高中三角函数专题练习题及答案

高中三角函数专题练习题及答案
一、填空题
1．方程
1
2sin 01x x
π-=-，[2,4]x m m ∈--+（m ∈Z ）的所有根的和等于2024，则满足条件的整数m 的值是________
2．如图所示，一竖立在地面上的圆锥形物体的母线长为4，一只小虫从圆锥的底面圆上的点P 出发，绕圆锥爬行一周后回到点P 处，若该小虫爬行的最短路程为43，则这个圆锥的体积为___________.
3．已知正方体1111ABCD A B C D -，点E 是AB 中点，点F 为1CC 的中点，点P 为棱1DD 上一点，且满足//AP 平面1D EF ，则直线AP 与EF 所成角的余弦值为_______．
4．如图，某城市准备在由ABC 和以C 为直角顶点的等腰直角三角形ACD 区域内修建公园，其中BD 是一条观赏道路，已知1AB =，3BC =，则观赏道路BD 长度的最大值为______．
5．已知()()
()cos sin 30f x x x x ωωωω=>，如果存在实数0x ，使得对任意的实数x ，都有()()()002016f x f x f x π≤≤+成立，则ω的最小值为___________.
6．若函数()41
sin 2cos 33
f x x x a x =-+在(),-∞+∞内单调递增，则实数a 的取值范围是___________.
7．已知函数()2sin 16f x x πω⎛
⎫=-- ⎪⎝
⎭，其中0>ω，若()f x 在区间(4π，23π)上恰有2个零
点，则ω的取值范围是____________.
8．已知函数()cos()(0,0,0)f x A x A ωϕωϕπ=->><<的部分图像如图所示，设函数
()266g x f x f x ππ⎛
⎫⎛
⎫=++
+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭，则()g x 的值域为___________.
9．已知平面四边形ABCD 的面积为36，4AB =，3AD =，5BC =，6CD =，则
cos()A C +=___________.
10．△ABC 内接于半径为2的圆，三个内角A ，B ，C 的平分线延长后分别交此圆于1A ，
1B ，1C .则
111cos
cos cos 222sin sin sin A B C AA BB CC A B C
++++的值为_____________.
二、单选题
11．已知ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ．若2222224cos 4sin 33a B b A b c +=-，则
cos A 的最小值为（ ）
A 2
B 7
C 7
D ．34
12．若方程x 2 +2x +m 2 +3m = m cos(x +1) + 7有且仅有1个实数根，则实数m 的值为（ ） A ．2
B ．-2
C ．4
D ．-4
13．已知向量a 与b 的夹角为120︒，且2a b ⋅=-，向量c 满足()()101c a b λλλ=+-<<，且a c b c ⋅=⋅，记向量c 在向量a 与b 方向上的投影分别为x ､y .现有两个结论：①若13λ=，则2a b =；②22x y xy ++的最大值为3
4
.则正确的判断是（ ）
A ．①成立，②成立
B ．①成立，②不成立
C ．①不成立，②成立
D ．①不成立，②不成立
14．在ABC 中，,E F 分别是,AC AB 的中点，且32AB AC =，若BE
t CF <恒成立，则t 的最小值为（ ） A ．34
B ．78
C ．1
D ．54
15．已知双曲线2
2
413y x -=的左右焦点分别为1F ，2F ，点M 是双曲线右支上一点，满足
120MF MF →
→
⋅=，点N 是线段12F F 上一点，满足112F N F F λ→
→
=.现将12MF F △沿MN 折成直二面
角12F MN F --，若使折叠后点1F ，2F 距离最小，则λ=（ ）
A ．15
B ．25
C ．35
D ．45
16．如图，在正方体ABCD EFGH -中，P 在棱BC 上，BP x =，平行于BD 的直线l 在正方形EFGH 内，点E 到直线l 的距离记为d ，记二面角为A l P --为θ，已知初始状态下
0x =，0d =，则（ ）
A ．当x 增大时，θ先增大后减小
B ．当x 增大时，θ先减小后增大
C ．当d 增大时，θ先增大后减小
D ．当d 增大时，θ先减小后增大
17．在ABC 中，60BAC ∠=，3BC =，且有2CD DB =，则线段AD 长的最大值为
（ ） A 13B ．2 C 31 D ．318．已知F 是椭圆2
221(1)x y a a +=>的左焦点，A 是该椭圆的右顶点，过点F 的直线l （不
与x 轴重合）与该椭圆相交于点M ，N ．记MAN α∠=，设该椭圆的离心率为e ，下列结论正确的是（ ） A ．当01e <<时，2
π
α<
B ．当2
0e <<
2πα>
C ．当12
22
e <<时，23πα>
D ．当
2
12
e <<时，34πα> 19．在ABC 中，BAC ∠的平分线交BC 于点,2,6D BD DC BC ==，则ABC ∆的面积的最大值为（ ） A ．6
B ．62
C ．12
D ．122
20．已知直线1y x =+上有两点1122(,),(,)A a b B a b ，且12a a >.已知1122,,,a b a b 满足
12122||a a b b +2222
1122a b a b =+⋅+，若||23AB =，则这样的点A 个数为（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
三、解答题
21．如图，某市一学校H 位于该市火车站O 北偏东45︒方向，且42OH km =，已知
, OM ON 是经过火车站O 的两条互相垂直的笔直公路，CE ,DF 及圆弧CD 都是学校道路，其
中//CE OM ，//DF ON ，以学校H 为圆心，半径为2km 的四分之一圆弧分别与, CE DF 相切于点, C D .当地政府欲投资开发AOB 区域发展经济，其中,A B 分别在公路, OM ON 上，且AB 与圆弧CD 相切，设OAB θ∠=，AOB 的面积为2Skm .
（1）求S 关于θ的函数解析式；
（2）当θ为何值时，AOB 面积S 为最小，政府投资最低？
22．已知函数()()sin 0,2f x t x t πωϕϕ⎛
⎫=+>< ⎪⎝
⎭，()f x 的部分图像如图所示，点
()
0,3N ，,02M π⎛⎫- ⎪⎝⎭
，,4P t π⎛⎫
⎪⎝⎭都在()f x 的图象上.
（1）求()f x 的解析式；
（2）当,2x ππ⎡
⎤∈-⎢⎥⎣
⎦时，()33f x m --≤恒成立，求m 的取值范围.
23．已知函数()sin()0,0,||2f x A x A πωϕωϕ⎛
⎫=+>>< ⎪⎝
⎭的最大值是2，函数()f x 的图象的一
条对称轴是3x π
=
，且与该对称轴相邻的一个对称中心是7,012π⎛⎫
⎪⎝⎭
. （1）求()f x 的解析式；
（2）已知DBC △是锐角三角形，向量
,,,2124233B B m f f n f f B ππππ⎛
⎫
⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫
⎛
⎫=+=++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝
⎭⎝⎭⎝⎭，且3,sin 5m n C ⊥=，求cos D . 24．将函数()sin 2g x x =的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的3倍（横坐标不变），再向左平移
4
π
个单位长度，得到函数()y f x =的图象，设函数()()()h x f x g x =+. （1）对函数()h x 的解析式；
（2）若对任意,,2παβπ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦，不等式()()a h h b αβ≤-≤恒成立，求b a -的最小值；
（3）若26x h t π⎛⎫
-= ⎪⎝⎭
在[)0,2π内有两个不同的解1x ，2x ，求()12cos x x -的值（用含t 的式
子表示）.
25．某公司欲生产一款迎春工艺品回馈消费者，工艺品的平面设计如图所示，该工艺品由直角ΔABC 和以BC 为直径的半圆拼接而成，点P 为半圈上一点（异于B ，C ），点H 在线段BC 上，且满足CH AB ⊥.已知90ACB ∠=︒，1dm AB =，设ABC θ∠=.
（1）为了使工艺礼品达到最佳观赏效果，需满足ABC PCB ∠=∠，且CA CP +达到最大.当
θ为何值时，工艺礼品达到最佳观赏效果；
（2）为了工艺礼品达到最佳稳定性便于收藏，需满足60PBA ∠=︒，且CH CP +达到最大.当θ为何值时，CH CP +取得最大值，并求该最大值.
26．已知函数()sin cos cos 63f x x x x a ππ⎛⎫⎛⎫
=-+-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
的最大值为1.
（1）求常数a 的值；
（2）求函数()f x 的单调递增区间； （3）求使()0f x <成立的实数x 的取值集合.
27．在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，cos 22220C C ++=． （1）求角C 的大小；
（2）若2b a =，ABC ∆2
sin A B ，求sin A 及c 的值．
28．已知1a ≥，函数()πsin 4f x x ⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭，()()sin cos 1g x x x x =--.
（1）若()f x 在[],b b -上单调递增，求正数b 的最大值； （2）若函数()g x 在3π0,4⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
内恰有一个零点，求a 的取值范围.
29．已知函数22()sin 22sin 26144f x x t x t t ππ⎛
⎫⎛⎫=---+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，,242x ππ⎛⎫⎡⎤∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝
⎭，最小值为
()g t .
（1）求当1t =时，求8f π⎛⎫
⎪⎝⎭
的值；
（2）求()g t 的表达式； （3）当1
12
t -
≤≤时，要使关于t 的方程2()9g t k t =-有一个实数根，求实数k 的取值范围.
30．已知函数())2sin cos 0f x x x x ωωωω=+>的最小正周期为π.将函数()y f x =的图象上各点的横坐标变为原来的4倍，纵坐标变为原来的2倍，得到函数()y g x =的图象.
（1）求ω的值及函数()g x 的解析式； （2）求()g x 的单调递增区间及对称中心
【参考答案】
一、填空题
1．1008或1009
2．81
3
41 5．
1
4032
6．[ 7．742ω<<或913
22
ω<≤.
8．9
[,4]4
-
9．
7
10
##0.7 10．4 二、单选题 11．C 12．A 13．C 14．B 15．C 16．C 17．C 18．A 19．C 20．D 三、解答题
21．（1）2[2(sin cos )1]2,0,sin cos 2S θθπθθθ+-⎛⎫
=⋅
∈ ⎪⎝⎭
；（2）4πθ=. 【解析】 【分析】
（1）以点O 为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，则(4,4)H ，在Rt ABO 中，设AB l =，又OAB θ∠=，故cos OA l θ=，sin OB l θ=，进而表示直线AB 的方程，由直线
AB 与圆H 相切构建关系化简整理得4(sin cos )2
sin cos l θθθθ
+-=
，即可表示OA ,OB ，最后由三角
形面积公式表示AOB 面积即可；
（2）令2(sin cos )1t θθ=+-，则223
sin cos 8
t t θθ+-=，由辅助角公式和三角函数值域可
求得t 的取值范围，进而对原面积的函数用含t 的表达式换元，再令1
m t
=进行换元，并构
建新的函数2()321g m m m =-++，由二次函数性质即可求得最小值. 【详解】
解：（1）以点O 为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，则(4,4)H ，在Rt ABO 中，设AB l =，又OAB θ∠=，故cos OA l θ=，sin OB l θ=. 所以直线AB 的方程为
1cos sin x y
l l θθ
+=，即sin cos sin cos 0x y l θθθθ+-=. 因为直线AB 与圆H 相切，
所以
2
2
|4sin 4cos sin cos |
2sin cos l θθθθθθ
+-=+.(*)
因为点H 在直线AB 的上方， 所以4sin 4cos sin cos 0l θθθθ+->，
所以(*)式可化为4sin 4cos sin cos 2l θθθθ+-=，解得4(sin cos )2
sin cos l θθθθ
+-=.
所以4(sin cos )2sin OA θθθ+-=
，4(sin cos )2
cos OB θθθ
+-=
. 所以AOB 面积为21[2(sin cos )1]2,0,2sin cos 2S OA OB θθπθθθ+-⎛⎫
=⋅=⋅
∈ ⎪⎝⎭
.
（2）令2(sin cos )1t θθ=+-，则2
23
sin cos 8
t t θθ+-=，
且2(sin cos )121(1,221]4t πθθθ⎛
⎫=+-=+-∈ ⎪⎝
⎭，
所以22216
2322318
t S t t t t =⋅=+--++，21]t ∈.
令1221m t ⎡⎫+=∈⎪⎢⎣⎭，2
2
14()321333g m m m m ⎛⎫=-++=--+ ⎪⎝⎭，所以()g m 在221⎡⎫+⎪⎢⎣⎭
上单调递减. 所以，当221
m +=4πθ=时，()g m 取得最大值，S 取最小值.
答：当4
π
θ=时，AOB 面积S 为最小，政府投资最低.
【点睛】
本题考查三角函数的实际应用，应优先结合实际建立合适的数学模型，再按模型求最值，属于难题.
22．（1）()2
2sin 3
3x f x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；（2）[]1,0-
【解析】 【分析】
（1）由三角函数图像，求出,,t ωϕ即可；
（2）求出函数()f x m -的值域，再列不等式组32
33m m +≥⎧⎪⎨≤⎪⎩
.
【详解】
解：（1）由()f x 的图象可知
34424
T πππ⎛⎫=--= ⎪⎝⎭，则3T π=， 因为23T ππω==，0>ω，所以23ω=，故()2sin 3t x f x ϕ⎛⎫
=+ ⎪⎝⎭
.
因为,02M π⎛⎫
- ⎪⎝⎭在函数()f x 的图象上，所以
sin 023f t ππϕ⎛⎫⎛⎫
-=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
， 所以()3
k k Z π
ϕπ-
+=∈，即()3
k k Z π
ϕπ=+
∈，因为2
π
ϕ
<
，所以3
π
ϕ=
.
因为点(N 在函数()f x 的图象上，所以()0sin 3
f t π
==
解得2t =，
故()2
2sin 3
3x f x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.
（2）因为,2x ππ⎡
⎤∈-⎢⎥⎣
⎦，所以22,3333x πππ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦，
所以2
sin 3
3x π⎡⎤⎛⎫+∈⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦，则()2f x ≤.
因为()33f x m -≤-≤，所以()3m f x m ≤+， 所以32
m m +≥⎧⎪⎨⎪⎩
10m -≤≤.
故m 的取值范围为[]1,0-. 【点睛】
本题考查了利用三角函数图像求解析式，重点考查了三角函数值域的求法，属中档题.
23．（1）()2sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭；（2
【解析】
（1）根据函数的最值、周期、对称轴待定系数即可求解；
（2）由（1）所求，可化简向量坐标，根据向量垂直得到角B ，再利用()cos cosD A B =-+求解. 【详解】
（1）设()f x 的最小正周期为T ， 依题意得
71234T ππ-=，∴T π=，∴22π
ωπ
==. ∵()f x 图象的一条对称轴是3
x π
=，∴
2,32
k k Z ππ
ϕπ+=+∈， ∴,6
k k Z π
ϕπ=-
+∈.∵||2ϕπ<
，∴6
π
ϕ=-. 又∵()f x 的最大值是2，∴2A =，
从而()2sin 26f x x π⎛
⎫=- ⎪⎝
⎭.
（2）∵()
(),2sin ,3,2cos ,2cos 2m n m B n B B ⊥==，
∴4sin cos 22sin 22m n B B B B B ⋅=⋅+=+
4sin 203B π⎛
⎫=+= ⎪⎝
⎭
∴2,3
B k k Z π
π+
=∈，∴:,62
k
B k Z π
π=-
+∈， 又∵B 是锐角，∴3
B π
=
.
∵3sin 5C =，∴4
cos 5
C =，
∴cos cos()(cos cos sin sin )D B C B C B C =-+=--=.
即cosD =. 【点睛】
本题考查三角函数解析式的求解，涉及向量垂直的转换，余弦函数的和角公式.属综合基础题.
24．（1）()2sin 23h x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（2）4；（3）()2
12cos 12
t
x x -=-
【解析】
（1）将()g x
⇒2y x =；再向左平移
4
π
个单位长度
⇒()24f x x π⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭，最后代入()h x ，得答案；
（2）对()h x 在,2x ππ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦，由内到外求出值域，因为()()a h h b αβ≤-≤恒成立，所以
max b m ≥，min a m ≤，整理得答案；
（3）表示26x h π⎛⎫
- ⎪⎝⎭并化简，由1x ，2x 是2sin x t =在[)0,2π内有两个不同的解，所以
12x x π+=或123x x π+=，因需求()12cos x x -，所以分别表示12x x -并代入，利用诱导公式
和二倍角公式化简，将式子中22sin x 换成t 得答案. 【详解】
（1）将函数()sin 2g x x =
得到函数2y x =的图象，再将2y x =的图象向左平移
4
π
个单位长度得到函数()
y f x =，所以()224f x x x π⎛
⎫=+= ⎪⎝
⎭，
又()()()h x f x g x =+，所以()sin 222sin 23h x x x x π⎛
⎫==+ ⎪⎝
⎭；
（2）当,2x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，472,333x πππ⎛⎫⎛⎫+∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以sin 21,3x π⎡⎛
⎫+∈-⎢ ⎪⎝
⎭⎣⎦，
所以2sin 22,3x π⎛
⎫⎡+∈- ⎪⎣⎝
⎭， 令()()m h h αβ=-，因为()()a h h b αβ≤-≤恒成立，
所以max 2b m ≥=，min 2a m ≤=-2a -≥
所以4b a -≥即b a -的最小值为4；
（3）法一：因为2sin 22sin 26263x x h x πππ⎡⎤⎛⎫
⎛⎫-=-+= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，
所以1x ，2x 是2sin x t =在[)0,2π内有两个不同的解， 所以12x x π+=或123x x π+=， 所以1222x x x π-=-或12232x x x π-=-
所以()()22
2
12221cos 2sin 12sin 1122
t x x x x -=-=-=-；
法二：①当t ＞0时，不妨设12x x ＜，
则有1202x x π
π＜＜＜＜，所以1cos x =2cos x =
②当0t ＜时，不妨设12x x ＜，
则有1232x x π
ππ＜＜
＜＜2，所以1cos x 2cos x = ③当0=t 时，显然有10x =，2x π=，
所以()2
121212cos cos cos sin sin 12t x x x x x x -=+=-.
【点睛】
本题考查了由三角函数图像的伸缩平移变换表示解析式，给定定义域求三角函数值域，不等式恒成立问题，还考查了函数零点问题，充分体现了数学中转化与划归思想，属于难题.
25．（1）π6θ=（2）当π12θ=，CH CP +【解析】
（1）设ABC PCB θ∠=∠=，则在直角ΔABC 中，sin AC θ=，cos BC θ=，计算得到2sin sin 1AC CP θθ+=-++，计算最值得到答案.
（2）计算sin cos CH θθ=⋅，得到πsin 23CH CP θ⎛
⎫+=+ ⎪⎝⎭.
【详解】
（1）设ABC PCB θ∠=∠=，则在直角ΔABC 中，sin AC θ=，cos BC θ=. 在直角ΔPBC 中，2cos cos cos cos PC BC θθθθ=⋅=⋅=， sin sin cos sin cos PB BC θθθθθ=⋅=⋅=.
22sin cos sin 1sin AC CP θθθθ+=+=+-2sin sin 1θθ=-++，π0,3θ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
，
所以当1sin 2θ=
，即π6θ=，AC CP +的最大值为54
. （2）在直角ΔABC 中，由11
22
ABC S CA CB AB CH ∆=⋅=⋅，
可得sin cos sin cos 1
CH θθ
θθ⋅=
=⋅. 在直角ΔPBC 中，πsin 3PC BC θ⎛⎫=⋅- ⎪⎝⎭ππcos sin cos cos sin 33θθθ⎛⎫
=⋅- ⎪⎝⎭
，
所以1sin cos cos sin 2CH CP θθθθθ⎫+=+-⎪⎪⎝⎭，π0,3θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，
所以211
sin 2sin cos 22
CH CP θθθθ+=-
11πsin 22sin 2423θθθ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭
所以当π12θ=，CH CP + 【点睛】
本题考查了利用三角函数求最值，意在考查学生对于三角函数知识的应用能力.
26．（1）1a =-（2）22,2,33k k k Z ππππ⎡⎤-
++∈⎢⎥⎣⎦.（3）422|,3k x k k Z x πππ-+<<∈⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
【解析】
（1）化简()f x ，求最大值，即可求解；
（2）应用整体思想，结合正弦函数的递增区间，即可得出结论； （3）运用正弦函数图像，即可求解. 【详解】 解：()sin cos cos sin
cos
cos sin
sin cos 6
6
3
3
f x x x x x x a π
π
π
π
=-++++
11cos cos cos 22x x x x x a =
-+++
cos x x a =++12cos 2x x a ⎫=++⎪⎪⎝⎭
2sin 6x a π⎛
⎫=++ ⎪⎝⎭. （1）函数()f x 的最大值为21a +=，所以1a =-. （2）由22,2
6
2
k x k k Z π
π
π
ππ-+≤+
≤
+∈，
解得222,33
k x k k Z ππ
ππ-
+≤≤+∈， 所以()f x 的单调递增区间为22,2,33k k k Z ππππ⎡⎤
-
++∈⎢⎥⎣⎦
.
（3）由（1）知()2sin 16f x x π⎛
⎫=+- ⎪⎝
⎭.
因为()0f x <，即2sin 106x π⎛
⎫+-< ⎪⎝⎭.
所以1sin 62x π⎛
⎫+< ⎪⎝
⎭，
所以722,666k x k k Z πππ
ππ-+<+<+∈. 所以422,3
k x k k Z π
ππ-
+<<∈， 所以使()0f x <成立的x 的取值集合为422|,3k x k k Z x πππ-+<<∈⎧⎫⎨⎬⎩⎭
. 【点睛】
本题考查三角函数恒等变换，化简解析式，考查三角函数的性质以及三角不等式，属于中档题.
27．（1）34C π=（2）sin A =1c = 【解析】 【分析】
（1）化简等式，即可求出角C ．
（2）利用角C 的余弦公式，求出c 与a 的关系式，再由正弦定理求出角A 的正弦值，再结合面积公式求出c 的值． 【详解】
（1）∵cos 220C C ++=，
∴2
2cos s 10C C +=+，即
)
2
10C +=，
∴cos C = 又()0,C π∈，∴34
C π=
. （2）∵2222222cos 325c a b ab C a a a =+-=+=，
∴c =，即sin C A =，
∴sin
A C =
∵1sin 2ABC S ab C ∆=，且in sin ABC S A B ∆=，
∴1sin sin 2ab C A B =，
∴
sin sin sin ab
C A B
=
2
sin 2sin c C C ⎛⎫= ⎪⎝⎭
，解得1c =. 【点睛】
本题考查利用解三角形，属于基础题． 28．（1）4π
（2）32,4⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭
【解析】 【分析】
（1）求出()πsin 4f x x ⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭的单调递增区间，令0k =，得3ππ44x -≤≤，可知区间
[],b b -3ππ,44⎡⎤⊂-
⎢⎥⎣⎦，即可求出正数b 的最大值；（2）令πsin cos 2sin 4t x x x ⎛
⎫=+=+ ⎪⎝
⎭，
当3π0,4x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
时，0,2t ⎡⎤∈⎣⎦，可将问题转化为()21122h t t at =-+-在0,2⎡⎤⎣⎦的零点问题，分类讨论即可求出答案. 【详解】 解：（1）由πππ
2π2π242
k x k -≤+≤+，k ∈Z 得3ππ
2π2π44
k x k -
≤≤+，k ∈Z . 因为()f x 在[],b b -上单调递增， 令0k =，得3ππ
44
x -
≤≤时()f x 单调递增， 所以π43π
4b b ⎧
≤⎪⎪⎨⎪-≥-⎪⎩
解得π4b ≤，可得正数b 的最大值为4π.
（2）()()sin cos 21g x x x af x =-+-()sin cos sin cos 1x x a x x =-++-，
设πsin cos 2sin 4t x x x ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，当3π0,4x ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
时，0,2t ⎡⎤∈⎣⎦.它的图形如图所示.
又()()2
211sin cos sin cos 1122x x x x t ⎡⎤=
+-=-⎣
⎦，则()sin cos sin cos 1x x a x x -++-21122t at =-+-，2t ⎡∈⎣，令()21122
h t t at =-+-，
则函数()g x 在3π0,4⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
内恰有一个零点，可知()21122h t t at =-+-
在⎡⎣内最多一个零点.
①当0为()h t 的零点时，1
02
-
=显然不成立； ②
()h t
302-=
，得a =
a =211022t at -+-=中，
得211022t --=
，解得1t =
，2t =
，不符合题意. ③
当零点在区间(时，若210a ∆=-=，得1a =，此时零点为1，即1t =
，由
4t x π⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭的图象可知不符合题意；
若210a ∆=->，即1a >，设211
022t at -+-=的两根分别为1t ，2t ，由121t t =，且抛物线的
对称轴为1t a =>，则两根同时为正，要使()211
22h t t at =-+-
在⎡⎣
内恰有一个零点，则一个根在()0,1
内，另一个根在)
+∞内，
所以(
)()10
000h h h ⎧>⎪⎪>⎨⎪
<⎪⎩
解得a > 综上，a
的取值范围为4⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭
.
【点睛】
本题考查了三角函数的单调性的应用，考查了函数的零点，考查了分类讨论的数学思想，考查了学生的推理能力与计算求解能力，属于难题.
29．（1）4-（2）225
15421()61
1282(1)
t t t g t t t t t t ⎧⎛
⎫-+<- ⎪
⎪⎝⎭⎪⎪
⎛⎫
=-+-≤≤⎨ ⎪⎝⎭⎪
⎪-+>⎪⎩（3）
--22∞⋃+∞（，）（，） 【解析】 【分析】
（1）直接代入计算得解；（2）先求出1
sin(2)[,1]42
x π-∈-，再对t 分三种情况讨论，结合
二次函数求出()g t 的表达式；（3）令2()()9h t g t k t =-+，即2()(6)t 10h t k =-++有一个实数根，利用一次函数性质分析得解. 【详解】
（1）当1t =时，2()sin 22sin 2444f x x t x ππ⎛
⎫⎛⎫=---- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以
48f π⎛⎫
=- ⎪⎝⎭
. （2）因为[
,]242x ∈ππ
，所以32[,]464x πππ-∈-，所以1
sin(2)[,1]42
x π-∈- 2()[sin(2)]614
f x x t t π=---+（[,]242x ∈ππ
）
当12t <-时，则当1sin(2)42x π-=-时，2
min 5[()]54
f x t t =-+
当112t -
≤≤时，则当sin(2)4
x t π
-=时，min [()]61f x t =-+ 当1t >时，则当sin(2)14
x π-=时，2
min [()]82f x t t =-+
故22515421()61
1282(1)
t t t g t t t t t t ⎧⎛⎫-+<- ⎪
⎪⎝⎭⎪⎪
⎛⎫=-+-≤≤⎨ ⎪⎝⎭⎪
⎪-+>⎪⎩ （3）当1
12
t -
≤≤时，()61g t t =-+，令2()()9h t g t k t =-+即2()(6)t 10h t k =-++ 欲使2
()9g t kt =-有一个实根，则只需1()02(1)0h h ⎧-≤⎪⎨⎪≥⎩或1()02(1)0h h ⎧-≥⎪⎨
⎪≤⎩ 解得-2k ≤或2k ≥.
所以k 的范围：--22∞⋃+∞（，）（，）. 【点睛】
本题主要考查三角函数的范围的计算，考查二次函数的最值的求法和方程的零点问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力，属于中档题.
30．（1）1ω=，()2sin()23x g x π=+；（2）单调递增区间为54,433k k ππππ⎡
⎤-+⎢⎥⎣
⎦，k Z ∈，对称中心为2(2,0)()3
k k π
π-∈Z . 【解析】 【分析】
（1）整理()f x 可得：()sin(2)3f x x π
ω=+，利用其最小正周期为π即可求得：1ω=，即
可求得：()sin(2)3f x x π
=+，再利用函数图象平移规律可得：()2sin()23
x g x π=+，问题得
解. （2）令222
232
x k k πππ
ππ-
≤
+≤+，k Z ∈，解不等式即可求得()g x 的单调递增区间；令
23
x k π
π+=，k Z ∈，解方程即可求得()g x 的对称中心的横坐标，问题得解. 【详解】
解：（1）1()2sin 2sin(2)23
f x x x x πωωω=+=+， 由
22π
πω
=,得1ω=. 所以()sin(2)3
f x x π
=+.
于是()y g x =图象对应的解析式为()2sin()23
x g x π
=+.
（2）由222
232
x k k πππ
ππ-
≤
+≤+,k Z ∈得 54433
k x k ππ
ππ-
≤≤+，k Z ∈ 所以函数()g x 的单调递增区间为54,433k k ππππ⎡
⎤-+⎢⎥⎣
⎦，k Z ∈. 由23x k π
π+=，解得22()3
x k k ππ=-
∈Z . 所以()g x 的对称中心为2(2,0)()3
k k π
π-∈Z . 【点睛】
本题主要考查了二倍角公式、两角和的正弦公式应用及三角函数性质，考查方程思想及转化能力、计算能力，属于中档题．。