最新冀教版九年级数学上册精品课件28.4垂径定理

• 第四级
它的主桥是圆•弧第形五级,它的跨度(弧所对的弦的长)为37.4 m,拱高
(弧的中点到弦的距离)为7.2 m
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C
AD •单12在•击A第图B•此二中第处级三A12编级B=辑3377母.4.4m版，文1C8本D.7=样7.2式m，（mA）, R • 第四级
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·O
E
A
B
4
D
单击此处编母版标题样式 C
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弧• ：第弧二A级C=弧BC，弧AD=弧BD
• 第三级
• 第四级 • 第五级
·O
E
A
B
D
把圆沿着直径CD折叠时，CD两侧的两个半圆重合，
点A与点B重合，AE与BE重合，弧AC、弧AD分别与弧
BC、弧BD 重合．
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垂径定理及其应用 问垂•题足单1为•击如E第．图此二，处级A编B是辑⊙母O版的一文条本弦样，式做直径CD，使CD⊥AB，
（1）圆是• 轴第对三级称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？ • 第四级
（2）你能发现图• 中第五有级哪些相等的线段和弧？为什么？
C
（1）圆是轴对称图形．直径
CD所在的直线是它的对称轴 （2） 线段： AE=BE
• 第五级
∴四边形ADOE为矩形，AE

1 2
AC，AD

1 2
AB
又 ∵AC=AB，
C
∴ AE=AD. ∴ 四边形ADOE为正方形.
E
·O
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A 15 D
B
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垂• 单径击定理此及处其编逆辑定母理版文本样式
• 第二级
直径平分弦
直径•垂第直三于级 弦=>
• 第四级 • 第五级
（4）这条直线平分不是直径的弦所对 的劣弧
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单解决击求赵此州桥处拱编半径母的问版题：标题样式
如图，用弧AB表示主桥拱，设弧AB所在圆的圆心为O，半径
•为单R．击经此过处圆编心辑O作母弦版AB文的本垂样线式OC，D为垂足，OC与弧AB相
交于• 点第C二.根级据前面的结论可知，D是弦AB的中点，C是弧AB 的中点•，第C三D就级 是拱高．
平分• 第弦二所级对的两条弧。”是真命题吗?若是，请证明；若
不是请•举第出三反级 例.
• 第四级
C
• 第五级
∵ CD是直径， AE=BE
·O
∴ CD⊥AB,
⌒ ⌒⌒ ⌒
AC =BC, AD =BD.
AE
B
D
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（1）如何证明？
• 已单知击：此如处图编，C辑D母是⊙版O文的本直样径式，AB为弦，且AE=BE.
D O
B
OD=• O第C五－级 CD=R－7.2
在Rt△OAD中，由勾股定理，得
OA2=AD2+OD2 即 R2=18.72+（R－7.2）2
解得R≈27.9.
因此，赵州桥的主桥拱半径约为27.9 m.
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垂径定理的推论
•问单题击命此题处：编“平辑分母弦版（文不本是样直径式）的直径垂直于弦,并且
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2．如图，在⊙O中，AB、AC为互相垂直且相等的两条弦，
OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，求证：四边形ADOE是正方形．
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证明•：第OE二级AC OD AB AB AC
•OE第A•三第级9四0级 EAD 90 ODA 90
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单AE=击BE，此弧A处D=弧编BD母，弧版AC标=弧B题C 样式 C
即直径CD平分弦AB，并且平分弧AB及弧ACB
•由单此击，此我处们得编到辑下母面版的文定本理：样式
垂•直第于二弦级的直径平分这条弦，并
• 第三级
且平分弦•所第对四级的两条弧．
• 第五级
我们还可以得到结论：
·O
E
A
B
D
平分这条弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦
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• 单•击第此二处级 编辑2母8.版4文垂本样径式定理
• 第三级
• 第四级 • 第五级
导入新课
讲授新课
当堂练习
课堂小结
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1.复习• 第并•二巩第级固三圆级 心角和圆周角的相关知识. 2.理解并掌握• 第垂四• 径级第五定级理及其推论的推导过程. (重点) 3.能够运用垂径定理及其推论解决实际问题.（难点）
•距单离击为此3 c处m编，求辑⊙母O版的文半径本．样式
• 第二级 解： • 第作三O级E AB于点E，
A
E
B
AE•第1四• A级第B五级 1 8 4.
2
2
·
O
在Rt△AOE中，
AO2 OE2 AE2
AO OE2 AE2 = 32 +42 =5cm
答：⊙O的半径为5 cm.
• 第四级
（3）平分弦 • 第五级 （4）平分弦所对的优弧 （5）平分弦所对的劣弧
上述五个条件中的任何两个条件都可以推出其他三个结论
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• 第二级
求证：• C第D•三⊥第级四A级B，且A⌒D=B⌒D,
• 第五级
A⌒C
⌒ =BC
C
证明：连接OA，OB，则OA=OB
∵ AE=BE
∴ CD⊥AB，∠AOD=∠BOD.
∴ A⌒D=B⌒D, A⌒C =B⌒C
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·O
AE
B
D
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平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平分弦所对
直径平分弦所对的弧
直径垂直于弦
直径平分弦（不是直径）=>
直径平分弦所对的弧
直径平分弧所对的弦
直径平分弧 => 直径垂直于弧所对的弦
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根据垂径定理与推论可知对于一个圆和一条直线来说。如果 具备
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（1）•过第圆二心级 （2）垂直• 于第弦三级
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2
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问题 赵州桥的半径是多少？
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• 第二级
• 第三级
• 第四级 • 第五级
它的主桥是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37.4 m,拱
高(弧的中点到弦的距离)为7.2 m，你能求出赵州桥主桥拱
的半径吗？
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所对的两条弧．
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这个定理也叫垂径定理， 利用这个定理，你能平分
一条弧吗？
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垂径定理的本质是:
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• 第二级
（1）一条直线过圆心
• 第三级
满足其中• 任第四两级
（2）这条直线垂直于弦
条，必定同时• 第五级（3）这条直线平分不是直径的弦
满足另三条
• 单的击两此条弧处.编辑母版文本样式
• 第二级 （2）“• 不第是三级直径”这个条件能去掉吗？如果不能，请举
出反例.
• 第四级 • 第五级
C
A ·O
B
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D
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① CD是直径, ② CD⊥AB, ③ AM=BM
• ④单•A击⌒C第=此二B⌒C处级, 编辑母⑤版文A⌒D本=B样⌒D式.
A
B
└
M ●O
• 第三级
• 第四级
D
如果具备上面•五第个五级条件中的任何两个，那么一定可以得
到其他三个结论吗？
一条直线满足:(1)过圆心;(2)垂直于弦;(3)平分弦（不是直径）;
(4)平分弦所对优弧;(5)平分弦所对的劣弧.
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1．如图，在⊙O中，弦AB的长为8 cm，圆心O到弦AB的