根。

2、性质：正数的立方根是一个正数；
负数的立方根是一个负数； 0的立方根是0。

3、立方根的表示方法：
每个数a 都只有一个立方根（立方根的唯一性），记为“3a ”，读作
“三次根号a ”。

4、开立方及立方的关系：
求一个数a 的立方根的运算叫做开立方，其中a 叫做被开方数。

开立方及立方互为逆运算。

记：()a a a a ==3
33
3,
5、开立方和小数点移动规律：被开方数的小数点向右或向左每移动三位，
则立方根的小数点就向右或向左移动一位。

6、n 次方根的定义：
如果一个数的n 次方等于a ，这个数叫做a 的n 次方根。

7、n 次方根的性质：
（1）正数的偶次方根有两个，它们互为相反数，负数没有偶次方根；
（2）任何数a 的奇次方根只有一个，且及a 同正负。

【典型例题】
例1-1 下列各数有立方根吗？若有，请你把它求出来；
（1）-27 （2）64
125 （3）0 （4）
64
（5）-1 （6）-125 （7）34- （8）()35--
例1-2 求下列各式的值：
（1）364
27-- （2）327
191-
（3）()328- （4）()625132-+- 例2 求满足下列各式的未知数x ：
（1）01253=+x （2）27
171
33=-x （3）()64
63113-=-x （4）()375433
-=-x
例3 已知()532,
8132
=-=-n n
x ，求x 的值。

例4 阅读下题，回答问题： 已知124.349.30,
45.1049.33
3≈≈，
求3
3
3
330490
,
3049000,03049.0,3049的值。

（2）若357
.0,66.156.4,
57.36.453
3
3=≈≈a ，求a 的值。

例5 邦德学校教学楼顶上有一正方体水池，其体积为64米3，求正方
体底
面积是多少平方米？
例6 很久很久以前，在古希腊的某个地方发生大旱，地里的庄稼都早死了
，人们找不到水喝，于是大家一同到庙里去向神祈求。

神说，我之所以不给你
们降水，是因为你们给我做的这个正方体祭坛太小，如果你们做一个比它大一
倍的祭坛放在我面前，我就会给你们降雨水。

大家觉得很好办，于是很已然做
好一个新祭坛送到神那儿，新祭坛的棱长是原祭坛棱长的2倍。

可是神
愈发恼
怒，他说，你们竞敢愚弄我！这个祭坛的体积根本不是原来的2倍，我要加倍
惩罚你们！请大家想一想，新祭坛的体积到底是原祭坛的多少倍？要做一个体
积是原来祭坛的2倍的新祭坛，它的棱长应是原来的多少倍？ 【练习及拓展】 一、选择题
1、如果-m 是n 的立方根，那么下列结论正确的是（ ） A 、m 也是n 的立方根 B 、m 也是-n 的立方根 C 、-m 也是-n 的立方根 D 、以上答案都不正确
2、
16
的平方根及-8的立方根之和是（ ）
A 、0
B 、-4
C 、0或-4
D 、4
3、下列四个说法中：
①1的算术平方根是1； ②8
1
的立方根是±2
1；
③-27没有立方根； ④互为相反数的两数立方根互为相
反数
其中正确的是（ ）
A 、①②
B 、①③
C 、①④
D 、②④
二、填空题
1、4
1-是 的立方根，35-是 的立方根。

2、
64
的立方根是 。

3、某数的立方根等于它本身，则这个数是 。

4、一个正数的算术平方根是8，则这个数的立方根是 。

5、()34--的平方根是 ，()34--的立方根是 。

三、求下列各式的值： （1）31125
124-
（2）327
191-
（3）364
611-
（4）3064
.0±
四、已知491442=x ，且083=+y ，求y x +的值。

五、解答题
1、李师傅打算制作一个正方体水箱，使其容积是3.3753m ，试问此木箱至少需多少木板？
2、将半径为12cm 的铁球熔化，重新铸造出8个半径相同的小铁球，不计损耗，小铁球的
半径是多少？（球的体积公式是3
3
4R V π=
） 【课后作业】 1．若443
=+a ，那么()
3
65-a 的值是（ ）
A 、64
B 、-1
C 、-125
D 、125
2．若3318
72-=-a ，则a 的值是（ ） A 、8
1-
B 、
16
1 C 、16
1-
D 、
8
1 3．平方根等于本身的数是 ，立方根等于本身是 。

4．0.064的立方根等于 ，()61-的立方根等于 。

5．81的平方根的立方根等于 ，9的立方根可表示成 。

6．求下列各式的值：
（1）256
273
+- （2）3
064.0--
7．求下列各式中的x 的值：
（1）()125
124113-=-x （2）01253=-x
（3）0125643=-x （4）()3432273
=-x
8．希望中学欲在教学楼顶上建一个正方体的水池，其体积为643m ，
打算由一名建筑工人独立完成，已知该建筑工人一天可垒1米高，一天的工资为40元，问垒完水池后希望中学应付给建筑工人多少钱？
实数综合
月 日 姓 名
【知识要点】 1．实数
有理数和无理数统称为实数，实数有以下两种分类方法：
（1）按定义分类
（2）按大小分类 2．实数中的倒数、相反数、绝对值概念和有理数一样，例如：3-的相反数为3，倒数为333
1-=-，3-的绝对值为33=-。

3．实数及数轴上点的关系
实数和数轴上的点是一一对应的，即每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示，反过来，数轴上的每一个点都可以用一个实数表示。

4．实数的运算
（1）关于有理数的运算律和运算性质，在实数范围内仍适用。

（2）涉及无理数的计算，可根据问题的要求取其近似值，转化为有理数进行计算。

一、填空题 1．在π
,3,8
5
,0,5.2,16,
17.2---•
•中，属于有理数
的是 ，属于无理数的是 。

2．设a 是最小的自然数，b 是最大的负整数，
⎪⎪⎪⎩
⎪⎪⎪⎨⎧
⎭⎬
⎫⎩⎨⎧⎪⎭⎪
⎬⎫
⎪⎩⎪⎨⎧无限不循环小数负无理数正无理数无理数数有限小数或无限循环小负有理数正有理数有理数实数0⎪⎩⎪⎨
⎧负实数正实数实数0
c 是绝对值最小的实数，则=+-c b a 。

3．计算
=•273
1
1 ；
=÷⨯
33
13 。

4．化简：=⨯÷+-18271264
17
1。

5．
2
3-的相反数是 ；
2
3-= 。

6．若20a b a b a --<<则= 。

7．计算
=+-232 。

8。

9．比较大小：
3+
6+。

10．若1+x 是4的平方根，则x = ；若
1+x 是-8
的立方根，则x = 。

二、单项选择题 1．若
2
3-+-x x 有意义，则x 的取值为（ ）
A ．x ﹥3
B ．x ﹤3
C ．x ≦3
D ．x =3 2
．下
列
各式中：
,321024,1.000001.0,3
427102
5
3
-=-== ()272733
-=--，计算正确的有（ ）
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
3．已知a 、b 是实数，下列命题中正确的是
（ ） A ：22
,b a b a >>则 B ．22,b a b a >>则
C 22,b a b a >>则
D ．2233
,b a b a >>则
4．设a 、b 均为负实数，且b a ->，则（ ）
A ．b a ->
B ．b a <
C ．b a -<-
D ．b a >
5．若数轴上表示数a 的点在原点左边，则化简22a a +的结果是（ ） A ．a 3
B ．a 3-
C ．a
D ．a -
6．下列答句中不正确的是（ ）
A ．无理数是带根号的数，其根号下的数字开方开不尽；
B ．8的立方根是±2；
C ．绝对值等于
6的实数是6；
D ．每一个实数都有数轴上的一个点及它对应。

7．下列计算正确的是（ ） A ．2
74
23=
B ．213
23
19=
C ．
()02343>=
y y
xy y x
D ．23
113
2=÷
8．一个三角形的三边的长为502,322,83，则
此三角形的周长是（ ） A ．29 B ．21032226
++
C ．50
214
+
D ．224
9．底面为正方形的水池容积是386.4m ，池深
m 5.1，则底面边长是（ ）
A ．3.24m
B ．1.8m
C ．0.324m
D ．0.18m
10．已知x 是169的平方根，且232x y x =+，则y 的值是（ ）
A ．65
B ．±65
C ．3
143±
D ．65或
3
143
11．设a 是不等于零的有理数，b 是无理数，那么下面四个数中必然为无理数的是（ ）
A ．33b a +
B ．()3b a +
C ．()b
b a ⋅+
D ．()a b a ⋅+
12．已知n 为任意整数，同()()()1123+---n n n n 表示的数是（ ） A ．一定是整数 B ．一定是无理数
C ．一定是有理数
D ．可能是有理数，也可
能是无理数
13．下列命题中，正确的个数是（ ） （1）两个有理数的和是有理数 （2）两个无理数的和是无理数 （3）两个无理数的积是无理数 （4）无理数及有理数的积是无理数 （5）无理数除以有理数是无理数 （6）有理数除以无理数是无理数 A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．5个
14．下列计算正确的是（ ）
A ．532=+
B ．2222=+
C ．
632=• D ．
22
4
= 15．及()3
2-
相乘，结果为1的数是（ ）
A ．
3
B ．32-
C ．32+
D ．32+
-
16．下列计算正确的是（ ）
A ．352332
=+
B ．
228=÷
C ．26255=+
D ．()662-=-
17．数轴上表示实数x 的点在表示-1的点的左边，则式子()()22122---x x 的值是（ ）
A ．正数
B ．-1
C ．小于-1
D ．大于-1
18
设
c b a c b a ,,,10012,9991001,9971003那么=+=+=
之间的大小关系是（ ）
A ．a ﹥b ﹥c
B ．a ﹥c ﹥b
C ．b ﹥a ﹥c
D ．c ﹥
b ﹥a
19．若a ﹤0，则332a a -的值为（ ） A ．-2a B ．0 C ．2a D ．±
2a
20．化简2
53+，甲、乙两同学的解法如下：
甲：(
)
(
)(
)252
52
52532
53-=-+-=
+
乙：
()(
)252
525252
53-=
+-
+
=
+
对于他们的解法，正确的是（ ） A ．甲、乙的解法都正确 B ．甲正确、乙不正确
C ．甲、乙的解法都错误
D ．乙正
确、甲不正确 三、解答题 1．计算： （1）
()36200166620
1--+⨯+--；
（2）()()6466
1
3322+-⨯+
-÷； （3）()()2
1212<
<-+-x x x ；
（4）()()[]
123332933645.22--÷---+⨯---； （5）2
33221-+-+
-
；
（6）5
21010005
1+；
（7）8
92
33
4⨯÷；
（8）753
13
1234+-；
（9）()()223122
-⋅+；
（10）
(
)27
3272300--
-；
2．已知实数
x ，y
满足等式
()0221322
=+-+--y x y x ，求y x 5
3
2-
的平方根。

3．已知x y x x y 求,355+-+-=
的平方根。

4．已知x ，y 是正数a 的两个平方根，且
223=+y x ，求
a 。

5．已知22,2
321,2321y x y x --=+=
求的值。

6．已知a 是有理数，且()34732
+=-a ，求a 的值。

7．设
7的小数部分为
b ，求()b b ⋅+4的值。

8．一正方形鱼池的边长是6m ，另一正方形鱼池的面积比第一个大452m ，求另一个鱼池的边长。

9．大正方形边长为3223+，小正方形的边
长为3223
-
10．四边形ABCD 中，AB ⊥BC ，CD CD=
6，BC=23 11．求等式21
12422=++x x 12．已知：x 是1010数部分，求()1
10--x y 的平方根。

勾股定理
［情景引入］ 【知识要点】
1、勾股定理是：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，
2240A
2240B
25
11C 1440D 即：222c b a =+
2、勾股定理逆定理：如果三角形的三边长a 、b 、c 满足222a b c +=那么这个三角形是直角三角形。

【典型习题】
例1、如图，有一块直角三角形纸片，两直角边AC=6cm,BC=8cm,现将直角边AC 沿直线AD 折叠，使它落在斜边AB 上，且
及AE 重合，则CD 等于（ ）
A. 2cm
B. 3cm
C. 4cm
D. 5cm 例2、求下列各图字母中所代表的正方形的面积。

例3、如图，一次“台风”过后，一根旗杆被台风从离地面8.2米处吹断，倒下的旗杆的顶端落在离旗杆底部6
.9米处，那么这根旗杆被吹断裂前至少有多高？
例4、如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边和长为7cm,则正方形A ，B ，C ，D 的面积之和为___________cm 2。

例5、在平静的湖面上，有一支红莲，高出水
面1米，阵风吹来，红莲被吹到一边，花朵齐及水面，已知红莲移动的水平距离为2米，问这里水深是________m 。

例6、为丰富少年儿童的业余文化生活，某社区要在如图所示的AB 所在的直线上建一图书阅览室，该社区有两所学校，所在的位置分别在点C 和点D 处。

CA ⊥AB 于A ，DB ⊥AB 于B ，已知AB=25km ，CA=15km,DB=10km,试问：阅览室E
建在距A 点多远时，才能使它到C 、D 两所学校的距离相等？
2.8米
9.6米
A E B
例 7、如图所示，MN 表示一条铁路，A 、B 是两个城市，它们到铁路的所在直线MN 的垂直距离分别AA1=20km,BB1=40km ，A1B1=80km.现要在铁路A1，B1=80km 。

现要在铁路A1，B1之间设一个中转站P ，使两个城市到中转站的距离之和最短。

请你设计一种方案确定P 点的位置，并求这个最短距离。

例8、“中华人民共和国道路交通管理条例”规定：小汽车在城街路上
行驶速度不得超过70千米/小时，如图，一辆小汽车在一条城市街路上
直道行驶，某一时刻刚好行驶到路面对车速检测仪A 正前方30米B 处，过了2秒后，测得小汽车C 及车速检测仪A 间距离为50米，这辆小汽车超速了吗？
例9、如图是一个三级台阶，它的每一级的长宽和高分别为20分米、3分米、2分米，A 和B 是这个台阶两个相对的端点，A 点有一只蚂蚁，想到B 点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到B 点最短的路程是多少? 例10、直角三角形的周长为24，斜边长为10，则其面积为_______
例11、如图，一个长为10米的梯子斜靠在墙上， 梯子的顶端距地面的垂直高度为8米，梯子的顶端下滑2米后，试说明理由。

例12、如图2—5—4所示，某市住宅社区在相邻两楼之间修建一个仿古通道，它的上方是一个半圆，下方是长方形，现有一辆卡车装满家具后，高4米，宽2.8米，
例13、甲、乙两船同时从A 港出发，甲朝北偏东60°方向行驶，乙朝
M A A
B
B
N A
B
C
E
·
南偏东30°方向行驶。

已知甲、乙两船的航速分别为45千米/时和50千米/时，经2小时航行后，试估算两船相距多少千米？（精确到0.1千米）
例14、如图1—3—10，已知直角三角形ABC 的三边分别为6、8、10，分别以它的三边为直径向上作三个半圆，求图中阴影部分的面积。

【随堂练习】
一、填空题（每空
3分，共24分）
1、 若直角三角形两直角边分别为6和8，则斜边为___________；
2、 已知两条线的长为
5cm 和4cm ，当第三条线段的长为_________时，
这三条线段能组成一个直角三角形；
3、 能够成为直角三角形三条边长的正整数，称为勾股数。

请你写出三
组勾股数：
_________________________；
4、 如图，求出下列
直角三角形中未知边的长度。

C=__________ b=__________
h=__________
5、 在
Rt △ABC 中，∠C=90°，BC ∶AC=3∶4，AB=10，则AC=_______，
BC=________
一、选择题（每题
3分，共15分）
1、a 、b 、c 是△ABC 的三边，
①a=5,b=12,c=13 ②a=8,b=15,c=17 ③a ∶b ∶c=3∶4∶5 ④
图1—3
B C A · 6 8
a=15,b=20,c=25
上述四个三角形中直角三角形有（）
A、1个
B、2个
C、3个
D、4个
2、一直角三角形的三边分别为2、
3、x，那么以x为边长的正方形的面积为（）
A、13
B、5
C、13或5
D、无法确定
3、将一个直角三角形两直角边同时扩大到原来的两倍，则斜边扩大到原来的（）
A、4倍
B、2倍
C、不变
D、无法确定
4、正方形的面积是4，则它的对角线长是（）
A、2
B、2
C、2
2 D、4 5、如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，AB=3，BD=2，
DC=1，则AC=（）
A、6
B、6
C、5
D、4
二、在5×5的正方形网格中，每个小正方形的
边长都为1，请在给定网格中按下列要求画
出图形。

（1）从点A出发画一条线段AB，使它的另一
端点B在格点上，且长度为5；
（2）画出所有的以（1）中的AB为边的等腰三角形，使另一个顶点在
格点上，且令两边的长度都是无理数。

三、解答题
1、公路旁有一棵大树高为5.4米，在刮风时被吹断，断裂处距地面1.5
米，请你通过计算说明在距离该大树多大范围内将受到影响。

2如图，∠C=90°,AC=3，BC=4，AD=12，BD=13，
试判断△ABD的形状，并说明理由。

2、已知三角形的三边分别是n-2，n，n+2，当
n是多少时，三角形是一个直角三角形？
3、如图，每个小方格都是边长为1的正方形，试计算出五边形ABCDE
的周长和面积。

4、如图，一个圆柱形纸筒的底面周长是40cm，高是30cm，一只小蚂蚁
在圆筒底的A处，它想吃到上底及下底面中间
及A点相对的B点处的蜜糖，试问蚂蚁爬行的
最短的路程是多少？
【课后练习】
一、填空题（每题3分，共24分）
1．三角形的三边长分别为a2＋b2、2ab、a2－b2（a、b都是正整数），则这个三角形是（）
A.直角三角形
B.钝角三角形
C.锐角三角形
D.不能确定
2．若△ABC的三边a、b、c满足a2＋b2＋c2十338＝10a＋24b＋26c，则△ABC的面积是（）
A.338
B.24
C.26
D.30
3．若等腰△ABC 的腰长AB ＝2，顶角∠BAC ＝120°，以 BC 为边的正方形面积为（ ）
A.3
B.12
C.
4
27 D.
3
16 4．△ABC 中，AB ＝15，AC ＝13，高AD ＝12，则△ABC 的周长为（ ） A.42 B.32 C.42 或32 D.37 或 33 5．直角三角形三条边的比是3∶4∶5.则这个三角形三条边上的高的比是（ ）
A.15∶12∶8
B. 15∶20∶12
C. 12∶15∶20
D.20∶15∶12
6．在△ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝3，AC ＝4.以斜边AB 为直径作半圆，则这个半圆的面积等于（ ）
A.
258
π
B.
254
π
C.
2516
π
D.25π
7．如图1，有一块直角三角形纸片，两直角边AC ＝6cm ，BC ＝8cm ，现将直角边AC 沿直线AD 折叠，使它落在斜边AB 上，且及AE 重合，则CD 等于（ ）
A.2cm
B.3 cm
C.4 cm
D.5 cm
16cm ，高为18cm ，则一只B 取3）（
二、填空题（每小题3分，共24分）
9．在△ABC 中，若其三条边的长度分别为9、12、15，则以两个
图1 D 18cm 图2
B A
这样的三角形所拼成的长方形的面积是＿＿＿．
10．一个长方体同一顶点的三条棱长分别是3、4、12，则这个长方体内能容下的最长的木棒为＿＿＿.
11．在△ABC中，∠C＝90°，BC＝60cm，CA＝80cm，一只蜗牛从C点出发，以每分20cm的速度沿CA→AB→BC的路径再回到C点，需要＿＿＿分的时间．
12．如图3，一艘船由岛A正南30海里的B处向东以每小时20海里的速度航行2小时后到达C处.则AC间的距离是＿＿＿．13．在△ABC中，∠B＝90°，两直角边AB＝7，BC＝24，三角形内有一点P到各边的距离相等，则这个距离是＿＿＿．
14．已知两条线段长分别为5cm、12cm，当第三条线段长为＿＿＿时，这三条线段可以组成一个直角三角形，其面积是＿＿＿．15．观察下列一组数：
列举：3、4、5，猜想：32＝4+5；
图3列举：5、12、13，猜想：52＝12+13；
列举：7、24、25，猜想：72＝24+25；
列举：13、b、c，猜想：132＝b+c；
请你分析上述数据的规律，结合相关知识求得b＝＿＿＿，c＝＿＿＿.
16．已知：正方形的边长为1.（1）如图4（a），可以计算出正方形的对角线长为2；如图（b），两个并排成的矩形的对角线的长为＿＿＿；n个并排成的矩形的对角线的长为＿＿＿.（2）若把（c）
（d ）两图拼成如图5“L ”形，过C 作直线交DE 于A ，交DF 于B .若
DB ＝53
，则 DA 的长度为＿＿＿．
二次根式的混合运算
月 日 姓 名 【知识要点】 1．最简二次根式：
①被开方数的因数是整数，因式是整式；
②被开方数中不能含有能开 尽方的因式和因数。

2．同类二次根式：
几个二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同。

3．分母有理化的方法 ①若分母中只含有a ，则分子、分母同时乘
以
a ，由a ·a =a ，则分母变成
a 。

②若分母含有a +b
（或
a -b
），则分子、
分母同剩以a -b
（或a +b
），根据（a +b
）
（
a -
b ）=a-b ，将
4．二次根式的混合运算方法:
①二次根式化成最简二次根式后，再合并成同类二次根式。

②二次根式的混合运算及有理数的混合运算法则一样，合并同类项方法类似。

5．二次根式运算法则： ①()n n m a n n m +=+（a ≥0）;
②
b a ab •=（a ≥0;b ≥0）
③b
a b
a =（a ≥0,
b ﹥0）
图5 E
F
B C
A 图4
（
（
（（
图6 图7 E D
C B A
④()n n
a a （a ≥0）
⑤
a a 4
=
（a ≥0）
【典型例题】 例1 计算： 例2 计算： 例3 已知x=2+323-=y ,，求下列各式的值。

①
x
y y x + ②22y x - ③
x 2
+2xy+y 2
例4 求下列各式的整式部分和分数部分。

例5 若a 、b 、c 是△ABC 的三边。

化
简
()()()()22
2
2b a c a c b c b a c b a --+
--+
--+
++
［随堂练习］ 1．计算： 2．计算： ③
x
y
y
x y
x
x y -+++2（x ﹥0,y ﹥0） ［课后作业］
姓 名 成 绩 1．计算：
2．已知a+b=-6,ab=5,求a
b b
a +的值。

3．计算：
平行四边形的性质 月 日 姓 名
【知识要点】
1．平行四边形的有关概念 （1）平行四边形的定义：
两组对边分别平行的四边形叫做平行四边
形。

表示方法：“ ”
（2）对边、对角、对角线的概念：
平行四边形共有四条边，四个角，把不相邻的边称为对边，不相邻的角称为对角，因此平行四边形有两组对边，两组对角。

对角线：平行四边形不相邻的两个顶点连成的线段叫对角线。

2．平行四边形的相关性质：
数学形式：∵
∴AB DC ，AD BC ②平行四边形的对角相等：
∴OA=OC=2
1AC ，
OB=OD=21
BD ．
3．平行线间的距离
（1）两条直线互相平行，则其中一条直线上任意两点到另一条直线的距离相等，这个距离称为平行线之间的距离。

（2）平行线之间的垂线段处处相等。

【典型例题】
例1—1 在平行四边形ABCD 中（利用平行四边形的性质—边、解）
（1）若∠A=40°，则∠B= ，∠
∥ ＝ ∥ ＝
B
C
C= ，∠D= 。

（2）若∠A －∠B=80°，则∠A= ，∠B= 。

（3）若∠A+∠C=220°，则∠A= ，∠B= 。

（4）若周长为44cm ，AB －BC=2cm ，则CD= ，AD= 。

例1 如图，□ABCD 中，AD ⊥BD ，垂足为D ，OA=10，OB=6，求BC 、AB 的长。

例 2 如图，四边形ABCD C=80°，□ABCD 的周长为40cm ，且AB －BC=2cm ，
求□ABCD 各边长和各内角的度数。

例5 如图，□ABCD 中，对角线AC 和点，若AC=8，BD=6，则边AB 长的取值范围为（ ） A ．1﹤AB ﹤7 B ．2﹤AB ﹤14 C ．6﹤AB ﹤8
D ．3﹤AB14
例4—1 小强家承包了一块苗圃用来养花。

如图所示，苗圃的形状为平行四边形，经测量，其周长是36m ，从钝角顶点D 处向AB 、BC 引两条高DE 、DF 的长分别为5m 、7m ，求这个平行四边形苗圃的面积。

例4—2 已知□ABCD 中周长是36cm AD 及BC 间的距离为6cm ，求：AB 离。

【经典练习】 一、选择题
1．如图，在□ABCD 中，AC 、BD
A B
A
A B
A B
E D
C
相交于O，则图中全等的三角形共有（）
A．2对B．3对
C．4对D．5对
3．□ABCD中，∠A比∠B大20°，则∠C的度数为（）
A．60°B．80°C．100°
D．120°
4．下列说法正确的是（）
A．平行四边形的对角线相等；
B．平行四边形的对角线的交点到一组对边的距离相等；
C．四边形具有平行四边形的性质；
D．沿平行四边形的一条对角线对折，这条对角线两旁的图形能互相重合。

5．在平行四边形ABCD中，若∠A:∠B=5:4，则∠C的度数是（）
A．80°B．120°C．100°
D．110°
二、填空题
1．两组对边分别的四边形叫做平行四边形，平行四边形的
的两个顶点连成的线段叫做它的对角线。

2．平行四边形的对边，对角。

3．在平行四边形ABCD中，若AB=5cm，周长等于22cm，则CD=
cm，BC= cm，AD= cm。

4．在平行四边形ABCD中，若∠A=2∠B，则∠
A= ，∠B= ，
∠C= ，∠D= 。

5．已知平行四边形相邻两角的度数之比为2:3，则较大角为 。

6．平行四边形一组邻角的平分线一定是 。

三、解答题
1．在平行四边形ABCD 中，∠B+∠D=140°，求各内角的度数。

2．平行四边形ABCD 中，AE 平分∠BAD ，交DC
于E ，AD=5cm ，AB=8cm ，求EC 的长。

3．如图，平行四边形ABCD 中，
AD 的中点，求∠BMC 的度数。

4．在□ABCD 中，E 、
F 分别是AC 、CA 点，且CE=AF ，求证：BF ∥DE 。

6．如图，在□ABCD 中，AB=4cm ，AD=7cm ，∠ABC 的平分线交AD 于点
E ，交CD 的延长线于点
F ，则DF 长多少？
［课 后
作 业］
1．如图，O 为□ABCD 对角线AC 、BD 的交点，EF 经过点O ，且及边AD 、BC
分别交于点E ，若BF=DE ，则图中的全等三角形最多有（ ） A ．2对
B ．3对
C ．5对
D ．6对
2．在□ABCD 中，若∠A －∠A= ，∠B= ， ∠C= ，∠D= 。

3．在□ABCD 中，AC ⊥BD ，相交于O ，AC=6，BD=8，
A
C
E
A
C
则AB= ，
BC= 。

4．平行四边形ABCD的对角线相交于点O，如果
△AOB的面积为3，那么平行四边形ABCD的面积
是。

5．直线m∥n，m上一点A到n的距离为6cm，B
为n上任一点，则B到m的距离为 cm。

6．已知：□ABCD的周长是48cm，且AB=12cm，
AD及BC间的距离为8cm，求：AB及CD之间的距
离。

7．已知：在□ABCD中，BE平分∠B，DF平分∠
D，且BE、DF分别交AD、BC于E、F，求证：（1）
BE=DF；（2）∠BED=∠BFD。

第二节平行四边形的判定
【知识要点】
1．平行四边形的判定方法：
从边的角度：
（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形；
（2）两组对边分到相等的四边形是平行四边形；
（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。

从对角线的角度：
对角线互相平分的四边形是平行四边形。

从角的角度：
两组对角分别相等的四边形是平行四边
形。

2．知识点延伸：
除两组对角分别相等的四边形是平行四边
形外还有：
（1）一组对角相等，一组对边也相等的四
边形是平行四边形；
（2）一组对边平行，一条对角线平分另一
条对角线的四边形是平行四边形。

【典型例题】
对平行四边形的判定条件和掌握
例1 下列说法中正确个数有（）
①一组对边平行且相等的四边形为平行四
边形；
②一组对边平行而另一组对边相等的四边
形为平行四边形；
③两组对角分别相等的四边形是平行四边
形；
④有两边相等，另外两边也相等的四边形是
平行四边形；
⑤一组对边及一对对角相等的四边形是平
行四边形。

A．2个 B．3个 C．4个 D．5
个
例2 A、B、C、D在同一平面内，从①AB∥CD；
②AB=CD；③BC∥AD；④BC=AD，这四个条件中选
两个，能使四边形ABCD是平行四边形的选法有
多少种（）
A．3 B．4 C．5 D．6
例3 如图1是 ABCD的对角线AC
的中点，过点O的直线EF分别交AB、CD于E、F
两点，四边形AECF为平行四边形吗？说明理由。

练习如图2 ABCD中，点E、F分别是
AB、CD上的点，AF=CF，M、N
分别是DE、BF的
中点，四边形ENFM是平行四边形吗？说说你的
理由。

例4 如图 ABCD，AF
相交于E和
F，且AE∥CF
练习如图4，平行四边形
别为AD、BC的中点，请问AC
说明理由。

来说明：
例5 如图5，四边形ABCD为平行四边形，E
分别为AB、DC的中点，AF、DE交于G，BF、CE
交于H，试说明：EHFG为平行四边形。

练习如图7 ABCD中，E、F、G、
是四条边上的点，且满足AE=CF，BG=DH
EF、GH。

求证：EF及GH互相平分。

例6 如图中，点M、N
上的点，且AM=CN，DE=BF
是平行四边形。

练习如图9，四边形ABCD中，AB∥CD
AC边作平行四边形ACED，延长DC交EB于
认为EF及BF
F
图3
E
图8
F
C
图4
F
【经典练习】
1．一个四边形要具备下列条件之一就是平行四边形：两组对边 ；两组对角 ；一组对边 ；对角线 。

2．相邻两个角都互补的四边形是 。

3．四边形ABCD 及四边形BMNC 是平行四边形，则四边形AMND 是 四边形，理由是 。

4．点E 是三角形ABC 的中线BD 上的任意一点，延长BD 到F ，使DF=ED ，则四边形AECF 是 。

5
中，AE ⊥BC 于E ，AF ⊥CD 于F ，若∠EAF= 60
，则平行四边
形ABCD 的各内
角的度数分别
为 、 、 6．一个平行四边形一边长为
10cm ，一条对角线长7cm ，则它的另一条对角线x 的取值范围是 。

ABCD 中，BC=9，CD=5，BE 平分∠ABC 交AC 于E ，则ED= 。

8．如图所示，BD 是平行四边形ABCD 的对角线，点E 、
F 在BD 上，要使AECF 是平行四边形，还需要增加的一个
条件是 。

（填上你认为正确的一个即可）
9 ABCD 中，E 、G 是AD 的三等分点，F 、H 是BC 的三等分点，则图中的平行四边形有 个。

10 ABCD 中，AD ∥BC ，分别添加下列条件：①AB ∥CD ；②AB=CD ；③AD=BC ；④∠A=∠C ；⑤∠B=∠C ，能使四边形ABCD 为平行四边形的条件的序号是 。

11．用两个全等的三角形拼成的四边形，有下列说法：①一定是平行四边形；②可能是平行四边形；③一定不是平行四边形；其中正确的说法是 。

【课后作业】
F H
1
ABCD 中，E 、F 分别是AB 、CD 上的点，且AE=CF ，试
判断
DE 及BF 的大小关系并说明理由。

2中，O 为AC 、BD 的交点，点E 、
F AO 、BO 、CO 、DO 的中点，四边形EFGH 3．如图 ABCD 中，AB:BC=5:3，其同长为50，AE ⊥BC ，AF ⊥CD ，垂足分别为E 、F ，∠EAF=2∠DAB ，求AE
和AF 的长。

菱 形
姓名： 日期：
【知识要点】
1、菱形的定义
一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。

2、菱形的性质
（1）菱形具有平行四边形的一切性质；
（2）菱形是轴对称图形；
（3）菱形的四条边相等；
（4）菱形的两条对角线互相垂直且每一条对角线
平分一组对角；
3、菱形的判定方法
（1）定义：一组邻边相等的平行四边形叫做菱形；
（2）四条边都相等的四边形是菱形；
（3）两条对角线互相垂直的平行四边形是菱形；
4、菱形对角线把它分成四个全等的直角三角形。

5、若菱形边长为a ，对角线分别为m 、n ，则其面积
为mn S 21
，若两个对边之间的距离为h ，则S=ah 。

【典型例题】
例1-1 如图1，已知菱形ABCD 的周长为100cm ，
F
图1 E 图2。