汉企联大春季高考椭圆专项训练
高二数学椭圆专项训练基础(含解析)
高二数学椭圆专项训练（基础）1、已知椭圆的方程为x 2 y 2 y 的最大值是。
41 ，则 2x9、椭圆 x2y 21 ( a b0)上两点 A, B 与中心 O 的连线相互垂直，1 21 2 值为（ ）2b 2OA OB a 2A 、1b 2 B、 1C 、 a 2 b 2D、 a 2b 2a2a 2b 2a 2b 2a 2b 223、（ 2016 松江二中高三月考 12,1-14 填空）设 F 1 是椭圆xy 2 1 的左焦点， O 为坐标原4点，点 P 在椭圆上，则 PF 1 PO 的最大值为 。
4、设椭圆x 2y 222 1 a b 0 的左、右焦点分别是 F 1 , F 2 , 过 F 2 作直线与椭圆交于两点 A,B ，ab则 ABF 1 的周长为（ ） A 、 2mB 、 4aC 、 2m 4aD 、 2m 4b千锤百炼，不停超越，成就学生，成就梦想 第 1页/第5页5、已知圆 O 1: （22圆O 2:（22动圆M与圆O1 外切，与圆O2 内切.求：动））x+1+y =1 ,x-1+y =9 ,圆圆心 M 所在的曲线方程 .6、椭圆x2y21上的点A, B知足OA OB ，若点 A 在第一象限，且 OA3OB ，322求点 A 的坐标。
7、（ 2017 上海高考 20（ 2）改，17-21 解答）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆:x2y2 1 ，4A 为的上极点， P 为上异于上、下极点的动点， M 为 x 正半轴上的动点。
设 P(8,3) ，55若以 A, P, M 为极点的三角形是直角三角形，则 M 的横坐标能够是。
千锤百炼，不停超越，成就学生，成就梦想第 2页/第5页8、已知椭圆x2y21，直线l : 4 x 5 y 400 ，椭圆上能否存在一点，使得它到直线l 的259距离最小？最小距离是多少？9、已知椭圆x2y2 1 a b 0 ，P为椭圆上任一点， F1PF2, 求 F1 PF 的面积．a2b210、已知椭圆C :x2y2 1 ，上极点为A，右极点为B，直线y kx k0 与 AB 订交于点4D ，与椭圆订交于E、F两点。
高考数学专题《椭圆》习题含答案解析
专题9.3 椭圆1.（浙江高考真题）椭圆的离心率是（ ） A B C ．D ．【答案】B 【解析】，选B ． 2.（2019·北京高考真题）已知椭圆2222 1x y a b+=（a ＞b ＞0）的离心率为12，则( )A ．a 2=2b 2B ．3a 2=4b 2C ．a =2bD ．3a =4b【答案】B 【解析】 椭圆的离心率2221,2c e c a b a ===-,化简得2234a b =, 故选B.3．（上海高考真题）设p 是椭圆2212516x y+=上的点．若12F F ，是椭圆的两个焦点，则12PF PF +等于( )A.4B.5C.8D.10【答案】D 【解析】因为椭圆的方程为2251162x y +=，所以225a =，由椭圆的的定义知12=210PF PF a +=，故选D ．4．（2020·四川资阳�高三其他（理））已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>经过点(1,)2，且C 的离心率为12，则C 的方程是（ ） A ．22143x y +=B ．22186x y +C ．22142x y +=D ．22184x y +=22194x y +=235933e ==练基础【答案】A 【解析】依题意，可得2131412a ⎧+=⎪=，解得2243a b ⎧=⎨=⎩，故C 的方程是22143x y +=. 故选：A5.（2020·河北枣强中学高三月考（文））已知椭圆C 的方程为()222210x y a b a b+=>>，焦距为2c，直线:4l y x =与椭圆C 相交于A ，B 两点，若2AB c =，则椭圆C 的离心率为（ ） AB ．34C ．12D ．14【答案】A 【解析】设直线与椭圆在第一象限内的交点为()x,y A，则4y x =由2AB c =，可知OA c ==c =，解得3x =，所以1,33A c c ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭把点A代入椭圆方程得到2222131c a b ⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+=，整理得4281890e e -+=，即()()2243230e e --=， 因01e <<，所以可得e =故选A 项.6．（2021·全国高三专题练习）已知1F ，2F 分别是椭圆2211615y x+=的上、下焦点，在椭圆上是否存在点P ，使11PF ，121F F ，21PF 成等差数列？若存在求出1PF 和2PF 的值；若不存在，请说明理由．【答案】不存在；理由见解析． 【分析】假设存在点P 满足题设，解方程组1212121282112PF PF F F PF PF F F ⎧⎪+=⎪⎪=⎨⎪⎪+=⎪⎩得1PF 和2PF 的值，再检验即得解.【详解】解：假设存在点P 满足题设，则由2211615y x +=及题设条件有1212121282112PF PF F F PF PF F F ⎧⎪+=⎪⎪=⎨⎪⎪+=⎪⎩，即121288PF PF PF PF ⎧+=⎪⎨=⎪⎩，解得1244PF PF ⎧=+⎪⎨=-⎪⎩1244PF PF ⎧=-⎪⎨=+⎪⎩由2211615y x +=，得4a =，1c =． 则135a c PF a c -=≤≤+=，235a c PF a c -=≤≤+=．∵45+，43-， ∴不存在满足题设要求的点P ．7．（2021·全国高三专题练习）设F 是椭圆22176x y +=的右焦点，且椭圆上至少有21个不同的点i P （1i =，2，…），使1FP ，2FP ，3FP ，…组成公差为d 的等差数列，求a 的取值范围．【答案】11,00,1010⎡⎫⎛⎤-⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦【分析】分情况讨论等差数列是递增，还是递减，分别列出不等式求解范围. 【详解】解：注意到椭圆的对称性及i FP 最多只能两两相等，可知题中的等差数列可能是递增的，也可能是递减的，但不可能为常数列，即0d ≠．先考虑一般情形，由等差数列的通项公式有()11n FP FP n d =+-，（n *∈N ），因此11n FP FP n d-=+．对于椭圆2222x y a b +（0a b >>），其焦半径的最大值是a c +，最小值是a c -（其中c =．当等差数列递增时，有n FP a c ≤+，1FP a c ≥-． 从而()12n FP FP a c a c c -≤+--=． 再由题设知1c =，且21n ≥，故2211d ≤+，因此1010d <≤． 同理，当等差数列递减时，可解得1010d -≤<， 故所求d 的取值范围为11,00,1010⎡⎫⎛⎤-⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦．8．（2021·全国高三专题练习）已知定点()2,2A -，点2F 为椭圆2212516x y +=的右焦点，点M 在椭圆上移动时，求2AM MF +的最大值；【答案】10+ 【分析】由椭圆定义，转化1121010A MF M MF AM AF ≤+=-++，即得解 【详解】如图所示，设1F 是左焦点，则()13,0F -，1121010A MF M MF AM AF ≤+=-++，而1AF ==∴10AM MF +≤当点F 1在线段AM 上时，等号成立，即AM MF +的最大值为109．（2021·云南师大附中高三月考（理））椭圆C : 22221(0)x y a b a b +=>>点A (2，1)在椭圆C 上，O 是坐标原点. （1）求椭圆C 的方程；（2）直线l 过原点，且l ⊥OA ，若l 与椭圆C 交于B ， D 两点，求弦BD 的长度.【答案】（1）22182x y C +=：；（2 【分析】（1）利用离心率和点在椭圆上可求出椭圆的标准方程；（2）先利用直线垂直的判定得到直线l 的斜率和方程，联立直线和椭圆的方程，消元得到关于x 的一元二次方程，进而求出交点坐标，再利用两点间的距离公式进行求解. 【详解】（1）由e =得：12c b a =，， 又点(21)A ，在椭圆上， 所以224114a a +=，得a =b =所以椭圆的方程是22182x y C +=：．（2）直线OA 的方程是12y x =， 因为l OA ⊥，且l 过点O ，所以直线l 的方程是2y x =-， 与椭圆联立，得：2178x =，即x =所以B D ⎛ ⎝，，则||BD = 10．（2021·南昌大学附属中学高二月考）已知()()122,0,2,0F F -是椭圆()222210x y a b a b +=>>两个焦点，且2259a b =.（1）求此椭圆的方程；（2）设点P 在椭圆上，且123F PF π∠=，求12F PF △的面积.【答案】（1）此椭圆的方程为22195x y +=；（2）12F PF △. 【分析】（1）由已知条件求出椭圆中229,5a b ==即可得到椭圆方程；（2）结合椭圆的定义以及余弦定理的知识求出12PF PF ⋅的值，运用三角形面积公式即可求解. 【详解】（1）因为()()122,0,2,0F F -是椭圆()222210x y a b a b +=>>两个焦点，所以2224c a b =-=，① 又因为2259a b =，②所以由①②可得229,5a b ==，所以此椭圆的方程为22195x y +=.（2）设()12,,,0PF m PF n m n ==>， 由椭圆定义可知26m n a +==，③在12F PF △中，由余弦定理得()2222cos23m n mn c π+-=，即2216m n mn +-=，④由③④式可得，203mn =，所以121120sin 2323F PF S mn π==⨯=△. 即12F PF △.1．（2021·全国高二课时练习）已知椭圆()22122:10x y C a b a b +=>>与圆2222:C x y b +=，若在椭圆1C 上存在点P ，使得过点P 所作的圆2C 的两条切线互相垂直，则椭圆1C 的离心率的取值范围是（ ） A ．1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．⎣⎦C ．2⎫⎪⎢⎪⎣⎭ D ．⎫⎪⎣⎭【答案】C 【分析】练提升若长轴端点P '，由椭圆性质：过P 的两条切线互相垂直可得45AP O α'=∠≤︒，结合sin baα=求椭圆离心率的范围. 【详解】在椭圆1C 的长轴端点P '处向圆2C 引两条切线P A '，P B '，若椭圆1C 上存在点P ，使过P 的两条切线互相垂直，则只需90AP B '∠≤︒，即45AP O α'=∠≤︒，∴sin sin 452b a α=≤︒=222a c ≤， ∴212e ≥，又01e <<，1e ≤<，即e ⎫∈⎪⎪⎣⎭． 故选：C2．（2020·湖北黄州�黄冈中学高三其他（文））已知椭圆C ：22221x y a b+=（0a b >>）的左焦点为F ，经过原点的直线与C 交于A ，B 两点，总有120AFB ∠≥︒，则椭圆C 离心率的取值范围为______.【答案】10,2⎛⎤⎥⎝⎦【解析】如图，设椭圆右焦点为2F ，由对称性知2AFBF 是平行四边形，22AF F BFF ∠=∠， ∵120FB ∠≥︒，∴260FAF ∠≤︒，设AF m =，2AF n =，由椭圆定义知2m n a +=，则22()4m n mn a +≤=，当且仅当m n =时等号成立， 在2AFF 中，由余弦定理得2222222222222()244444cos 11122222m n FF m n mn c a c a c FAF e mnmn mn a+-+----∠===-≥-=-，又260FAF ∠≤︒，21cos 2FAF ∠≥，∴21122e -≥，解得102e <≤． 故答案为：10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦．3.（2019·浙江高三月考）已知1F 、2F 分别为椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点，点2F 关于直线y x =对称的点Q 在椭圆上，则椭圆的离心率为______；若过1F 且斜率为(0)k k >的直线与椭圆相交于AB 两点，且113AF F B =，则k =___.【答案】21 【解析】由于点2F 关于直线y x =对称的点Q 在椭圆上，由于y x =的倾斜角为π4,画出图像如下图所示，由于O 是坐标原点，根据对称性和中位线的知识可知12QF F ∆为等腰直角三角形，且Q 为短轴的端点，故离心率πcos 42c a ==.不妨设,a b c t ===，则椭圆方程化为222220x y t +-=，设直线AB 的方程为10x my t m k ⎛⎫=-=> ⎪⎝⎭，代入椭圆方程并化简得()222220my mty t +--=.设()()1122,,,A x y B x y ，则12222mty y m +=+①，21222t y y m -⋅=+②.由于113AF F B =，故123y y =-③.解由①②③组成的方程组得1m =，即11,1k k==.故填：（1）2；（2）1.4．（2019·浙江温州中学高三月考）已知点P 在圆22680x y y +-+=上，点Q 在椭圆()22211x y a a+=>上，且PQ 的最大值等于5，则椭圆的离心率的最大值等于__________，当椭圆的离心率取到最大值时，记椭圆的右焦点为F ，则PQ QF +的最大值等于__________．5+【解析】22680x y y +-+=化简为22(3)1x y +-=，圆心(0,3)A .PQ 的最大值为5等价于AQ 的最大值为4设(,)Q x y ，即22(3)16x y +-≤，又()22211xy a a+=>化简得到222(1)670(11)a y y a y --+-≤-≤≤ 当1y =-时，验证等号成立 对称轴为231x a =-满足231,21x a a =≤-≤-故12a <≤22222211314c a e e a a a -===-≤∴≤故离心率最大值为2当2a =时，离心率有最大值，此时椭圆方程为2214x y +=，设左焦点为1F11141455PQ QF PQ QF AQ QF AF +=+-≤++-≤+=+当1,,,A F P Q 共线时取等号.5+5．（2020·浙江高三月考）已知P 是椭圆2222111x y a b +=（110>>a b ）和双曲线2222221x y a b -=（220,0a b >>）的一个交点，12,F F 是椭圆和双曲线的公共焦点，12,e e 分别为椭圆和双曲线的离心率，若123F PF π∠=，则12e e ⋅的最小值为________．【答案】2. 【解析】根据椭圆与双曲线的对称性，不妨设点P 在第一象限，那么12PF PF >， 因为椭圆与双曲线有公共焦点，设椭圆与双曲线的半焦距为c ， 根据椭圆与双曲线的定义，有：1212+=PF PF a ，1222-=PF PF a ， 解得112=+PF a a ，212=-PF a a ， 在12F PF ∆中，由余弦定理，可得： 2221212122cos3π=+-F F PF PF PF PF ，即222121212124()()()()=++--+-c a a a a a a a a ， 整理得2221243=+c a a ， 所以22121134+=e e ，又221212113+≥e e ，所以12≥e e .6．（2020·浙江高三其他）已知当动点P 到定点F （焦点）和到定直线0x x =的距离之比为离心率时，该直线便是椭圆的准线.过椭圆2214x y +=上任意一点P ，做椭圆的右准线的垂线PH （H 为垂足），并延长PH 到Q ，使得HQ =λPH (λ≥1).当点P 在椭圆上运动时，点Q 的轨迹的离心率的取值范围是___.【答案】⎫⎪⎪⎣⎭【解析】由题可知：椭圆2214x y +=的右准线方程为x =设()()00,,,P x y Q x y ，所以点03⎫⎪⎝⎭H y由λ=HQ PH ，所以λ=HQ PH0⎛⎫=- ⎪⎝⎭HQ x y y ，0,0⎫=⎪⎭PH x又λ=HQ PH ，所以00,0λ⎛⎫⎫-=- ⎪⎪⎝⎭⎭x y y x 所以00x y y ==由220014x y +=221=y 则点Q 221+=y 设点Q 的轨迹的离心率e则2222411144λλλ-==-e 由1λ≥，所以213144λ-≥ 所以234e ≥，则e ≥，又1e < 所以⎫∈⎪⎪⎣⎭e 故答案为：⎫⎪⎪⎣⎭7．（2021·全国高三专题练习）设椭圆的中心在坐标原点.长轴在z 轴上，离心率e =知点30,2P ⎛⎫⎪⎝⎭，求椭圆方程，并求椭圆上到点O 的距离的点的坐标.【答案】2214x y +=;12⎫-⎪⎭，12⎛⎫- ⎪⎝⎭.【分析】设以P 点为圆心的圆与椭圆相切，结合判别式等于零，参数值可确定，符合条件的两个点的坐标也可求得. 【详解】∵e =c a =2234c a =.∵222a c b -=，∴2214a b =，224a b =，∴设椭圆方程为222214x y b b+=①又∵30,2P ⎛⎫⎪⎝⎭，则可构造圆22372x y ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭. ②此圆必与椭圆相切，如图所示，由①②整理得221933404y y b ++-=.∵椭圆与圆相切，∴219912404b ⎛⎫∆=--= ⎪⎝⎭，③ ∴1b =，则2a =.则所求椭圆方程为2214x y +=. ④把1b =代入方程③可得12y =-，把12y =-代入④得x =∴椭圆上到点P的点的坐标为12⎫-⎪⎭，12⎛⎫- ⎪⎝⎭.8．（2021·全国高三专题练习）椭圆22194x y +=的焦点为1F 、2F ，点P 为其上动点，当12F PF ∠为钝角时，求点P 横坐标的取值范围.【答案】⎛ ⎝⎭【分析】当12F PF ∠为直角时，作以原点为圆心，2OF 为半径的圆，若该圆与已知椭圆相交，则圆内的椭圆弧所对应的x 的取值范围即为所求点P 横坐标的取值范围. 【详解】22194x y +=的焦点为1(F、2F ， 如图所示：A 、B 、C 、D 四点， 此时12F AF ∠、12F BF ∠、12F CF ∠、12F DF ∠都为直角， 所以当角的顶点P 在圆内部的椭圆弧上时，12F PF ∠为钝角，由22221945x y x y ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩，解得x x ==. 因为椭圆和圆都关于坐标轴对称，所以点P横坐标的取值范围是⎛ ⎝⎭.9．（2021·全国）（1）已知1F ，2F 是椭圆22110064x y +=的两个焦点，P 是椭圆上一点，求12PF PF ⋅的最大值；（2）已知()1,1A ，1F 是椭圆225945x y +=的左焦点，点P 是椭圆上的动点，求1PA PF +的最大值和最小值．【答案】（1）100；（2）1||||PA PF +的最大值为66 【分析】（1）利用椭圆定义和基本不等式求12||||PF PF ⋅的最值；（2）求1||||PA PF +的最值时，利用椭圆的定义将其转化为求2||||PF PA -的最值，显然当P ，A ，2F 三点共线时取得最值． 【详解】（1）∵10a =，1220||||PF PF =+≥，当且仅当12||||PF PF =时取等号， ∴12||||100PF PF ⋅≤，当且仅当12||||PF PF =时取等号， ∴12||||PF PF ⋅的最大值为100．（2）设2F 为椭圆的右焦点，225945x y +=可化为22195x y+=， 由已知，得12||||26PF PF a +==，∴12||6||PF PF =-， ∴()12||||6||||PA PF PF PA +=--．①当2||||PA PF >时，有220||||||PA PF AF <-≤，等号成立时，1||||PA PF +最大，此时点P 是射线2AF 与椭圆的交点，1||||PA PF +的最大值是6②当2||||PA PF <时，有220||||||PF PA AF <-≤，等号成立时，1||||PA PF +最小，此时点P 是射线2F A 与椭圆的交点，1||||PA PF +的最小值是6 综上，可知1||||PA PF +的最大值为6610．（2021·贵州高三月考（文））已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>，直线l经过椭圆C 的右焦点F 与上顶点，原点O 到直线l. （1）求椭圆C 的方程；（2）斜率不为0的直线n 过点F ，与椭圆C 交于M ，N 两点，若椭圆C 上一点P 满足263MN OP =，求直线n 的斜率. 【答案】（1）2212x y +=；（2）±1.【分析】（1）由已知条件可得c a bc a⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩再结合222a b c =+，可求出,a b ，从而可求得椭圆方程，（2）设直线n 的方程为1x my =+，设点()()1122,,,M x y N x y ，将直线方程与椭圆方程联立方程组，消去x ，利用根与系数的关系，结合263MN OP =表示出点P 的坐标，再将其坐标代入椭圆方程中可求得直线n 的斜率 【详解】（1）由题意可得椭圆C 的右焦点(c,0)F 与上顶点(0,)b ， 所以直线l 为1x yc b+=，即0bx cy bc +-=，因为椭圆C ，原点O 到直线0bx cy bc +-=所以c a bc a⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩且222a b c =+，解得1b c==，a =所以椭圆C 的方程为2212x y +=.（2）因为直线n 的斜率不为0，所以可设直线n 的方程为1x my =+.设点()()1122,,,M x y N x y ，联立方程22220,1,x y x my ⎧+-=⎨=+⎩得()222210my my ++-=，则12122221,22m y y y y m m +=-=-++. 因为263MN OP=，所以))2121P x x y y ⎫--⎪⎪⎝⎭， 将点P 的坐标代入椭圆方程得1212223x x y y +=-， 即()()121221123my my y y +++=-，解得21m =， 故直线n 的斜率为±1.1．（2021·全国高考真题（理））设B 是椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的上顶点，若C 上的任意一点P 都满足||2PB b ≤，则C 的离心率的取值范围是（ ）练真题A．⎫⎪⎪⎣⎭B ．1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭C．⎛ ⎝⎦D ．10,2⎛⎤⎥⎝⎦【答案】C 【分析】设()00,P x y ，由()0,B b ，根据两点间的距离公式表示出 PB ，分类讨论求出PB 的最大值，再构建齐次不等式，解出即可． 【详解】设()00,P x y ，由()0,B b ，因为 2200221x y a b+=，222a b c =+，所以()()2223422222220000022221y c b b PB x y b a y b y a b b b c c ⎛⎫⎛⎫=+-=-+-=-++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为0b y b -≤≤，当32b b c-≤-，即 22b c ≥时，22max 4PB b =，即 max 2PB b =，符合题意，由22b c ≥可得222a c ≥，即0e <≤当32b b c ->-，即22b c <时， 42222max b PB a b c=++，即422224b a b b c ++≤，化简得，()2220c b -≤，显然该不等式不成立． 故选：C ．2.（2018·全国高考真题（理））已知1F ，2F 是椭圆22221(0)x y C a b a b+=>>：的左，右焦点，A 是C 的左顶点，点P 在过A且斜率为6的直线上，12PF F △为等腰三角形，12120F F P ∠=︒，则C 的离心率为（ ）A ．23B ．12C ．13D ．14【答案】D 【解析】因为12PF F △为等腰三角形，12120F F P ∠=︒，所以PF 2=F 1F 2=2c, 由AP斜率为6得，222tan sin cos PAF PAF PAF ∠=∴∠=∠=， 由正弦定理得2222sin sin PF PAF AF APF ∠=∠,所以22214,54sin()3c a c e a c PAF =∴==+-∠，故选D. 3.（2019·全国高考真题（文））已知椭圆C 的焦点为121,01,0F F -()，()，过F 2的直线与C 交于A ，B 两点.若222AF F B =││││，1AB BF =││││，则C 的方程为（ ）A.2212x y += B.22132x y +=C.22143x y +=D.22154x y += 【答案】B 【解析】法一：如图，由已知可设2F B n =，则212,3AF n BF AB n ===，由椭圆的定义有121224,22a BF BF n AF a AF n =+=∴=-=．在1AF B △中，由余弦定理推论得22214991cos 2233n n n F AB n n +-∠==⋅⋅．在12AF F △中，由余弦定理得2214422243n n n n +-⋅⋅⋅=，解得n =．22224312,a n a b a c ∴==∴=∴=-=-=∴所求椭圆方程为22132x y +=，故选B ．法二：由已知可设2F B n =，则212,3AF n BF AB n ===，由椭圆的定义有121224,22a BF BF n AF a AF n =+=∴=-=．在12AF F △和12BF F △中，由余弦定理得2221222144222cos 4,422cos 9n n AF F n n n BF F n ⎧+-⋅⋅⋅∠=⎨+-⋅⋅⋅∠=⎩，又2121,AF F BF F ∠∠互补，2121cos cos 0AF F BF F ∴∠+∠=，两式消去2121cos cos AF F BF F ∠∠,，得223611n n +=，解得2n =．22224312,a n a b a c ∴==∴=∴=-=-=∴所求椭圆方程为22132x y +=，故选B ． 4.（2019·全国高考真题（文））设12F F ，为椭圆22:+13620x y C =的两个焦点，M 为C 上一点且在第一象限.若12MF F △为等腰三角形，则M 的坐标为___________.【答案】(【解析】由已知可得2222236,20,16,4a b c a b c ==∴=-=∴=，11228MF F F c ∴===．∴24MF =．设点M 的坐标为()()0000,0,0x y x y >>，则121200142MF F S F F y y =⋅⋅=△，又1201442MF F S y =⨯=∴=△，解得0y =， 22013620x ∴+=，解得03x =（03x =-舍去），M 的坐标为(．5．（2021·江苏高考真题）已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>. （1）证明：3ab ；（2）若点9,10M ⎛ ⎝⎭在椭圆C 的内部，过点M 的直线l 交椭圆C 于P 、Q 两点，M 为线段PQ 的中点，且OP OQ ⊥. ①求直线l 的方程； ②求椭圆C 的标准方程.【答案】（1）证明见解析；（20y -=；②2213x y +=.【分析】（1）由ba=可证得结论成立； （2）①设点()11,P x y 、()22,Q x y ，利用点差法可求得直线l 的斜率，利用点斜式可得出所求直线的方程；②将直线l 的方程与椭圆C 的方程联立，列出韦达定理，由OP OQ ⊥可得出0OP OQ ⋅=，利用平面向量数量积的坐标运算可得出关于2b 的等式，可求出2b 的值，即可得出椭圆C 的方程. 【详解】（1）c e a ===b a ∴=，因此，3a b ；（2）①由（1）知，椭圆C 的方程为222213x y b b+=，即22233x y b +=，当9,10⎛ ⎝⎭在椭圆C的内部时，22293310b ⎛⎛⎫+⋅< ⎪ ⎝⎭⎝⎭，可得b > 设点()11,P x y 、()22,Q x y，则121292102x x y y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩，所以，1212y y x x +=+ 由已知可得22211222223333x y b x y b ⎧+=⎨+=⎩，两式作差得()()()()1212121230x x x x y y y y +-++-=， 所以()12121212133y y x x x x y y -+⎛=-=-⨯= -+⎝ 所以，直线l方程为910y x ⎛⎫-=- ⎪ ⎭⎝⎭，即y = 所以，直线l0y --=；②联立)222331x y by x ⎧+=⎪⎨=-⎪⎩，消去y 可得221018930x x b -+-=.()222184093120360b b ∆=--=->， 由韦达定理可得1295x x +=，2129310b x x -=，又OP OQ ⊥，而()11,OP x y =，()22,OQ x y =，))()12121212121211433OP OQ x x y y x x x x x x x x ∴⋅=+=--=-++ ()22293271566055b b --+-===，解得21b =合乎题意，故2233a b ==，因此，椭圆C 的方程为2213x y +=.6. （2020·天津高考真题）已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的一个顶点为(0,3)A -，右焦点为F ，且||||OA OF =，其中O 为原点． （Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）已知点C 满足3OC OF =，点B 在椭圆上（B 异于椭圆的顶点），直线AB 与以C 为圆心的圆相切于点P ，且P 为线段AB 的中点．求直线AB 的方程．【答案】（Ⅰ）221189x y +=；（Ⅱ）132y x =-，或3y x =-． 【解析】（Ⅰ）椭圆()222210x y a b a b+=>>的一个顶点为()0,3A -，∴3b =，由OA OF=，得3c b ==，又由222a b c =+，得2228313a =+=，所以，椭圆的方程为221189x y +=；（Ⅱ）直线AB 与以C 为圆心的圆相切于点P ，所以CP AB ⊥，根据题意可知，直线AB 和直线CP 的斜率均存在， 设直线AB 的斜率为k ，则直线AB 的方程为3y kx ，即3y kx =-，2231189y kx x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y ，可得()2221120k x kx +-=，解得0x =或21221k x k =+. 将21221k x k =+代入3y kx =-，得222126321213k y k k k k =⋅--=++， 所以，点B 的坐标为2221263,2121k k k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭， 因为P 为线段AB 的中点，点A 的坐标为()0,3-，所以点P 的坐标为2263,2121kk k -⎛⎫ ⎪++⎝⎭， 由3OC OF =，得点C 的坐标为()1,0，所以，直线CP 的斜率为222303216261121CPk k k k k k --+=-+-+=， 又因为CP AB ⊥，所以231261k k k ⋅=--+，整理得22310k k -+=，解得12k =或1k =. 所以，直线AB 的方程为132y x =-或3y x =-.。
椭圆基础练习题(包含答案)
椭圆基础练习题一、选择题2．椭圆x 2m ＋y 24＝1的焦距是2，则m 的值是( )A ．5B ．3或8C ．3或5D ．20 3．椭圆ax 2＋by 2＋ab ＝0(a <b <0)的焦点坐标是()A ．(±a －b ，0)B ．(±b －a ，0)C ．(0，±a －b )D ．(0，±b －a ) 4．中心在原点，焦点在x 轴上，长轴长为18，且两个焦点恰好将长轴三等分的椭圆的方程是( )A.x 281＋y 245＝1 B ．x 281＋y 29＝1 C.x 281＋y 272＝1 D ．x 281＋y 236＝15．若点P (a,1)在椭圆x 22＋y 23＝1的外部，则a 的取值范围为( )A ．(－233，233)B ．(233，＋∞)∪(－∞，－233)C ．(43，＋∞)D ．(－∞，－43)6．已知中心在原点的椭圆C 的右焦点为F (15，0)，直线y ＝x 与椭圆的一个交点的横坐标为2，则椭圆方程为( )A.x 216＋y 2＝1 B ．x 2＋y 216＝1 C.x 220＋y 25＝1 D ．x 25＋y 220＝1 7．椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右顶点分别是A ，B ，左、右焦点分别是F 1、F 2.若|AF 1|，|F 1F 2|，|F 1B |成等比数列，则此椭圆的离心率为( )A.14 B ．55 C.12D ．5－2 8．已知方程x 2|m |－1＋y 22－m ＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，则m 的取值范围是( )A ．m <2B ．1<m <2C ．m <－1或1<m <2D ．m <－1或1<m <329．若△ABC 的两个焦点坐标为A (－4,0)、B (4,0)，△ABC 的周长为18，则顶点C 的轨迹方程为( )A.x 225＋y 29＝1 B ．y 225＋x 29＝1(y ≠0) C.x 216＋y 29＝1(y ≠0) D ．x 225＋y 29＝1(y ≠0) 10．已知椭圆的两个焦点分别是F 1、F 2，P 是椭圆上的一个动点，如果延长F 1P 到Q ，使得|PQ |＝|PF 2|，那么动点Q 的轨迹是( )A ．圆B ．椭圆C ．射线D ．直线 二、填空题11．已知椭圆中心在坐标原点，焦点在x 轴上，椭圆与x 轴的一个交点到两焦点的距离分别为3和1，则椭圆的标准方程为________．12．已知椭圆的短半轴长为1，离心率0<e ≤32.则长轴长的取值范围为________． 13．如图，把椭圆x 225＋y 216＝1的长轴AB 分成8等份，过每个分点作x 轴的垂线交椭圆的上半部分于P 1、P 2、…、P 7七个点，F 是椭圆的一个焦点，则|P 1F |＋|P 2F |＋…＋|P 7F |＝________.14．若过椭圆x 216＋y 24＝1内一点(2,1)的弦被该点平分，则该弦所在直线的方程是________________________．椭圆基础练习题答案2．椭圆x 2m ＋y 24＝1的焦距是2，则m 的值是( )A ．5B ．3或8C ．3或5D ．20[答案] C[解析] 2c ＝2，c ＝1，故有m －4＝1或4－m ＝1， ∴m ＝5或m ＝3，故选C.3．椭圆ax 2＋by 2＋ab ＝0(a <b <0)的焦点坐标是( ) A ．(±a －b ，0) B ．(±b －a ，0) C ．(0，±a －b ) D ．(0，±b －a ) [答案] D [解析]ax 2＋by 2＋ab ＝0可化为x 2－b ＋y 2－a＝1，∵a <b <0，∴－a >－b >0，∴焦点在y 轴上，c ＝－a ＋b ＝b －a ， ∴焦点坐标为(0，±b －a )．4．中心在原点，焦点在x 轴上，长轴长为18，且两个焦点恰好将长轴三等分的椭圆的方程是( )A.x 281＋y 245＝1 B ．x 281＋y 29＝1C.x 281＋y 272＝1 D ．x 281＋y 236＝1[答案] C[解析] 由长轴长为18知a ＝9，∵两个焦点将长轴长三等分，∴2c ＝13(2a )＝6，∴c ＝3，∴b 2＝a 2－c 2＝72，故选C.5．已知椭圆x 216＋y 29＝1的左、右焦点分别为F 1、F 2，点P 在椭圆上．若P 、F 1、F 2是一个直角三角形的三个顶点，则点P 到x 轴的距离为( )A ．95B ．3C ．977D ．94[答案] D[解析] a 2＝16，b 2＝9⇒c 2＝7⇒c ＝7. ∵△PF 1F 2为直角三角形．且b ＝3>7＝c . ∴F 1或F 2为直角三角形的直角顶点， ∴点P 的横坐标为±7，设P (±7，|y |)，把x ＝±7代入椭圆方程，知716＋y 29＝1⇒y 2＝8116⇒|y |＝94.6．已知中心在原点的椭圆C 的右焦点为F (15，0)，直线y ＝x 与椭圆的一个交点的横坐标为2，则椭圆方程为( c )A.x 216＋y 2＝1 B ．x 2＋y 216＝1 C.x 220＋y 25＝1 D ．x 25＋y 220＝17．椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右顶点分别是A ，B ，左、右焦点分别是F 1、F 2.若|AF 1|，|F 1F 2|，|F 1B |成等比数列，则此椭圆的离心率为( )A.14 B ．55C.12 D ．5－2[答案] B[解析] ∵A 、B 分别为左右顶点，F 1、F 2分别为左右焦点，∴|AF 1|＝a －c ，|F 1F 2|＝2c ，|BF 1|＝a ＋c ，又由|AF 1|、|F 1F 2|、|F 1B |成等比数列得(a －c )(a ＋c )＝4c 2，即a 2＝5c 2，所以离心率e ＝55. [答案] C[解析] 由椭圆过点(2,2)，排除A 、B 、D ，选C.8．已知方程x 2|m |－1＋y22－m ＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，则m 的取值范围是( )A ．m <2B ．1<m <2C ．m <－1或1<m <2D ．m <－1或1<m <32[答案] D[解析] 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧|m |－1>0，2－m >0，2－m >|m |－1.即⎩⎪⎨⎪⎧m >1或m <－1，m <2，m <32.∴1<m <32或m <－1，故选D.9．若△ABC 的两个焦点坐标为A (－4,0)、B (4,0)，△ABC 的周长为18，则顶点C 的轨迹方程为( )A.x 225＋y 29＝1 B ．y 225＋x 29＝1(y ≠0)C.x 216＋y 29＝1(y ≠0) D ．x 225＋y 29＝1(y ≠0)[答案] D[解析] ∵|AB |＝8，△ABC 的周长为18，∴|AC |＋|BC |＝10>|AB |，故点C 轨迹为椭圆且两焦点为A 、B ，又因为C 点的纵坐标不能为零，所以选D.10．已知椭圆的两个焦点分别是F 1、F 2，P 是椭圆上的一个动点，如果延长F 1P到Q ，使得|PQ |＝|PF 2|，那么动点Q 的轨迹是( )A ．圆B ．椭圆C ．射线D ．直线[答案] A[解析] ∵|PQ |＝|PF 2|且|PF 1|＋|PF 2|＝2a ， ∴|PQ |＋|PF 1|＝2a ， 又∵F 1、P 、Q 三点共线， ∴|PF 1|＋|PQ |＝|F 1Q |，∴|F 1Q |＝2a . 即Q 在以F 1为圆心，以2a 为半径的圆上．二、填空题11．已知椭圆中心在坐标原点，焦点在x 轴上，椭圆与x 轴的一个交点到两焦点的距离分别为3和1，则椭圆的标准方程为________．[答案] x 24＋y 23＝1[解析] 由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋c ＝3，a －c ＝1.∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，c ＝1.故b 2＝a 2－c 2＝3，所以椭圆方程为x 24＋y 23＝1. 12．已知椭圆的短半轴长为1，离心率0<e ≤32.则长轴长的取值范围为________． [答案] (2,4][解析] ∵b ＝1，∴c 2＝a 2－1，又c 2a 2＝a 2－1a 2＝1－1a 2≤34，∴1a 2≥14，∴a 2≤4， 又∵a 2－1>0，∴a 2>1， ∴1<a ≤2，故长轴长2<2a ≤4.13．如图，把椭圆x 225＋y 216＝1的长轴AB 分成8等份，过每个分点作x 轴的垂线交椭圆的上半部分于P 1、P 2、…、P 7七个点，F 是椭圆的一个焦点，则|P 1F |＋|P 2F |＋…＋|P 7F |＝________.[答案] 35[解析] 设椭圆右焦点为F ′，由椭圆的对称性知， |P 1F |＝|P 7F ′|，|P 2F |＝|P 6F ′|，|P 3F |＝|P 5F ′|，∴原式＝(|P 7F |＋|P 7F ′|)＋(|P 6F |＋|P 6F ′|)＋(|P 5F |＋|P 5F ′|)＋12(|P 4F |＋|P 4F ′|)＝7a ＝35.14．若过椭圆x 216＋y 24＝1内一点(2,1)的弦被该点平分，则该弦所在直线的方程是________________________．[答案] x ＋2y －4＝0[解析] 设弦两端点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 2116＋y 214＝1，x 2216＋y 224＝1，两式相减并把x 1＋x 2＝4，y 1＋y 2＝2代入得，y 1－y 2x 1－x 2＝－12，∴所求直线方程为y －1＝－12(x －2)，即x ＋2y －4＝0.。
专题22 椭圆(解答题压轴题)(教师版)-2024年高考数学压轴专题复习
专题22 椭圆（解答题压轴题）目录①椭圆的弦长（焦点弦）问题 (1)②椭圆的中点弦问题 (10)③椭圆中的面积问题 (15)④椭圆中的参数和范围问题 (22)⑤椭圆中的最值问题 (28)⑥椭圆中定点、定值、定直线问题 (35)⑦椭圆中向量问题 (42)⑧椭圆综合问题 (48)所以()2216432224m m ∆=-⨯⨯-=解得33m -<<．设()11,A x y ，()22,B x y ，则1243m x x +=-，212223m x x -=2．（2023春·甘肃白银·高二统考开学考试）已知椭圆C上一点．(1)求C的方程；(2)设M，N是C上两点，若线段MN3．（2023秋·湖北武汉·高二武汉市第十七中学校联考期末）已知椭圆椭圆上一点与两焦点构成的三角形周长为(1)求椭圆C的标准方程；(2)若直线l与C交于A，B两点，且线段则2211222211641164x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，两式相减得(x 所以()()(1212124x x x x y y +-++又因为P 是DE 中点，所以1x +3．（2023秋·安徽亳州·高三校考阶段练习）令21230t k=->，故24k=当且仅当12tt=，即23,t k=故AOBV面积的最大值为3.）由题意得，四边形ABCD为菱形，则菱形ABCD的面积1S AC=⋅令235t n -=，得2716970n n -+=，解得7n =或977n =，从而2t =±或11621t =±.故直线l 的方程为23x y =±-，或116x =±④椭圆中的参数和范围问题1．（2023·辽宁抚顺·校考模拟预测）已知动点）显然直线l 的斜率存在，设直线:1l y kx =+，1,1)y ，2(B x ,2)y ，则2(D x λ,2)y λ，四边形OAED 为平行四边形，AE =，12(E x x λ+,12)y y λ+，A ，B ，E 均在椭圆C 上，2114y +=，2222194x y +=，221212()()194x x y y λλ+++=，0，2129180x y y λ++=，依题意，设直线l 的方程为(1)(y k x =-易得12x x <．联立方程组()221,1,4y k x x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩ 消去y 并整理得则2122814k x x k +=+，()21224114k x x k -=+，）得()20A ，，设直线l 的方程为x =2214x my tx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得()2242m y mty ++()()()222Δ244416mt m t m =-+-=2mt 24t -）C 短轴顶点时，PAB V 的面积取最大值222a b c =+，解得2,a b =的标准方程为2214x y += .）1122(,),(,)P x y Q x y ，若直线PQ 的斜率为零，由对称性知1111022y y x x -==++，222y k x -=-设直线PQ 的方程为x ty n =+由()2224y k x x y ⎧=+⎨+=⎩，得(2k +()()(22121k x k x ⎡⎤++-+⎣⎦解得()22211k x k -=+或x =-）)()0011,,,x y A x y ，()22,B x y ，则可设直线PA 的方程为1x my =-，其中221143x my x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，化简得(234m +）为椭圆C 的左顶点，又由（1）可知：(2,0)M -，设直线联立方程可得：222(44x ty mt x y =+⎧⇒+⎨+=⎩()()22224(4)40mt t m =-+->，即设直线:l y kx m =+交该椭圆220x +将y kx m =+代入221205x y +=得()2221484200k x kmx m +++-=设()11,D x y ，()22,E x y ，则21221621k x x k +=+，12x x ∴()1212542x x x x =+-，又()2,0A -，()2,0B ，∴直线AD 的方程为()1122y y x x =++，直线BE 的方程为1．（2023·吉林长春·东北师大附中校考一模）椭圆且垂直于长轴的弦长度为1．(1)求椭圆C的标准方程；2．（2023秋·北京海淀·高三清华附中校考开学考试）已知椭圆长轴长为6．(1)求椭圆E的标准方程；(2)椭圆E的上下顶点分别为,A B，右顶点为C，过点于x轴对称，直线AP交BC于M，直线AQ交BC于点【答案】(1)221 94x y+=(2)证明见解析【详解】（1）根据题意可知26a=，可得3a=；联立直线与椭圆方程221942x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消去设(),P P P x y ，易知P x 和0是方程的两根，由韦达定理可得又2P P y kx =+，所以2218894P k y k -=+，即1．（2023秋·辽宁·高二校联考阶段练习）已知椭圆3。
椭圆经典练习题44道
椭圆经典练习题44道椭圆训练题一 1．过椭圆22221x y a b+=)0(>>b a 的左焦点F 1作x 轴的垂线交椭圆于点P ，F 2为右焦点，若∠F 1PF 2＝60°，则椭圆的离心率为（ ）． A.25B.33 C.21 D.31 2．设P 是椭圆上的一点，F 1、F 2是焦点，若∠F 1PF 2=30°，则△PF 1F 2的面积为（ ）A. B. C. D.16 3．设点P是椭圆)0(12222>>=+b a by a x 上一点，21,F F 分别是椭圆的左、右焦点，I 为21F PF ∆的内心，若21212F IF IPF IPF S S S ∆∆∆=+，则该椭圆的离心率是（ ）A ．41B ．22C ．21 D ．234．已知椭圆方程，椭圆上点M 到该椭圆一个焦点F 1的距离是2，N 是MF 1的中点，O 是椭圆的中心，那么线段ON 的长是（ ）A.2B.4C.8D.5．从一块短轴长为b 2的椭圆形玻璃镜中划出一块面积最大的矩形，其面积的取值范围是[]224,3b b ，则椭圆离心率的取值范围是（ ）⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡1,23⎥⎦⎤⎢⎣⎡23,35⎥⎦⎤⎝⎛35,0D.⎥⎦⎤ ⎝⎛23,06．已知焦点在x 轴上的椭圆的离心率为21，它的长轴长等于圆222150x y x +--=的半径，则椭圆的标准方程是（ ）A ．1121622=+y x B ．1422=+y xC ．141622=+y x D ．13422=+y x7．已知2221x a b 2y ＋＝（a ＞b ＞0），M ，N 是椭圆的左、右顶点，P 是椭圆上任意一点，且直线PM 、PN 的斜率分别为1k ，2k （1k 2k ≠0），若｜1k ｜＋｜2k ｜的最小值为1，则椭圆的离心率为（ ） A ．12 B ．22C ．32D 38．已知椭圆的两个焦点为1(5,0)F -，2(5,0)F ，P 是此椭圆上的一点，且12PF PF ⊥，12||||2PF PF ⋅=，则该椭圆的方程是1622=+y x B ．1422=+y x C ．1622=+y xD ．1422=+y x9．已知椭圆C ：22143x y +=，点M 与C 的焦点不重合．若M 关于C 的焦点的对称点分别为A ， B ，线段MN 的中点在C 上，则||||AN BN +=（ ）A ．4B ．8C ．12D ．1610．过点M （1，1）作斜率为﹣的直线与椭圆C ：+=1（a ＞b ＞0）相交于A ，B ，若M 是线段AB 的中点，则椭圆C 的离心率为（ ）A ．B ．C ．D ． 11．已知动点(,)P x y 在椭圆2212516x y +=上,若A 点坐标为(3,0),||1AM =u u u u r ,且PM AM ⋅=u u u u r u u u u r ,则||PM u u u u r 的最小值是（ )232 D.312．设F 1，F 2分别是椭圆24x ＋y 2＝1的左、右焦点，P 是第一象限内该椭圆上的一点，且PF 1⊥PF 2，则点P 的横坐标为( )A ．1 B.83C ．2 D.263 13．设1F ，2F 分别是椭圆()222210x y a b a b +=>>的左、右焦点，过2F 的直线交椭圆于P ，Q 两点，若160F PQ ∠=︒，1PF PQ=，则椭圆的离心率为（ ）A.13B.23C.23 314．椭圆C 的两个焦点分别是12,F F ，若C 上的点P 满足1123||||2PF F F =，则椭圆C 的离心率e 的取值范围是（ ）A ．12e ≤B ．14e ≥C ．1142e ≤≤D ．104e <≤或112e ≤< 15．已知椭圆+=22143x y ，则以点-(1,1)M 为中点的弦所在直线方程为( )．A ．-+=3470x yB ．+-=3410x yC ．-+=4370x yD ．++=4310x y16．过点M(－2,0)的直线l 与椭圆x 2＋2y 2＝2交于P 1，P 2，线段P 1P 2的中点为P ．设直线l 的斜率为k 1(k 1≠0)，直线OP(O 为坐标原点)的斜率为k 2，则k 1k 2等于( )A ．－2B ．2C ．－12D ．1217．已知椭圆C ：24x ＋22y b ＝1(b>0)，直线l ：y ＝mx ＋1，若对任意的m ∈R ，直线l 与椭圆C 恒有公共点，则实数b 的取值范围是( ) A ．[1,4) B ．[1，＋∞) C ．[1,4)∪(4，＋∞) D ．(4，＋∞) 18．直线L ：134=+yx 与椭圆E ：191622=+y x 相交于A ，B 两点，该椭圆上存在点P ，使得△ PAB 的面积等于3，则这样的点P 共有（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 19．椭圆22221x y a b+=(0)a b >>的一个焦点为1F ，若椭圆上存在一个点P ，满足以椭圆短轴为直径的圆与线段1PF 相切于该线段的中点，则椭圆的离心率为( ) A ．22 B ．23 C ．59D ．5320．已知对k R ∈，直线10y kx --=与椭圆2215x y m+=恒有公共点，则实数m 的取值范围是（ ） A ．(0, 1) B ．(0,5)C ．[1,5)D ．[1,5)∪(5，＋∞) 21．设椭圆的方程为22221(0)x y a b a b+=>>右焦点为(,0)(0)F c c >，方程2axbx c +-=的两实根分别为12,x x ，则12(,)P x x （ ）A.必在圆222x y +=内 B.必在圆222x y +=外C.必在圆221x y +=外 D.必在圆221x y +=与圆222xy +=形成的圆环之间22．椭圆2222:1x y C a b+=(0)a b >>的左、右焦点为12,F F ，过1F 作直线l 交C 于A ，B 两点，若2ABF ∆是等腰直角三角形，且0290AF B ∠=，则椭圆C 的离心率为（ ） A ．22．212- C 21D ．2223．椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的两顶点为(,0),(0,)A a B b ，且左焦点为F ，FAB ∆是以角B 为直角的直角三角形，则椭圆的离心率e 为 （ ） A 、312- B 、512- C 、154+ D 、314+24．已知焦点在x 轴的椭圆222:13x y C b+= (0)b >的左、右焦点分别为12,F F ，直线AB 过右焦点2F ，和椭圆交于,A B 两点，且满足223AF F B=u u u u r u u u u r， 0160F AB ∠=，则椭圆C 的标准方程为（ ）A ．22132x y += B ．223132x y += C ．22213x y +=D ．2213x y +=25．椭圆22221x y a b +=(0)a b >>的一个焦点为1F ，若椭圆上存在一个点P ，满足以椭圆短轴为直径的圆与线段1PF 相切于该线段的中点，则椭圆的离心率为( ) A ．53B ．23 C ．59D ．2226．已知椭圆C 的方程为222116x y m+=(m ＞0)，如果直线y ＝22x 与椭圆的一个交点M 在x 轴上的射影恰好是椭圆的右焦点F ，则m 的值为( ) A ．2 B ．22 C ．8 D ．23 27．椭圆=1的焦点为F 1和F 2，点P 在椭圆上，如果线段PF1的中点在y轴上，那么|PF1|是|PF2|的（）A．7倍 B．5倍 C．4倍 D．3倍28．过椭圆22221x ya b+=(a>b>0)左焦点F斜率为1的直线交椭圆于A，B两点，向量OA OB+u u u r u u u r与向量a=(3，-l)共线，则该椭圆的离心率为A．33 B．63C．34D．2329．已知直线与椭圆相交于、两点，若椭圆的离心率为，焦距为2，则线段的长是( )A. B. C. D. 30．直线y＝kx＋1，当k变化时，此直线被椭圆截得的最大弦长等于( )A.4B.C.D.31．设分别是椭圆：的左、右焦点，过倾斜角为的直线与该椭圆相交于P，两点，且.则该椭圆的离心率为（）A. B. C. D.32．椭圆的右焦点为，椭圆与轴正半轴交于点，与轴正半轴交于，且，则椭圆的方程为( )A. B. C.D.33．已知点F 1、F 2分别是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点，A 、B 是以O （O为坐标原点）为圆心、|OF 1|为半径的圆与该椭圆左半部分的两个交点，且△F 2AB 是正三角形，则此椭圆的离心率为（ ） A ．3B ．32C ．21-D ．31-34．若点O 和点F 分别为椭圆的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则的最大值为（ ）A ．2B ．3C ．6D ．8 35．已知椭圆22122:1(0)x y C a b a b+=>>与圆2222:Cx y b +=，若在椭圆1C 上存在点P ，使得由点P 所作的圆2C 的两条切线互相垂直，则椭圆1C 的离心率的取值范围是（ ）A ．1[,1)2B ．23[22C ．22D ．3,1)236．过椭圆的一个焦点2F 作垂直于实轴的弦PQ ，1F 是另一焦点，若∠21π=Q PF ，则椭圆的离心率e 等于（ ） A ．12- B ．22 C ．21- D ．221-37．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左焦点为,F C 与过原点的直线相交于,A B两点,连接,AF BF,若410,6,cos ABF 5AB AF ==∠=,则椭圆C 的离心率e =A ．57B ．45C ．47D ．5638．已知P 是椭圆222125x y b +=,(05)b <<上除顶点外的一点，1F 是椭圆的左焦点，若1||8,OP OF +=u u u r u u u r 则点P 到该椭圆左焦点的距离为（ ）A. 6B. 4 C .2 D. 52 39．已知点A （0，1）是椭圆2244x y +=上的一点，P 点是椭圆上的动点，则弦AP 长度的最大值为（ ） A.23B.2C.43D.440．若点O 和点F 分别为椭圆2212x y +=的中心和右焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则OP FP⋅u u u r u u u r 的最小值为（ ）A ．22B ．-12C ．22+D ．141．已知动点()P x y ，在椭圆22:12516x y C +=上，F 为椭圆C的右焦点，若点M 满足||1MF =u u u r 且MP MF ⋅=u u u r u u u r ，则||PM u u u u r 的最小值为（ ）A 3B ．3C ．125D ．1 42．已知P 是椭圆192522=+y x 上的点，12,F F 分别是椭圆121212||||PF PF PF PF ⋅=⋅u u u r u u u u r u u u r u u u u r 12PF F ∆的面积为( )A ．33．3 C ．3 D 343．过椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x C 的左顶点A 的斜率为k的直线交椭圆C 于另一个点B ，且点B 在x 轴上的射影恰好为右焦点F ，若,2131<<k 取值范围是（ ）A ．14(,)49B ．)1,32( C ．)32,21( D ．)21,0( 44．已知椭圆2222 1 (0)x y a b a b+=>>,A 是椭圆长轴的一个端点,B 是椭圆短轴的一个端点,F 为椭圆的一个焦点.若AB BF ⊥,则该椭圆的离心率为 （ ） A ．512+ B ．512- C ．514+ D ．514-参考答案1．B 【解析】试题分析：由题意得点P 的坐标为),(),(22ab c a b c ---或，因为02160=∠PFF所以322=abc，即)(332222c a b ac -==，所以3232=-+e e解得333-==e e 或（舍去），答案为B考点：椭圆的简单性质 2．B 【解析】试题分析：根据椭圆方程算出椭圆的焦点坐标为F 1（﹣3，0）、F 2（3，0）．由椭圆的定义|PF 1|+|PF 2|=10，△PF 1F 2中用余弦定理得到|PF 1|2+|PF 2|2﹣2|PF 1|•|PF 2|cos30°=36，两式联解可得|PF 1|•|PF 2|=64（2﹣），最后根据三角形面积公式即可算出△PF 1F 2的面积． 解：∵椭圆方程为，∴a 2=25，b 2=16，得a=5且b=4，c==3，因此，椭圆的焦点坐标为F 1（﹣3，0）、F 2（3，0）．根据椭圆的定义，得|PF 1|+|PF 2|=2a=10 ∵△PF 1F 2中，∠F 1PF 2=30°， ∴|F 1F 2|2=|PF 1|2+|PF 2|2﹣2|PF 1|•|PF 2|cos30°=4c 2=36，可得（|PF 1|+|PF 2|）2=36+（2+）|PF 1|•|PF 2|=100因此，|PF 1|•|PF 2|==64（2﹣），可得△PF 1F 2的面积为S=•|PF 1|•|PF 2|sin30°=故选：B点评：本题给出椭圆上一点对两个焦点所张的角为30度，求焦点三角形的面积．着重考查了椭圆的标准方程与简单几何性质等知识，属于中档题． 3．C 【解析】试题分析：解：设21F PF ∆的内切圆半径为r ，则由21212F IF IPF IPF S S S =+∆，得r F F r PF r PF ⨯⨯=⨯+⨯21212122121，即21212F F PF PF =+，即c a 222⨯=，∴椭圆的离心率为21==a c e ，故答案为C.考点：椭圆的简单几何性质.4．B【解析】试题分析：根据椭圆的方程算出a=5，再由椭圆的定义，可以算出|MF2|=10﹣|MF1|=8．因此，在△MF1F2中利用中位线定理，得到|ON|=|MF2|=4．解：∵椭圆方程为，∴a2=25，可得a=5∵△MF1F2中，N、O分别为MF1和MF1F2的中点∴|ON|=|MF2|∵点M在椭圆上，可得|MF1|+|MF2|=2a=10∴|MF2|=10﹣|MF1|=8，由此可得|ON|=|MF2|==4故选：B点评：本题给出椭圆一条焦半径长为2，求它的中点到原点的距离，着重考查了三角形中位线定理、椭圆的标准方程与简单几何性质等知识，属于基础题． 5．B 【解析】试题分析：设椭圆的标准方程为2222x y a b+=1，在第一象限内取点（x ，y ），设x=acosθ，y=bsinθ，（0＜θ＜2π）， 则椭圆的内接矩形长为2acosθ，宽为2bsinθ，内接矩形面积为2acosθ•2bsinθ=2absin2θ≤2ab，由已知得：3b 2≤2ab≤4b 2，3b≤2a≤4b，平方得：9b 2≤4a 2≤16b 2，即，9（a 2-c 2）≤4a 2≤16（a 2-c 2），整理得5a 2≤9c 2且12 a 2≥16 c 2， ∴5332c a ≤≤，即e ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡23,35，故选B.考点：椭圆的基本性质，离心率. 6．D 【解析】试题分析：圆配方得()16122=+-y x ，半径4=r ，因此42=a ，得2=a ，离心率21==a c e ，得1=c 32=∴b ，由于焦点在x 轴上，因此椭圆的方程是13422=+y x ．考点：椭圆的标准方程． 7．C 【解析】 试题分析：设()ααsin ,cos b a P ()()aa b k a a b k a N a M +=-=∴-ααααcos sin ,cos sin 0,,0,21则Θ=+∴21k k ()()()()aba b a b b a a b a a b 2sin 2cos 1cos 1cos 1sin cos 1sin cos sin cos sin ≥=+--++=++-ααααααααααα，由题意可得：12=a b 所以23=e .考点：椭圆的性质. 8．A 【解析】试题分析：设椭圆的方程为：()012222>>=+b a b y a x ，由题意可得：5=c ，又因为12PF PF ⊥，12||||2PF PF ⋅=，所以()2122122212221PF PF PF PF PF PF FF -+=+=，即()442212-+=PF PF c ，所以6221=+PFPF ，即6=a ，所以椭圆的方程为：1622=+y x ．考点：椭圆的定义及性质． 9．B ．试题分析：如图，设MN 的中点为P ，由题意可知，1PF ，2PF 分别为AMN ∆，BMN ∆的中位线，∴12||||2(||||)248AN BN PF PF +=+=⨯=．考点：椭圆的性质． 10．A 【解析】试题分析：设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则22112222222211x y a b x y a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ ,∵ 过点M （1，1）作斜率为﹣的直线与椭圆C ：+=1（a ＞b ＞0）相交于A ，B ，若M 是线段AB 的中点，∴两式相减可得2221202a b⎛⎫+-= ⎪⎝⎭ ,2222,,2c a b c a b b e a ∴=∴=-=∴== .故选A.考点：直线与圆锥曲线的综合问题 11．B试题分析：A 点为椭圆的右焦点，由于0PM AM ⋅=u u u u r u u u u r，⊥∴.PA PM 最小，PA的最小值为235=-=-c a 314=-=PM.考点：椭圆的性质. 12．D 【解析】试题分析：由已知得)0,3(),0,3(21F F -，且设),(n m P ，则有：),3(),,3(21n m PF n m PF --=---=由PF 1⊥PF 2得30)3)(3(222=-+⇒=+---n m n m m ①且41142222m n n m -=⇒=+代入①得：362)0(382=⇒>=m m m；故选D ．考点：１．椭圆的性质；２．向量的数量积． 13．D 【解析】试题分析：由条件1PFPQ=，则PQ ⊥x 轴，而0160F PQ ∠=，∴1F PQ ∆为等边三角形，而周长为4a ，∴等边三角形的边长为43a ，焦点在直角三角形12PF F ∆中，14||3a PF =，22||3a PF =，12||2F F c =，∴22242()()(2)33a ac -=，即223ac=，∴22213c e a ==，∴33e =.考点：椭圆的标准方程及其几何性质. 14．C. 【解析】试题分析：设椭圆的方程为)0(12222>>=+b a by a x ，),(0y x P ，21,F F 分别为其左右焦点，由椭圆的第二定义或焦半径公式知aex PF +=01，cF F 221=.由1123||||2PF F F =得ca ex 20=+，即eac x-=20，再由a eac x≤-=20即可求出离心率的取值范围.考点：椭圆的几何性质；椭圆的第二定义. 15．A 【解析】试题分析：设弦的两端点为A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）， 代入椭圆得22112222143143x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，两式相减得12121212 ( 03)()()()4x x x x y y y y -+-++=，整理得121234y y x x -=-∴弦所在的直线的斜率为34，其方程为y-2=34（x+1），整理得-+=3470x y ．故选A ． 考点：椭圆中点弦问题;直线方程的求法． 16．C【解析】设P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，P(x 0，y 0)，则x 12＋2y 12＝2，x 22＋2y 22＝2，两式作差得x 12－x 22＋2(y 12－y 22)＝0，故k 1＝1212y yx x--＝－()12122x x y y ++＝－002x y ，又k 2＝00yx ，∴k 1k 2＝－12． 17．C【解析】直线恒过定点(0,1)，只要该点在椭圆内部或椭圆上即可，故只要b≥1且b≠4． 18．B 【解析】试题分析：设)20)(sin 3,cos 4(1πααα<<P ，即点1P 在第一象限的椭圆上，考虑四边形AOB P 1的面积S ，)4sin(26)cos (sin 6cos 4321sin 342111πααααα+=+=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=+=∆∆OBP OAP S S S ， 所以26=Max S ，因为63421=⨯⨯=∆OABS为定值，所以ABP S1∆的最大值为3626<-，所以点P 不可能在直线AB 的上方，显然在直线AB 的下方有两个点P .故选B.考点：直线与圆锥曲线的关系. 19．D 【解析】试题分析：画出如下示意图．可知0M 为△PF 1F 2的中位线，∴PF 2=2OM=2b ，∴PF 1=2a-PF 2=2a-2b ，又∵M 为PF 1的中点，∴MF 1=a-b ，∴在Rt △OMF 1中，由OM 2+MF 12=OF 12,可得(a-b)2+b 2=c 2=a 2-b 2．可得2a=3b ，进而可得离心率e=5c a=．考点：椭圆与圆综合问题． 20．D 【解析】试题分析：由于直线y=kx+1恒过点M （0，1） 要使直线y=kx+1与椭圆2215x y m+=恒有公共点，则只要M （0，1）在椭圆的内部或在椭圆上 从而有220015m m x y m⎧⎪>⎪⎪≠⎨⎪⎪+≤⎪⎩，解可得m≥1且m≠5，故选D ．考点：直线与椭圆的相交关系的应用，直线恒过定点，直线与圆锥曲线的关系． 21．D【解析】由韦达定理12bx xa+=-，12c x xa⋅=-所以22222222121212222222()2(1)2b c b ac a ac c x x x x x x e a a a a++-+=+-⋅=+===--+因为01e <<，所以21(1)22e <--+<，即221212xx <+<故12(,)P x x 必在圆221xy +=与圆222xy +=形成的圆环之间故选D考点：椭圆的离心率；点与圆的位置关系. 22．C 【解析】试题分析：由题意得，22b c a=，∴222ac ac-=，∴212ee-=，∴2210ee +-=，∴22122e -±==-，∴12e =-考点：椭圆的标准方程及性质.23．B 【解析】试题分析：依题意可知点F （-c ，0）直线AB 斜率为00b b a a -=-- ，直线BF 的斜率为00b bc c-=-- ，∵∠FBA=90°，∴（b a ）•（ bc ）2221b a c ac ac-==-整理得220c ac a +-=，即2()10c caa+-= ，即e 2-e-1=0,解得e=512-或512+∵e ＜1,∴e=512-，故选B ．考点：椭圆的离心率. 24．A【解析】如图所示，设2,BF x =则23AFx=，由椭圆的定义，得1233AF x=，123BFx=，在1AF B ∆中，由余弦定理得，2220(23)(233)(4)2(233)(4)cos 60x x x x x =+-⋅⋅，解得39x =，在12AF F ∆中，由余弦定理得，2220234323434((2603333c =+-⋅⋅，解得1c =，故2222ba c =-=，故椭圆方程为22132x y +=．xy 3xx OF 2F 1AB【命题意图】本题考查椭圆的标准方程、向量共线、余弦定理等基础知识，试题综合性较高，意在考查学生逻辑思维能力、综合解决问题的能力． 25．A 【解析】试题分析：记线段PF 1的中点为M ，椭圆中心为O ，连接OM ，PF 2则有|PF 2|=2|OM|，22222a c b b --=，2222222211c a a c e e -=--=-，，解得25593e e ==， ．故选A ．考点：圆与圆锥曲线的综合． 26．B【解析】根据已知条件c 216m -216m -，22216m-)在椭圆222116x y m+=(m ＞0)上，∴2221616162m m m --+=1，可得m ＝2.27．A【解析】由题设知F 1（﹣3，0），F 2（3，0）， ∵线段PF 1的中点在y 轴上， ∴P （3，b ），把P （3，b ）代入椭圆=1，得．∴|P F 1|=，|P F 2|=．．故选A ． 28．B【解析】设椭圆的左焦点为(,0)F c -，1122(,),(,)A x y B x y ，则1212(,)OA OB x x y y +=++u u u r u u u r，直线AB 的方程为y x c =+，代人椭圆方程并整理得：22222222()20ab x a cx ac a b +++-=.由韦达定理得，212222a cx x a b +=-+，所以，212122222b cy y x x c a b +=++=+，根据OA OB+u u u r u u u r 与(3,1)α=-u r共线得，12123()0x xy y +++=，即2222222230a c b ca b a b -+⨯=++，222216,133b b e a a ==-=B .考点：椭圆的几何性质，直线与椭圆的位置关系，共线向量. 29．B【解析】,,,，则..选B30．B【解析】直线y＝kx＋1恒过点(0,1)，该点恰巧是椭圆的上顶点，椭圆的长轴长为4，短轴长为2，而直线不经过椭圆的长轴和短轴，因此排除A、C；将直线y＝kx＋1绕点(0,1)旋转，与椭圆有无数条弦，其中必有最大弦长，因此排除D.选B.31．B【解析】直线斜率为1，设直线的方程为，其中.设，则两点坐标满足方程组化简得，则，因为，所以.得，故，所以椭圆的离心率，选B.32．C 【解析】， ，，，选C. 33．D 【解析】试题分析：因为2F AB ∆是正三角形，可知点A 的坐标为13()2c -，代入椭圆方程化简即可求出该椭圆31.考点：椭圆的离心率的求法.34．C【解析】设，则即，又因为，，又，∴，所以．35．C 【解析】试题分析：椭圆上长轴端点向圆外两条切线PA,PB ，则两切线形成的角APB ∠最小，若椭圆1C 上存在点P 令切线互相垂直，则只需090APB ∠≤，即45APO α=∠≤，∴02sin sin 452b aα=≤=，解得222ac ≤，∴212e≥，即22e ≥，而01e <<，∴212e ≤<，即22e ∈.考点：椭圆与圆的标准方程及其性质.36．A 【解析】 试题分析：22222122,221b PF F Fc a c ac e e a===∴-=⇒+=，解之得21e =.考点：椭圆 37．A 【解析】试题分析：由已知条件，利用余弦定理求出|AF|，设F ′为椭圆的右焦点，连接BF ′，AF ′．根据对称性可得四边形AFBF ′是矩形，由此能求出离心率e ．考点：（1）余弦定理；（2）椭圆的几何性质． 38．C 【解析】试题分析：取1PF 的中点M,连接,OM OMOF OP 21=+,4=∴OM ,21PF F ∆中，OM 是中位线，所以2PF 的长等于8，10221==+a PF PF ,解得21=PF,故选C.考点：椭圆的定义，方程 39．C 【解析】试题分析：设x=2cos α，y=sin α，则弦()()222116432cos +sin -1=-3sin ++33ααα⎛⎫ ⎪⎝⎭考点：（1）椭圆；（2）三角函数. 40．B 【解析】试题分析：由题意，F （1，0），设点P （0,x y ），则有220012x y +=，解得220012x y =-，因为PFu u u r＝(1−0x ，−0y )，OPuuu r＝(0x ，0y )，所以OP FP⋅u u u r u u u r ＝0x (1−0x )−20y =0x （1-x ）2012x -+=202x +x 0−1，此二次函数对应的抛物线的对称轴为0x =1，因为022x -≤≤，所以当x 0=1时，则OP FP⋅u u u r u u u r 的最大值为12-．故答案为：B ．考点：1.椭圆的简单性质；2.平面向量数量积的运算． 41．A 【解析】由题意得.31)35(1)(),0,3(22222=--=--≥-=c a MF PF PM F 所以.3min=PM考点：圆的切线长，椭圆定义 42．A 【解析】试题分析：由121212||||PF PF PF PF ⋅=⋅u u u r u u u u r u u u r u u u u r 得121cos 2F PF∠=，1260F PF∴∠=︒由椭圆定义: 1212||||10,||8PF PF F F +==，在12F PF ∆中 由余弦定理得: 22212121212||||||2||||cos F F PF PF PF PF F PF =+-∠即212121264(||||)3||||1003||||PF PF PF PF PF PF =+-=-12||||12PF PF ∴=，121212113||||sin 123322F PF SPF PF F PF ∆=∠=⨯=故选A.考点：椭圆的标准方程及其几何性质. 43．C 【解析】试题分析：因为点B 在x 轴上的射影恰好为右焦点F，所以点2(,)b Bc a，221()b b a c a k ec a a c a a-====-++.因为,2131<<k 所以11121,.3223e e <-<<<考点：椭圆离心率 44．B 【解析】试题分析：因为AB BF ⊥，所以由射影定理得acb =2，所以,22ac c a=-即ee=-21，因为,10<<e 所以.215-=e考点：椭圆的离心率。
椭圆最基础大题训练25道
y2 y2 x2 2 22. 已知椭圆 C : + = 1 a > 0 , b > 0 的焦距为 4, 且与椭圆 x + = 1 有相同的离心率,斜率 a2 b 2 2
椭圆基础大题训练 25 道
为 k 的直线 l 经过点 M(0,1),与椭圆 C 交于不同两点 A,B. (1)求椭圆 C 的标准方程; (2)当椭圆 C 的右焦点 F 在以 AB 为直径的圆内时,求 k 的取值范围. y2 x2 1 23. 已知椭圆 C: + , 右焦点到直线 l1 : 3 x + 4 y = 0 的距离为 2 2 = 1 ( a > b > 0 ) 的离心率为 2 a b 3 . 5 (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)若直线 l2 : y = kx + m ( km ≠ 0 ) 与椭圆 C 交于 A,B 两点,且线段 AB 中点恰好在直线 l1 上,求△ OAB 的面积 S 的最大值.(其中 O 为坐标原点).
椭圆基础大题训练 25 道
M, N 两点． （1） 若直线 l 的方程为 y = x - 4 ， 求弦 MN 的长； （2） 如果△ BMN 的重心恰好为椭圆的右焦点 F ， 求直线 l 方程的一般式． 1 3 18. 已知椭圆 E 的焦点在 x 轴上， 离心率为 ， 对称轴为坐标轴， 且经过点( 1, )． 2 2 （I） 求椭圆 E 的方程； （II） 直线 y = kx - 2 与椭圆 E 相交于 A , B 两点，O 为原点， 在 OA , OB 上分别存在异于 O 点的点 M,N ， 使得 O 在以 MN 为直径的圆外， 求直线斜率 k 的取值范围． 6 y2 x2 19. 设椭圆 C : 2 + 2 = 1 ( a > b > 0 )过点 M ( 1, 1 ),离心率 e = ,O 为坐标原点. 3 a b (I)求椭圆 C 的方程. (Ⅱ) 若直线 l 是圆 O : x2 + y2 = 1 的任意一条切线, 且直线 l 与椭圆 C 相交于 A,B 两点, 求证: OA ⋅ OB 为定值. y2 x2 20. 已知椭圆 + = 1 a > 0, b > 0 的左右焦点分别为 F 1和 F 2,由 4 个点 M(-a,b),N(a,b),F 2 a2 b2 和 F1组成了一个高为 3,面积为 33 的等腰梯形. (1)求椭圆的方程; (2)过点 F1的直线和椭圆交于两点 A,B,求△ F2 AB 面积的最大值. 2 y2 x2 21. 已知椭圆 C: 2 + 2 = 1 ( a > b > 0 )的离心率为 ,其中左焦点 F -2, 0 . 2 a b (Ⅰ)求出椭圆 C 的方程; (Ⅱ) 若直线 y = x + m 与曲线 C 交于不同的 A,B 两点,且线段 AB 的中点 M 在圆 x2 + y2 = 1 上,求 m 的值.
椭圆练习题(含答案)
椭圆练习题一、 选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中有只有一项是符合题目要求的．） 1．椭圆63222=+y x 的焦距是（ ）A ．2B ．)23(2-C ．52D ．)23(2+2．F 1、F 2是定点，|F 1F 2|=6，动点M 满足|MF 1|+|MF 2|=6，则点M 的轨迹是（ ） A ．椭圆 B ．直线 C ．线段 D ．圆 3．若椭圆的两焦点为（－2，0）和（2，0），且椭圆过点)23,25(-，则椭圆方程是 （ ）A ．14822=+x yB ．161022=+x yC ．18422=+x yD ．161022=+y x4．方程222=+ky x 表示焦点在y 轴上的椭圆，则k 的取值范围是（ ）A ．),0(+∞B ．（0，2）C ．（1，+∞）D ．（0，1）5． 过椭圆12422=+y x 的一个焦点1F 的直线与椭圆交于A 、B 两点，则A 、B 与椭圆的另一焦点2F 构成2ABF ∆，那么2ABF ∆的周长是（ ）A ． 22B ． 2C ． 2D ． 16．已知椭圆的对称轴是坐标轴，离心率为31，长轴长为12，则椭圆方程为（ ） A ．112814422=+y x 或114412822=+y x B ． 14622=+y x C ．1323622=+y x 或1363222=+y x D ． 16422=+y x 或14622=+y x 7． 已知k ＜4，则曲线14922=+y x 和14922=-+-kyk x 有（ ） A ． 相同的短轴 B ． 相同的焦点 C ． 相同的离心率 D ． 相同的长轴 8．椭圆192522=+yx 的焦点1F 、2F ，P 为椭圆上的一点，已知21PF PF ⊥，则△21PF F 的面积为（ ） A ．9 B ．12 C ．10 D ．89．椭圆131222=+y x 的焦点为1F 和2F ，点P 在椭圆上，若线段1PF 的中点在y 轴上，那么1PF 是2PF 的（ ）A ．4倍B ．5倍C ．7倍D ．3倍10．椭圆1449422=+y x 内有一点P （3，2）过点P 的弦恰好以P 为中点，那么这弦所在直线的方程为（ ） A ．01223=-+y x B ．01232=-+y xC ．014494=-+y xD ． 014449=-+y x11．椭圆141622=+y x 上的点到直线022=-+y x 的最大距离是（ ）A ．3B ．11C ．22D ．1012．过点M （－2，0）的直线M 与椭圆1222=+y x 交于P 1，P 2，线段P 1P 2的中点为P ，设直线M 的斜率为k 1（01≠k ），直线OP 的斜率为k 2，则k 1k 2的值为（ ）A ．2B ．－2C ．21 D ．－21 二、 填空题：（本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上．）13．椭圆2214x y m +=的离心率为12，则m = ． 14．设P 是椭圆2214x y +=上的一点，12,F F 是椭圆的两个焦点，则12PF PF 的最大值为 ；最小值为 ．15．直线y =x －21被椭圆x 2+4y 2=4截得的弦长为 ．16．已知圆Q A y x C ),0,1(25)1(:22及点=++为圆上一点，AQ 的垂直平分线交CQ 于M ，则点M 的轨迹方程为 ．三、解答题：（本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤．） 17．已知三角形ABC 的两顶点为(2,0),(2,0)B C -，它的周长为10,求顶点A 轨迹方程．18．椭圆的一个顶点为A（2，0），其长轴长是短轴长的2倍，求椭圆的标准方程．19．点P到定点F（2，0）的距离和它到定直线x=8的距离的比为1：2，求点P的轨迹方程，并指出轨迹是什么图形．20．中心在原点，一焦点为F1（0，52）的椭圆被直线y=3x－2截得的弦的中点横坐标是21，求此椭圆的方程．21.已知椭圆的中心在坐标原点O，焦点在坐标轴上，直线y=x+1与椭圆交于P和Q，且OP⊥OQ，|PQ|=210，求椭圆方程22．椭圆12222=+byax(a＞b＞)0与直线1=+yx交于P、Q两点，且OQOP⊥，其中O为坐标原点．（1）求2211ba+的值；（2）若椭圆的离心率e满足33≤e≤22，求椭圆长轴的取值范围．椭圆练习题参考答案题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案ACDDABD13、3或316 14、 4 ， 1 15、5382 16、121425422=+yx17、3)(x 15922±≠=+y x 18、解：（1）当A (2,0)为长轴端点时，a =2 , b =1，椭圆的标准方程为： ；（2）当为短轴端点时，，，椭圆的标准方程为： ；19．解：设P （x ，y ），根据题意，|PF|=(x-2)2-y 2,d=|x-8|,因为|PF|d =12 ,所以 (x-2)2-y 2 |x-8| = 12.化简，得3x 2+4y 2=48,整理，得x 216 +y 212=1,所以，点P 的轨迹是椭圆。
高三椭圆练习题含答案
高三椭圆练习题含答案1. 设椭圆的焦距为f，离心率为e，则第一焦点坐标为(-f,0)，第二焦点坐标为(f,0)。
设椭圆的长轴为2a，短轴为2b，则有等式：f =√(a^2 - b^2) = a * e，其中e为离心率。
2. 设椭圆的焦距为f，离心率为e，离心率定义为e = c / a，其中c为焦点到椭圆中心的距离，a为椭圆的半长轴的长度。
根据定义，椭圆的离心率始终小于1。
3. 椭圆的标准方程为x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1，其中a为椭圆的半长轴，b为椭圆的半短轴。
4. 已知椭圆的焦点坐标为(-5, 0)和(5, 0)，离心率为2/3。
求该椭圆的半长轴和半短轴长度。
解答：根据离心率的定义，可知椭圆的焦点到椭圆中心的距离为a * e = 5* 2/3 = 10/3。
由于焦点到椭圆中心距离为a * e，而椭圆的焦点坐标为(-5, 0)和(5, 0)，因此椭圆的中心坐标为(0,0)。
由此可知，半长轴的长度为a = 大于等于5 + 10/3 = 25/3，半短轴的长度为b = √(a^2 - c^2) = √((25/3)^2 - (10/3)^2) = √(625/9 - 100/9) =√(525/9) = √175/3 = √(25 * 7)/3 = 5√7/3。
所以，该椭圆的半长轴长度为25/3，半短轴长度为5√7/3。
5. 已知椭圆的离心率为1/2，焦点坐标为(-3, 0)和(3, 0)。
求该椭圆的长轴与短轴的长度之比。
解答：根据焦点的坐标和离心率的定义，可知椭圆的半长轴的长度为 a = 3 * 2 = 6, 离心率为e = c / a = 1/2，其中c为焦点到椭圆中心的距离。
由此可知，焦点到椭圆中心的距离为c = a * e = 6 * 1/2 = 3。
椭圆的中心即为原点，因此椭圆的标准方程为x^2/36 + y^2/b^2 = 1。
根据焦点到椭圆中心的距离c = 3，可知椭圆的焦点坐标为(-3, 0)和(3, 0)。
（完整版）椭圆大题题型汇总例题+练习
（完整版）椭圆⼤题题型汇总例题+练习椭圆⼤题题型解决直线和圆锥曲线的位置关系的解题步骤是：（1）直线的斜率不存在，直线的斜率存，（2）联⽴直线和曲线的⽅程组；（3）讨论类⼀元⼆次⽅程（4）⼀元⼆次⽅程的判别式（5）韦达定理，同类坐标变换（6）同点纵横坐标变换（7）x,y ，k(斜率)的取值范围（8）⽬标：弦长，中点，垂直，⾓度，向量，⾯积，范围等等运⽤的知识：1、中点坐标公式：1212,y 22x x y y x ++==，其中,x y 是点1122(,)(,)A x y B x y ，的中点坐标。
2、弦长公式：若点1122(,)(,)A x y B x y ，在直线(0)y kx b k =+≠上，则1122y kx b y kx b =+=+，，这是同点纵横坐标变换，是两⼤坐标变换技巧之⼀，AB ====或者AB ==== 3、两条直线111222:,:l y k x b l y k x b =+=+垂直：则121k k =-两条直线垂直，则直线所在的向量120v v =r rg4、韦达定理：若⼀元⼆次⽅程20(0)ax bx c a ++=≠有两个不同的根12,x x ，则1212,b c x x x x a a+=-=。
常见的⼀些题型：题型⼀：数形结合确定直线和圆锥曲线的位置关系题型⼆：弦的垂直平分线问题弦的垂直平分线问题和对称问题是⼀种解题思维，⾸先弄清楚哪个是弦，哪个是对称轴，⽤到的知识是：垂直（两直线的斜率之积为-1）和平分（中点坐标公式）。
例题1、过点T(-1,0)作直线l 与曲线N ：2y x =交于A 、B 两点，在x 轴上是否存在⼀点E(0x ,0)，使得ABE ?是等边三⾓形，若存在，求出0x ；若不存在，请说明理由。
例题2、已知椭圆1222=+y x 的左焦点为F ，O 为坐标原点。
（Ⅰ）求过点O 、F ，并且与2x =-相切的圆的⽅程；（Ⅱ）设过点F 且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于A 、B 两点，线段AB 的垂直平分线与x 轴交于点G ，求点G 横坐标的取值范围。
椭圆练习题及答案
椭圆练习题答案一、选择题：1．在直角坐标平面内，已知点12(4,0),(4,0)F F -，动点M 满足条件：128MF MF +=，则点M 的轨迹方程是( ) A ．221169x y += B ．0x = C ．0y =(44x -≤≤) D ．2211616x y +=解：因为动点M 满足条件：12128MF MF F F +==，所以点M 的轨迹为线段12F F ，所以轨迹方程为：0y =(44x -≤≤)，故选C2．若直线4=+ny mx 和22:4O x y += 相离,则过点),(n m 的直线与椭圆14922=+y x 的交点个数为（ ）A. 至多一个B. 2个C. 1个D. 0个解：由题可知，直线4=+ny mx 和⊙O ∶422=+y x 相离，因此有222<+n m ，而椭圆14922=+y x 的短半轴为2，因此经过点),(n m 的直线与椭圆14922=+y x 的交点个数为2个，故选B3.椭圆221259x y +=上一点M 到焦点1F 的距离为2，N 是1MF 的中点，则ON 等于（ ） A ．2B ．4C ．6D ．32解：设椭圆的另一个焦点为2F ，因为椭圆221259x y +=上点M 到焦点1F 的距离为2，即12MF =,又12210MF MF a +==，所以28MF =.因为N 是1MF 的中点，O 是12F F 的中点，所以ON 2142MF ==，故选B 4．已知椭圆()2221525x y a a +=>的两个焦点为12,F F ，且128F F =，弦AB 过点1F ，则2ABF ∆的周长为 （ ）A 、10B 、20C 、241D 、 414解：因为12||8F F =,所以c=4,所以2222516,41a c a -==∴=,41a ∴=,所以2ABF ∆的周长为4441a =，故选D5．已知椭圆G 的中心在坐标原点，长轴在x 轴上，离心率为23，且椭圆G 上一点到其 两个焦点的距离之和为12，则椭圆G 的方程为（ ）A ．22149x y +=B ．22194x y +=C ．221369x y +=D ．221936x y += 解：由椭圆G 上一点到其两个焦点的距离之和为12，则,122=a 即,6=a 又离心率,23==a c e 所以33=c ，进而,92736222=-=-=c ab 所以椭圆的方程为221369x y +=，故选C 6．21,F F 是椭圆17922=+y x 的两个焦点，A 为椭圆上一点，且∠02145=F AF ，则∆12AF F 的面积为（ ）A ．7B ．47 C ．27 D ．257 解：由题可知：6221==+a AF AF ，222=c ，在21F AF ∆中，12221222845cos AF AF AF ⨯⨯-+=︒,可求得271=AF ,所以272222272121=⨯⨯⨯=∆F AF ，故选C7．已知点P 是椭圆13422=+y x 上任一点，那点P 到直线l ：0122=-+y x 的距离的最小值为（ ） A.855 B ．255 C ．1655D ．5解：过椭圆上任意点作l 的平行线'l ，当'l 与椭圆相切时，则点P 到直线l ：0122=-+y x 的距离的最值等于'l 到l 的距离，设'l 的方程为x 2y c 0++=，联立22143x 2y c 0x y ⎧+=⎪⎨⎪++=⎩，将直线代入椭圆，得2242120x cx c -+-=，由0∆=，得4c =±；所以'l 到l 的距离2212165512c d --==+或855，故选A8．已知椭圆1:2222=+by a x E （0>>b a ）的右焦点为F （3，0），过点F 的直线交椭圆于A 、B 两点，若线段AB 的中点坐标为（1，-1），则椭圆的方程为（ ） A.1364522=+y x B.1273622=+y x C.1182722=+y x D.191822=+y x 解：利用代点相减法，设),(),,(2211y x B y x A ，则1221221=+bya x …（1）, 1222222=+b y a x (2)（1）-（2）整理得：2121222121y y x x a b x x y y ++⋅-=--，222222a b a b k =-⋅-=，又2113)1(0=---=k ，则有222b a =，18)9(2222=⇒-=a a a ，92=b ，则椭圆的方程为191822=+y x ，故选D 9.若点O 和点F 分别为椭圆2212x y +=的中心和右焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则的最小值为（ ）A ．22-B ．12C ．22+D ．1 解：设点()y x P ,，所以()()y x PF y x OP ,1,,-==，由此可得()()y x y x PF OP ,1,-∙=22y x x +-=()2112112122+-=+-=x x x ，[]2,2-∈x ，所以()21min=PF OP ，故选B 10.椭圆C ：22221x y a b+=(0)a b >>的左焦点为F ，若F 关于直线30x y +=的对称点A 是椭圆C 上的点，则椭圆C 的离心率为（ ） A ．12 B ．312- C ．32D ．31- 解：设(,)A m n ，则(3)13022nm cm c n ⎧⨯-=-⎪⎪+⎨-⎪⨯+=⎪⎩，解得3(,)22c A c ，代入椭圆C 中，有22223144c c a b += ∴222222434b c a c a b +=∴222222224()34()a c c a c a a c -+=-∴4224840c a c a -+=，∴42840e e -+=，∴2423e =±，∴31e =-， 故选D二、填空题：11.椭圆2214x y +=的弦AB 的中点为1(1,)2P ，则弦AB 所在直线的方程是 解：设()()1122,,A x y B x y 代入椭圆相减得121212y y x x -=-- 12k ∴=-，所以直线为220x y +-=12.过椭圆2212x y +=的右焦点2F 作倾斜角为4π弦AB ，则|AB ︳为 解：椭圆2212x y +=，则22,1,1,2c a b c e a =====，两个焦点1F （－1，0）, 2F （1，0） 直线AB 的方程为1y x =-，代入2212x y +=整理得：2340x x -=所以由弦长公式得OP FP ⋅2121||AB k x x =+-=423，故答案为：42313.已知1F ，2F 是椭圆的两个焦点，过1F 且与椭圆长轴垂直的弦交椭圆于A ，B 两点，且2F ∆AB 是等腰直角三角形，则椭圆的离心率是 解：设椭圆的标准方程为22221x y a b +=，()0a b >>，焦点()()1200F c F c -，，，，如图：将x c =带入椭圆方程得22221c y a b +=；解得2y b a =± ；∵121F F AF =；∴22222b c b a c a==-，； ∴222ac a c =-，整理得：221()0cca a+⋅-=；即2210e e +-=解得21e =--（负值舍去）；故答案为：21- 14.若椭圆22221x y a b+=的焦点在x 轴上，过点()2,1作圆224x y +=的切线，切点分别为A ，B ，直线AB 恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程为解：设)1,2(M ，圆224x y +=的圆心为O ，则AB 是圆224x y +=与以OM 为直径的圆的公共弦所在直线，以OM 为直径的圆的方程为45)21()1(22=-+-y x ，即0222=--+y x y x ，两圆方程相减，即得AB 的方程为42=+y x ，则直线与坐标轴的交点为()()4,0,0,2，又因为焦点在x 轴上，则2=c ，4=b ，202=a ，所以椭圆方程为1162022=+y x15．直线过椭圆的左焦点，且与椭圆交于两点，为弦的中点，为原点，若是以线段为底边的等腰三角形，则直线的斜率为解：由椭圆的标准方程得：222222,1211a b ca b ==⇒=-=-= 所以其左焦点的坐标为()1,0-，设直线l 的斜率为k ，则直线l 的方程为：()1y k x =+联立方程组()22112y k x x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩ ，消去y 得:()2222120x k x ++-=整理得：()2222124220k x k x k +++-= （*）设()()1122,,,P x y Q x y ，则是方关于x 的方程（*）的两根，所以，2122412k x x k +=-+由题设是以线段为底边的等腰三角形，所以12122x x +=- 所以，224112k k -=-+，解得：212k = ，所以22k =±所以答案应填：22± 三、解答题：16．已知在平面直角坐标系中的一个椭圆，它的中心在原点，左焦点为）（03,F -,且过点）（02,D（1）求该椭圆的标准方程（2）设点），（211A ，若P 是椭圆上的动点，求线段PA 的中点M 的轨迹方程解：(1)由已知得椭圆的半长轴2=a ，半焦距3=c ，则半短轴1=bl 22:12x C y +=F C ,P Q M PQO FMO ∆OF l 22:12x C y +=FMO ∆OF又椭圆的焦点在x 轴上, ∴椭圆的标准方程为1422=+y x (2)设线段PA 的中点为）（y ,x M ,点P 的坐标是）（00y ,x 由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=2212100y y x x ，得⎪⎩⎪⎨⎧-=-=2121200y y x x 由点P 在椭圆上,得121241222=-+-）（）（y x ∴线段PA 中点M 的轨迹方程是14142122=-+-）（）（y x17．已知椭圆E ：()22221 0, 0x y a b ab+=>>的离心率32e =，并且经过定点1 (3,)2P （1）求椭圆 E 的方程（2）问是否存在直线y=-x+m ，使直线与椭圆交于 A, B 两点，满足OA OB ⊥,若存在求 m 值，若不存在说明理由解：（1）由题意：32c e a ==且223114a b +=又222c a b =- 解得224,1a b ==，即椭圆E 的方程为2214x y += （2）设1122(,),(,)A x y B x y 22222214()40584404x y x m x x mx m y x m ⎧+=⎪⇒+--=⇒-+-=⎨⎪=-+⎩ （*）所以21212844,55m m x x x x -+== 22222121212128444()()()555m m y y m x m x m m x x x x m m --=--=-++=-+=由0OA OB OA OB ⊥⇒⋅= 得2211221212444210(,)(,)0,0,0,555m m x y x y x x y y m --=+=+==±又方程（*）要有两个不等实根，22(8)45(44)0,55m m m ∆=--⨯->-<<m 的值符合上面条件，所以2105m =±18．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>经过点(2, 1)A ，离心率为22，过点(3, 0)B 的直线l 与椭圆C 交于不同的两点,M N 。
椭圆专题song
课堂总结
考点
思想 方法
求椭圆离心 率及范围
直线与椭圆 的位置关系
数形结合
分类讨论 转化与化归 函数与方程
证明：l过定点.
变式练习
变式1：若把椭圆改为 x 2 y 2 1其它条
4
3
不变，求证：l过定点.
变式2：若典例中的椭圆不变，把斜率之和 改为2,求证：l过定点.
直线与椭圆的位置关系
直线 与
椭圆
直线方 程（分 类讨论）0来自x1x2
b a
x1x2
c a
定点 定值
最值 范围
存在 性问题
专题16：椭圆
热身练习
1.C 2.B 3.B 4.A 5.B 6. A
考情分析 明确方向
年份 全国Ⅰ卷
全国Ⅱ卷
全国Ⅲ卷
19.直线与椭圆的位 12.椭圆的离心 20.直线与椭圆的
2018 置关系及证明
率
位置关系及证明
20.直线与椭圆的位 20.动点轨迹方 10.椭圆的离心率
2017 置关系及定点问题 程求法与直线过
证明
定点问题
20.定值问题、轨迹 20.直线与椭圆 11.椭圆的离心率
2016 方程求法、直线与 的位置关系、面
椭圆位置关系及范 积问题、范围问
围问题
题
考点一
求椭 圆离 心率
及 范围
椭圆离心率及范围
代数法
找a,c的等量关系 或不等关系
几何法
定义、三角形相似、 勾股定理、
三角形中位线
利用线段和角的大小 、三角形两边之和大 于第三边
重、难点突破
2017年全国卷I·20题
已知椭圆C：
椭圆专项练习大题答案
1（1）解：由题意，可设椭圆的方程为12222=+y a x )2(>a 由已知得⎪⎩⎪⎨⎧-==-)(22222c c a c c a 解得6=a ，2=c 所以椭圆的方程为12622=+y x ，离心率36=e （2）解：由（1）可得)0,3(A ，设直线PQ 的方程为)3(-=x k y ， 得062718)13(2222=-+-+k x k x k 依题意0)32(122>-=∆k ，得3636<<-k 设),(11y x P ，),(22y x Q 则 13182221+=+k k x x ① 136272221+-=k k x x ②,由直线PQ 的方程得)3(11-=x k y ,)3(22-=x k y 于是 ]9)(3[)3)(3(2121221221++-=--=x x x x k x x k y y ③∵ 0=⋅OQ OP ∴ 02121=+y y x x ④由①②③④得152=k ，从而)36,36(55-∈±=k 所以直线PQ 的方程为035=--y x 或035=-+y x 2 解：（1）由题设有.,0m c m =>设点P 的坐标为（00,y x ），由21PF PF ⊥，得10000-=+⋅-cx y c x y ，化简得.2020m y x =+与112020=++y m x 联立，解得 .1,12022m y m m x =-=由.1,01,0220≥≥-=>m mm x m 得所以m 的取值范围是1≥m .（2）准线L 的方程为.1m m x +=设点Q 的坐标为),(11y x ，则.11m m x +=.1||||00122x m mm m x c c x PF QF --+=---②将m m x 120-=代入②，化简得.111||||2222-+=--=m m m m PF QF 由题设32||||22-=PF QF ，得 3212-=-+m m ，无解.将m m x 120--=代入②，化简得.111||||2222--=-+=m m m m PF QF 由题设32||||22-=PF QF ，得 .3212-=--m m 解得m=2.从而,2,22,2300=±=-=c y x 得到PF 2的方程).2)(23(--±=x y3.（1）解：设椭圆方程为)0,(),0(12222c F b a by a x >>=+则直线AB 的方程为c x y -=，代入12222=+by a x ，化简得02)(22222222=-+-+b a c a cx a x b a . 令A （11,y x ），B 22,(y x ），则.,22222222122221ba b a c a x x b a c a x x +-=+=+ 由y y x x +-=++=+),1,3(),,(2121与共线，得,0)()(32121=+++x x y y 又c x y c x y -=-=2211,,.23,0)()2(3212121c x x x x c x x =+∴=++-+∴即232222cba c a =+，所以36.32222a b a c b a =-=∴=，故离心率.36==a c e（II ）证明：（1）知223b a =，所以椭圆12222=+by a x 可化为.33222b y x =+设),(y x OM =，由已知得),,(),(),(2211y x y x y x μλ+=⎩⎨⎧+=+=∴.,2121x x y x x x μλμλ ),(y x M 在椭圆上，.3)(3)(2221221b y y x x =+++∴μλμλ即.3)3(2)3()3(221212222221212b y y x x y x y x =+++++λμμλ① 由（1）知.21,23,23222221c b c a c x x ===+22222122238a c ab x xc a b -==+ 1212121233()()x x y y x x x c x c +=+--2121243()3x x x x c c =-++22239322c c c =-+=0 又222222212133,33b y x b y x =+=+，代入①得.122=+μλ故22μλ+为定值，定值为14解：（Ⅰ）设双曲线C 2的方程为12222=-b y a x ，则.1,31422222==+=-=b c b a a 得再由故C 2的方程为221.3x y -= （II ）.0428)41(1422222=+++=++=kx x k y x kx y 得代入由直线l 与椭圆C 1恒有两个不同的交点得,0)14(16)41(16)28(22221>-=+-=∆k k k 即21.4k > 0926)31(1322222=---=-+=kx x k y x kx y 得代入将.由直线l 与双曲线C 2恒有两个不同的交点A ，B 得2222222130,1 1.3()36(13)36(1)0.k k kk k ⎧-≠⎪≠<⎨∆=-+-=->⎪⎩即且229(,),(,),,131366,(A A B B A B A BA B A B A B A B A B A B A x y B x y x x x x k k OA OB x x y y x x y y x x kx kx -+=⋅=--⋅<+<+=+设则由得而222222937(1)()2(1)2.131331A B A B k k x x x x k k k k -+=++++=+⋅+⋅+=---22223715136,0.3131k k k k +-<>--于是即解此不等式得22131.153k k><或综上得.11513314122<<<<k k 或故k 为11(1,()(,3223--- 5．解:（Ⅰ）设P （x ，y ），由椭圆定义可知，点P的轨迹C 是以(0(0，为焦点，长半轴为2的椭圆．它的短半轴1b ==， 故曲线C 的方程为2214y x +=． （Ⅱ）设1122(,),(,)A x y B x y ，其坐标满足22(4)230k x kx ++-=，12224kx x k +=-+, 12234x x k =-+．若OA OB ⊥ ，即12120x x y y +=．而2121212()1y y k x x k x x =+++，于是22121222233210444k k x x y y k k k +=---+=+++，化简得2410k -+=，所以12k =±．633k k ><-或时，有两个公共点；,33k k ==-或时，有一个公共点；k <<时，没有公共点 7．解：因为ae c =，2F 到l 的距离a d c c=-，所以由题设解得2c a = 由2222b a c =-=，得b =）由2c a =得())12,F F ，l的方程为x =故可设()()12,M y N y 由知120FM F N ⋅=,()()120y y ⋅=得126y y =-，所以122160,y y y y ≠=-所以12111161MN y y y y y y =-=+=+≥1y =时，上式取等号，此时21y y =-所以，()))122212F F F M F N y y ++=-++()120,y y =+0=8．解：(Ⅰ)设M ，N 为短轴的两个三等分点，因为△MNF 为正三角形，所以OF =,21,23b b = 解得2214a b =+=，因此，椭圆方程为22 1.43x y += (Ⅱ) 设1122(,),(,).A x y B x y 当直线 AB 与x 轴重合时，2222222222,4(1),.OA OB a AB a a OA OB AB +==>+<因此，恒有当直线AB 不与x 轴重合时，设直线AB 的方程为：222211,x y x my a b=++=代入整理得22222222()20,a b m y b my b a b +++-=所以222212122222222,b m b a b y y y y a b m a b m -+=-=++ 因为222OA OB AB +<，所以∠AOB 恒为钝角.即11221212(,)(,)0OA OB x y x y x x y y ==+<恒成立.2121212121212(1)(1)(1)()1x x y y my my y y m y y m y y +=+++=++++2222222222222222222222(1)()210.m b a b b m m a b b a b a a b m a b m a b m+--+-+=-+=<+++ 又2220a b m +>，所以22222220m a b b a b a -+-+<对m R ∈恒成立， 即2222222m a b a b a b >+-对m R ∈恒成立，当m R ∈时，222m a b 最小值为0，所以22220a b a b +-<， 2224(1)a b a b <-=,220,0,1a b a b a >><=-∵∴，即210a a -->,解得12a +>或12a -<(舍去)，综合（i ）(ii)，a的取值范围为1()2+∞. 9．解（Ⅰ）：依题设得椭圆的方程为2214x y +=，直线AB EF ，的方程分别为22x y +=，(0)y kx k =>．设001122()()()D x kx E x kx F x kx ，，，，，，其中12x x <，且12x x ，满足方程22(14)4k x +=，故21x x =-=．①由6ED DF = 知01206()x x x x -=-，得021215(6)77x x x x =+==；由D 在AB 上知0022x kx +=，得0212x k =+．所以212k =+，化简得2242560k k -+=，解得23k =或38k =．（Ⅱ）根据点到直线的距离公式和①式知，点E F ，到AB的距离分别为1h ==2h ==又AB ==AEBF 的面积为121()2S AB h h =+12===≤ 当21k =，即当12k =时，上式取等号．所以S的最大值为 10．解：由题意：2222222121c a b c a b =-=+=，， ，解得224,2a b ==，方程为22142x y += （Ⅱ）设点Q 、A 、B 的坐标分别为1122(,),(,),(,)x y x y x y 。
2025高考数学椭圆课件练习题
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第5讲
椭
圆
常用结论
1. 椭圆的焦点三角形
以椭圆上的点 P ( x 0， y 0)与两焦点 F 1， F 2为顶点的△ PF 1 F 2叫做焦点三角形.
如图所示，设∠ F 1 PF 2＝θ.
1
2
sin
1+cos
(1)当 P 为短轴端点时，θ最大.(2) △ ＝ ｜ PF 1｜·｜ PF 2｜· sin θ＝ b 2·
B. 2
[解析] 解法一
C. 4
1
2
因为 1 ·2 ＝0，所以 PF 1⊥ PF 2，则 △ ＝ |PF 1|·|PF2|＝
1 2
∠1 2
1
2
b tan
，得 |PF
2
D. 5
2
90°
|PF 2|＝1×tan
，所以|PF 1|·|PF 2|＝2，故选B.
1|·
2
例1
训练1
例2
训练2
例2
训练2
例3
训练3
例4
训练4
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第5讲
椭
圆
方法技巧
1. 椭圆定义的主要应用
(1)确认平面内与两定点有关的动点轨迹是否为椭圆；(2)解决与焦点有关的距离或范
围问题.
2. 解决焦点三角形问题常利用椭圆的定义以及余弦定理.
例1
训练1
例2
训练2
例3
训练3
例4
训练4
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第5讲
椭
训练1
c ，其中 a ＞ c ＞0，且 a ， c 为常数.
注意
若2 a ＝｜ F 1 F 2｜，则动点的轨迹是线段 F 1 F 2；若2 a ＜｜ F 1 F 2｜，则动点
高职高考高二椭圆练习题
高职高考高二椭圆练习题椭圆是一种重要的几何图形，在高职高考高二数学中，常常出现椭圆相关的题目。
本文将通过一系列的椭圆练习题来帮助同学们加深对椭圆的理解。
题目一：已知椭圆的中心为O，焦点为F1，F2，F1F2的距离为c，离心率为e。
若椭圆的长轴长度为2a，且满足条件c = a/2，e = 1/2，请确定此椭圆的方程，并求该椭圆的焦点坐标、短轴长度、离心率、焦半径。
解析：设焦点F1的坐标为(ae, 0)，焦点F2的坐标为(-ae, 0)。
由题意可得c = a/2，故有a/2 = a/2 * 1/2，解得a = 1。
又因为e = 1/2，所以焦点的坐标为(1/2, 0)和(-1/2, 0)。
椭圆的方程可以表示为(x - 0)^2 / 1^2 + (y - 0)^2 / b^2 = 1，代入焦点坐标得(1/2)^2 / 1^2 + (y - 0)^2 / b^2 = 1，解得b^2 = 3/4。
因此，该椭圆的方程为x^2 + 4y^2/3 = 1。
焦点坐标分别为(1/2, 0)和(-1/2, 0)，短轴的长度为2b = √3，离心率为e = 1/2，焦半径为c = 1/2。
题目二：已知椭圆的焦距为6，离心率为2/3，求椭圆的方程和中心坐标。
解析：设椭圆的焦点坐标为(ae, 0)和(-ae, 0)，离心率为e，则有c = ae，离心率为e。
由题意可得c = 6，e = 2/3。
解方程组得ae = 6，a * (1 - e^2) = 6，解得a = 9，e = 2/3。
所以焦点坐标为(6, 0)和(-6, 0)，中心坐标为(0, 0)。
椭圆的方程为x^2 / 9^2 + y^2 / b^2 = 1，代入焦点坐标(6, 0)得(6)^2 / 9^2 + (y - 0)^2 / b^2 = 1，解得b^2 = 63。
因此，该椭圆的方程为x^2 / 81 + y^2 / 63 = 1，中心坐标为(0, 0)。
题目三：已知椭圆E：(x - 3)^2/9 + (y - 4)^2/25 = 1，求椭圆E的焦点坐标、离心率和长轴、短轴长度。
【高考复习】15-16高考数学一轮复习椭圆专题检测(含答案)
【高考复习】15-16高考数学一轮复习椭圆专题检测（含答案）在数学中，椭圆是平面上到两个固定点的距离之和是常数的轨迹，以下是椭圆专题检测，请考生及时练习。
一、选择题2.已知焦点在x轴上的椭圆的离心率为,且它的长轴长等于圆C:x2+y2-2x-15=0的半径,则椭圆的标准方程是()(A)+=1 (B)+=1(C)+y2=1 (D)+=1二、填空题7.在平面直角坐标系xOy中,椭圆C的中心为原点,焦点F1,F2在x轴上,离心率为.过F1的直线l交C于A,B两点,且△ABF2的周长为16,那么C的方程为.8.已知点P是椭圆16x2+25y2=400上一点,且在x轴上方,F1,F2分别是椭圆的左、右焦点,直线PF2的斜率为-4,则△PF1F2的面积是.9.分别过椭圆+=1(a0)的左、右焦点F1,F2所作的两条互相垂直的直线l1, l2的交点在此椭圆的内部,则此椭圆的离心率的取值范围是.三、解答题10.(西安模拟)在平面直角坐标系中,已知曲线C上任意一点P到两个定点F1(-,0)和F2(,0)的距离之和为4.(1)求曲线C的方程.(2)设过(0,-2)的直线l与曲线C交于A,B两点,以线段AB为直径作圆.试问:该圆能否经过坐标原点?若能,请写出此时直线l的方程,并证明你的结论;若不能,请说明理由.11.(渭南模拟)已知椭圆C:+=1(a0)的右顶点A为抛物线y2=8x的焦点,上顶点为B,离心率为.(1)求椭圆C的方程.(2)过点(0,)且斜率为k的直线l与椭圆C相交于P,Q两点,若线段PQ的中点横坐标是-,求直线l的方程.12.(能力挑战题)已知点P是圆F1:(x+)2+y2=16上任意一点,点F2与点F1关于原点对称.线段PF2的中垂线与PF1交于M点.(1)求点M的轨迹C的方程.(2)设轨迹C与x轴的两个左右交点分别为A,B,点K是轨迹C上异于A,B的任意一点,KHx轴,H为垂足,延长HK到点Q使得|HK|=|KQ|,连接AQ并延长交过B且垂直于x轴的直线l于点D,N为DB的中点.试判断直线QN与以AB为直径的圆O的位置关系.答案解析2.【解析】选A.圆C的方程可化为(x-1)2+y2=16.知其半径r=4,长轴长2a=4,a=2.又e==,c=1,b2=a2-c2=4-1=3,椭圆的标准方程为+=1.7.【解析】根据椭圆焦点在x轴上,可设椭圆方程为+=1(a0).∵e=,=.根据△ABF2的周长为16得4a=16,因此a=4,b=2,所以椭圆方程为+=1.答案:+=18.【解析】由已知F1(-3,0),F2(3,0),所以直线PF2的方程为y=-4(x-3),代入16x2+25y2=400,整理得76x2-450x+650=0,解得:x=或x=(因为x3,故舍去),又点P(x,y)在椭圆上,且在x轴上方,得16()2+25y2=400,解得y=2,=|F1F2|y=62=6.答案:69.【思路点拨】关键是由l1, l2的交点在此椭圆的内部,得到a,b,c间的关系,进而求得离心率e的取值范围.【解析】由已知得交点P在以F1F2为直径的圆x2+y2=c2上.又点P在椭圆内部,所以有c20,k2,②则x1+x2=,x1x2=,代入①,得(1+k2)-2k+4=0.即k2=4,k=2或k=-2,满足②式.所以,存在直线l,其方程为y=2x-2或y=-2x-2.11.【解析】(1)抛物线y2=8x的焦点为A(2,0),依题意可知a=2.因为离心率e==,所以c=.故b2=a2-c2=1,所以椭圆C的方程为:+y2=1.(2)直线l:y=kx+,由消去y可得(4k2+1)x2+8kx+4=0,因为直线l与椭圆C相交于P,Q,所以=(8k)2-4(4k2+1)0,解得|k|.又x1+x2=,x1x2=,设P(x1,y1),Q(x2,y2),PQ中点M(x0,y0),因为线段PQ的中点横坐标是-,所以x0===-,解得k=1或k=,因为|k|,所以k=1,因此所求直线l:y=x+.12.【解析】(1)由题意得,F1(-,0),F2(,0),圆F1的半径为4,且|MF2|=|MP|,从而|MF1|+|MF2|=|MF1|+|MP|=4|F1F2|=2,点M的轨迹是以F1,F2为焦点的椭圆,其中长轴2a=4,焦距2c=2,则短半轴b===1,椭圆方程为:+ y2=1.(2)设K(x0,y0),则+=1.∵|HK|=|KQ|,Q(x0,2y0),OQ==2,Q点在以O为圆心,2为半径的圆上,即Q点在以AB为直径的圆O上.又A(-2,0),直线AQ的方程为y=(x+2).令x=2,得D(2,).又B(2,0),N为DB的中点,N(2,).=(x0,2y0),=(x0-2,).=x0(x0-2)+2y0=x0(x0-2)+=x0(x0-2)+=x0(x0-2)+x0(2-x0)=0,,直线QN与以AB为直径的圆O相切.椭圆专题检测和答案的所有内容就是这些，数学网祝愿更多的考生可以梦想成真。
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汉企联大春季高考《椭圆》专项训练
一、椭圆的标准方程
1．设F 1，F 2为定点，|F 1F 2|＝6，动点M 满足|MF 1|＋|MF 2|＝6，则动点M 的轨迹是( )
A ．椭圆
B ．直线
C ．圆
D ．线段
2．椭圆x 216＋y 27
＝1的左右焦点为F 1，F 2，一直线过F 1交椭圆于A 、B 两点，则△ABF 2的周长为( ) A ．32 B ．16 C ．8 D ．4
3．椭圆2x 2＋3y 2＝1的焦点坐标是( )
A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，±66 B ．(0，±1) C ．(±1,0) D.⎝ ⎛⎭
⎪⎫±66，0 4．方程x 2|a |－1＋y 2a ＋3
＝1表示焦点在x 轴上的椭圆，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－3，－1) B ．(－3，－2) C ．(1，＋∞) D ．(－3,1)
5．若椭圆的两焦点为(－2,0)，(2,0)，且该椭圆过点⎝ ⎛⎭⎪⎫52
，－32，则该椭圆的方程是( ) A.y 28＋x 24＝1 B.y 210＋x 26＝1 C.y 24＋x 28＝1 D.y 26＋x 210
＝1 6．设F 1、F 2是椭圆x 216＋y 212
＝1的两个焦点，P 是椭圆上一点，且P 到两个焦点的距离之差为2，则△PF 1F 2是( ) A ．钝角三角形 B ．锐角三角形 C ．斜三角形 D ．直角三角形
7．椭圆x 29＋y 22
＝1的焦点为F 1、F 2，点P 在椭圆上．若|PF 1|＝4，则|PF 2|＝________，∠F 1PF 2的大小为________． 8．P 是椭圆x 24＋y 2
3
＝1上的点，F 1和F 2是该椭圆的焦点，则k ＝|PF 1|·|PF 2|的最大值是______，最小值是______． 9．根据下列条件，求椭圆的标准方程．
(1)两个焦点的坐标分别是(－4,0)，(4,0)，椭圆上任意一点P 到两焦点的距离之和等于10； (2)两个焦点的坐标分别是(0，－2)，(0,2)，并且椭圆经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，52.
二、椭圆的几何性质
1．椭圆25x 2＋9y 2＝225的长轴长、短轴长、离心率依次是( )
A ．5,3，45
B ．10,6，45
C ．5,3，35
D ．10,6，35 2．焦点在x 轴上，长、短半轴长之和为10，焦距为45，则椭圆的方程为( )
A.x 236＋y 216＝1
B.x 216＋y 236＝1
C.x 26＋y 24＝1
D.y 26＋x 24
＝1
3．若焦点在x 轴上的椭圆x 22＋y 2m ＝1的离心率为12
，则m 等于( ) A. 3 B.32 C.83 D.23
4．如图所示，A 、B 、C 分别为椭圆x 2a 2＋y 2
b 2＝1 (a >b >0)的顶点与焦点， 若∠ABC ＝90°，则该椭圆的离心率为( ) A.－1＋52 B ．1－22 C.2－1 D.22
5．若直线mx ＋ny ＝4与圆O ：x 2＋y 2
＝4没有交点，则过点P (m ，n )的直线与椭圆x 29＋y 2
4＝1的交点个数为( ) A ．至多一个 B ．2 C ．1 D ．0
6.已知F 1、F 2是椭圆的两个焦点.满足1MF ·MF 2→＝0的点M 总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是( )
A ．(0,1) B.⎝⎛⎦⎤0，12 C.⎝⎛⎭⎫0，22 D.⎣⎡⎭
⎫22，1 7．已知椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，离心率为55
，且过点P (－5,4)，则椭圆的标准方程为___________________． 8．直线x ＋2y －2＝0经过椭圆x 2a 2＋y 2
b
2＝1 (a >b >0)的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的离心率等于______________． 9.已知F1、F2是椭圆C ：x 2a 2＋y 2
b
2＝1 (a >b >0)的两个焦点，P 为椭圆C 上一点，且1PF ⊥PF 2→.若△PF 1F 2的面积为9，则b ＝________.
10．设椭圆的中心在原点，坐标轴为对称轴，一个焦点与短轴两端点的连线互相垂直，且此焦点与长轴上较近的端点的距离为4(2－1)，求此椭圆方程及它的离心率、焦点坐标、顶点坐标．。