定积分的微元法-

记 maxxi
n
1 i n
A f ( xi 1 ) Δx i
A lim f ( x i 1 ) Δx i f ( x )dx
0 i 1
a n
i 1
b
第一步说明: 问题具有可加性 第二步的特征: 若记 A( x ) f ( t )dt , 则
即 Ai 用所求量 A 关于自变量 x 的微分近似
第三步说明:
A f ( x )dx lim f ( x i 1 ) Δx i
a
b
n
0 i 1
lim dA( x i 1 ) dA( x )
0 i 1
a
n
b
即
dA( x ) f ( x )dx
x
xi
a
Ai f ( t )dt f ( i )x i
xi 1
Ai f ( t )dt f i x i
xi 1
xi
f ( xi 1 )xi ( f ( i ) f ( xi 1 ))xi f ( xi 1 )xi o( xi ) Ai f ( xi 1 )xi dA( xi 1 )
b
x
x0 a x1 x2 xn1 xn b
将曲边梯形分成几个小曲边梯形Ai , i 1， 2， ，n ,
A ΔAi
i 1
n
(问题具有可加性)
(2) 近似:
ΔAi f ( xi 1 )xi , ( xi xi xi 1 )
(3) 求和精确化:
A f ( x )dx dA( x )
a a b b
20 定积分的微元法
(1) 所求量 Q 在某自变量区间 [a , b]具有可加性 (涉及自变量的选取) (2) 求得 dQ f ( x )dx (3)
Q dQ f ( x )dx
a a b b
(求得微元)
(相加和精确化)
第七章
定积分的应用与广义积分
§7.1 定积分的微元法
1º 定积分的微元法描述 设 f (x) 在[ a , b ]上连续, 则 曲边梯形 abcd 的面积
A f ( x )dx
b a
y
d
Ai
y f ( x)
c
A

其描述过程可分为下面几步 (1) 在[ a , b ]内插入分点:
o
a
xi1 xi