8—19学年上学期高二期中考试数学(理)试题(附答案) (1)(2)

河北辛集中学2018-2019学年度第一学期期中考试
高二数学（理科）试题
命题教师：赵响校对：李文文
一、选择题：（共16小题。

每小题5分，共80分。

每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。

）
1．已知命题p：∃x∈R，x2﹣x+1≥0．命题q：若a2＜b2，则a＜b，下列命题为真命题的是（）
A．p∧q B．p∧￢q C．￢p∧q D．￢p∧￢q
2．命题“∀x∈[0，+∞），sinx+x≥0”的否定是（）
A．∃x0∈（﹣∞，0），sinx0+x0＜0 B．∀x∈（﹣∞，0），sinx+x≥0
C．∃x0∈[0，+∞），sinx0+x0＜0 D．∃x0∈[0，+∞），sinx0+x0≥0
3．某程序框图如图所示，若运行该程序后输出S=（）
A．B．C．D．
4．已知某学校有1680名学生，现在采用系统抽样的方法抽取84人，调查
他们对学校食堂的满意程度，将1680人按1，2，3，…，1680随机编号，
则在抽取的84人中，编号落在[61，160]内的人数为（）A．7 B．5
C．3 D．4
5. 如下图所示的茎叶图记录了甲、乙两组各5名工人某日的产量数据（单位：
件）．若这两组数据的中位数相等，且平均值也相等，则x和y的值分别为
（）
A．3，5 B．5，5 C．3，7 D．5，7
6．某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学参加演讲比赛，那么互斥不对立的两个事件是（）
A．恰有1名男生与恰有2名女生B．至少有1名男生与全是男生
C ．至少有1名男生与至少有1名女生
D ．至少有1名男生与全是女生
7.在利用最小二乘法求回归方程9.5467.0^
+=x y 时，用到了如表中的5组数据，则表格a 中的值为（ ）A ．68 B ．70 C ．75
D ．72
8．在数字1、2、3、4中随机选两个数字，则选中的数字中至少有一个是偶数的概率为（ ）A ．
B ．
C ．
D ．
9．在[﹣2，2]上随机地取两个实数a ，b ，则事件“直线x+y=1与圆2)()(22=-+-b y a x 相交”发生的概率为（ ） A ．
B ．
C ．
D ．
10. 已知一组正数x 1，x 2，x 3，x 4的方差为s 2=（x 12+x 22+x 32+x 42﹣16），则数据x 1+3，x 2+3，x 3+3，x 4+3的平均数为（ ） A ．7
B ．6
C ．4
D ．5
11．设F 1，F 2是椭圆
+
=1的两个焦点，点M 在椭圆上，若△MF 1F 2是直角三角形，
则△MF 1F 2的面积等于（ ） A ．
B ．
C ．16
D ．
或16
12．从圆C ：（x ﹣3）2+（y+4）2=4外一点P （x ，y ）引该圆的一条切线，切点为Q ，切线的长度等于点P 到原点O 的长，则点P 轨迹方程为（ ）
A ．8x ﹣6y ﹣21=0
B ．6x ﹣8y ﹣21=0
C ．6x+8y ﹣21=0 D. 8x+6y ﹣21=0 13. 椭圆，过左焦点F 1的直线交椭圆与A ，B 两点，则△ABF 2的周长为（ ）
A ．32
B ．20
C ．16
D ．12
14.设p :
,q :
,若q 是p 的必要不充分条件,则实数的
取值范围是( ) A.
⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡1,21 B.
⎪⎭
⎫
⎝⎛1,21 C.
⎥⎦
⎤ ⎝⎛1,21 D.
⎪⎭
⎫⎢⎣⎡1,21
15．已知直线l 1：4x －3y ＋6＝0和直线l 2：x ＝－1，抛物线y 2＝4x 上一动点P 到直线l 1和直线l 2的距离之和的最小值是( )
A ．355
B ．2
C ．115
D ．3
16.设分别为具有公共焦点与的椭圆和双曲线的离心率，为两曲线的一个公共点，
且满足
21=∙PF ，则
的值为 ( )
A. B. 1 C. 2 D. 不确定
二、 填空题：（共4小题。

每小题5分，共20分。

）
17.某单位青年、中年、老年职员的人数之比为10∶8∶7，从中抽取200名职员作为样本，若每人被抽取的概率是0.2，则该单位青年职员的人数为_________.
18. 某射手的一次射击中，射中10环、9环、8环的概率分别为0.2、0.3、0.1，则此射手在一次射击中不超过8环的概率为_________ 19.已知命题p ：“至少存在一个实数，使不等式
成立”为真，则参
数的取值范围是_______．
20．P 是双曲线
22
1916
x y -=的右支上一点，,M N 分别是圆22(5)4x y ++=和22(5)1x y -+=上的点，则PM PN -的最大值等于 .
三、解答题：（共4小题，共50分。

）
21. （12分）已知命题p ：方程表示焦点在y 轴上的椭圆，命题q ：关于x
的方程x 2+2mx+2m+3=0无实根，若“p ∧q ”为假命题，“p ∨q ”为真命题，求实数m 的取值范围．
22．（12分）某校为了解高一学生周末的“阅读时间”，从高一年级中随机调查了100名学生进行调查，获得了每人的周末“阅读时间”（单位：小时），按照[0，0.5），[0.5，1），…，[4，4.5]分成9组，制成样本的频率分布直方图如图所示． （Ⅰ）求图中a 的值；
（Ⅱ）估计该校高一学生周末“阅读时间”的中位数；
（Ⅲ）在[1，1.5），[1.5，2）这两组中采用分层抽样抽取7人，再从7人中随机抽取2人，求抽取的两人恰好都在一组的概率．
23.（12分）某研究性学习小组对春季昼夜温差大小与某种花卉种子发芽多少间的关系进行研究，他们分别记录了3月1日至3月5日的每天昼夜温差与实验室每天每100颗种子浸泡后的发芽数，得到如下资料：
该学习小组确定的研究方案是：先从这样5组数据中选取3组求线性回归方程，剩下的2组数据用于回归方程的检验。

（1） 请根据3月2日至3月4日的数据，求出y 关于x 的回归方程；
（2） 若由线性回归方程得到的估计数据与所选的验证数据的误差均不超过2颗，则认为得到的线性回归方程是可靠的。

试问（1）所得的线性回归方程是否可靠？
（∑∑==-⋅-=n
i i
n
i i i x n x
y
x n y
x b
1
2
2
1
ˆ，x b y a
ˆˆ-=） 24．（14分）已知椭圆C 的中心在原点O ，焦点在x 轴上，离心率为1
2
，右焦点到右顶点的距离为1.
（1）求椭圆C 的标准方程；
（2）是否存在与椭圆C 交于,A B 两点的直线:()l y kx m k R =+∈，使得0OA OB ⋅=成立？若存在，求出实数m 的取值范围；若不存在，请说明理由.
高二数学（理科）试题答案
选择题：BCDBA AACDD DDCAB C
填空题：17. 400 18. 0.5 19. 20. 9
21. 解：∵方程
表示焦点在y 轴上的椭圆，
∴0＜m+1＜3﹣m ，解得：﹣1＜m ＜1，
若关于x 的方程x 2+2mx+2m+3=0无实根，则判别式△=4m 2﹣4（2m+3）＜0， 即m 2﹣2m ﹣3＜0，得﹣1＜m ＜3．
若“p ∧q ”为假命题，“p ∨q ”为真命题，则p ，q 为一个真命题，一个假命题， 若p 真q 假，则，此时无解， 柔p 假q 真，则
，得1≤m ＜3．
综上，实数m 的取值范围是[1，3）．
22.解：（Ⅰ）由题意，高一学生周末“阅读时间”在[0，0.5），[0.5， 1），…，[4，4.5]的概率分别为0.04，0.08，0.20.0.25.0.07，0. 04.0.02，
由1﹣（0.04+0.08+0.20+0.25+0.07+0.04+0.02）=0.5a+0.5a ，∴a=0.30； （Ⅱ）设该校高一学生周末“阅读时间”的中位数为m 小时，
因为前5组频率和为0.040.08+0.15+0.20+0.25=0.72＞0.5，前4组频率和为0.47＜0.5， 所以2≤m ＜2.5，
由0.50（m ﹣2）=0.5﹣0.47，得m=2.06；
（Ⅲ）在[1，1.5），[1.5，2）这两组中的人分别有15人、20人，采用分层抽样抽取7人，分别为3人、4人，再从7人中随机抽取2人，有
=21种，抽取的两人恰好都在一组，有
=9种，故所求概率为
．
23.（1）32
5
-=
∧
x y （2）所得线性回归方程是可靠的。

24.解：（1）设椭圆C 的方程为22221x y a b +=(0)a b >>，半焦距为c . 依题意得
1
2c e a ==，由右焦点到右顶点的距离为1，得1a c -=．解得1c =，2a =．所以222
3b a c =-=．所
以椭圆C 的标准方程是22
143x y +=．
（2）存在直线l ，使得0=⋅成立.理由如下：
由22
,
1,43y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得
222(34)84120k x kmx m +++-=． 则
∆222
(8)4(34)(412)0km k m ∆=-+->，化简得2234k m +>． 设1122(,),(,)A x y B x y ，则122834km
x x k +=-+，
212241234m x x k -=+． 若0OA OB ⋅=，则
12120x x y y +=，即1212()()0x x kx m kx m +++=，
即
22
1212(1)()0k x x km x x m ++++=， 所以22
2
22
4128(1)03434m km k km m k k -+⋅-⋅+=++,化简得2271212m k =+，即
22
7112k m =
-．
将
227112k m =
-代入2234k m +>中，得22734(1)12m m +->，解得
2
34m >． 又由
22
7121212m k =+≥，得2127m ≥
，从而m ≥
m ≤
所以实数m
的取值范围是
2
(,[21,)7-∞+∞．。