数学模型之SIR数学模型
合集下载
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
0
消去dt
相轨线 i ( s) 的定义域
D {( s, i ) s 0, i 0, s i 1}
i
1
在D内作相轨线 i ( s) 的图形，进行分析
0
D
s
1
模型4
相轨线
i(s)及其分析
数学模型 SIR模型
i di 1 di dt si i 1 s 1 1 i ( s ) ( s i ) s ln 0 0 ds s s0 ds si i s s i0 dt D P4 i (0) i0 , s (0) s0 P2
s s0 i0 s ln 0 s0
x x(1 2 )0 s0 2s0 x<<s0
x 2s0 ( s0 1
1
)
s0
s
s0 - 1/ = 小, s0 1
x 2
提高阈值1/降低被传 染人数比例 x
0
s(t)单调减相轨线的方向
im
s 1 / , i im t , i 0
s s满足 s0 i0 s ln 0 s0 1
0
P1
P3
s
S0
1 / s0
1 s
P1: s0>1/ i(t)先升后降至0 P2: s0<1/ i(t)单调降至0
数学模型
模型4
传染病有免疫性——病人治愈后即 移出感染系统，称移出者
SIR模型
【模型假设】
1）总人数N不变，病人、健康人和移出者的 比例分别为
i(t ), s(t ), r (t )
2）病人的日接触率 , 日治愈率, 接触数 = /
【模型构成】
s(t ) i(t ) r (t ) 1
的估计
s s0 i0 s ln 0 s0 1
忽略i0
ln s0 ln s s0 s
数学模型
模型4
1
被传染人数的估计
SIR模型
x x ln(1 ) 0 s0
i
P1 0 s 1 /
记被传染人数比例
x s0 s
1
i0 0, s0 1
无法求出
i(t ), s(t )
的解析解
在相平面
s ~上 i
i0 s0 1 (通常r (0) r0很小）
研究解的性质
数学模型 SIR模型
1 di di / 1 si i dt ds s i s s i0 ds si dt 相轨线 i (0) i0 , s (0) s0 1 s i ( s ) ( s0 i0 ) s ln s0
必须区分已感染者(病人)和 未感染者(健康人)
若有效接触的是病人，则不 能使病人数增加
数学模型
模型2
区分已感染者(病人)和未感染者(健康人)
【模型假设】
1）总人数N不变，病人和健康 人的 比例分别为 SI 模型
i(t ), s(t )
2）每个病人每天有效接触人数为, 且使接触的健康人致病
~日
接触率
【模型构成】
N[i(t t ) i(t )] [s(t )]Ni (t )t di di si i (1 i ) dt dt s(t ) i(t ) 1 i (0) i0
模型2
i 1
数学模型
di i (1 i ) dt i (0) i0
i0
0
1-1/
1 i
i0
0
t
0
t
1 i0 小
1 1 , 1 i ( ) 1 0,
接触数 =1 ~ 阈值
1 i (t )
i(t )按S形曲线增长
感染期内有效接触感染的健康者人 数不超过病人数
模型2(SI模型)如何看作模型3(SIS模型)的特例
需建立
i(t ), s(t ), r ( t) 的两个方程
数学模型
模型4
SIR模型
N[i(t t ) i(t )] Ns(t )i(t )t Ni(t )t
N[ s(t t ) s(t )] Ns(t )i(t )t
di d t si i ds si dt i (0) i0 , s (0) s0
• 按照传播过程的一般规律，用机 理分析方法建立模型
数学模型
模型1
已感染人数 (病人) i(t)
【模型假设】
• 每个病人每天有效接触(足以使人致病)人数为
【模型构成】
i(t t ) i(t ) i(t )t di t i (t ) i0 e i dt t i ? i (0) i0
~ 日接触率
1/ ~感染期
/
~ 一个感染期内每个病人的有效
接触人数，称为接触数。
数学模型
模型3
di/dt
di i (1 i ) i / dt
i
di 1 i[i (1 )] dt
i
>1
i0
1-1/
>1
1
di/dt < 0
传染病蔓延 传染病不蔓延
1/~ 阈值
模型4
预ห้องสมุดไป่ตู้传染病蔓延的手段
数学模型 SIR模型
传染病不蔓延的条件——s0<1/ • 提高阈值 1/ 降低 (=/)
,
(日接触率) 卫生水平 (日治愈率) 医疗水平
• 降低 s0 提高 r0 群体免疫
s0 i0 r0 1
数学模型
动态 模型
• 描述对象特征随时间(空间)的演变过程
• 分析对象特征的变化规律
• 预报对象特征的未来性态
• 研究控制对象特征的手段
微分 方程 建模
• 根据函数及其变化率之间的关系确定函数 • 根据建模目的和问题分析作出简化假设 • 按照内在规律或用类比法建立微分方程
数学模型
传染病模型
问题
• 描述传染病的传播过程 • 分析受感染人数的变化规律 • 预报传染病高潮到来的时刻 • 预防传染病蔓延的手段
Logistic 模型
i (t )
1 1 t 1 i 1 e 0
1
1/2 i0 0 tm t
t=tm, di/dt 最大
tm~传染病高潮到来时刻
1 t m ln i 1 0
t i 1 ?
病人可以治愈！
(日接触率) tm
数学模型
模型3
增加假设
传染病无免疫性——病人治愈成为健 康人，健康人可再次被感染
3）病人每天治愈的比例为
SIS 模型
~日治愈率
【模型构成】
N[i(t t ) i(t )] Ns(t )i(t )t Ni(t )t
di i (1 i ) i dt i (0) i0
消去dt
相轨线 i ( s) 的定义域
D {( s, i ) s 0, i 0, s i 1}
i
1
在D内作相轨线 i ( s) 的图形，进行分析
0
D
s
1
模型4
相轨线
i(s)及其分析
数学模型 SIR模型
i di 1 di dt si i 1 s 1 1 i ( s ) ( s i ) s ln 0 0 ds s s0 ds si i s s i0 dt D P4 i (0) i0 , s (0) s0 P2
s s0 i0 s ln 0 s0
x x(1 2 )0 s0 2s0 x<<s0
x 2s0 ( s0 1
1
)
s0
s
s0 - 1/ = 小, s0 1
x 2
提高阈值1/降低被传 染人数比例 x
0
s(t)单调减相轨线的方向
im
s 1 / , i im t , i 0
s s满足 s0 i0 s ln 0 s0 1
0
P1
P3
s
S0
1 / s0
1 s
P1: s0>1/ i(t)先升后降至0 P2: s0<1/ i(t)单调降至0
数学模型
模型4
传染病有免疫性——病人治愈后即 移出感染系统，称移出者
SIR模型
【模型假设】
1）总人数N不变，病人、健康人和移出者的 比例分别为
i(t ), s(t ), r (t )
2）病人的日接触率 , 日治愈率, 接触数 = /
【模型构成】
s(t ) i(t ) r (t ) 1
的估计
s s0 i0 s ln 0 s0 1
忽略i0
ln s0 ln s s0 s
数学模型
模型4
1
被传染人数的估计
SIR模型
x x ln(1 ) 0 s0
i
P1 0 s 1 /
记被传染人数比例
x s0 s
1
i0 0, s0 1
无法求出
i(t ), s(t )
的解析解
在相平面
s ~上 i
i0 s0 1 (通常r (0) r0很小）
研究解的性质
数学模型 SIR模型
1 di di / 1 si i dt ds s i s s i0 ds si dt 相轨线 i (0) i0 , s (0) s0 1 s i ( s ) ( s0 i0 ) s ln s0
必须区分已感染者(病人)和 未感染者(健康人)
若有效接触的是病人，则不 能使病人数增加
数学模型
模型2
区分已感染者(病人)和未感染者(健康人)
【模型假设】
1）总人数N不变，病人和健康 人的 比例分别为 SI 模型
i(t ), s(t )
2）每个病人每天有效接触人数为, 且使接触的健康人致病
~日
接触率
【模型构成】
N[i(t t ) i(t )] [s(t )]Ni (t )t di di si i (1 i ) dt dt s(t ) i(t ) 1 i (0) i0
模型2
i 1
数学模型
di i (1 i ) dt i (0) i0
i0
0
1-1/
1 i
i0
0
t
0
t
1 i0 小
1 1 , 1 i ( ) 1 0,
接触数 =1 ~ 阈值
1 i (t )
i(t )按S形曲线增长
感染期内有效接触感染的健康者人 数不超过病人数
模型2(SI模型)如何看作模型3(SIS模型)的特例
需建立
i(t ), s(t ), r ( t) 的两个方程
数学模型
模型4
SIR模型
N[i(t t ) i(t )] Ns(t )i(t )t Ni(t )t
N[ s(t t ) s(t )] Ns(t )i(t )t
di d t si i ds si dt i (0) i0 , s (0) s0
• 按照传播过程的一般规律，用机 理分析方法建立模型
数学模型
模型1
已感染人数 (病人) i(t)
【模型假设】
• 每个病人每天有效接触(足以使人致病)人数为
【模型构成】
i(t t ) i(t ) i(t )t di t i (t ) i0 e i dt t i ? i (0) i0
~ 日接触率
1/ ~感染期
/
~ 一个感染期内每个病人的有效
接触人数，称为接触数。
数学模型
模型3
di/dt
di i (1 i ) i / dt
i
di 1 i[i (1 )] dt
i
>1
i0
1-1/
>1
1
di/dt < 0
传染病蔓延 传染病不蔓延
1/~ 阈值
模型4
预ห้องสมุดไป่ตู้传染病蔓延的手段
数学模型 SIR模型
传染病不蔓延的条件——s0<1/ • 提高阈值 1/ 降低 (=/)
,
(日接触率) 卫生水平 (日治愈率) 医疗水平
• 降低 s0 提高 r0 群体免疫
s0 i0 r0 1
数学模型
动态 模型
• 描述对象特征随时间(空间)的演变过程
• 分析对象特征的变化规律
• 预报对象特征的未来性态
• 研究控制对象特征的手段
微分 方程 建模
• 根据函数及其变化率之间的关系确定函数 • 根据建模目的和问题分析作出简化假设 • 按照内在规律或用类比法建立微分方程
数学模型
传染病模型
问题
• 描述传染病的传播过程 • 分析受感染人数的变化规律 • 预报传染病高潮到来的时刻 • 预防传染病蔓延的手段
Logistic 模型
i (t )
1 1 t 1 i 1 e 0
1
1/2 i0 0 tm t
t=tm, di/dt 最大
tm~传染病高潮到来时刻
1 t m ln i 1 0
t i 1 ?
病人可以治愈！
(日接触率) tm
数学模型
模型3
增加假设
传染病无免疫性——病人治愈成为健 康人，健康人可再次被感染
3）病人每天治愈的比例为
SIS 模型
~日治愈率
【模型构成】
N[i(t t ) i(t )] Ns(t )i(t )t Ni(t )t
di i (1 i ) i dt i (0) i0