湖南省衡阳市第八中学2017-2018学年高二上学期期末考试数学(理)试题(解析版)

2017年下学期衡阳市八中高二期末考试试题
理科数学
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.复数()32z i i =-的共轭复数z 等于（ ） A. 23i -+ B. 23i --
C. 23i +
D. 23i -
【答案】D 【解析】
()3223,23z i i i z i =-=+∴=-Q
故选D
2.命题:3p x y +≠，命题:1q x ≠或2y ≠，则命题p 是命题q 的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】A 【解析】
【详解】∵命题:3p x y +≠，命题:1q x ≠或2y ≠，
123q x y p x y ==+=￢：且，￢：，q p ∴⇒￢￢，反之不成立，例如15
22
x y ==，．
所以非p 是非q 的必要不充分条件，因此命题p 是命题q 的充分不必要条件． 故选A ．
3. 某校老年、中年和青年教师的人数见下表，采用分层抽样的方法调查教师的身体状况，在抽取的样本中，青年教师有320人，则该样本中的老年教师人数为
A. 90
B. 100
C. 180
D. 300
【答案】C 【解析】
试题分析：该样本中的老年教师人数为x ，则3209001600
x =，180x =．故选C ． 考点：分层抽样．
4.某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两天为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是（ ） A. 0.8 B. 0.75
C. 0.6
D. 0.45
【答案】A 【解析】
【详解】试题分析：记A =“一天的空气质量为优良”，B =“第二天空气质量也为优良”，由题意可知
()()0.75,0.6P A P AB ==,所以()()()
4
|5
P AB P B A P A =
=
，故选A. 考点：条件概率．
5.用数学归纳法证明11112321
n n +
++⋅⋅⋅+<-（*n N ∈，2n ≥）时，第一步应验证（ ） A. 1
122
+
< B. 111223
+
+< C. 111323
+
+< D. 11113234
+
++< 【答案】B 【解析】 【分析】
直接利用数学归纳法写出2n =时左边的表达式即可． 【详解】解：用数学归纳法证明1111(2321
n n n N ++
++⋯+<∈-，2)n ≥时，第一步应验证
2n =时是否成立，即不等式为：11
1223
++<；
故选：B ．
【点睛】在数学归纳法中，第一步是论证2n =时结论是否成立，此时一定要分析不等式左边的项，不能多写也不能少写，否则会引起答案的错误． 6.抛物线24y x =-的焦点坐标是（ ） A. ()0,1- B. ()1,0-
C. 10,16⎛⎫- ⎪⎝⎭
D. 1,016⎛⎫
- ⎪⎝⎭
【答案】C 【解析】
由2
4y x =-可得2
4y x =-
，故其焦点坐标为10,16⎛⎫- ⎪⎝
⎭
故选C
7.设随机变量()2,2N ξ~，则12D ξ⎛⎫
= ⎪⎝⎭
（ ） A. 1 B. 2
C.
12
D. 4
【答案】C 【解析】
∵随机变量()2,2N ξ~，∴可得随机变量ξ 方差是2，1()2D ξ∴ 的值为2111
2?242
D
ξ=⨯=．
（） 故选C
8.设函数()f x 是定义在()0+∞，
上的可导函数，其导函数为()f x '，且有()()22f x xf x x '+>，则不等式()()()2
20162016420x f x f --->的解集为（ ）
A. ()2014+∞，
B. ()0,2014
C.
()0,2018 D. ()2018+∞，
【答案】D 【解析】 构
造
函
数
220
g x x f x g x x f x xf x x ='=+'>（）（），（）（（）（））； 时，
20f x xf x +'Q （）（）＞，0g x ∴'>（）g x ∴（）在()0+∞，
上单调递增，
2
20162016420x f x f ++->Q （）（）（），
2
2016020162016422016220162
x x f x f g x g x +>⎧∴++>∴+>∴⎨+⎩（）（）（），（）（），，＞ 解得：2018x >，
故选D ．
【点睛】本题主要考查不等式的解法，利用条件构造函数，利用函数单调性和导数之间的关系是解决本题的关键．
9.曲线2y x =与直线2x y +=围成的
图形的面积为( )
A.
72
B. 4
C.
9
2
D. 5
【答案】C 【解析】
先根据题意画出区域，然后依据图形得到积分下限为-2，积分上限为1，从而利用定积分表示出曲边梯形的面积，最后用定积分的定义求出所求即可．
解先根据题意画出图形，得到积分上限为1，积分下限为-2曲线y=x 2与直线x+y=2围成的图形的面积为：
S=∫-21（2-x-x 2）dx 而∫-21（2-x-x 2）dx=（2x-13x 2-92x 3）|-21=9
2
∴曲边梯形的面积是92
故选C ．
10.已知变量x 与y 正相关，且由观测数据算得样本平均数3x =， 3.5y =，则由该观测的数据算得的线性回归方程可能是( ) A $0.4 2.3y x =+
B. $2 2.4y x =-
C. $29.5y x =-+
D. $0.3 4.4y x =-+
【答案】A 【解析】
试题分析：因为与正相关，排除选项C 、D ，又因为线性回归方程恒过样本点的中心，故排除
选项B ；故选A ． 考点：线性回归直线.
11.用数字0，1，2，3，4，5可以组成没有重复数字，并且比20000大的五位偶数共有（ ） A. 288个 B. 240个 C. 144个 D. 126个
【答案】B 【解析】
【详解】对个位是0和个位不是0两类情形分类计数；对每一类情形按“个位－最高位－中间三位”分步
计数：①个位是0并且比20000大的五位偶数有3
41496A ⨯⨯=个；②个位不是0并且比20000大的五位偶数有3
423144A ⨯⨯=个；故共有96144240+=个．本题考查两个基本原理，是典型的源于教材的题目．
12.已知在椭圆方程()22
2210x y a b a b
+=>>中，参数,a b 都通过随机程序在区间()0,t 上随机选取，其中
0t >，则椭圆的
离心率在32⎛⎫
⎪ ⎪⎝⎭
之内的概率为（ ）
A.
2
3
B.
1
2
C.
13
D.
14
【答案】B 【解析】
当0a b >> 时3311
(
((0,)22
c b e b a a a ∈∴∈⇒∈⇒<Q 当0b a >> 时,同理可得2b a >,所以所求概率为211122222
t t t t
t ⨯⨯+⨯⨯= ,选B.
点睛：
(1)当试验的结果构成的区域为长度、面积、体积等时，应考虑使用几何概型求解．
(2)利用几何概型求概率时，关键是试验的全部结果构成的区域和事件发生的区域的寻找，有时需要设出变
量，在坐标系中表示所需要的区域．
（3）几何概型有两个特点：一是无限性，二是等可能性．基本事件可以抽象为点，尽管这些点是无限的，但它们所占据的区域都是有限的，因此可用“比例解法”求解几何概型的概率．
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13.观察下列等式：332123+=，33321236++=，33332123410+++=，…，根据上述规律，第五个等式为． 【答案】
【解析】 由
13+23=(1+2)2=32;13+23+33=(1+2+3)2=62;13+23+33+43=(1+2+3+4)2=102
得,第五个等式为
13+23+33+43+53+63=(1+2+3+4+5+6)2=212.
14.若2
2()n
x x 展开式中只有第六项的二项式系数最大，则展开式中的常数项是 ． 【答案】180 【解析】 【分析】
先求出二项式展开式的通项公式，再令x 的幂指数等于0，求得r 的值，即可求得展开式中的常数项的值． 【详解】由题意可得只有第六项的二项式系数5
n C 最大，∴n ＝10． 故展开式的通项公式为T r +110r
C =•102
r x
-•2r •x ﹣2r ＝2r •10r
C •
1052
r x
-，
令
1052
r -=0，求得r ＝2，故展开式中的常数项是 222
10
C =180， 故答案为180
【点睛】本题考查了二项式系数与二项式展开式的通项公式应用问题，是基础题．
15.若双曲线2
21x y m
-=的实轴长是10，则此双曲线的渐近线方程为__________．
【答案】15
y x =± 【解析】
∵双曲线2
21x y m
-=的实轴长是10
∴2m 25a == ∴a 5=
∴双曲线的渐近线方程为1y 5
x =± 故答案为1y 5
x =±
16.设函数()x
x
f x e e -=-，若对所有0x ≥都有()f x ax ≥，则实数a 的取值范围为__________．
【答案】(],2-∞ 【解析】
令g x f x ax =-（）（），则''x x g x f x a e e a -=-=+-（）（），
（ⅰ）若2a ≤，当0x ＞时，'20x x
g x e e a a -=+--≥（）＞，故g x （）在∞（0，+）
上为增函数，所以，0x ≥时，00g x g ≥=（）（），即f x ax ≥（）．
（ⅱ）若2a ＞， 方程'0g x =（）的正根为1x = 此时，若10x x ∈（，），则'0g x （）＜，故g x （）在该区间为减函数．
所以，10x x ∈（，）时，00g x g =（）＜（），即f x ax （）＜，与题设f x ax ≥（
）相矛盾． 综上，满足条件的a 的取值范围是(]
,2-∞．
【点睛】本题考查导数运算，以及利用导数求闭区间上函数的最值．其中构造新函数g x f x ax =-（
）（）讨论其性质是解题的关键
三、解答题 （本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17.我国是世界上严重缺水的国家，某市为了制定合理的节水方案，对居民用水情况进行调查，通过抽样，获得某年100为居民每人的月均用水量（单位：吨），将数据按照(0.0.5),(0.5,1),(4,4.5]L 分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图. （1）求直方图的a 的值；
（2）设该市有30万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数，说明理由； （3）估计居民月用水量的中位数.
a ； (2)36000；（3）2.04.
【答案】(1) 0.3
【解析】
【分析】
本题主要考查频率分布直方图、频率、频数的计算等基础知识，考查学生的分析问题、解决问题的能力. 第（Ⅰ）问，由高×组距=频率，计算每组的频率，根据所有频率之和为1，计算出a的值；第（Ⅱ）问，利用高×组距=频率，先计算出每人月均用水量不低于3吨的频率，再利用频率×样本容量=频数，计算所求人数；第（Ⅲ）问，将前5组的频率之和与前4组的频率之和进行比较，得出2≤x<2.5，再估计月均用水量的中位数.
【详解】（Ⅰ）由频率分布直方图，可知：月均用水量在[0,0.5）的频率为0.08×0.5=0.04.
同理，在[0.5,1），[1.5,2），[2,2.5），[3,3.5），[3.5,4），[4,4.5）等组的频率分别为0.08，0.21，0.25，0.06，0.04，0.02.
由1–（0.04+0.08+0.21+0.25+0.06+0.04+0.02）=0.5×a+0.5×a，
解得a=0.30.
（Ⅱ）由（Ⅰ）100位居民月均用水量不低于3吨的频率为0.06+0.04+0.02=0.12.
由以上样本的频率分布，可以估计30万居民中月均用水量不低于3吨的人数为300 000×0.12=36000.（Ⅲ）设中位数为x吨.
因为前5组的频率之和为0.04+0.08+0.15+0.21+0.25=0.73＞0.5，
而前4组频率之和为0.04+0.08+0.15+0.21=0.48<0.5
所以2≤x<2.5.
由0.50×（x–2）=0.5–0.48，解得x=2.04.
故可估计居民月均用水量的中位数为2.04吨. 【考点】频率分布直方图
【名师点睛】本题主要考查频率分布直方图、频率、频数的计算公式等基础知识，考查学生的分析问题、解决问题的能力.在频率分布直方图中，第n 个小矩形的面积就是相应组的频率，所有小矩形的面积之和为1，这是解题的关键，也是识图的基础．
18.已知函数()e cos x f x x x =-．
（Ⅰ）求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程； （Ⅱ）求函数()f x 在区间π
[0,]2
上的最大值和最小值． 【答案】(Ⅰ)1y =；（Ⅱ）最大值1；最小值2
π-. 【解析】
试题分析：（Ⅰ）根据导数的几何意义，先求斜率，再代入切线方程公式()()()00
0y f f x ¢-=-中即可；
（Ⅱ）设()()h x f x ='，求()h x '，根据()0h x '<确定函数()h x 的单调性，根据单调性求函数的最大值为
()00h =，从而可以知道()()0h x f x '=<恒成立，所以函数()f x 是单调递减函数，再根据单调性求最值.
试题解析：（Ⅰ）因为()e cos x f x x x =-，所以()()()e cos sin 1,00x
f x x x f -''=-=.
又因为()01f =，所以曲线()y f x =在点()()
0,0f 处的切线方程为1y =. （Ⅱ）设()()e cos sin 1x
h x x x =--，则()()e cos sin sin cos 2e sin x x h x x x x x x =--=-'-.
当π0,
2x ⎛
⎫
∈ ⎪⎝
⎭
时，()0h x '<， 所以()h x 在区间π0,2⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上单调递减.
所以对任意π0,
2x ⎛⎤
∈ ⎥⎝
⎦
有()()00h x h <=，即()0f x '<. 所以函数()f x 在区间π0,2⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上单调递减.
因此()f x 在区间π0,2⎡
⎤⎢⎥⎣⎦
上的最大值为()01f =，最小值为22f ππ
⎛⎫=- ⎪⎝⎭.
【名师点睛】这道导数题并不难，比一般意义上的压轴题要简单很多，第二问比较有特点的是需要两次求导数，因为通过()f x '不能直接判断函数的单调性，所以需要再求一次导数，设()()h x f x ='，再求()h x '，一般这时就可求得函数()h x '的零点，或是()0h x '>(()0h x '<)恒成立，这样就能知道函数()h x 的单调性，再根据单调性求其最值，从而判断()y f x =的单调性，最后求得结果.
19.某校高二年级设计了一个实验学科的能力考查方案：考生从6道备选题中一次性随机抽取3道题，并独立完成所抽取的3道题．规定：至少正确完成其中2道题的便可通过该学科的能力考查．已知6道备选题中考生甲能正确完成其中4道题，另2道题不能完成；考生乙正确完成每道题的概率都为2
3
. （Ⅰ）分别求考生甲、乙能通过该实验学科能力考查的概率；
（Ⅱ）记所抽取的3道题中，考生甲能正确完成的题数为ξ，写出ξ的概率分布列，并求E ξ及D ξ． 【答案】(1) ()4,5P A =()2027
P B = (2) ()2,E ξ=，()25D ξ=
【解析】
试题分析：（Ⅰ）甲、乙要通过实验考查，就要正确完成所抽取3道题中的2道或3道，由此能求出考生甲、乙通过实验考查的概率．
（Ⅱ）甲正确完成实验操作的题数分别为ξ，ξ服从超几何分布，利用古典概型公式求出概率，得出分布列．并
求E ξ及D ξ；
试题解析：（Ⅰ）设甲、乙能过关的事件分别为A B 、，则
()213
4243
64
5
C C C P A C +==， ()23
23332122033327
P B C C ⎛⎫⎛⎫=⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ （Ⅱ）1,2,3ξ=，()12
423
61
15C C P C ξ===， ()214236325C C P C ξ===，()30
423
61
35
C C P C ξ===，
()0.2 1.20.62E ξ=++=，
()()()()222
1312
1222325555
D ξ=-⨯+-⨯+-⨯=
20.如图，已知正方形ABCD 和矩形ACEF 所在平面互相垂直，2AB =
，1AF =．
（1）求二面角B DE C --的大小； （2）求点F 到平面BDE 的距离. 【答案】（1）60°．（22． 【解析】
试题分析：（1）先根据条件建立空间直角坐标系，设各点坐标，根据方程组求各面法向量，再根据向量数量积求夹角，最后根据二面角与向量夹角关系得结果（2）根据向量投影得点F 到平面BDE 的距离为
2cos ,EF EF h u u u v u u u v u u v
，再根据向量数量积求值
试题解析：Q 正方形ABCD 和矩形ACEF 所在平面互相垂直，
分别以AB ，AD ，AF 为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，
则A （0，0，0），B 2，0，0）， C 220）， D （020）， E 22，1）
，F （0，0，1）． （1）设平面CDE 的法向量为1=(0,1,0)h u v
，平面BDE 的法向量()2=,,h x y z u u v ，
由2
20,0.
h BD h BE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u v u u u v
u u v u u u v 解得(21,1,2h =-u u v . ∴1212
121cos ,2
||h h h h h h ⋅==u v u u v
u v u u v u v u u v ，
∴ 二面角 B —DE —C 等于60°．
（2
）
)(2,1,1,FE h ==u u u v u u v
，
222cos ,||EF h EF h EF h ⋅===u u u v u u v u u u v u u v u u u v u u v ，
2EF =u u u v
．设点到平面BDF 的距离为h ，则
2cos ,.h EF h EF
=u u u v u u v u u u v ∴
2
h =
⨯F 到平面BDE
21.已知函数()()2
1ln 2
f x x a m x a x =-++，且()10f '=，其中R a m ∈、. （1）求m 的值；
（2）求函数()f x 的单调增区间．
【答案】(1) 1m = (2) 当1a >时，()f x 的单调增区间为(),a +∞和()0,1；当1a =时，()f x 的单调增区间为()0,∞+；当01a <<时，()f x 的单调增区间为()1,+∞和()0,a ；当0a ≤时，()f x 的单调增区间为()1,+∞ 【解析】
试题分析：（1）由题意，可先解出函数的导数a
f x x a m x
'=-++（
）（），再由10f '=（）
建立方程即可求出m 的值；
（2）由（1）可得()()1a f x x a x '=-++= ()()()211x x x a x a x x x -++--=.，比较a 与1，0的大小，分为三类讨论得出函数f x （）的单调增区间．
试题解析：
（1）由题设知，函数()f x 的定义域为()0,+∞，
()()a
f x x a m x
-'=++
由()10f '=得()10a m a -++=，解得1m =．
（2）由（1）得()()1a f x x a x '=-++= ()()()211x x x a x a x x x
-++--=. ①当1a >时，由()0f x '>,得x a >或01x <<,
此时()f x 的单调增区间为(),a +∞和()0,a ； ②当1a =时，()f x 的单调增区间为()0,+∞． ③当01a <<时，由()0f x '>,得1x >或0x a <<， 此时()f x 的单调增区间为()1,+∞和()0,a ． ④当0a ≤时，由()0f x '>,得1x >， 此时()f x 的单调增区间为()1,+∞．
综上，当1a >时，()f x 的单调增区间为(),a +∞和()0,1； 当1a =时，()f x 的单调增区间为()0,+∞；
当01a <<时，()f x 的单调增区间为()1,+∞和()0,a ； 当0a ≤时，()f x 的单调增区间为()1,+∞
【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性及分类讨论的思想及高次不等式的解法，解题的关键是理解导数的符号与函数单调性的对应关系.
22.已知()()121
,0,1,0F F -，曲线1C 上任意一点M 满足21MF MF -=曲线2C 上的点N 在y 轴的右
边且N 到2F 的距离与它到y 轴的距离的差为1． （1）求12,C C 的方程；
（2）过1F 的直线l 与1C 相交于点,A B ，直线22,AF BF 分别与2C 相交于点,C D 和,E F ．的
取值范围．
【答案】（1）1C 的方程为()2
2
1
02
x y x -=<，2C 的方程为()240y x x =>．
（2）[)36,40 【解析】
试题分析：（1）由已知，根据双曲线的定义可得1a c b =
=⇒=
，从而可得1C 的方程，用直接法可求得2C 的方程；（2）直线l 的方程为2
1(01)x ky k =-≤<，直线与曲线联立，根据韦达定理，焦半径公
k 表示，进而可得结果.
试题解析：（1）由题意可知点M 的轨迹是以12,F F 为实轴长的双曲线的左支，故有
122
a c
b =
=⇒=
， ∴1C 的方程为2
2
1
(0)2
x y x -=
<， 设(),(0)N x y x >
1x =，化简得2
4(0)y x x =>，
即2C 的方程为24(0)y x x =>． （2）设直线l
的
方程为21(01)x ky k =-≤<，
联立方程组22
1
12x ky x y =-⎧⎪⎨-=⎪⎩
，消去x 得()22
11202k y ky --+=， 设()()1122,,,A x y B x y ，则有(
)
1
22122
211
21k y y k y y k ⎧
+=⎪-⎪
⎨=⎪-⎪⎩
， 设22,AF BF 的斜率分别为12,k k ，则有
11
11122
22212
12
y y k x ky y y k x ky ⎧
==
⎪--⎪⎨⎪==
⎪--⎩
，
∴121212112211226k k k k k k y y y y ⎛⎫⎛⎫
⎛⎫+=-+-=-+=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 22121212
11114·28k k k k k y y y y ⎛⎫=-++=- ⎪⎝⎭， 直线2AF 的方程为()11y k x =-，代入2
4y x =有(
)
22
2
2
111240k x k x k -++=，
设()()3344,,,C x y D x y ，则有342
142x x k +=+
， ∴()()222212221141112441CD CF DF x x x x k k ⎛⎫=+=+++=++=+
=+ ⎪⎝
⎭， 同理22141EF k ⎛⎫
=+ ⎪⎝
⎭．
∴][()
()
22
2
2
22222121
21211111161116116369169CD EF k k k k k k k k k ⎡⎤⎛⎫⎛⎫
⎛⎫⎛⎫⎢⎥=++=++-=+-=+ ⎪⎪ ⎪
⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦
，
()
[)24936,40k =+∈．。