2021年考研数学真题答案(数一)

2015年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题答案
一、选择题:1～8小题，每题4分，共32分.以下每题给出的四个选项中，只有一个选项符合 题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．
指定位置上. 一、设函数()f x 在∞∞（-,+）持续，其2阶导函数()f x ''的图形如以下图所示，那么曲线()y f x =的拐点个数为（）
（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3 【答案】(C) 【考点】拐点的概念 【难易度】★★
【详解】拐点出此刻二阶导数等于0，或二阶导数不存在的点上，而且在这点的左右双侧二阶导数异号，因此，由()f x ''的图形可知，曲线()y f x =存在两个拐点，应选(C). 二、设21123x x y e x e ⎛⎫
=
+- ⎪⎝
⎭是二阶常系数非齐次线性微分方程x y ay by ce "+'+=的一个特解，那么（） （A ）3,1, 1.a b c =-=-=- （B ）3,2, 1.
a b c ===-
（C ）3,2, 1.a b c =-== （D ）3,2, 1.a b c === 【答案】(A)
【考点】常系数非齐次线性微分方程的解法 【难易度】★★ 【详解】
211,23
x x
e e -为齐次方程的解，因此二、1为特点方程2+0a b λλ+=的根，从而()123,122,a b =-+=-=⨯=再将特解x y xe =代入方程32x y y y ce "-'+=得： 1.c =-
3、假设级数
1
n n a ∞=∑条件收敛，那么x =3x =依次为幂级数()1
1n
n n na x ∞
=-∑的：
（A ）收敛点，收敛点 （B ）收敛点，发散点
（C ）发散点，收敛点 （D ）发散点，发散点 【答案】(B)
【考点】级数的敛散性 【难易度】★★★ 【详解】因为
1
n n a ∞=∑条件收敛，故2x =为幂级数()1
1n
n n a x ∞
=-∑的条件收敛点，进而得
()
11n
n n a x ∞
=-∑的收敛半径为1，收敛区间为()0,2，又由于幂级数逐项求导不改变收敛区间，故
()
1
1n n n na x ∞
=-∑的收敛区间仍为()0,2，因此x =3x =依次为幂级数()1
1n
n n na x ∞
=-∑的收
敛点、发散点.
4、设D 是第一象限中曲线21,41xy xy ==与直线,y x y ==围成的平面区域，函数(,)f x y 在D 上持续，那么
(,)D
f x y dxdy =⎰⎰
（A ）
1
2sin 21
4
2sin 2(cos ,sin )d f r r rdr π
θπθθθθ⎰⎰
（B ）24
(cos ,sin )d f r r rdr π
πθθθ⎰
（C ）
13sin 21
4
2sin 2(cos ,sin )d f r r dr πθπθ
θθθ⎰⎰
（D ）34
(cos ,sin )d f r r dr π
πθθθ⎰
【答案】(D)
【考点】二重积分的极坐标变换 【难易度】★★★
【详解】由y x =得，4
π
θ=
；由y =得，3
π
θ=
由21xy =
得，2
2cos sin 1,r r θθ==
由41xy =
得，2
4cos sin 1,r r θθ==
因此
3
4
(,)(cos ,sin )D
f x y dxdy d f r r rdr π
πθθθ=⎰⎰⎰
五、设矩阵21111214A a a ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，21b d d ⎛⎫ ⎪
= ⎪ ⎪⎝⎭
，假设集合{1,2}Ω=，那么线性方程组Ax b =有无穷
多个解的充分必要条件为
（A ）,a d ∉Ω∉Ω （B ）,a d ∉Ω∈Ω （C ）,a d ∈Ω∉Ω （D ）,a d ∈Ω∈Ω 【答案】(D)
【考点】非齐次线性方程组的解法 【难易度】★★
【详解】[]()()
()()2
2111111
11
,12011
11400
1212A b a d a d a d a a d d ⎡⎤
⎡⎤⎢
⎥
⎢⎥=−−→--⎢⎥⎢
⎥
⎢⎥⎢⎥----⎣⎦⎣⎦
Ax b =有无穷多解()(,)3R A R A b ⇔=< 1a ⇔=或2a =且1d =或2d =
六、设二次型123(,,)f x x x 在正交变换x Py =下的标准形为2
2
2
1232y y y +-，其中
123(,,)P e e e =，假设132(,,)Q e e e =-，那么123(,,)f x x x 在正交变换x Qy =下的标准形为
（A ）2
2
2
1232y y y -+ （B ）2
2
2
1232y y y +- （C ）2
2
2
1232y y y -- （D ）2
2
2
1232y y y ++ 【答案】(A)
【考点】二次型 【难易度】★★
【详解】由x Py =，故222
123()2T T T f x Ax y P AP y y y y ===+-且：200010001T P AP ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦
100200001,()010010001T T T Q P PC Q AQ C P AP C ⎡⎤⎡⎤
⎢⎥⎢⎥====-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦
因此222123()2T T T f x Ax y Q AA y y y y ===-+，应选(A)
7、若,A B 为任意两个随机事件，那么
（A ）()()()P AB P A P B ≤ （B ）()()()P AB P A P B ≥
（C ）()()()2P A P B P AB +≤
（D ）()()
()2
P A P B P AB +≥
【答案】(C)
【考点】
【难易度】★★
【详解】)()(),()(AB P B P AB P A P ≥≥
)(2)()(AB P B P A P ≥+∴ ()()
()2
P A P B P AB +∴≤
应选（C ）
八、设随机变量X,Y 不相关，且2,1,3,EX EY DX ===则()2E X X Y +-=⎡⎤⎣⎦ （A ）-3 （B ）3 （C ）-5 （D ）5 【答案】(D) 【考点】
【难易度】★★★ 【详解】
()()()()()()()()()222
22225
E X X Y E X XY X E X E XY E X D X E
X E X E Y E X ⎡⎤+-=+-=+-⎡⎤⎣⎦⎣⎦
=++-=
二、填空题：9～14小题,每题4分,共24分.请将答案写在答题纸．．．指定位置上. 九、20ln cos lim
x x x
→=
【答案】12
-
【考点】极限的计算 【难易度】★★
【详解】2
222200001ln cos ln(1cos 1)cos 112lim lim lim lim 2
x x x x x x x x x x x x →→→→-+--====- 10、
2-
2
sin (
)1cos x
x dx x
π
π
+=
+⎰
【答案】
2
4
π
【考点】积分的计算 【难易度】★★
【详解】2
2
20-2sin ()21cos 4x x dx xdx x
π
πππ+==
+⎰⎰ 1一、假设函数(,)z z x y =由方程+cos 2z
e xyz x x ++=确信，那么(0,1)
dz =.
【答案】
【考点】隐函数求导 【难易度】★★
【详解】令(,,)cos 2z
F x y z e xyz x x =+++-，那么1sin x F yz x '=+-，y F xz '=，z F xy '=，
又当0,1x y ==时，0z =，因此
(0,1)1x z F z x F '∂=-=-'
∂，
(0,1)0y z F z
y F '∂=-='∂，因此(0,1)
dz dx =-
1二、设Ω是由平面1x y z ++=与三个坐标平面所围成的空间区域，那么
(23)x y z dxdydz Ω
++⎰⎰⎰=
【答案】
1
4
【考点】三重积分的计算 【难易度】★★★
【详解】由轮换对称性，得
x +2y +3z ()dx dydz W
òòò=6zdx dydz W
òòò=6zdz 0
1
òdx dy
D z
òò
其中D z 为平面z =z 截空间区域W 所得的截面，其面积为
12
1-z ()2
.因此 x +2y +3z ()dx dydz W
òòò=6z dx dydz W
òòò=6z ×12
1-z ()
2
dz =01
ò3z 3-2z 2+z ()dz =0
1ò14
13、n 阶行列式2002-1202
02
2
00
-12=
【答案】122n +- 【考点】行列式的计算 【难易度】★★★
【详解】按第一行展开得
=2n +1-2
14、设二维随机变量(,)X Y 服从正态散布(1,0,1,1,0)N ，那么(0)P XY Y -<=.
【答案】
12
【考点】
【难易度】★★ 【详解】
(,)~(1,0,1,1,0)X Y N ，~(1,1),~(0,1),X N Y N ∴且,X Y 独立
1~(0,1)X N ∴-，}{}{0(1)0P XY Y P X Y -<=-<
}{}
{10,0100P X Y P X Y =-<>+-><，1111122222
=⨯+⨯=
三、解答题：15～23小题,共94分.请将解答写在答题纸．．．指定位置上.解许诺写出文字说明、证明进程或演算步骤.
1五、（此题总分值10分）
设函数()ln(1)sin f x x a x bx x =+++⋅，3
()g x kx =，假设()f x 与()g x 在0x →是等价无穷小，求a ，b ，k 值。

【考点】等价无穷小量，极限的计算 【难易度】★★★
【详解】()ln(1)sin f x x a x bx x =+++⋅
()()23333233!x x x x a x x bx x x οο⎡⎤⎡⎤=+-+++-+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
()()233 123a a a x b x x x ο⎛⎫
=++-+++ ⎪⎝⎭
3()()f x g x kx ∴=与是等价无穷小
1+0110 22133a a a b b a k k ⎧⎧
⎪⎪==-⎪⎪
⎪⎪
∴-+=⇒=-⎨⎨⎪⎪
⎪⎪
==-⎪⎪⎩⎩
1六、（此题总分值10分）
设函数在()f x 概念域I 上的导数大于零，假设对任意的0x I ∈，曲线()y f x =在点00(,())x f x 处的切线与直线0x x =及x 轴所围成的区域的面积为4，且(0)2f =，求()f x 的表达式. 【考点】微分方程 【难易度】★★★ 【详解】如以下图：
0x x =处的切线方程为l ：000()()()y f x x x f x '=-+
l 与x 轴的交点为：0y =时，000()
()
f x x x f x =-
'，那么000()()f x AB x x f x =
=-'， 因此，000011()
()()422()
f x S AB f x f x f x =
⋅=='.即知足微分方程：218y y '=，解得：
11
8
x c y =-+. 又因(0)2y =，因此12c =，故84y x
=-. 17、（此题总分值10分）
已知函数xy y x y x f ++=),(，曲线3:2
2
=++xy y x C ，求),(y x f 在曲线C 上的最大方向导数.
【考点】方向导数，条件极值 【难易度】★★★
【详解】依照方向导数与梯度的关系可知，方向导数沿着梯度方向可取到最大值且为梯度的模.，故
()x y y x gradf ++=1,1),(
故),(y x f 在曲线C 上的最大方向导数为
()22)1(1x y +++，其中y x ,知足322=++xy y x ，
即就求函数2
2
)1()1(x y z +++=在约束条件032
2
=-++xy y x 下的最值. 构造拉格朗日函数=),,(λy x F )
3()1()1(2
2
2
2
-++++++xy y x x y λ
令⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-++=∂∂=+++=∂∂=+++=∂∂0302)1(202)1(222xy y x F x y y y
F y x x x F
λ
λλλλ可得)1,1(),1,1(--)2,1(),2,2(,-- 其中)2,1(9)1,2(,0)1,1(,4)1,1(-==-=--=z z z z 综上依照题意可知),(y x f 在曲线C 上的最大方向导数为3. 1八、（此题总分值10分）
(Ⅰ)设函数(),()u x v x 可导，利用导数概念证明
[()()]'='()()()()'u x v x u x v x u x v x +
(Ⅱ)设函数12(),()...()n u x u x u x 可导，12()()()...(),n f x u x u x u x =写出()f x 的求导公式.
【考点】导数概念 【难易度】★★ 【详解】()
I
()()()()()()()()[]()()'
00''()
lim ()()() lim ()()
x x u x x v x x u x v x u x v x x
u x x u x v x x u x v x x v x x
u x v x u x v x →→+⋅+-⋅⋅=⎡⎤⎣⎦+-⋅++⋅+-⎡⎤⎣
⎦==⋅+⋅
()∏
[]{}
[][]
[]{}
'
'12'
'1212'
'12123'''121212()()()() ()()()()()()
()()()()()()()
()()
()()()
()()()
n n n n n n n n f x u x u x u x u x u x u x u x u x u x u x u x u x u x u x u x u x u x u x u x u x u x u x u x u x u =⋅=⋅+⋅=⋅+⋅⋅=⋅+⋅+
+⋅()
x
1九、（此题总分值10分）
已知曲线L
的方程为,
z z x ⎧=⎪⎨=⎪⎩
起点为A
，终点为(0,B ，计算曲线积
分2222()()()L
I y z dx z x y dy x y dz =
++-+++⎰
【考点】曲线积分的计算
【难易度】★★★
【详解】曲线L
的参数方程为cos ,
,cos ,
x y z θθθ=⎧⎪
=⎨⎪=⎩
θ从2π到2π-
2222()()()L
I y z dx z x y dy x y dz =++-+++⎰
22
2223222
2220
2
cos )sin (cos 2sin )sin 1sin 2sin sin 2sin 2
d d d d π
ππ
ππ
ππθθθθθθθθθθθθθ
θθθθ-
-
-
⎡⎤=-++-+⎣⎦⎛⎫=+-- ⎪⎝
⎭====⎰⎰⎰
20、（此题总分值11分）
设向量组123,,ααα是3维向量空间
3
的一个基，11322k βαα=+，222βα=，
313(1)k βαα=++。

（Ⅰ）证明向量组123,,βββ是
3
的一个基；
（Ⅱ）当k 为何值时，存在非零向量ξ在基123,,ααα与基123,,βββ下的坐标相同，并求出所有的ξ。

【考点】线性无关，基下的坐标
【难易度】★★★
【详解】（Ⅰ）123(,,)βββ=12320
1(,,)020201k k ααα⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪+⎝
⎭
因为2
01210
2
2
4021
201
k
k k k ==≠++，
因此123,,βββ线性无关，123,,βββ是3的一个基。

（Ⅱ）设20
1020201P k k ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪+⎝⎭，P 为从基123,,ααα到基123,,βββ的过渡矩阵，又设ξ在基123,,ααα下的坐标为123(,,)T x x x x =，那么ξ在基123,,βββ下的坐标为1P x -， 由1
x P x -=，得Px x =，即()0P E x -= 由1
0111
0100220P E k k k k k -==
=-=，得0k =，并解得10,1x c c -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭为任意常数。

从而ξ13,c c c αα=-+为任意常数。

2一、（此题总分值11分）
设矩阵02-3-1331-2A a ⎛⎫ ⎪=- ⎪⎪ ⎭⎝相似于矩阵1-2000031B b ⎛⎫ ⎪= ⎪⎪ ⎭⎝
. （Ⅰ）求,a b 的值.
（Ⅱ）求可逆矩阵P ，使得1P AP -为对角阵.
【考点】相似矩阵，相似对角化
【难易度】★★★
【详解】由02313312A a -⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪-⎝⎭相似于12000031B b -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭
则0311023120,13300
12031a b b a ++=++⎧⎪--⎪⎨--=⎪⎪⎩
解得4,5a b ==
223()||1
33(1)(5)0124
A f E A λ
λλλλλλ-=-=-=--=--
当121,λλ==123123()123000123000E A λ--⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-=-→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭
特点向量12231,001ξξ-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，
当35231231015,()123121011121523000E A λλ-⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=-=→-→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭
那么特点向量311,1ξ-⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭因此123231(,,)101,011P ξξξ--⎛⎫ ⎪==- ⎪ ⎪⎝⎭
得1100010005P AP -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ 2二、（此题总分值11分）
设随机变量X 的概率密度为
-2ln 20()=00x x f x x ⎧>⎨≤⎩
对X 进行独立重复的观测，直到第2个大于3的观测值显现时停止，记Y 为观测次数. （Ⅰ）求Y 的概率散布；
（Ⅱ）求EY .
【考点】
【难易度】★★★★
【详解】{}23132ln 8x P x dx +∞
->==
⎰ （I ）{}1222211
7
17()()(1)()(),2,3,4....8888k k k P Y k C k k ---===-=
（∏）2
222
21717(1)()()(1)()88648k k K k EY k k k k +∞+∞--===-=-∑∑ 设级数23221112()(1)646464(1)k k k k S x k k x x x +∞+∞-==''⎡⎤=-==⨯⎢⎥-⎣⎦
∑∑ 7()168S =因此7()168
EY S == 23、（此题总分值11分）
设整体X 的概率密度为
11(;)=10x f x θθθ⎧≤≤⎪-⎨⎪⎩其他
其中θ为未知参数，12.....n X X X ，为来自该整体的简单随机样本. （Ⅰ）求θ的矩估量.
（Ⅱ）求θ的最大似然估量.
【考点】
【难易度】★★★
【详解】由题可得（I ）
2
1
11111|112211212n n i i i i x x EX dx x x n n θθθθθθθ∧∧==+==⋅=--+=⇒=-⎰∑∑
（∏）联合概率密度 121(,,,;),1(1)n i n f x x x x θθθ=≤≤- (1)ln ln f n θ-=-ln 01d f n d θθ=>-，故取 {}12min ,,
,n x x x θ∧=。