第1讲---整式的加减及幂的运算性质

§第1讲 整式的加减及幂的运算性质
★1 【知识目标清单】
1、同类项的概念及其运用；
2、单项式与多项式的概念；
3、整式的加减（去括号、合并同类项）
4、熟练运用幂的运算性质进行整式的化简
★2 【知识体系梳理】
◆ 单项式、多项式的相关概念
Ⅰ、单项式的定义：表示数与字母的积的代数式。

如
2411,,52
x y bk ab - 注意：（1）单独的一个数字或一个字母也是单项式，如0，a -，π等。

（2）定义中的积是对数和字母而言的，意为单项式中只能含有乘法或乘方运算，而不能含有加、减
等其它运算。

Ⅱ、单项式的系数与次数
单项式中的数字因数叫单项式的系数，单项式中所有字母的指数的和叫单项式的次数，单独一个非零数字的次数是0。

Ⅲ、多项式的定义：几个单项式的和叫多项式。

例如：32x -；221x y -+等。

Ⅳ、多项式的项与次数
1、组成多项式的每个单项式叫多项式的项，其中不含字母的项叫常数项。

2、多项式的次数：多项式中次数最高的项的次数。

常数项的次数为0。

注意：（1）确定多项式的项一定连同它前面的符号；
（2）多项式的次数不是所有项的次数之和，而是次数最高项的次数 （3）多项式没有系数概念，但对多项式中的每一项来说都有系数。

◆ 整式的概念：单项式和多项式统称为整式 ◆ 幂的运算性质：
1、同底数幂的乘法：n m n m a a a +=∙；推广：t n m t n m a a a a ++=∙∙
2、幂的乘方：mn n m a a =)(（可以推广）；幂的乘方，底数不变，指数相乘；
3、积的乘方：m m m
b a ab ∙=)
(（可以推广）
；积的乘方，等于把积中的每一个因式分别乘方； 4、同底幂的除法法则: m a ÷n a =m n a -（0a ≠，m 、n 是整数，m n >）
同底数幂相除，底数不变,指数相减。

◆ 零指数幂的意义：01a =（0a ≠）即任何不等于0的数的0次幂都等于1。

◆ 负整数指数幂的意义: 11()(0,)p p
p a a p a a
-=
=≠是正整数,即任何不等于0的数的p -次幂(p 是正整数)等于这个数的p 次幂的倒数。

◆ 科学计数法：把一个数写成10n a ⨯的形式。

（其中110a ≤<，n 为整数）
★3 【典型例题解析】
◆ 考点一：整式的概念及整式加减运算
【例1】若32
32
583n
m
a b a b a b -=-，则=m ，=n ；
【例2】求值：
1、化简求值：若2(2)10a b +++=,求{}
)]24(3[2522222b a ab ab b a ab ----的值；
2、运用整体思想求值：
已知535-++=cx bx ax y ，当3-=x 时，7=y ，求当3=x 时y 的值；
【例3】代数式的有关概念及列代数式 1、代数式x y x 162+
、24z xy +、xy y +-25
1
、xy 2、2-π中，不是整式的有（ ）
A 、1个
B 、2个
C 、3个
D 、4个
2、下图是某同学在沙滩上用石于摆成的小房子．观察图形的变化规律，写出第n 个小房子
用了 块石子．
◎ 变式议练一
一、填空题、选择题：
1、若2
2
210,24x x x x -+=-=则 ；
2、若6452=++z y x ，473-=-+z y x ，则=-+z y x ；
3、已知多项式635
13212--+-
+x xy y x m 是六次四项式，单项式m n y x -523与该多项式的次数相同，则=+n m ；
4、下列各组代数式中，互为相反数的有（ ）
（1）b a -与b a -- （2）b a +与b a -- （3）b a +-与b a -
A 、
（1）与（2） B 、（1）与（3） C 、（2）与（3） D 、（1）、（2）、（3） 5、对于代数式2
()a b +，下列描述正确的是（ ）
A 、a 与2
b 的平方的和； B 、a 、b 的平方和；
C 、a 与b 的和的平方；
D 、a 与b 的平方的和 6、下列各组两项中，是同类项的是（ ）
A 、2233x y xy 与
B 、11
55
abc ac 与 C 、23xy ab --与 D 、0与π-
7、若多项式1)3(5)1(234-+-+--x b x x a x 中不含3x 和x 项，则=a ，=b ； 8、已知：10=+b a ，2-=ab ，则=-+ab b a 533 ；
二、解答题：
1、已知xyz x A -=32，xyz z y B +-=23，xyz y x C -+-=222，且01)1(2=+-++z y x 求：
)32(C B A --的值.
2、观察下列数表： 第一行 （1）根据数表所反映的规律，猜想第6行与 第二行 第6列的交叉点上的数是什么数？
第三行 （2）第n 行与n 列交叉点上的数是什么数？ 第四行 （用含有正整数n 的式子表示）
第 第 第 第 一 二 三 四 列 列 列 列
3、如图是某居民小区的一块长为a 2米，宽为b 米的长方形空地，为了美化环境，准备在这个长方形的四个顶点处修建一个半径为
a 2
1
米的扇形花台， 然后在花台内种花，其余种草．如果建造花台及种花费用每 平方米需要资金100元，种草每平方米需要资金50元，那么 美化这块空地共需资金多少元？
◆ 【能力拓展】
【例4】已知012=++a a ，求200720082009a a a ++的值；
【例5】已知一个四位数，其千位上的数字与十位上的数字相同，个位上的数字与百位上的数字相同，证明这个数一定能被101整除；
1 2 3 4 … 2 3 4 5 … 3 4 5 6 … 4 5 6 7 … …
…
…
…
…
【例6】已知：222321,1A x ax x B x ax =+--=-+-，且B A 63+的值与x 无关，求a 的值；
【例7】如图几何体是用边长为acm 的立方体泥坯堆成三层形成的，在这个几何体的表面上刷漆，若油漆
的需求量为30g/2cm ，求刷好这个几何体共需要多少克油漆？
【例8】A 、B 两家公司都准备向社会招聘人才，两公司的招聘条件基本相同，只有工资待遇有如下差别： A 公司：年薪1万元，每年加工龄工资200元； B 公司：半年薪5千元，每半年加工龄工资50元； 若从经济收入的角度来考虑，选择哪家公司为好？
◆ 考点二：幂的运算性质及其运算
【例9】直接写出结果：=⋅⋅a a a 4
7
；=-⋅---⋅3
856)()()(x x x x ；
=-2)2
1(xy ；=-+-33)2(a a ；=⋅+2
12)()(n n a a ； 【例10】辨析运算的正误
（1）3
3
3
2a a a ⋅= （2）4
4
8
x x x += （3）3
3
9
a a a ⋅= （4）235
y y y y ⋅⋅= （5）3
4
x x x += （6）8
18
101010⨯= （7）33()xy xy = （8）3412
(2)16a a -=-
（9）3
124n n n a
a a +-+÷= （10）()()6
2
4xy xy xy ÷= （11）()8426a a a a ÷÷=
【例11】计算下列各题：
（1）2222)2()2(n mn mn ∙-- （2）3335)109()103
1(⨯∙⨯ （3）[]3
223)2()3(a a --
（4）34444)(52)2(x x x ⋅+- （5）20)3
1()31
(--÷-π （6）2
10
1(2)()(2009)2
π---÷-⨯-
【例12】幂的运算性质的灵活运用 1、已知31123x x x x a a =∙∙+，求a 的值；
2、若2=a x ，3=b x 。

求下列各式的值：（1）b a x +；（2）b a x +2；
3、计算：（1）、2020)41(4-⨯ （2）、11109)75.0()9
8()211(∙∙
4、（竞赛题）若0352=-+y x ，则=∙y x 324 ；
◎ 变式议练二
1、下列计算中不正确的是（ ）
A 、229)3(x x =-
B 、336)2(x x -=-
C 、655222=+
D 、63328)2(y x xy =
2、下列运算中正确的是（ ）
A 、532a a a =+
B 、633b b b =+
C 、7432c c c =⋅
D 、22)(m m a a -=
3、计算：2009
2010(2)
(2)-+-的结果为（ ）
A 、2
B 、4019
2- C 、2009
2
- D 、2009
2
4、若3=n x ，7=n y ，则=n xy )( ；=-∙-20092008)3()3
1
( ；
5、已知：034=-+y x ，则=∙y x 162 ；
6、经天文学家测算，太阳系外离地球最近的一颗恒星---南门二，发出的光到达地球的时间为s 81036.1⨯，光的速度是s km /1035⨯。

求南门二到地球的距离？（用科学记数法表示）
◆◆◆ 课堂练习
1、下列运算中正确的是 （ ）
A 、322x x x =+
B 、24
46a a a =⨯ C 、444)(b a b a +=+ D 、632x x x =⋅
2、若227371998a b c ∙∙=，其中a,b,c 为自然数，则
2014
（a-b-c ）值为 ； 3、若3=m a ，5=n a ，则n
m a 34+的值为 ；
4、计算下列各题：
（1）3856)()()(x x x x -⋅---⋅ （2）23212)()()(---⋅-⋅-n n n b a a b b a （n 是正整数）
（3）2222)2()2(n mn mn ⋅-- （4）423)()(x x x -⋅-⋅- （5）952)()()(x y y x y x -∙-∙-
5、能力拓展：（1）、判断2007200673+的末位数字是多少？
的值。

求：）满足（、、、如果整数y
z y x z y x z
y x -+=⨯⨯216
)10
27()916(815)2(
2010
20102010
2010201114
235552)3(--⨯）化简：（、。