世界奥利匹克数学竞赛 第14届地方初赛9年级B卷答案

九年级初赛B 卷答案
一、选择题（每小题4分，共40分）
1.C
2.A
3.D
4.D
5.B
6.B
7.B
8.A
9.B 10.A
5.y =2x 2－（m 2+1）x +2m 2－1=2x 2－m 2x －x +2m 2－1=2x 2－x －1+(2－x)m 2，∵不论m 取何值，抛物线恒过定点P ，∴x -2=0，当x =2时，y =5，∴P 的坐标为（2，5）．
6.在平移后的图形中，设AC 交A ′B ′于H ，∵∠A =45°，∠D =90°，
△A ′HA 是等腰直角三角形，AA ′=x ，则阴影部分的底边长为x ，高
A ′D =2－x ，x •（2－x ）=1，解得x =1，∴AA ′=1cm ．
7.根据题意得Δ=（2k -1）2-4（k 2+1）≥0，解得k ≤43-，1221-=+k x x ，1221+=k x x ，所以)1(2)12(2)(2221221222
1+--=-+=+k k x x x x x x 3)1(22--=k ，当4
3-=k 时，2221x x +有最小值，最小值为8
25．8.如图所示，过点R （幼儿园）作RB ⊥AC （公路），由题意可得，RB =3km ，
AR=RC=5km ，则AB=BC =4km ，则幼儿园学生受拖拉机噪音影响持续
的时间约为：8÷20=0.4（h ）．
10.在直线解析式y =3-x +3中，令x =0，得y =3；令y =0，得x =1．∴A （1，0），B （0，3），OA =1，OB =3．∴AB =2，∴∠ABO =30°．∵EG ∥OA ，∴∠EFB =∠OAB =60°．设EF =t ，∵四边形ADEF 是菱形，∴EF =DE =AD =t ．由DE =2OD ，OD =1－t ，即：t =2（1－t ），解得：t =
32．∴t =32时，此时BE =332，则E （0，33），G （2，3
3），设直线BG 的解析式为：y =kx +b ，将（0，3），（2，33）代入得：⎪⎩⎪⎨⎧==+3332b b k ，解得：⎪⎩⎪⎨⎧=-=3
33b k ，故直线BG 的解析式为：y=33-x +3，当x =1时，y =332，即M 点坐标为；（1，3
32），故设抛物线的解析式为y =a （x －1）2+332，将（0，33）代入得：a =33-，则a 、h 的值分别为：3
3-，332．二、填空题（每小题5分，共30分）
11.－312.113.x 2－x －20=014.515.－1≤t ＜816.8
14.作FG ⊥AC ，根据旋转的性质，EC =BC =4，DC =AC =6，∠ACD =∠ACB =90°，∵点F 是DE 的中点，FG ∥CD ，∴GF =21CD =21AC =3，EG =21EC =2
1BC =2，∵AC =6，EC =BC =4，∴AE =2，∴AG =4，由勾股定理得AF =5．
15.由对称轴为直线x =1，求得b =－2，二次函数解析式为y =x 2－2x ，当x =－1时，
y =1+2=3；当x =4时，y =16－2×4=8．∵x 2+bx=t 的解相当于二次函数y =x 2+bx 与
直线y =t 的交点的横坐标，且当x =1时，抛物线可取最小值－1，∴当－1≤t ＜8时，
在－1＜x ＜4的范围内有解．
16.以点O 为原点，AB 所在直线为x 轴建立直角坐标系（如图），则M （0，5），
B （2，0），
C （1，0），
D （
2
3，0），设抛物线的解析式为y =ax 2+k ，抛物线过点M 和点B ，则k =5，a =45-．∴抛物线解析式为：y =4
5-x 2+5；∴当x =1时，y =415；当x =23时，y =1635．∴P （1，415），Q （23，1635）在抛物线上；设竖直摆放圆柱形桶m 个时网球可以落入桶内，由题意，得
1635≤103m ≤415，解得：2477≤m ≤2
112；∵m 为整数，∴m 的最小整数值为8，∴竖直摆放圆柱形桶至少8个时，网球可以落入桶内．
三、解答题（共5小题，共50分）
17.解：将x =－1代入x 2+x +m 2-2m =0中整理可得m （m -2）=0，解得01=m ，22=m ；
又121-=+x x ，∴112-=+-x ，解得02=x ，故方程的另一个实数根是0，m 的值是0或2．
18.解：（1）∵x 2≥0，∴x 2－1≥－1，∴x 2－1＞－2，∴min {x 2－1，－2}=－2；
（2）∵x 2－5x+k =（x －25）2+k －425，∴（x －25）2+k －425≥k －4
25．∵min{x 2－5x+k ，－3}=－3，∴k －425≥－3，∴k ≥4
13．19.解：（1）∵矩形COAB 绕点C 顺时针旋转60度的角，得到矩形CFED ，∴∠BCD =60°，CB=CD ，
∴△CBD 为等边三角形；
（2）∵A （0，4）、C （8，0），∴OA=BC=4，OC=AB=8，设AH=HC=x ，则BH=8－x ，CB=4，在Rt △CBH 中，∵CH 2=BH 2+BC 2，∴x 2=（8－x ）2+42，解得x=5，∴H 点的坐标为（5，4），
设直线FC 的解析式为y=kx+b ，把C （8，0）、H （5，4）代入得⎩⎨⎧=+=+0845b k b k ，解得⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧=-=332
34b k ，∴直线FC 的解析式为3
3234+-=x y ．20.解：（1）若设该游轮每晚获利10000元，票价为x 元，则（x －30）[600－10（x －40）]=10000，∴x 2－130x +4000=0，（x －50）（x －80）=0，x 1=50，x 2=80；
答：设若该游轮每晚获利10000元，票价为50元或80元．
（2）设票价为m 元，利润为W 元，由题意可得⎩⎨⎧≥-≥560
)40(1060042m -m ，解得42≤m ≤44．
W =（m －30）[600－10（m －40）]=－10m 2+1300m －30000=－10(m 2－130m )－30000=－10（m －65）2+12250，当42≤m ≤44时，W 随m 的增大而增大，∴m =44时，W 最大=7840．
答：票价定为44元时，才能使每晚获得最大的利润，最大利润为7840元．
21.解：（1）∵抛物线y =ax 2+bx +8经过点A （－6，0），B （4，0），∴⎩⎨⎧=++=+-0841608636b a b a ，解得⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧-=-=32
31b a ，∴抛物线的解析式是：y =－31x 2－3
2x +8
；
（2）如图①，作DM ⊥抛物线的对称轴于点M ，设G 点的坐标为（－1，n ），由翻折的性质可得，BD =DG ，∵B （4，0），C （0，8），点D 为BC 的中点，∴点D 的坐标是（2，4），点M 的坐标是（－1，4），DM =2－（－1）=3，∵B （4，0），C （0，8），∴BC =2284+=54，∴BD =52，在Rt △GDM 中，32+（4－n ）2=20，解得n =411±，∴G 点的坐标为（－1，411+）或（－1，411-）；
（3）抛物线y =ax 2+bx +8的对称轴上存在点F （－1，4），使得四边形CDEF 为平行四边形．
提示：如图②，由（1）、（2）可得点C 的坐标是（0，8），点D 的坐标是（2，4），设点E 的坐标是（c ，0），点F 的坐标是（－1，d ），由四边形CDEF 为平行四边形可得CD 平行且等于EF ，线段EF 可看成是由线段CD 平移得来的，点F 和点E 分别是由点C 和点D 平移得来的，因为0=C x ，1-=F x ，4=D y ，0=E y ，所以线段EF 可看成是由线段CD 先向左平移1个单位，再向下平移4个单位得来的，由平移的性质可得d =8－4=4，c =2－1=1，∴点F 的坐标是（－1，4），点E 的坐标是（1，0）．。