2014届高三第三次数学周练试题

江苏省启东中学2014届高三第三次数学周练试题
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．
1. 设a ∈R,则“a =1”是“直线l 1:ax +2y -1=0与直线l 2:x +(a +1)y +4=0平行”的 ____________条件
2. 若函数f(x)的定义域是［0,4］，则函数g(x)=
(2)
f x x
的定义域是 。

3．已知510o
角的始边在x 轴的非负半轴上，终边经过点(,2)P m ，则m = . 4．若直线经过点P(2,3)且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形，则直线的方程为 _ 5.在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为c b a ,,，若c A b B a 53cos cos =-，则tan tan A
B
= . 6．若“18a ≥
”是“对∀正实数x ，2a
x c x
+≥”的充要条件，则实数c = . 7．设(,2)αππ∈，若tan()26π
α+=，则cos(2)6π
α-的值为 .
8．已知正实数b a ,满足22log log 1a b +≥，则39a b +的最小值为________.
9．如图，在ABC V 中，AD AB ⊥,3BC =u u u r u u r
,
1AD =u u u r
,则AC AD =u u u r u u u r g 、
10．设()g x 是定义在R 上，以1为周期的函数，若()()f x x g x =+在[3,4]上的值域为
[2,5]-，则()f x 在区间[10,10]-上的值域为 。

11．在平面直角坐标系xOy 中，圆C ：x 2＋y 2＝4分别交x 轴正半轴及y 轴负半轴于M 、N 两点，点P 为圆C 上任意一点，则PM →·PN →
的最大值为____________． 12.已知平面向量,(0,)αβααβ≠≠满足1β=，且α与βα-的夹角为120°
，则α的取值范围是__________________ .
13．定义在R 上的函数()f x 满足0)()23
(=++x f x f 且)4
3(-=x f y 为奇函数．给出下列
命题：⑴函数()f x 的最小正周期为32
；⑵函数()y f x =的图象关于点)0,4
3
(
对称； ⑶函数()y f x =的图象关于y 轴对称．其中真命题有 ．（填序号） 14．图为函数)10()(<<=
x x x f 的图象，其在点))(,(t f t M 处的切线为l l ,与y 轴和
直线1=y 分别交于点Q P ,，点()1,0N ，若PQN ∆的面积为b 时的点M 恰好有两个，则实数b 的取值范围为 .
二、解答题：本大题共6小题，共计90分．
15. 已知向量3(sin ,),(cos ,1)4a x b x ==-r r
.
(1）当//a b r r 时，求2
cos sin 2x x -的值；
(2）设函数()2()f x a b b =+⋅r r r
，已知在△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别为a b c 、、，若
36sin ,2,3=
==B b a ,求()⎪⎭⎫ ⎝
⎛++62cos 4πA x f (0,3x π⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦)的取值范围.
16、已知函数b ax ax x g ++-=12)(2
（0>a ）在区间]3,2[上有最大值4和最小值1．
设x
x g x f )
()(=
． （1）求a 、b 的值； （2）若不等式02)2(≥⋅-x
x
k f 在]1,1[-∈x 上有解，求实数k 的取值范围.
y x
O
P M
Q
N
17
．已知函数)
()2cos sin 2
22
x
x x f x =-．
（1）设ππ22θ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦
，
，且()1f θ=，求θ的值； （2）在△ABC 中，AB=1
，()1f C =，且△ABC
，求sinA+sinB 的值．
18、某工厂生产一种仪器的元件，由于受生产能力和技术水平的限制，会产生一些次品，根据经验知道，其次品率P 与日产量x （万件）之间大体满足关系：
1
,1,62,3
x c x
P x c ⎧≤≤⎪⎪-=⎨⎪>⎪⎩（其中c 为小于6的正常数）
（注：次品率=次品数/生产量，如0.1P =表示每生产10件产品，有1件为次品，其余为合格品）
已知每生产1万件合格的仪器可以盈利2万元，但每生产1万件次品将亏损1万元，故厂方希望定出合适的日产量.
（1）试将生产这种仪器的元件每天的盈利额T （万元）表示为日产量x （万件）的函数； （2）当日产量为多少时，可获得最大利润？
19. 已知函数()42
x x
n g x -=是奇函数，()()4log 41x
f x mx =++是偶函数. （1）求m n +的值； （2）设()()1
,2
h x f x x =+
若()()4log 21g x h a >+⎡⎤⎣⎦对任意1x ≥恒成立，求实数a 的取值范围.
20．已知函数)(x f =)(1ln R a x ax ∈+-，x
xe x g -=1)(.
(1)求函数)(x g 在区间],0(e 上的值域；
(2)是否存在实数a ，对任意给定的],0(0e x ∈，在区间],1[e 上都存在两个不同的
)2,1(=i x i ，使得)()(0x g x f i =成立.若存在，求出a 的取值范围；若不存在，请说明理
由；
(3)给出如下定义：对于函数)(F x y =图象上任意不同的两点),(),,(2211y x B y x A ，如果
对于函数)(F x y =图象上的点),(00y x M （其中)2
2
10x x x +=总能使得))((F )(F )(F 21021x x x x x -'=-成立，则称函数具备性质“L ”，试判断函数)(x f 是不是具备性质“L ”，并说明理由.
江苏省启东中学2014届高三第三次数学周练试题答案
1．充分不必要条件 2． (0,2］ 3． 23- 4．01=+-y x 或05=-+y x 5．4 6． 1 7．
5
4
8． 18 9．3 10．[15,11]- 11．4＋42 12． (0,2√3/3)
13．（2）（3） 14． ⎪⎭
⎫
⎝⎛278,41 15．解（1）33
//,cos sin 0,tan 44
a b x x x ∴+=∴=-r r Q
22
222cos 2sin cos 12tan 8
cos sin 2sin cos 1tan 5
x x x x x x x x x ---===++
(2）()2()2sin(2)4f x a b b x π=+⋅=+r r r +3
2
由正弦定理得
2sin ,,sin sin 4
a b A A A B π===可得所以 ()⎪⎭⎫ ⎝
⎛++62cos 4πA x f =2sin(2)4x π+12-,0,3x π⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦Q 112,4412x πππ⎡⎤∴+∈⎢⎥⎣⎦, 所以
()21262cos 4123-≤⎪⎭⎫ ⎝
⎛
++≤-πA x f 16、解：（1）a b x a x g -++-=1)1()(2
，
因为0>a ，所以)(x g 在区间]3,2[上是增函数，故⎩⎨
⎧==4
)3(1
)2(g g ，解得⎩⎨⎧==01b a ． ….6分
（2）由已知可得21
)(-+
=x
x x f ， 所以02)2(≥⋅-x x k f 可化为x
x x k 222
12⋅≥-+，
化为k x x ≥⋅-⎪⎭
⎫ ⎝⎛+2122112
，令x t 21=，则122
+-≤t t k ，因]1,1[-∈x ，故⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,21t ，
记=)(t h 122
+-t t ，因为⎥⎦
⎤
⎢
⎣⎡∈1,21t ，故1)(max =t h ， 所以k 的取值范围是]1,(-∞． ………14分 17．解：（1
）2
()2sin cos 222
x x x
f x =-
cos )sin x x +-=(
)
π2cos 6x +．
由(
)π2cos 16x +，得()
π1cos 62x +=，于是ππ
2π()63
x k k +=±∈Z ，因为
ππ22x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，，所以ππ26
x =-或． （2）因为(0π)C ∈，，由（1）知π
6
C =
． 因为△ABC 的面积
为，所
以
1πsin 26ab =
，于是ab =①．在△ABC 中，设内角A 、B 的对边分别是a ，b ．由
余弦定理得2222π
12cos
66
a b ab a b =+-=+-，所以227a b += ② 由①②可
得2a b =⎧⎪⎨⎪⎩，
或 2.a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩ 于
是2a b +=．由正弦定理得
sin sin sin 112
A B C a b ===，所以(
)1sin sin 12A B a b +=+=+
18、解：（1）当x c >时，23P =
，12
21033
T x x ∴=⋅-⋅= 当1x c ≤≤时，1
6P x
=-，21192(1)2()1666x x T x x x x x -∴=-⋅⋅-⋅⋅=--- 综上，日盈利额T （万元）与日产量x （万件）的函数关系为：
2
92,160,x x x c T x
x c ⎧-≤≤⎪
=-⎨⎪>⎩
（2）由（1）知，当x c >时，每天的盈利额为0
当1x c ≤≤时，2926x x T x -=-9
152[(6)]6x x
=--+-15123≤-=
当且仅当3x =时取等号
所以()i 当36c ≤<时，max 3T =，此时3x =
()ii 当13c ≤<时，由222
224542(3)(9)
(6)(6)x x x x T x x -+--'==--知
函数2926x x T x -=-在[1,3]上递增，2
max 926c c T c
-∴=-，此时x c =
综上，若36c ≤<，则当日产量为3万件时，可获得最大利润
若13c ≤<，则当日产量为c 万件时，可获得最大利润 19.解：（1）由于()g x 为奇函数，且定义域为R ，
()00g ∴=，即004012
n
n -=⇒=，
由于()()
4log 41x f x mx =++，
()()()()44log 41log 411x x f x mx m x -∴-=+-=+-+，
()f x Q 是偶函数，()()f x f x ∴-=，得到1
2
m =-，
所以：1
2
m n +=；
（2）()()()41log 412x
h x f x x =+=+Q ，()()44log 21log 22h a a ∴+=+⎡⎤⎣⎦， 又()41
222
x x x x
g x --==-在区间[1,)+∞上是增函数，所以当1x ≥时，()()min 312
g x g ==
由题意得到3
2224
121032220
a a a a ⎧+<⎪⎪
+>⇔-<<⎨⎪+>⎪⎩
，
即a 的取值范围是：1
{|3}2a a -
<< 20．解：(Ⅰ))1()(111x e xe e x g x
x x -=-='---Θ在区间]1,0(上单调递增，在区间),1[e 上
单调递减,且0)(,1)1(,0)0(2>===-e
e
e g g g 的值域为]1,0( （Ⅱ）令)(x g m =，则由(Ⅰ)可得]1,0(∈m ，原问题等价于：对任意的]1,0(∈m m x
f =)(在],1[e 上总有两个不同的实根，故)(x f 在],1[e 不可能是单调函数
)1(1
)(e x x
a x f ≤≤-='Θ
当0≤a 时, 01
)(<-='x
a x f ,在区间],1[e 上递减，不合题意
当1≥a 时,0)(>'x f ,在区间],1[e 上单调递增，不合题意
当e a 1
0≤<时, 0)(<'x f ,在区间],1[e 上单调递减，不合题意
当e a <<11即11<<a e 时, 在区间]1,1[a 上单调递减;在区间],1
[e a 上单递增，由上
可得)1,1(e a ∈，此时必有)(x f 的最小值小于等于0 而由0
ln 2)1
()(min ≤+==a a f x f 可得21
e
a ≤，则Φ∈a
综上，满足条件的a 不存在. （Ⅲ）设函数)(x f 具备性质“L ”，即在点M 处的切线斜率等于AB k ，不妨设210x x <<，
则2
12
12121212121ln ln )ln (ln )(x x x x a x x x x x x a x x y y k AB ---=----=--=，而)(x f 在点M 处的
切线斜率为2
12102
)2()(x x a x x f x f +-=+'='， 故有
2
121212
ln ln x x x x x x +=--
即1)
1(
2)(2ln
2
121
2
12121+-=+-=x x x x x x x x x x ，令)1,0(21∈=x x t ，则上式化为0214
ln =-++t t ，
令=)(t F 214
ln -++t t ，则由0)
1()1()1(41)(22>+-=+-='t t t t t t F 可得)(t F 在)1,0(上单
调递增，故0)1()(=<F t F ，即方程021
4
ln =-++t t 无解，所以函数)(x f 不具备性质
“L ”.。